Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân

Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân

2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37

2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi

phân cấp I 372.1.1 Hệ toạ độ chính tắc 372.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I 402.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 43

2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập,

một tham số phụ thuộc 432.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi

phân bậc cao 49

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫnrất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn Mặc dù ở xa nh-ng Thầyvẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoáluận này Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tớiThầy.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầyđã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanhkhóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trântrọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóaluận này.

Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đónggóp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xinđ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy,Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên -ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua Khóa luận cũngđ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡquý báu đó!

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009

Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân

Lời mở đầu

Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ờiNa Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiablemanifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục củacác cấu trúc toán học Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt làtrong vật lý hạt.

Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sửdụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợpcác nhóm tôpô tổng quát hơn Một trong những ý t-ởng chính trong lýthuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiênbản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây

giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie.

Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đốixứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sửdụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của cácph-ơng trình đại số.

Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bảnvề nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúngtrong việc giải ph-ơng trình vi phân Các bài toán và ví dụ đ-ợc trìnhbày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration

Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C.

Anco Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này Tác giảxin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ranhững nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie,cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP.

Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng:Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phépbiến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi viphân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ.1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số.

Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đạisố Lie, tính giải đ-ợc Ví dụ minh họa.

Ch-ơng2: ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân1.1 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơng

trình vi phân cấp 1.

1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao.

Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nênkhóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mongnhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn.

Ch-ơng 1

Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biếnđổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Trong tr-ờnghợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R2.

1.1 Nhóm

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp G cùng với phép toán φ : G ì G → G.

(G, φ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề

4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất

phần tử nghịch đảo a−1 ∈ Gsao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e.

Định nghĩa 1.1.2 Nhóm (G, φ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu

φ(a, b) = φ(b, a), với mọi phần tử a, b ∈ G.

Định nghĩa 1.1.3 Cho (G, φ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A ⊂ G,

khi đó tập A cùng với phép toán φ đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, )

nếu thoả mãn các điều kiện

1) Với mọi phần tử a, b ∈ A thì φ(a, b) ∈ A.2) Phần tử đơn vị e ∈ A.

3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 ∈ Asao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e.

Ví dụ 1.1.4 Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng

Vì a + b = b + a với mọi a, b ∈ Z nên (Z, +) là nhóm Abel.

Ví dụ 1.1.5 Cho G = R+ là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân

φ(a, b) = a.b

i) ánh xạ φ : R+ìR+ →R+ vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các

số thực d-ơng.

ii) Với các phần tử a, b, c ∈ R+ bất kỳ, ta có

φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)).

iii) Tồn tại phần tử đơn vị e = 1 thoả mãn a.1 = 1.a = a, với mọi phầntử a ∈ R+.

iv) Với mọi phần tử a ∈ R+ bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 = 1

Vì a.b = b.a với mọi a, b ∈ R+ nên nhóm (R+, ) là nhóm Abel.

Ví dụ 1.1.6 Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} với phép toán giữa các tham

số đ-ợc cho bởi φ(ε, δ) = ε + δ + εδ.

i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ φ đi từ S ì S vào S, nghĩa là φ(ε, δ) ∈ S,khi ε, δ ∈ S Lấy ε, δ ∈ S = (−1, +∞).

Vì ε ∈ (−1, +∞) nên ε + 1 > 0 T-ơng tự δ + 1 > 0Suy ra (ε + 1)(δ + 1) > 0 Vậy ε + δ + εδ ∈ (−1, +∞).ii) Tính kết hợp: Với ε, δ, γ ∈ (−1, +∞) bất kỳ,

φ(ε, φ(δ, γ)) = ε + (δ + γ + δγ) + ε(δ + γ + δγ)

= ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ= ((ε + δ + εδ) + γ) + (ε + δ + εδ)γ= φ(φ(ε, δ), γ).

iii) Phần tử đơn vị e = 0 ∈ (−1, +∞) thỏa mãn

φ(ε, 0) = φ(0, ε) = 0 + ε + 0.ε = ε.

iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử ε ∈ (−1, +∞) bất kỳ tồn tại ε−1

sao cho: φ(ε, ε−1) = φ(ε−1, ε) = ε + ε−1 + εε−1 = 0.

ϕ(ε, e) = (ε1+ 0, e0ε2+ 0) = (ε1, ε2) = ε.

iv) Với mọi phần tử ε ∈ R2, ta xác định phần tử nghịch đảo ε−1

Ta có: ϕ(ε, ε−1) = enên suy ra (ε1+ ε−11 , eε−11 ε2+ ε−12 ) = (0, 0).Suy ra ε−1 = (−ε1, −ε2

eε1) ∈ R2.Vậy (R2, ϕ) là một nhóm.

1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

Nh- phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số Nếu tathêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổimột tham số Tr-ớc hết, ta định nghĩa

Định nghĩa 1.2.2 Cho D ⊂ R2 là một miền mở và x = (x1, x2) ∈ D.S là một khoảng trên R, (S, φ) là nhóm có phần tử đơn vị 0.

Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các

Với mọi số thực ε cố định, lấy (x, y) 6= (x0, y0).

Dễ thấy, (x + ε, y) 6= (x0 + ε, y0) nên ánh xạ X(., ε) : R2 →R2 là mộtđơn ánh.

Giả sử có (x, y) bất kỳ ∈ R2 ta tìm đ-ợc (x1, y1) thoả mãn

∂y= (0, 1),∂2X

3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn

X(X((x, y), ε), δ) = X((x + ε, y), δ)

= (x + ε + δ, y)= (x + (ε + δ), y)= X((x, y), φ(ε, δ)).Vậy X((x, y); ε) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings) Xét nhóm

x∗ = αx,

y∗ = α2y,0 < α < +∞.

Và phép toán giữa các tham số φ(α, β) = αβ.

Vì phần tử đơn vị là α = 1 nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc thamsố hoá lại với số hạng ε = α − 1 nên α = 1 + ε Khi đó,

Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi X((x, y), ) trên là nhóm Lie các

phép biến đổi một tham số

1) Ta chỉ ra rằng với mọi ε ∈ S ánh xạ X(., ε) : R2 →R2 là song ánh.

Với mọi ε ∈ (−1, +∞), ta lấy (x, y) 6= (x0

∂y= (0, (1 + ε)

∂2X∂x2 = ∂

3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn

(1 + ε)x = (1 + ε0)x + (ε − ε0)x,

(1 + ε)2y = (1 + ε0)2y + 2(ε − ε0)y + 2(ε − ε0)ε0y + (ε − ε0)2y.

Vì X((x, y), ε) khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển Taylor tại ε = ε0

nên nó giải tích theo ε0.4) Ta có biểu diễn

+ 1

2∂2X(x, ε)

Chøng minh:

X(X(x; ε); φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(x; φ(ε, φ(ε−1, ε + ∆ε)))

= X(x; φ(φ(ε, ε−1), ε + ∆ε))

= X(x; φ(0, ε + ∆ε))= X(x; ε + ∆ε).

§Þnh lý 1.2.6 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt) Tån t¹i mét phÐp tham sè

= X(x; ε)t-¬ng øng víinghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I

Khai triÓn chuçi luü thõa φ(ε−1, ε + ∆ε)theo ∆ε t¹i ∆ε = 0, ta cã

φ(ε−1, ε + ∆ε) = φ(ε−1, ε) +∂φ(ε

−1, ε)

∂ε∆ε + O((∆ε)

2)= ∂φ(ε−1, ε)

Ví dụ 1.2.7 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các

ε=0 = (1, 0).

Bây giờ, giả sử ta chỉ có ξ(x) = (1, 0) Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây

dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng Thật vậy,

x∗ = ε + C1,y∗ = C2.

với phép toán giữa các tham số là φ(a, b) = a + b + ab, và có phần tửnghịch đảo ε−1 = − ε

Γ(ε0)dε0 =Z ε

cho bởi φ(a, b) = a + b với ε−1 = −εvà Γ(ε) ≡ 1 Do đó, với hàm vi phân

là ξ(x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ε sẽ trở thành

dε= ξ(x

∗

với điều kiện ban đầu

∂x2. (1.24)với ∇ là toán tử gradient:

∇ =  ∂

Định lý 1.2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng vớix = eεXx = x+εXx+1

là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

Khai triển Taylor (1.27) tại ε = 0, ta có

∂X(x; ε)

ε=0 = Xk(X∗)x∗ = Xk(x)x.vì khi ε = 0 thì x∗ = X(x; ε) = X(x; 0) = x nên ta suy ra

x.

Hệ quả 1.2.11 Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số x∗ = X(x; ε)với toán tử sinh vi phân

∂x1 +∂∂x2

dkF (x∗)

ε=0 = Xk(x)F (x), nên ta có

F (x∗) = F (eεXx) =X∞k=0

ξ(x∗) = (ξ1(x, y); ξ2(x, y)) =dx∗

Bởi vậy (x∗, y∗) đ-ợc viết lại d-ới dạng

2! +

4! + 

= x cos ε + y sin ε.

T-ơng tự: y∗ = eεXy = −x sin ε + y cos ε.

1.2.6 Hàm bất biến

Định nghĩa 1.2.13 Cho F : D → D và F (x) là hàm khả vi vô hạn Khi

đó F đ-ợc gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉnếu

kF (x) ≡ F (x) + εXF (x) +1

2X2F (x) +

(1.36)

V× F (x) lµ hµm bÊt biÕn nªn F (x∗) = F (x) VËy tõ (1.36) ta suy ra

∂X1(x; ε)

∂X2(x; ε)

∂X1(x; ε)

∂X2(x; ε)

 (1.39)

Cho Θ(x) là ma trận cấp 2 ì 2

Θ(x) =

∂φ1(ε, δ)

∂φ2(ε, δ)

∂φ1(ε, δ)

∂φ2(ε, δ)

và ma trận nghịch đảo của Θ(ε)

Định lý 1.3.2 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất) Nhóm Lie các phép biến

đổi 2 tham số tại lân cận của ε = 0 t-ơng ứng với nghiệm bài toán giá trịban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I

 = Ψ(ε)Ξ(x∗). (1.42)

với điều kiện ban đầu

Chứng minh: Ta chứng minh

∂δ2(ε, 0)

Ta chỉ cần chứng minh

∂ε1 (x, ε) =∂φ1∂δ1(ε, 0)

∂ε1 (X(x, ε), 0) +∂φ2∂δ1(ε, 0)

∂ε2 (X(x, ε), 0). (1.44)Các tr-ờng hợp khác t-ơng tự.

Vì nhóm (S, ϕ) với S = S1 ì S2 và phép toán ϕ(ε) = (φ1(ε), φ2(ε)) có

phần tử đơn vị 0 Phần tử nghịch đảo của ε ∈ S kí hiệu ε−1. Để kiểm tra(1.44) ta cũng làm nh- phần một tham biến Đầu tiên ta cũng có đẳngthức

Taylor theo biến thứ hai

, ε) + O(|h1|2)
+ ∂X1

x∗ = eà1X1eà2X2, (1.47)

trong đó, à1, à2 là những hằng số thực.

Bậc của những số hạng trong công thức trên có thể đ-ợc sắp xếp lạibằng cách đánh số lại các toán tử sinh vi phân, có thể không cần phải thứtự chính xác vì ta có

eà1X1eà2X2 = eà2X2eà1X1,.

Một thứ tự mới của các số hạng sẽ t-ơng ứng với một phép tham số

hoá khác, ví dụ Ψ(ε) sẽ thay đổi Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham sốt-ơng ứng với x∗

= X(x, ε) nếu nó có thể đ-ợc biểu diễn d-ới dạng hệ

(1.42) - (1.43) với cùng một Ξ(x).

Ta cũng chỉ ra đ-ợc rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số củaphép biến đổi

x∗ = eεXx = eε(σ1X1+σ2X2x. (1.48)

thu đ-ợc nhờ sự mũ hoá toán tử sinh vi phân

X = σ1X1+ σ2X2 = ζ1(x) ∂

∂x1 + ζ2(x)∂

∂x2, (1.49)trong đó

ζ1(x) = σ1ξ11(x) + σ2ξ21(x), ζ2(x) = σ1ξ12(x) + σ2ξ22(x). (1.50)

Số hạng của hằng số thực cố định bất kỳ σ1, σ2 xác định một nhóm Liecác phép biến đổi một tham số là nhóm con của nhóm Lie các phép biếnđổi 2 tham số.

Ví dụ 1.3.4 Cho và nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số [ε = (ε1, ε2)]trong R2 với [(x1, x2) = (x, y)] đ-ợc cho bởi

x∗ = eε1x + ε2,y∗ = e2ε1y.

(1.51)Khi đó,

Tr-íc tiªn ta chøng minh r»ng víi mäi ε ∈ S th× ¸nh x¹ X(., ε) : R2 →R2

lµ mét song ¸nh ThËt vËy, nÕu lÊy (x, y) 6= (x0

, y0) th× (eε1x + ε2, e2ε1y) 6=

(eε1x0+ε2, e2ε1y0) H¬n n÷a, gi¶ sö cã (x, y) ∈ R2 bÊt kú ta t×m ®-îc (x1, y1)tho¶ m·n

x = eε1x1+ ε2,y = e2ε1y1.

Suy ra: (x1, y1) = (e−ε1(x − ε2), e−2ε1y) ∈ R2 Tøc lµ, ImX ≡ R2. VËy ¸nh

Do vậy, 

 =

ε=0 = x; ξ12(x) = ∂y

ε=0 = 1; ξ22(x) = ∂y

Để xác định Ψ(ε), ta có:

∂φ1∂δ1 = 1,

∂φ2∂δ1 = e

δ1ε2,∂φ1∂δ2 = 0,

∂φ2∂δ2 = 1.

Do đó

Θ11 = ∂φ1

δ=0 = 1, Θ12 = ∂φ2

δ=0 = ε2,

Θ21 = ∂φ1

δ=0 = 0, Θ22 = ∂φ2

Dễ thấy,

Ψ(ε)Ξ(x∗) ="

x∗− ε2 2y∗

#

là ma trận (1.53) Kiểm tra lại hệ (1.42) - (1.43).

Giải bài toán giá trị ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I

∂x∗∂ε1 = x

− 2,∂y∗

∂ε1 = 2y

∂ε2 = 1,∂y∗∂ε2

= 0,

với x∗ = y, y∗ = ykhi ε1 = 0, ε2 = 0, dẫn đến hệ (1.51)Toán tử sinh vi phân t-ơng ứng với hệ (1.51)

X1 = x∂

(1.60)Ta kiểm tra biểu diễn d-ới dạng (1.47) và (1.48) dẫn đến hệ (1.51) Từ (1.58)

cho mọi hằng số thực à1, à2, ta có

eà1X1eà2X2(x, y) = eà1X1(x + à2, y) = (eà1x + à2, e2à1y), (1.61)và

Do vậy (1.61) đồng nhất với hệ (1.42) - (1.43) với cùng phép toán (1.52);(1.62) t-ơng đ-ơng với hệ (1.42) - (1.43) với phép toán giữa các tham số

ϕ(ε, δ) = (1+ δ1, ε2+ e−δ1δ2); (1.63) t-ơng đ-ơng với hệ (1.42) - (1.43) vớiphép toán

ϕ(ε, δ) =

ε1+ δ1,ε1+ δ1eε1+δ1 − 1

1.3.3 Đại số Lie

Định nghĩa 1.3.5 Xét nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với các toán

tử sinh vi phân X1, X2 đ-ợc xác định bởi (1.39) và (1.46) Tích Lie của X1

và X2 là toán tử cấp I

[X1, X2] = X1X2− X2X1

= (ξ11(x) ∂

∂x1) − (ξ21(x)∂

∂x1) − (ξ22(x)∂

∂x2) − (ξ21(x)∂

+ ξ12(x) ∂

∂x1) − (ξ22(x)∂

∂x2)(ξ11(x)∂∂x1)

Định lý 1.3.6 (Định lý Lie cơ bản thứ hai) Hoán tử của 2 toán tử sinh

vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số cũng là một toán tử sinhvi phân Đặc biệt,

= ∂

Cho 3 toán tử sinh vi phân Xα, Xβ, Xγ bất kỳ, ta có đẳng thức Jacobi

[Xα, [Xβ, Xγ]] + [Xβ, [Xγ, Xα]] + [Xγ, [Xα, Xβ]] = 0. (1.69)

Định nghĩa 1.3.8 Một đại số Lie L là một không gian véc tơ trên R với

dấu ngoặc toán tử song tuyến tính (giao hoán tử) thoả mãn các tính chất

(1.66), (1.69), và (1.67) Đặc biệt, các toán tử sinh vi phân X1, X2của nhóm

Lie các phép biến đổi 2 tham số x∗

Ta tính tích Lie giữa toán tử sinh vi phân X1, X2

[X1, X2] = X1X2− X2X1 = X1X2(f ) − X2X1(f )= (x∂

∂f∂x) −

∂f∂y)

Với a, b, c, d ∈ R2 tích Lie của các toán tử tuyến tính trong không gian R2

[aX1+ bX2, cX1+ dX2] = (aX1+ bX2)(cX1+ dX2) − (cX1+ dX2)(aX1+ bX2)

= bc∂f

Đặt G2 = X(x, ε) là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Nhóm Lie

một tham số (ε) bất kỳ là nhóm con của G2 có toán tử sinh vi phân t-ơng

ứng trong L2.

Ví dụ cho X1 ∈ L2 t-ơng ứng với eεX1x ∈ G2,aX1+ bX2 ∈ L2 t-ơng

ứng với cả eε(aX1+bX2)x ∈ G2, và eεaX1eεbX2x ∈ G2.

Nếu X1, X2 ∈ L2, thì cả eεX1x và eεbX2x thuộc G2 với số thực ε bất kỳ.Xét nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (ε) giao hoán tử

e−εX1e−εX2eεX1eεX2x = [eεX1]−1[eεX2]−1eεX1eεX2x ∈ G2.

Khi đó,

e−εX1e−εX2eεX1eεX2 = (1 − εX1+ 12ε

2(X1)2)(1 − εX2+ 12ε

ì (1 + εX1+ 12ε

(X1)2)(1 + εX2+12ε

(X2)2) + O(ε3)

= (1 − ε(X1+ X2) + ε2(X1X2+ 12(X1)

+ 12(X2)

ì (1 + ε(X1+ X2) + ε2(X1X2+12(X1)

2+ 12(X2)

2) + O(ε3)

= 1 + ε2(2X1X2+ (X1)2+ (X2)2− (X1− X2)2) + O(ε3)

= 1 + ε2(X1X2− X2X1) + O(ε3)

= 1 + ε2[X1, X2] + O(ε3).Do vậy, [X1, X2] ∈ L2.

Ta thấy rằng eεX1eδX2 = eδX2eεX1 = eεX1+δX2 nếu và chỉ nếu

[X1, X2] = 0.

Định nghĩa 1.3.10 Một không gian con J ⊂ L đ-ợc gọi là một đại số

con của đại số Lie nếu [X1, X2] ∈ J với mọi X1, X2 ∈ J.

1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc

Định nghĩa 1.3.11 Một đại số con J ⊂ L đ-ợc gọi là một iđêan hay một

đại số con chuẩn tắc của L nếu [X, Y ] ∈ J với mọi X ∈ J , Y ∈ L.

Định nghĩa 1.3.12 L2 là một đại số Lie giải đ-ợc 2 chiều nếu tồn tại mộtchuỗi các đại số con

L(1) ⊂ L(2) = L2, (1.70)

sao cho L(k) là một đại số Lie k chiều và L(k−1) là một iđêan của

tơ không.

... (1.50)

Số hạng số thực cố định σ1, σ2 xác định nhóm Liecác phép biến đổi tham số nhóm nhóm Lie phép biến? ?ổi tham số.

Ví dụ 1.3.4 Cho nhóm Lie phép. .. G2 = X(x, ε) nhóm Lie phép biến đổi tham số Nhóm Lie< /p>

một tham số (ε) nhóm G2 có tốn tử sinh vi phân t-ơng

ứng L2.

Ví... (Định lý Lie thứ hai) Hốn tử tốn tử sinh

vi phân nhóm Lie phép biến đổi tham số toán tử sinhvi phân Đặc biệt,

= ∂

Cho toán tử sinh vi phân Xα,