SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d.. hai trục tọa độ chứa hai cạnh góc vuông,Với các

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

5 Đồng tác giả: Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Điện thoại: 0350.3640297

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:

Hình học phẳng là một lĩnh vực quan trọng trong toán sơ cấp ở bậc trung học phổthông Chúng ta gặp các bài toán về hình học phẳng trong rất nhiều kì thi quan trọng:thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Tuy nhiên để làm đượcnhững bài toán đó thì không hề đơn giản, đòi hỏi phải có một vốn kiến thức phongphú và một tư duy linh hoạt Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này trình bày mộttrong những phương pháp giải toán hình học phẳng đó là phương pháp tọa độ Trongnhiều bài toán hình học nếu đưa về phương pháp tọa độ thì bài làm sẽ sáng sủa và rõràng hơn cách mà chúng ta dùng tính chất hình học thuần túy Ta sẽ thấy phương pháptọa độ không chỉ đơn thuần áp dụng cho các bài toán liên quan đến hình vuông, hìnhchữ nhật mà còn có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến tam giác, đến đườngtròn…

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN:

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007có bài toán sau:

Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B C, cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H,

G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích của điểm A biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có bài toán sau:

Bài toán 17: Cho tam giácABC Gọi D là trung điểm của cạnh BC Cho đườngthẳng d vuông góc với AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E F, lần lượt là trung

điểm củaMB và MC Đường thẳng đi qua Evà vuông góc với d

cắt đường thẳng AB tại P Đường thẳng đi qua Fvà vuông góc với d cắt đườngthẳng AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường

thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có bài toán sau đây:

Bài toán 18: ChoA B C D, , , là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng và được sắp

xếp theo thứ tự đó Các đường tròn đường kính ACvà BDcắt nhau tại các điểm X và

Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Cho P là một điểm nằm trên đường thẳng

XY P Z Đường thẳng CPcắt đường tròn đường kính ACtại C M, Đường thẳng

BP cắt đường tròn đường kính BD tại B N, Chứng minh rằng các đường thẳng

X là điểm trên 1 sao cho WX là đường kính của 1

Tương tự , kí hiệu 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác C MW và gọi Y làđiểm trên 2 sao cho WY là đường kính của 2 Chứng minh rằng các điểm X Y,

Chứng minh bài toán theo phương pháp tọa độ

Đối với các bài toán liên quan đến hình vuông thì có thể lấy gốc tọa độ là mộttrong bốn đỉnh của hình vuông hoặc là tâm của hình vuông

Với các bài toán liên quan đến tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có

hai trục tọa độ chứa hai cạnh góc vuông,

Với các bài toán liên quan đến tam giác thường ta thường kẻ thêm đường cao

và chọn hệ trục tọa độ có một trục chứa đường cao, một trục chứa cạnh tương ứng củatam giác

b) Nội dung:

Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 5 phần:

Phần thứ nhất: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học

trong các tạp chí Toán

Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi chọn học

sinh giỏi Quốc gia

Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi Olympic

Toán Quốc tế

Phần thứ năm: Một số bài toán hình học dùng để luyện tập.

1) Phần thứ nhất:

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học

Bài toán 1: Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn vàAB AC Gọi M là trung điểm củacạnh BC Gọi E F, lần lượt là chân các đường cao của tam giác ABC hạ từ B và C.

Gọi Klà giao điểm của các đường thẳng EF và BC Gọi H làtrực tâm của tam giác

ABC Chứng minh rằng HK vuông góc với AM .

Lời giải:

Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ A đến

đường thẳng BC

Chọn hệ trục tọa độ Oxycó điểm gốc là O sao

cho điểm A thuộc tia Oy, điểm C thuộc tia Ox

và điểmB thuộc tia đối của tia Ox

Giả sử (0; ), ( ;0), ( ;0)A a B b C c

Ta có AC( ;c a ) n( ; )a c

là vec tơ pháptuyến của đường thẳng AC

Suy ra phương trình của đường thẳng AC là

Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A Điểm P di động trên cạnh BC (P khác B

và C) Đường thẳng đi qua P song song vớiAC cắt AB tại R Đường thẳng đi qua

P song song vớiAB cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác

ARQ luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Lời giải:

Gọi O là chân đường vuông góc hạ

từ A đến đường thẳng BC

Chọn hệ trục tọa độ Oxycó điểm

gốc là O sao cho điểmA thuộc tia Oy,

điểm C thuộc tia Oxvà điểm B thuộc

tia đối của tia Ox

Suy ra phương trình của đường thẳng

Khi đó 2 2 2

2 )

(

44

3

; 4

p a c

a c

 và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ

Suy ra I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình 3 2

4 4

a c a

y   Hiển nhiên

Ad Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Khi đó điểm K

thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác A QR và Klà điểm cố định K Oy 

Mặt khác K A (vì Ad )

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác A QR luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Bài toán 3 : Cho hình vuông ABCD Gọi E là giao điểm của ACvàBD Một đườngthẳng đi qua A cắt cạnh BC tại M (M khácB và C ) và cắt đường thẳng CDtại N.Gọi K là giao điểm của EM vàBN Chứng minh rằngCK vuông góc với BN

Phương trình của đường thẳng AM là mx ay 0.

Phương trình của đường thẳng CD lày a

Suy ra phương trình của đường thẳng EM là:

Suy ra CK BN

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M di động trên đường thẳng

BC(M khácBvà C) Đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB tại

E Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC tại F Chứng minhrằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cốđịnh

Lời giải:

.Suy ra EF c b am c b2 , 2(bc )

Vậy đường thẳng dluôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi Hlà trung điểm của BC Gọi Dlà hìnhchiếu của H trên AC Gọi M là trung điểm của HD Chứng minh AMvuông góc với

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxysao cho O H ,C thuộc tia Ox;Athuộc tia Oy.

Đặt OA a a ( 0),OC c c ( 0) ta có (0, ), ( ,0), ( ,0)A a C c B c Ta cóAC( ,c a )

.Suy ra n( , )a c

Bài toán 6: Cho đường tròn (O R, )và điểm A cố định nằm ngoài ( , )O R Một đường

tròn thay đổi luôn đi qua O A, cắt đường tròn (O R, )tại các điểm C D, .Chứng minh

rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O, điểm Athuộc tia Ox.

Vậy đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 7: Cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của cạnh BC Điểm M diđộng trên cạnh AB Gọi N P, lần lượt là giao điểm của MD MC, với AE Gọi H là

giao điểm của NC và DP Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đườngthẳng cố định.

Ta có CM (m a a , )



Suy ra n3( ,a m a )

Suy ra H thuộc đường thẳng d có phương trình 3x 4y0

Vì d là đường thẳng cố định nên H luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Bài toán 8: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Qua B

dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích của A biết rằng IH song song với KC.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng I; Cthuộc tia Ox

Đặt IC= a a ( 0) Khi đó B a( ,0), ( ,0) C a Giả sử A x y( , )(0 0 y  Khi đó tọa độ0 0)

trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình

0 0

Bài toán 9: Cho đường tròn(O) đường kính AB Điểm M chuyển động trên (O), H là

hình chiếu của M trên AB; E đối xứng với H qua M; đường thẳng d đi qua A, vuông góc với BE cắt MH tại K Chứng minh rằng K luôn nằm trên một đường Elip cố định

Bài toán 10: Cho tam giác ABCvuông tại B Gọi H là hình chiếu vuông góc của B

trên AC Dựng hình bình hành BHAD Gọi Glà giao điểm của HDvà Gọi I làgiao điểm của BH và GC Kẻ HEvuông góc với CD E CD(  ) Chứng minh rằngcác điểm A I E, , thẳng hàng

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxysao cho O H ;Cthuộc tia Ox;Bthuộc tia Oy.

a c Ta có CD  ( a c b, )

Suy ra n2 ( ,b a c )

b c bc a c E

Bài toán 11: Cho tam giác ABCcân tại A Gọi M là trung điểm của cạnhBC Gọi D

là trung điểm của đoạn thẳng AM Gọi H là hình chiếu của M trên CD GọiNlàgiao điểm của AHvà BC Gọi E là giao điểm của BH và AM Chứng minh rằng E

là trực tâm của tam giác ABN

Suy ra E là trực tâm của tam giác ABN

Bài toán 12: Cho tam giác ABCcân tại A Gọi I là giao điểm các đường trung trựccủa các cạnh của tam giác ABC Gọi Dlà trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâmcủa tam giác ACD Chứng minh rằng IE vuông góc với CD

Lời giải:

Gọi Olà trung điểm của cạnh BC Chọn hệ trục tọa độ Oxycó điểm gốc tọa độ

là O; điểm Cthuộc tia Ox; điểm Athuộc tia Oy

Đặt O A a OC c a c ,  ( , 0) Khi đóA(0, )a , ( ,0), ( ,0)C c B c

Gọi Glà giao điểm của AOvà CD

Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABCvà (0, )G 3a

Suy ra phương trình của đường thẳng ID là:

Bài toán 13: Cho tam giác ABCvuông tại B Điểm D thuộc cạnh AC D A D C ,  )

sao cho AC2AD Điểm E đối xứng với AquaBD Gọi Ylà giao điểm của BCvà

AE Đường thẳng đi qua E vuông góc với BCcắt DY DA, lần lượt tại H I, Chứng

minh rằng H là trung điểm của IE

là vec tơ pháp tuyến của DY Suy ra phương trình

Suy ra H là trung điểm của IE.

2) Phần thứ hai:

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học trong các tạp chí Toán.

Trong tạp chí “Toán tuổi thơ” số 78+79 (tháng 8+9 năm 2009) có bài toán sau:

Bài toán 14: Cho tam giác ABC Điểm M di động trên cạnh BC (M khácB và C).Đường thẳng đi qua M song song vớiAC cắt AB tại P Đường thẳng đi qua M songsong vớiAB cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác APQluôn đi qua một điểm cố định khác A

Ta có AC( ,c a )



Suy ra phương trình AClà ax cy ac  0

Gọi d1 là đường trung trực của AP.

Khi đó phương trình của d1 là b x b m c2((b c)) a y 2ab ac am2(b c)  0

Khi đó phương trình của d2là ( ) 2 0

Gọi I là giao điểm của d1và d2.

Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ

Ta có A d Gọi Klà điểm đối xứng với Aqua d

Khi đó Kthuộc đường tròn ngoại tiếp tam giácAPQ , K A và Klà điểm cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Trong tạp chí “Toán học tuổi trẻ” số 455 (tháng 5 năm 2015) có bài toán sau:

Bài toán 15: Trên đường tròn ( )I cho trước lấy hai điểm B C, cố định sao cho BC

không đi qua I Điểm A chuyển động trên đường tròn ( )I sao cho tam giác ABC có

ba góc nhọn Trên cạnh AClấy điểm M sao cho MA3MC Gọi H là hình chiếucủa M trên AB Chứng minh rằng điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxysao cho O B ;C thuộc tia Ox Giả sử (2 ,0)(C c c 0)

Gọi Dlà giao điểm của Oyvà đường tròn( )I

Vì tam giác ABCcó ba góc nhọn nên A thuộc cung CD (không chứa B) của đườngtròn ( )I (A D )

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007 có bài toán sau:

Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B C, cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H,

G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích của điểm A biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độOxy với Olà trung điểm củaBC;Cthuộc tia Ox

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có bài toán sau:

Bài toán 17: Cho tam giácABC Gọi D là trung điểm của cạnh BC Cho đườngthẳng d vuông góc với AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E F, lần lượt là trung

điểm củaMB và MC Đường thẳng đi qua Evà vuông góc với d cắt đường thẳng

AB tại P Đường thẳng đi qua Fvà vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q.Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng PQ luôn điqua một điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d

Lời giải:

M E

F Q

P

x y

Chọn hệ trục Oxynhư hình vẽ sao cho O D ;Athuộc tia Oy Đặt OA a a ( 0).Khi đó A(0, )a Giả sử B b c( , )

Phương trình đường thẳng AC là (a c x b y a )  (  ) 0  (a c x by ab )   0

Vì d song song với Oxhoặc d Ox nên M có tung độ không đổi

Giả sử M x h trong đó ( M, ) h là một số không đổi

Khi đó ( , ), ( , )

Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d

Gọi d2 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi Olympic Toán Quốc tế

Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có bài toán sau đây:

Bài toán 18: ChoA B C D, , , là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng và được sắp

xếp theo thứ tự đó Các đường tròn đường kính ACvà BD cắt nhau tại các điểm X

và Y Đường thẳng XY cắt BCtại Z Cho P là một điểm nằm trên đường thẳng

XY P Z Đường thẳng CPcắt đường tròn đường kính ACtại C M, Đường thẳng

BPcắt đường tròn đường kính BD tại B N, Chứng minh rằng các đường thẳng

các điểm X Y, thuộc trục Oy

Giả sử ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0)A a B b C c D d sao cho a b   0 c d

Gọi I là trung điểm củaAC Khi đó ( ,0)

là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng CP Suy ra phương trình của

c p





 Suy ra AM  p c a cp c a c22( p2), c2( p2)

Khi đó Q2(0, bd)

p

 Ta có OC OA OX OY OB OD  Suy ra acbd.Suy ra Q1Q2 Suy ra các đường thẳng AM DN XY, , đồng quy

Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 2013 tại Colombia có bài toánsau đây:

Bài toán 19: Cho tam giác nhọnABC với trực tâmH ChoW là một điểm tùy ý trêncạnh BC, khác với các điểm B và C Các điểm M và N tương ứng là chân cácđường cao hạ từ Bvà C Kí hiệu 1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác B NW và gọi

X là điểm trên 1 sao cho WX là đường kính của 1

Tương tự ,kí hiệu 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác C MW và gọi Ylà điểm trên

Gọi O là chân đường cao của tam

giác ABC kẻ từ A Chọn hệ trục tọa độ

Oxy có điểm gốc là O; điểm A thuộc

tia Oy, điểm C thuộc tia Ox và điểm

B thuộc tia đối của tia Ox

Giả sử (0; ), ( ;0), ( ;0)A a B b C c ,W( ;0)m

(a0,c0,b0,b m c  )

Ta có AC( ;c a )

là vec tơ chỉphương cùa đường thẳng AC Suy ra

5) Phần thứ năm:

Một số bài toán hình học dùng để luyện tập Bài toán 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC; G là điểm trên cạnh AB sao cho GB=2GA Các đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D Đường thẳng qua M vuông góc với CG tại E cắt AC tại K Gọi P là giao điểm của DE

và GK Chứng minh rằng DE = BC và PG = PE.

Bài toán 21: Cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của BC Điểm M tùy ý

thuộc cạnh AB; P là giao điểm của AE và CM; N là giao điểm của MD và AE; H là giao điểm của DP và CN; I là giao điểm của đường trung trực của DH và đường

thẳng vuông góc với AH tại H Chứng minh rằng I luôn thuộc một đường cố định.

Bài toán 22: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm

của các đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cắt cạnh BC tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Chứng minh rằng I, J, K

thẳng hàng

Bài toán 23: Cho tam giácABCvuông tại Acó AB AC Gọi I là trung điểm của

AC Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông gócvới AC, chúng cắt nhau tại E Chứng minh rằng AE vuông góc với BI

Bài toán 24: Cho đường tròn ( )O đường kính AB;M là một điểm tùy ý nằm trong

( )O Đường phân giác của AMB cắt ( )O tại N.Đường phân giác ngoài của AMBcắt

,

NA NBlần lượt tại P Q, ; AM cắt đường tròn đưởng kính NQ tại điểm thứ hai là R;

BM cắt đường tròn đường kính NPtại điểm thứ hai là S Chứng minh rằng đườngtrung tuyến kẻ từ Ncủa tam giác NSR luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 25: Cho các đường tròn ( ),( )I J (có tâm tương ứng là Ivà J ) cắt nhau tại

M và N Tiếp tuyến chung của ( )I và ( )J gần M hơn so với M tiếp xúc với ( )I tại

A và tiếp xúc với ( )J tại B Đường thẳng đi qua B vuông góc với AM cắt IJ tại D.Điểm E đối xứng vớiB qua J Chứng minh rằng các điểm M D E, , thẳng hàng

IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI:

Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này nhằm phục vụ cho việc học tập của học sinhcác lớp chuyên Toán của trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định và đã đạtđược hiệu quả tốt Đó là trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2014-2015,đội tuyển Toán Nam Định đã đoạt được 6 giải Quốc gia, trong đó có 2 giải nhì, 3 giải

ba và 01 giải khuyến khích Học sinh Vũ Ngọc Đào -Thành viên đội tuyển Toán NamĐịnh tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2007-2008 đã giải được bàitoán 7 của kì thi (bài toán 11 trong bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này) bằng cách