Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM THOA TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM THOA TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu c a riêng tơi Các kết qu nghiên cứu lu n văn trung th c đ c ng tác giả cho chưa công bố bất k m t cơng trình Tác giả luận văn NGUY N THỊ KIM THOA Ụ LỤC MỞ ĐẦU chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Dự kiến cấu trúc luận văn CHƯƠNG1 CƠ SỞ L THUYẾT VỀ SUẤT 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 1.1.1 Không gian xác xuất, dãy biến cố 1.1.2 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên 1.1.3 Các khái niệm hội tụ xác suất 10 1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẬC HAI 1.2.1 Các khái niệm 12 1.2.2 Quá trình tách đo 17 1.2.3 Tính liên tục 18 1.2.4 Quá trình dừng 19 CHƯƠNG T C PH NGẪU NHI 21 2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 21 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 22 2.3 QUÁ TRÌNH XÁC ĐỊNH BỞI T H P NGẪU NHI N 26 2.4 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỔNG QUÁT 32 ƯƠ PHƯƠNG TR VI PH 3.1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG T NH VI P NGẪU NHI NGẪU NHI N 3.2 C C T NH CH T CỦA PHƯƠNG T NH VI P 39 NGẪU NHIÊN 39 3.3 NHI U TRẮNG VÀ PHÉP TÍNH NGẪU NHIÊN 47 3.4 PHƯƠNG TRÌNH KHUY CH TÁN 54 KẾT LUẬN 61 T LIỆU THAM KHẢO 62 UYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ T LUẬN VĂN (B n sao) NH MỤC C C CHỮ VIẾT TẮT as m : H u chắn : Hội tụ th o trung : Hội tụ th o x suất b h ươ g MỞ ĐẦ L o ọn Tro g tr h h c đại học ch g ta que thu c v i m mà tro g t h vi tích hân đ ng vai tr gi i tích an tr ng Với s phát tri n c a kỹ thuật đại, nhiều vấn đề đặt thúc đẩy toá học triể Gầ g cà g có h tố học tố học ằ át ề toá liê quan đến yếu tố ngẫu nhiê ải ghi cứu đầy đủ chi tiết để tạo c g cụ giải ữ g tố ẫ hi n Một cơng cụ tính vi tích hân ngẫu nhiên dùng để giải toán dự báo l thuyết th t Với lí trê ti h thầ ham tìm hiểu â đề tài “ Tích tốt ẫ hi và số lĩ h vực vật l ữ g kiế thức ươ g trì h vi hâ ẫ tơi chọn hi làm đề tài hiệ bậc cao học m Mụ n Mục tiêu luậ vă hi cứu tiế cận để hiểu s u sắc kiến thức l thuyết xác suất mà cụ thể tích hâ ươ g trì vi hâ ẫ hi ằ ẫ hi ục vụ cho việc học tậ giả g dạy sau Đố ượn n n a Đối tượng nghiên cứu cứu luậ vă tìm hiểu cách có hệ thố Đối tượ chất có liê quan đến tích hâ ẫ ươ trì h vi â ẫu b Phạm vi nghiên cứu Nghiê cứu việc xây dự g tí ngẫu nhiê ươ trì h vi â ẫ chất biến đổi tích hi ứ g dụ ch g ân n N Cố g ng trì h bày m t cách rõ rà hâ hi mạch lạc ươ g trì h vi hâ hi luậ văn để n trở h tài liệu hữu ích giả l thuy t tích ằ hoà h tốt ục vụ cho c g việc học tậ dạy ươn n Sưu tầm tài liệu liê quan đến đề tài tích hâ ẫ i ương trình vi hân ngẫu nhiên Phân tích tài liệu Tổng hợ tài liệu Thực suy luận toán học để xem xét khía cạnh tích hân ngẫu nhiên n a ương trình vi hân ngẫu nhiên oa n a n n ận văn sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học viên giáo viên giảng dạy ần tích hân ngẫu nhiên hân ngẫu nhiên D n n n Nội dung luận văn dự kiến có chươ g: ươn ấ Cơ s 1.1 Đại cương xác suất Khô gia xác suất Dãy biế cố biế Các đặc trư g số biế ẫ ẫ hi n i n Các khái niệm hội tụ xác suất trì h 2.1 Các khái ẫ hi n ệm 2.2 Quá trì h tách đo ương trình vi 1.2.3 T liê t c Quá trì h dừ g ươn T 2.1 n n h gh tích hâ hi n 2.2 Các tí h chất tích 2.3 trì h xác đị ch hâ ươn â hi t hi n quát n n ươ g trì h vi hâ 3.2 Các tí h chất g tr h khuy ch tán ẫ n hi n ươ g trì h vi hâ 3.3 Nhi u tr g tí h hi n b i tích hâ ươn 3.1 Đị h gh n i n hi n CHƯƠN CƠ Ở L TH ĐẠI CƯƠN VỀ n an Kh TV T ẤT ấ , dãy biến cố g gian đo Cho tậ W a lớ tậ c W a gọi - đại số n thỏa mã điều kiệ sau: · WỴa · Nếu A Ỵ a Ac = W A Ỵ a · Với dãy { An }nỴ * Ì a thỡ Ơ An ẻ a ( * l t hợ số n n= dương gọi cặ (W a ) he measurable kh g gian đo hay khơng gian khả đo ac Ví dụ Cho W = {S N } a lớ tất tậ c W Cặ ( W a ) kh g gian đo b Không gian xác suất Một hàm tậ m độ đo a ộ - đại số a vào tậ số thực gọi thỏa mãn: · m (Ỉ ) = · Với A Ỵ a m ( A ) ³ · Hàm tậ m s - cộ tí ghĩ với bất kỡ cỏc t An ẻ a, n ẻ ổƠ Ơ tha Ai ầ A j = ặ, "i j thỡ m ỗ Ai ữ = m ( Ai ) è i= ø i= * ng hay h i tụ theo xác suất, tới m t trình { X n ( , t ) , a £ t £ T } Khi ph · X t nghi m c a: X t = m ( X t , t ) + đó, t n ( nh xem (3.19) có phải ph ng trình vi phân ngẫu nh nghĩa ph n cuối hi u xác khái ni m h i tụ c a { nghĩa: t m t nhi u tr ng Gauss Đây m t giải thích xác cho (3.19) Ta phải xác nhiên nh ( Xt ,t ) ,t ) = ò a t n ( n ( , t )} tới nhi u tr ng, ta nh , s ) ds Và (3.20) viết lại nh m t phương trình tích phân X n ( , t ) = X n ( , a ) + ò m ( X n ( , s ) , s ) ds t a +ò s ( X n ( , s ) , s ) d t a n ( s) (3.21) Do m t nhi u tr ng Gauss đạo hàm hình thức m t chuy n Brown, làm xác h i tụ c a { ( , t )} đến m n ng t nhi u tr ng Gauss, ta xét: n a.s ® K éë ( , t ) ( , t ) ắắắ n đƠ ú, K l hng s v ( a ) ùû { ( , t ) , a £ t £ T } m n t trình chuy n ng Brown Do số K có th đưa vào s (3.21), nên giả s K 1, ta giải hai vấn sau đây: a Trong u ki n { X n ( , t ) , a £ t £ T } h i tụ b Nếu {X ( ,t ), a £ t £ T} n h i tụ, giới hạn {X ( ,t ), a £ t £ T} n thoả mãn m t phương trình vi phân ng u nhiên không, thoả mãn phương trình vi phân ng u nhiên b t u, ta xét m t dãy trình {Yn ( , t )} xác nh bởi: Yn ( , t ) = ò ( ( ,t ),t ) d ( t ) , t n a đó, (3.22) n { ( t )} hàm biết h i tụ đến chuy n n ng Brown Ta phải chứng minh {Yn ( , t )} h i tụ Ta ( x, t ) b nh nghĩa m t hàm số Nếu ta kí hi u ¶ ¶t x ( x, t ) = ò0 ( z, t ) dz i: · ( x, t ) ( x, t ) ta thấy · ( ( , t ) , t ) = ( ( , t ) , t ) d ( , t ) + ( ( , t ) , t ) dt d n n n n Nói cách khác, ta có: ( ( ,t ),t ) - ( ( n , a), a) - ò n Bõy gi , nu ( , t ) ắắắ đ n đƠ ( à n ( v ( ( ( n a · n t · , s ) , s ) ds = Yn ( , t ) hàm thoả mãn u ki n: t) , , t ) , t ) ắắắ đ n đƠ ( ( ,t ), t ) à đ ( ( ,t ),t ) ( ( , t ) , t ) ắắắ n đƠ n Do ú, nu tất u đúng, thì: Yn ( , t ) ắắắ đY ( ,t ) = n ®¥ ( ( ,t ),t ) - ( ( -ị t a , a), a) ( ( , s ) , s ) ds Bây gi , áp dụng công thức vi phân Ito, ( ( ,t ),t ) = ( ( +ò a nl uý t , a), a) + ò a '( ' ( x, t ) = ( t ( ( , s), s) d ( x, t ) , ta có: ( , s ) , s ) ds , s) + t "( òa ( , s ) , s ) ds 50 Y ( ,t ) = ò ( ( t a , s), s) d ( s) + t '( òa , s ) , s ) ds ( So sánh Y ( , t ) với (3.22), ta có kết là: ị ( ( , s), s) d t n a n( , s ) ắắắ đũ n đƠ ( ( t a + đó, số hạng , s), s) d t '( òa ( s) , s ) , s ) ds ( (3.23) u vế phải (3.23) m t tích phân ng u nhiên Lý luận tương tự cho số hạng lại cơng thức vi phân Ito Nói ngắn gọn ( d )t Từ ( xấp xỉ dt , ta suy phát biu tng t cho (3.21) n đ Ơ Đầu tiên, ta viết lại (3.21) dX n ( , t ) = m ( X n ( , t ) , t ) dt + s ( X n ( , t ) , t ) d x ( x, t ) = ò0 Bây ta định nghĩa: n ( t) dz s ( z, t ) Vì vậy: d (X ( n ,t ),t ) = = (X ( , t ) , t ) dt + n ( Xn ( ,t ),t ) + ' ( X n ( , t ) , t ) dX n ( , t ) m( Xn ( ,t ),t ) ( Xn ( ,t ),t ) dt + d n Hay là: ( X ( ,t ),t ) - ( X ( n Ta đặt m = ( m n , a), a) = ò )+ a (X ( + n t n ( , s ) , s ) ds ,t ) - n ( a) ( t) { ( t )} h i tụ đến m t chuy n ng Brown ( t ) ,và giả s { X ( , t )} h i tụ đến m t trình X ( , t ) Thì, với u ki n h p Giả s n n lý, ta đ c: ( X ( ,t ),t ) - ( X ( , a), a) = ò (X ( t a ( + , s ) , s ) ds ,t ) - ( a) Nếu ta giả s X ( , t ) có th viết d t X ( ,t ) = X ( , a) + ò f a ( , s ) ds + ò t ( a , s) d (3.2 ) i dạng ( s) (3.25) ( Xt ,t ) Thì ta có th áp dụng cơng thức vi phân Ito (2.10) cho ta được: ( X ( ,t),t ) - ( X ( +ò t a , a), a) = ò '( X ( , s ) , s ) f t a (X ( + , s ) , s ) ds + ò t a ( , s ) ds '( X ( , s ) , s ) t "( X ( , s ) , s ) òa ( ( , s) d , s ) ds ( s) (3.26) Bây gi , từ (3 ) (3.26) ta có: ( , s ) ' ( X ( , s ) , s ) = Do đó, c n l u ý ( ,t ) = '= ta có: ( X ( ,t ),t ) (3.2 ) ' 1 ổ1ử + f + s2ỗ ữ = ès ø s Hơn nữa: Do đó: f Thay ( ( = m + s , t ) = m ( X ( , t ) , t ) + s ( X ( , t ) , t ) ' ( X ( , t ) , t ) (3.28) ) (3.28) vào (3.25), ta được: té t ù X t = X a + ò ê m ( X s , s ) + s ( X s , s ) s ' ( X s , s ) ú ds + ò s ( X s s ) d a a ë û s (3.29) Nếu ta ải thích m t phương trình nhi u tr ng d Xt = m( Xt ,t ) + dt ( Xt ,t ) t m t dãy phương trình giống (3.20), phương trình vi phân nhi u ng đ tr ng t ng với m t phương trình vi phân ng u nhiên đưa b i: dX t = m ( X t , t ) dt + s ( X t , t ) s ' ( X t , t ) dt + s ( X t t ) d Ta lưu ý thuật ngữ t ss ' hiểu số hạng Bây giờ, ta phải nêu số kết hội tụ liên quan đến (3.23) (3.29) k i [ ong { ( a b, 66] Ta cần định nghĩa xấp xỉ t )} đến chuyển động Brown n A1 : Với t, n ( ) n t ) sau: a s ® ( t ) Với n, hầu hết tất ( , t ) ắắắ n đƠ sup sup n tẻ a ,b] ( t) , n ( ) bị chặn đều, nghĩa là: với A3 : A2 với n, hầu hết tất n , n ( t) có đạo hàm liên tục ( t ) định nghĩa ( t) A : Với n, n ( t ) đa giác xấp xỉ n ( ,t ) = ( (n) ,t j ) + ëé ( (n) ) , t j +1 - t (j ) £ t £ t (j +)1 n , liên tục mẫu có biến phân bị chặn [a,T] A2 : A1 hầu hết tất n ( n đó, a = t0( n) t1( n) tn( n) T ( ( n) tj t - t (j n) )ùû t ( ) - t ( ) n j +1 n j ( max t (j +) - t (j j Đị n n) n đƠ ( x, t ) 3.2 [11] Cho ' ( x, t ) = { ( n ¶ ảx ( x, t ) ) ắắắđ v ¶ ¶t có o hàm riêng liên tục ( x, t ) -¥ x ¥, a £ t £ b Cho t )} thoả mãn A2 , thì: ® ị ( ( ,t),t) d ( t) ị ( ( , t ) , t ) d ( , t ) ¾¾¾ b n a a s n ®¥ n b a + Hơn nữa, ( x, t ) b '( òa ( , t ) , t ) dt (3.30) không phụ thuộc vào t, kết A1 A2 3.3 [11] Cho m ( x, t ) , s ( x, t ) , s ' ( x, t ) = Đị s ( x, t ) = ¶ s ( x, t ) liên tc trờn -Ơ ảt ả s ( x, t ) , v ảx x Ơ, a Ê t Ê b Cho m ( x, t ) , s ( x , t ) s ( x, t ) s ' ( x, t ) thoả mãn điều kiện Lipschitz đều,nghĩa f ba hàm số m, s ,ss ' , thì: f ( x, t ) - f ( y , t ) £ K x - y Cho {X ( n , t ) , t ³ a} thoả mãn (3.20), cho {X ( , t ) , t ³ a} phương trình vi phân ngẫu nhiên: dX ( , t ) = m ( X ( , t ) , t ) dt + s ( X ( , t ) , t ) d ( t) + s ( X ( , t ) , t ) ' ( X ( , t ) , t ) dt { t Lấy X n ( , a ) = X ( )= X( t ³ a} - a (3.31) , a ) , đó: X độc lập a Nếu s ( x, t ) ³ s ( x, t ) ( x, t ) , { Ks n ( t )} thoả mãn A3 (trong phần trên) a.s X n ( , t ) ắắắ đ X ( ,t ) n đƠ b Nếu { n ( t )} thoả mãn A q m X n ( , t ) ắắắ đ X ( ,t ) n đƠ N 3.4 T a £ t £ b , thì: a £ t £ b NH KH CH TÁN Trong ph n này, ta xét xác suất chuy n i c a m t trình thoả mãn m t phương trình vi phân ng u nhiên có th thu cách giải m t c p ph ng trình đạo hàm riêng ph ng trình gọi ph ng trình tiến phương trình lùi Kolmogorov hay phương trình khuyếch tán Phương trình tiến đơi g i phương trình Fokker- Planck ho { X t , a £ t £ b} m t trình Markov, ký hi u: ( P ( x, t x0 , t0 ) =à X t x X t0 ) x0 Ta ọi P ( x, t x0 , t0 ) hàm chuy n c a q trình Nếu có m t hàm p ( x, t x0 , t0 ) cho P ( x, t x0 , t0 ) = ò p ( u , t x0 , t0 ) du x -¥ ta g i p ( x, t x0 , t0 ) hàm mật độ chuyển Do { X t , a £ t £ b} trình Markov, P ( x, t x0 , t0 ) thoả mãn phương trình hapman- Kolmogorov ¥ P ( x, t x0 , t0 ) = ò P ( x, t z, s ) dP ( z, s x0 , t0 ) -¥ Bây ta giả sử điều kiện quan trọng { X t , a £ t £ b} để lấy đạo hàm phương trình khuyếch tán Những điều kiện tương tự điều kiện (2.26) (2 ), biểu diễn cho trình lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Với dương cố định, ta định nghĩa: M k ( x, t , ) = ò ( y - x) k dP ( y, t + x, t ) k 0, 1, y - x £❡ M ( x, t ; , ) = ò ( y - x) dP ( y, t (3.32) x, t ) y - x £❡ Giả s trình Markov { X t , a £ t £ b} thoả mãn điều kiện sau: éë1 - M ( x, t; , ắ đ0 )ựỷ ắắ (3.33) M ( x, t ; , ® m ( x, t ) ) ¾¾¾ ❉✖ (3.3 ) M ( x, t ; , ắ đ ( x, t ) ) ¾¾ ❉✖0 (3.35) M ( x, t ; , ắ đ0 ) ắắ (3.36) Rõ ràng, - M ( x, t ; , đ , thỡ ) ắắắ ✗✘ ¥ Ã( X t ✰❉ - X t > ) = ị-¥ éë1 - M ( x, t; , ®0 )ùû dP ( x, t ) ¾¾¾ ❉✖ Vì (3.33) mạnh tính liên tục theo xác suất Thêm vào đó, ả sử hàm chuyển P ( x, t x0 , t0 ) thoả mãn điều kiện: Với ( x, t ) , P ( x, t x0 , t0 ) khả vi lần theo t0 khả vi ba lần theo x0 , đạo hàm liên tục bị chặn theo ( x0 , t0 ) (3.3 ) Bây giờ, ta đạo hàm phương trình sau Phương trình hapman-Kolmogorov viết dạng: ¥ P ( x, t x0 , t0 ) = ò P ( x, t z, t0 + -¥ Từ ( )dP ( z, t x0 , t0 ) ) viết lại theo định lý Taylor (3.38) P ( x , t z , t0 + ) = P ( x, t x , t )+ + ¶P ( x, t x0 , t0 ¶x0 ¶ P ( x, t x0 , t0 + ¶x02 ¶ P ( x, t z , t0 + ¶z ) ) ) ( z - x0 ) ( z - x0 ) ( z - x0 ) - x0 £ z - x0 , (3.39) z =q S dụng (3.39) vào (3.38), kết hợp với (3.32) ta viết: P ( x, t x0 , t0 ) = P ( x, t z, t0 + ò )dP ( z, t x0 , t0 ) z - x0 >✙ M k ( x0 , t0 ; , k ! k =0 +å ¶k ) k P ( x, t x0 , t0 ¶x0 ¶3 + ò P ( x, t z, t0 + z - x0 £✙ ¶z ) ) ✚ ( z - x ) dP ( z, t z= x0 , t0 ) Nghĩa là: é P ( x, t x0 , t0 ) - P ( x, t x0 , t0 + ê êë 11 M ( x0 , t0 ; , + Nếu ta cho thành: - ) )ù ú úû M ( x0 , t0 ; , ¶ P ( x, t x0 , t0 M ( x0 , t0 ; , ) sup ¶ P ( x , t z , t0 z3 z - x0 £✛ ¶P ( x, t x0 , t0 ) x0 é1 M ( x0 , t0 ; , ê ë x02 ) ) ) )ù ú û (3 0) s dụng điều kiện (3.33) đến (3.36) , (3 0) trở ¶ ¶ P ( x , t x0 , t ) = m ( x0 , t ) P ( x, t x0 , t0 ) ¶t ¶x0 ¶2 + s ( x0 , t0 ) P ( x, t x0 , t0 ) ¶x0 a t0 t b (3 1) Điều kiện biên cho (3 ì1 lim P ( x, t x0 , t0 ) = í t0 - t ỵ0 ) là: x > x0 x (3 2) x0 Phương trình (3 ) phương trình lùi phương trình khuyếch tán Nó thực phương trình cặp biến ban đầu ( x0 , t0 ) di chuyển ngược từ t Phương trình tiến bắt nguồn cách gián tiếp sau: Lấy f ( x ) , -¥ , hàm Schwartz Nghĩa hàm f khả vi vô hạn x với k m, x k f( m) đ0 ( x ) ắắắ x đƠ (3 3) Ta ký hiệu không gian tất hàm S Ta định nghĩa hàm: Ù f ( t x0 , t0 ) = E éë f ( X t ) X t0 = x0 ùû ¥ = ò f ( x ) dP ( x, t x0 , t0 ) -¥ Bây giờ, viết lại: Ù f (t + x0 , t0 ) = ị ¥ -¥ f ( x ) dP ( x, t x0 , t0 ) ¥ ¥ = ị é ị f ( x ) dP ( x, t -¥ ê ë -¥ z , t ) ù dP ( z , t x0 , t0 ) úû Do f khả vi vơ hạn thoả mãn (3 3), ta có: (k ) k f ( z )( x - z ) + f ( ) ( k =0 k ! f ( x) = å )( x - z ) Lặp lại lập luận cho (3 1), ta thấy: Ù ¶ f ( t , x0 , t ) ¶t é df ( z ) d f (z)ù = ò ê m ( z, t ) + s ( z, t ) ú dP ( z, t x0 , t0 ) (3 -¥ dz dz ë û ¥ ) 58 Bây gi , p ( x, t x0 , t0 ) thoả mãn: Với m i ( x0 , t0 ) , P ( x, t x0 , t0 ) khả vi bốn l n theo x m t l n theo t, đạo hàm liên t c theo ( x, t ) (3 5) s ( x, t ) khả vi liên tục hai l n theo x, m ( x, t ) khả vi liên t c m t l n theo x, ta có (3 ) tích phân t ng ph n: ị ¥ -¥ ¶2 ì¶ és ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ù f ( x ) í p ( x, t x0 , t0 ) ỷ ảx ợ ảt + ¶ é m ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ù ýü dx = ỷỵ ảx (3 6) Do (3 ) thoả mãn với f ỴS , bi u thức ¶ ¶2 ì¶ és ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ù + é m ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ù üý í p ( x, t x0 , t0 ) ë û ¶x ë ỷỵ ảx ợ ảt phi bng vi tt m i x Vì vậy: ¶ ¶2 és ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ùû p ( x, t x0 , t0 ) = ë ¶t ¶x - ¶ ém ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ùû ¶x ë b > t > t0 > a (3 ) Phương trình (3 ) phương trình tiến phương trình khuyếch tán, gọi phương trình Fokker-Planck Điều kiện ban đầu khơng thể là: ị ¥ -¥ f ( x ) p ( x, t x0 , t0 ) dx ắắđ f ( x0 ) t t0 ngha p ( x, t0 x0 , t0 ) = "f Ỵ S ( x - x0 ) Một nghiệm (3 (3 8) ) thoả mãn (3 ) gọi nghiệm phương trình khuyếch tán Nếu ta xem phương trình khuyếch tán phương tiện để xác định xác suất chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên ch a thoả mãn hồn tồn Bởi vì, ph ng trình khuyếch tán giả thiết khả vi (3 ) (3 5) V Giả s { X t , t ³ 0} thoả mãn m t phương trình vi phân ng u nhiên dX t = - X t dt + ( + X t2 )d t (3 9) đây, ta có: m ( x, t ) = - x s ( x, t ) = (1 + x ) Vì vậy, phương trình tiến cho bởi: ¶2 é ¶ ¶ + x ) p ( x, t x0 , t0 ) ûù + ëé xp ( x, t x0 , t0 ) ûù = p ( x, t x0 , t0 ) ë( ¶x ¶x ¶t (3.50) Vì m s không phụ thuộc vào t, p ( x, t x0 , t0 ) phụ thuộc vào t - t0 không phụ thuộc vào t t0 riêng biệt Hơn nữa, ta viết lại (3 9) sau: X t = e - ( t - t0 ) t X t0 + ò e t0 -( t - s ) + X s2 d s Điều này, ta suy t ® ¥ , điều kiện mật độ p ( x, t x0 , t0 ) tiến đến mật độ p ( x ) Ta suy rằng: ¶p ( x, t x0 , t0 ) ảt ắắắ đ0 t đƠ Vỡ vy: d2 ộ d + x ) p ( x ) ùû + éë xp ( x ) ùû = ë( dx dx Hay: d é + x ) p ( x ) ùû + xp ( x ) = số ( ë dx ® , số phải 0, cách lấy tích Vì p ' ( x ) , p ( x ) ắắắ x đƠ trc tip, ta c: p ( x ) = p (0) 2 (1 + x ) 60 Do: ị -¥ b là, ¥ p ( x ) dx = , ta tìm được: p ( ) = c minh hoạ (3.50) s dụng th ng xun, cụ th tìm mật độ cố định tồn Thực tế ví dụ này, (3.50) hồn tồn giải ta đặt: u ( x, t ; x0 , t0 ) = sinh -1 x - sinh -1 x0 t - t0 p ( x, t x0 , t0 ) cho bởi: p ( x, t x0 , t0 ) = (1 + x ) ìï í ïỵ ( t - t0 ) e-u e - ( t - t0 ) + ò u + t - t0 u - t - t0 ü e - z dz ý ỵ K T N Lun “Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên” thực đề: a X y dựng trình xác định tích phân ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên tổng qt phương trình vi phân ngẫu nhiên b Tìm hiểu nhiễu trắng phép tính ngẫu nhiên c Nghiên cứu phương trình khuyếch tán Hy vọng kết đề tài cịn tiếp tục mở rộng hồn thiện hơn, nhằm giải vấn đề tính ngẫu nhiên tích phân phương trình T I LI TH KH n ] Đậu Thế ấp ( 00 ), Gi i tích tốn h c, NXB Giáo dục [2] Dương Tơn Đảm (2006), Q trình ng u nhiên, NXB Đai học ốc a T Hồ hí Minh Phan Văn Hạp (1990), Giáo trình giải tích tốn học, NXB Đại học [3] Trung học chuyên nghiệp [ ] Trần Lộc Hùng, Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Giáo dục, Đà Nẵng [5] Phan Quốc Khánh (19 ), Phép tính vi tích phân, NXB Giáo dục Đặng Hùng Thắng (200 ), Quá trình ng u nhiên tính tốn ng u [6] nhiên, NXB Đại học ốc a Hà Nội [ ] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học ốc ia Hà Nội [8] Nguyễn Đình Trí (2009), Tốn học cao cấp T2, NXB Giáo dục n [9] A N Shiryaev Springer, Probability second Edition, Translated by R P Boas g n ong Bruce Hajek (19 ), Stochastic processes in engineering systems, New York Berlin Heidelberg Tokyo 10] Billingsley P(1968), Convergence of probability measures iley, New York [11] g n ong Bruce Hajek (1 1), Stochastic processes in engineering systems, New York Berlin Heidelberg Tokyo ] onn Lampers, Stochastic processes Springer – Verlag ... martingale tích phân ngẫu nhiên khơng giống tích phân thơng thường Ví dụ tích phân ngẫu nhiên ị t s d s Nếu tích phân tích phân thơng thường, chắn ( phải phương trình - t ) = 12 t Tuy nhiên, 2... 2.4 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỔNG QUÁT 32 ƯƠ PHƯƠNG TR VI PH 3.1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG T NH VI P NGẪU NHI NGẪU NHI N 3.2 C C T NH CH T CỦA PHƯƠNG T NH VI P 39 NGẪU NHIÊN 39 3.3 NHI U TRẮNG VÀ PHÉP... không 2 t Và ò t s d s rõ ràng công thức vi phân Ito, mà trình bày sau Để phát biểu luật vi phân tích phân ngẫu nhiên giả thiết tự nhiên, ta cần tổng quát hố định nghĩa tích phân ngẫu nhiên với