SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15/ 9/ 2014 đến ngày 5/ 5/ 2015 Tác giả: Họ tên : Trần Xuân Đáng Năm sinh : 1955 Nơi thường trú : Số nhà ngách ngõ 136 Phan Đình Phùng - Phường Phan Đình Phùng - TP Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học Chức vụ công tác: Giáo viên chuyên Toán Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0942350265 Đồng tác giả: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0350.3640297 I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Hình học phẳng lĩnh vực quan trọng toán sơ cấp bậc trung học phổ thông Chúng ta gặp toán hình học phẳng nhiều kì thi quan trọng: thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Tuy nhiên để làm toán không đơn giản, đòi hỏi phải có vốn kiến thức phong phú tư linh hoạt Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp giải toán hình học phẳng phương pháp tọa độ Trong nhiều toán hình học đưa phương pháp tọa độ làm sáng sủa rõ ràng cách mà dùng tính chất hình học túy Ta thấy phương pháp tọa độ không đơn áp dụng cho toán liên quan đến hình vuông, hình chữ nhật mà áp dụng cho toán liên quan đến tam giác, đến đường tròn… II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN: Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007có toán sau: Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có toán sau: Bài toán 17: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng d vuông góc với AD Xét điểm M nằm d Gọi E , F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB P Đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định điểm M di động đường thẳng d Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có toán sau đây: Bài toán 18: Cho A, B, C , D bốn điểm phân biệt đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường tròn đường kính AC BD cắt điểm X Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm nằm đường thẳng XY ( P ≠ Z ) Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC C , M Đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD B, N Chứng minh đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 2013 Colombia có toán sau đây: Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC , khác với điểm B C Các điểm M N tương ứng chân đường cao hạ từ B C Kí hiệu ω1 đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm ω1 cho WX đường kính ω1 Tương tự , kí hiệu ω2 đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm ω2 cho WY đường kính ω2 Chứng minh điểm X , Y H thẳng hàng III CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM: a) Phương pháp: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo toán cho việc tính toán đơn giản Tìm tọa độ đối tượng cho đối tượng liên quan theo hệ trục tọa độ chọn Chuyển tính chất hình học giả thiết điều cần chứng minh theo công thức tọa độ Chứng minh toán theo phương pháp tọa độ Đối với toán liên quan đến hình vuông lấy gốc tọa độ bốn đỉnh hình vuông tâm hình vuông Với toán liên quan đến tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có hai trục tọa độ chứa hai cạnh góc vuông, Với toán liên quan đến tam giác thường ta thường kẻ thêm đường cao chọn hệ trục tọa độ có trục chứa đường cao, trục chứa cạnh tương ứng tam giác b) Nội dung: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần thứ nhất: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học tạp chí Toán Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi Olympic Toán Quốc tế Phần thứ năm: Một số toán hình học dùng để luyện tập 1) Phần thứ nhất: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Gọi M trung điểm cạnh BC Gọi E , F chân đường cao tam giác ABC hạ từ B C Gọi K giao điểm đường thẳng EF BC Gọi H làtrực tâm tam giác ABC Chứng minh HK vuông góc với AM Lời giải: Gọi O chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng BC Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O cho điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử A(0; a), B(b;0), C (c;0) uuuur ur Ta có AC = (c; −a) ⇒ n = (a; c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC Suy phương trình đường thẳng AC a( x − c) + cy = ⇔ ax + cy − ac = uuuur Ta có AC = (c; −a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BE Khi phương trình đường thẳng BE c( x − b) − ay = ⇔ cx − ay − bc =  a 2c + bc ac − abc  Từ suy E  2 ; 2 ÷÷ a +c   a +c  a 2b + cb ab2 − abc   bc  Tương tự ta có F  2 ; 2 ÷÷ Ta có H  0; − ÷ a a +b    a +b uuur  (a − bc)(a + bc)(b − c) a(a + bc)(b − c)(b + c)  ; ÷ (a + b2 )(a + c ) (a + b2 )(a + c ) ÷  uur EF =  Suy n1 = (ab + ac; bc − a ) véc tơ pháp tuyến EF Suy phương trình đường thẳng EF  (ab + ac)  x −   a 2c + bc  ac − abc  + ( bc − a ) y − ÷  ÷=  a + c ÷ a + c ÷  ⇔ (ab + ac)(a + c ) x + (bc − a )(a + c ) y −(ab + ac)(a 2c + bc ) − (ac − abc)(bc − a ) = uuuuur  2bc bc  ; ÷ b+c  b+c a  uuuuur  b + c  ; −a ÷ Mặt khác AM =    uuuuuruuuuur ⇒ HK AM = ⇒ HK ⊥ AM  2bc Suy K   ;0 ÷ ⇒ HK =  Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân A Điểm P di động cạnh BC ( P khác B C ) Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB R Đường thẳng qua P song song với AB cắt AC Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ qua điểm cố định khác A Lời giải: Gọi O chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng BC Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O cho điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử : A(0; a), C (c;0), B(b;0), P( p;0) (a > 0, c > 0, b < 0, b < p < c) = −c Khi b uuuu uur r Ta có AB = (b; −a) ⇒ n1 = (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB Suy phương trình đường thẳng AB là: a( x − b) + by = ⇔ ax + by = ab uur uur Tương tự n2 = (a; c) véc tơ pháp tuyến đường thẳng AC ⇒ n2 = (a; c) véc tơ pháp tuyến đường thẳng PR Suy phương trình đường thẳng PR a( x − p) + cy = ⇔ ax + cy = ap Suy R( b( p − c) a(b − p) ; ) b−c b−c  b( p − c) a(2b − p − c)  ; ÷ 2(b − c) ÷  2(b − c) Gọi E trung điểm AR Ta có E  Gọi d1 đường trung trực đoạn thẳng AR d2 đường trung trực đoạn thẳng AQ  b( p − c )   a(2b − p − c)  − a y − ÷  ÷= Khi phương trình d1 b  x − 2(b − c) ÷  2(b − c) ÷     p(a + b2 ) b2c + a (2b − c) + =0 2(b − c) 2(b − c) p(a + c ) c 2b + a (2c − b) d cx − ay − + = Tương tự phương trình 2(c − b) 2(c − b) ⇔ bx − ay − Gọi I giao điểm d1 d2  p(a + c ) 3a c  I ; − ÷ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ Khi  4a ÷ 4c   Suy I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình y = 3a c − Hiển nhiên 4a A ∉ d Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Khi điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ K điểm cố định ( K ∈ Oy ) Mặt khác K ≠ A (vì A ∉ d ) Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ qua điểm cố định khác A Bài toán : Cho hình vuông ABCD Gọi E giao điểm AC BD Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC M ( M khác B C ) cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm EM BN Chứng minh rằngCK vuông góc với BN Lời giải: Chọn hệ tọa độ Oxy có O ≡ A ; B thuộc tia Ox ; D thuộc tia Oy Đặt OA = a(a > 0) a a Khi A(0,0), B(a,0), C (a, a), D(0, a) , E ( , ) 2 Giả sử M (a, m)(m∈¡ ) uur uuuuur Ta có AM = (a, m) Suy n1 = (m, −a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AM Phương trình đường thẳng AM mx − ay = Phương trình đường thẳng CD y = a Suy N ( a2 , a) m uuuur  a − ma  , a ÷÷ Suy BN =  m   uur Suy n2 = (m, m − a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BN Suy phương trình đường thẳng BN : m( x − a) + (m − a) y = ⇔ mx + (m − a) y − am = uuuuur a a Ta có EM = ( , m − ) 2 uuur Suy n3 = ( a − 2m, a ) vec tơ pháp tuyến đường thẳng EM Suy phương trình đường thẳng EM là: (a − 2m)( x − a) + a( y − m) = ⇔ (a − 2m) x + ay − a + am = Suy K ( a(a + m2 − am) am2 , ) a + 2m2 − 2am a + 2m2 − 2am uuuur  a(am − m ) a(2am − m − a )  , ÷ 2 ÷  a + 2m − 2am a + 2m − 2am  Suy CK =  uuuuruuuur Suy CK BN = Suy CK ⊥ BN Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M di động đường thẳng BC ( M khác B C ) Đường trung trực đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB E Đường trung trực đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC F Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng EF qua điểm cố định Lời giải: Kẻ AO ⊥ BC (O ∈ BC ) Chọn hệ trục tọa độ tọa độ Oxy có điểm gốc O , điểm C thuộc tia Ox Đặt OA = a(a > 0) , OC = c, OB = −b(a > 0, c > 0, b < 0) Khi A(0, a), C (c,0), B(b,0) Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với EF uur uuuur Ta có AC = (c, −a) Suy n1 = (a, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC Suy phương trình đường thẳng AC a( x − c) + cy = ⇔ ax + cy − ac = Gọi K trung điểm đoạn thẳng MC Khi K ( m+c ,0) Phương trình đường thẳng FK x = Suy F ( m+c m + c a(c − m) , ) 2c m + b a(b − m) , ) 2b uuuur  c − b am(c − b)  , Suy EF =  2bc ÷  uur am Suy n2 = (1, ) bc Tương tự E ( Suy phương trình đường thẳng d x − m + Điểm I ( am y = bc bc ,0) ∈ d a Mặt khác I điểm cố định Vậy đường thẳng d qua điểm cố định Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC Gọi D hình chiếu H AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc với BD Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O ≡ H ,C thuộc tia Ox ; A thuộc tia Oy uuuur Đặt OA = a(a > 0), OC = c(c > 0) ta có A(0, a), C (c,0), B(−c,0) Ta có AC = (c, −a) ur Suy n = (a, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC Suy phương trình đường thẳng AC : a( x − c) + c( y − 0) = ⇔ ax + cy − ac = uuuur AC = (c, −a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng HD Suy phương trình đường thẳng HD cx − ay = Tọa độ D nghiệm hệ phương trình cx − ay = Suy  ax + cy − ac =  a 2c ac ÷ ,  a + c a + c ÷ Vì M trung điểm HD nên   D  uuuuur  a 2c ac  a 2c −2a3 − ac  , AM = , ÷  Suy 2 2 ÷  2(a + c ) 2(a + c ) ÷ ÷  2(a + c ) 2(a + c )    M  uuuur  c3 + 2a 2c ac  uuuuuruuuur BD =  2 , 2 ÷÷ Suy AM BD = a +c   a +c Suy AM vuông góc với BD Bài toán 6: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định nằm (O, R) Một đường tròn thay đổi qua O, A cắt đường tròn (O, R) điểm C , D Chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định 10 uur Ta có n2 = (d , b) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BD Suy phương trình  bd đường thẳng BD d ( x − b) + by = ⇔ dx + by − bd = Suy K  b +d  2bd Suy E  b +d , , b2d  ÷ b2 + d ÷ uuuur 2b2 d  Ta có BC vec tơ pháp tuyến IE Suy phương 2÷ b + d ÷ trình IE −b( x − 2bd 2b2 d 2b2 d (c − d ) ) + c ( y − ) = ⇔ bx − cy + =0 b2 + d b2 + d b2 + d  2b2 d (c − d )  bcd b 2c ÷ Y ( , ) Ta có 2 ÷ b2 + cd b + d  c(b + d )  Suy I  0, uuuur  bcd b 2c − b 2d − cd  , ÷ Suy DY =  ÷ b + cd b2 + cd   uur 2 Suy n3 = (cd + b d − b c, bcd ) vec tơ pháp tuyến DY Suy phương trình bcd + (b2c − b2 d − cd ) x DY (cd + b2 d − b2c)( x − 0) + bcd ( y − d ) = ⇔ y = bcd Hoành độ điểm H nghiệm phương trình: b 2b2cd − 2b d b2c − b 2d − cd x+ = d + x c bcd c(b + d )  b2c − b2 d − cd ⇔   ⇔ bcd b 2b 2cd − 2b 2d − ÷÷x = −d c c(b2 + d ) b2c − 2b2 d − cd b 2cd − 2b 2d − cd x= bcd c(b2 + d ) ⇔x= bd c(b + d ) (vì b2c − 2b 2d − cd = b (c − 2d ) − cd < )  bd 2b2cd − b2 d  , ÷ 2 2 ÷  (b + d ) c(b + d )  Suy H  20 Suy H trung điểm IE 2) Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học tạp chí Toán Trong tạp chí “Toán tuổi thơ” số 78+79 (tháng 8+9 năm 2009) có toán sau: Bài toán 14: Cho tam giác ABC Điểm M di động cạnh BC ( M khác B C ) Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB P Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ qua điểm cố định khác A Lời giải: Kẻ AO ⊥ BC (O ∈ BC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho B, C ∈ Ox A thuộc tia Oy Giả sử B(b,0), C (c,0), A(0, a)(a > 0, b ≠ c) uuuur Giả sử M (m,0) Ta có AB = (b, −a) Suy phương trình AB ax + by − ab = uuuur Ta có AC = (c, −a) Suy phương trình AC ax + cy − ac = uur Ta có n1 = (a, c) vec tơ pháp tuyến MP Suy phương trình MP a( x − m) + cy = ⇔ ax + cy − am = ax + cy − am = Tọa độ P nghiệm hệ phương trình  ax + by − ab = 21 Suy P( b(m − c) a(b − m) , ) b−c b−c Gọi E trung điểm AP b(m − c) 2ab − ac − am Khi E ( 2(b − c) , 2(b − c) ) Gọi d1 đường trung trực AP  b(m − c )   2ab − ac − am  − a y − ÷  ÷= Khi phương trình d1 b  x − 2(b − c) ÷  2(b − c) ÷  ⇔ bx − ay + 2a 2b − a 2c + b 2c − a 2m − b 2m =0 2(b − c) Gọi d2 đường trung trực AQ  c(m − b)   ÷− a  y − Khi phương trình d2 c  x − ÷  2( c − b )    ⇔ cx − ay + 2ac − ab − am ÷ = 2(c − b) ÷ 2a 2c − a 2b + c 2b − a 2m − c 2m =0 2(c − b) Gọi I giao điểm d1 d2 Khi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ Ta có m(a + b ) = 2(b − c)(bxI − ayI ) + 2a 2b − a 2c + b2c m(a + c ) = 2(c − b)(cxI − ayI ) + 2a 2c − a 2b + c 2b Suy 2(b − c)(a + c )(bxI − ayI ) + (2a 2b − a 2c + b2c)(a + c ) = 2(c − b)(a + b2 )(cxI − ayI ) + (2a 2c − a 2b + c 2b)(a + b ) Suy xI (b + c)(a + bc) − 2ayI (2a + b + c ) + 3a + a 2b + a 2c − b 2c = Suy I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình: x(b + c)(a + bc) − 2ay (2a + b2 + c ) + 3a + a 2b + a 2c − b 2c = Ta có A ∉ d Gọi K điểm đối xứng với A qua d Khi K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ , K ≡ A K điểm cố định 22 Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ qua điểm cố định khác A Trong tạp chí “Toán học tuổi trẻ” số 455 (tháng năm 2015) có toán sau: Bài toán 15: Trên đường tròn ( I ) cho trước lấy hai điểm B, C cố định cho BC không qua I Điểm A chuyển động đường tròn ( I ) cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên cạnh AC lấy điểm M cho MA = 3MC Gọi H hình chiếu M AB Chứng minh điểm H thuộc đường tròn cố định Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O ≡ B ;C thuộc tia Ox Giả sử C (2c,0)(c > 0) Gọi D giao điểm Oy đường tròn ( I ) Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên A thuộc cung CD (không chứa B ) đường tròn ( I ) ( A ≠ D) Giả sử I (c, d )(c, d > 0) Phương trình đường tròn ( I ) ( x − c)2 + ( y − d )2 = c + d ⇔ x + y − 2cx − 2dy = Giả sử phương trình đường thẳng OA y = kx(k > 0) uuuur  2(dk − ck ) 2k (c + dk )   2c + 2dk 2k (c + dk )  , , ÷ ÷ Suy CA =  2 + k + k + k + k ÷    Suy A  23 uuuuur  dk − ck k (c + dk )   dk − ck k (c + kd )  CM = , M + c ,   ÷ Suy Suy 2 ÷ ÷  2(1 + k ) 2(1 + k ) ÷  2(1 + k ) 2(1 + k )   uuuur OA = (1, k ) vec tơ pháp tuyến đường thẳng MH Suy phương trình đường thẳng MH là: x−  k (c + dk ) ÷ dk − ck  − c + k y − =0 ÷  2(1 + k ) 2(1 + k )   ck − dk k (c + dk ) ⇔ x + ky − 2c + − = ⇔ x + ky − 2c − dk = 2 2(1 + k ) 2(1 + k ) Suy xH + kyH − 2c − y dk = Mặt khác k = H (vì H ≠ O ) xH Suy xH2 + yH2 − 2cxH − dyH = d Suy H thuộc đường tròn cố định ( x − c)2 + ( y − )2 = c + d2 16 3) Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007 có toán sau: Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Lời giải: 24 Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trung điểm BC ;C thuộc tia Ox Đặt BC = 2a(a > 0) Khi B(−a,0), C (a,0) Giả sử A( x0 , y0 )( y0 ≠ 0) Khi tọa độ trực tâm H tam giác ABC nghiệm hệ phương trình   x = xo a − xo  ⇒ H x ;  ÷   o ÷ y ( x + a)(a − xo ) − yo y = o    x 3a − xo2 + yo2  x y  ÷ Tọa độ trọng tâm G G  o ; o ÷, suy K  o ; ÷ yo  3    K thuộc đường thẳng BC 3a − 3xo2 + yo2 = ⇔ xo2 yo2 − = 1( yo ≠ 0) a 3a x2 y Vậy quỹ tích điểm A Hyperbol − = trừ hai điểm B, C a 3a Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có toán sau: Bài toán 17: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng d vuông góc với AD Xét điểm M nằm d Gọi E , F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB P Đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định điểm M di động đường thẳng d Lời giải: 25 y P A x M E F B D C Q Chọn hệ trục Oxy hình vẽ cho O ≡ D ; A thuộc tia Oy Đặt OA = a(a > 0) Khi A(0, a) Giả sử B(b, c) Khi b ≠ C (−b, −c) uuuur Ta có AB = (b, c − a) ; uuuur AC = (−b, −c − a) Phương trình đường thẳng AB (a − c) x + b( y − a) = ⇔ (a − c) x + by − ab = Phương trình đường thẳng AC (a + c) x − b( y − a) = ⇔ (a + c) x − by + ab = Vì d song song với Ox d ≡ Ox nên M có tung độ không đổi Giả sử M ( xM , h) h số không đổi Khi E ( b + xM c + h x −b h −c , ), F ( M , ) 2 2 Gọi d1 đường thẳng qua A vuông góc với d Gọi d2 đường thẳng qua A vuông góc với d b + xM Phương trình d1 x = x −b Phương trình d2 x = M  b + xM Suy P   ,a − (a − c)(b + xM )  x −b (a + c)( xM − b) ,a + ) ÷, Q ( M 2 2b  26 uuuur Suy PQ = (−b, axM − bc ) b Đường thẳng ∆ qua M vuông góc với PQ có phương trình: −b( x − xM ) + axM − bc bc b2 ( y − h) = ⇔ b2 ( x − ) − (axM − bc)( y − h + ) = b a a Suy đường thẳng ∆ qua điểm cố định I ( bc b2 ,h − ) a a 4) Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi Olympic Toán Quốc tế Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có toán sau đây: Bài toán 18: Cho A, B, C , D bốn điểm phân biệt đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường tròn đường kính AC BD cắt điểm X Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm nằm đường thẳng XY ( P ≠ Z ) Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC C , M Đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD B, N Chứng minh đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O ≡ Z , điểm A, B, C , D nằm trục Ox 27 điểm X , Y thuộc trục Oy Giả sử A(a,0), B(b,0), C (c,0), D(d ,0) cho a < b < < c < d a+c ,0) ; AC = c − a Phương trình đường tròn đường kính AC là: Gọi I trung điểm AC Khi I ( 2  a+c  a −c  2  x − ÷ + y =  ÷ ⇔ x + y − (a + c) x + ac =     uuuur Giả sử P(0, p)( p ≠ 0) Suy CP = (−c, p) ur Suy n = ( p, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng CP Suy phương trình CP p( x − c) + c( y − 0) = ⇔ px + cy − cp = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  cp − px y=   px + cy − cp = c  ⇔  2  x + y − (a + c) x + ac =  x +  cp − px  − (a + c) x + ac =   c ÷   (1) (1) ⇔ (c + p ) x − c(2 p + ac + c ) x + ac3 + c p = ( ) ⇔ ( x − c)  c + p x − (ac + cp ) =    x = c  ⇔ ac + cp x =  c2 + p2  cp(c − a) ac + cp y = Vì M ≠ C nên xM = Suy M c2 + p2 c + p2 uuuuur  p (c − a) cp(c − a)  uur , ÷ ⇒ n1 = (c, − p) vec tơ pháp tuyến AM Suy AM =  2 c + p c + p ÷  Suy phương trình AM c( x − a) − py = ⇔ cx − py − ca = −ac Gọi Q1 giao điểm AM Oy Khi Q1 (0, p ) Gọi Q2 giao điểm DN Oy 28 −bd Khi Q2 (0, p ) Ta có OC.OA = OX OY = OB.OD Suy −ac = −bd Suy Q1 ≡ Q2 Suy đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 2013 Colombia có toán sau đây: Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC , khác với điểm B C Các điểm M N tương ứng chân đường cao hạ từ B C Kí hiệu ω1 đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm ω1 cho WX đường kính ω1 Tương tự ,kí hiệu ω2 đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm ω2 cho WY đường kính ω2 Chứng minh điểm X , Y H thẳng hàng Đây toán đề thi IMO năm 2013 Lời giải: Gọi O chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O ; điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử A(0; a), B(b;0), C (c;0) , W(m;0) (a > 0, c > 0, b < 0, b < m < c) uuuur Ta có AC = (c; −a) vec tơ phương cùa đường thẳng AC Suy ur n = (a; c) vec tơ pháp tuyến AC Suy phương trình đường thẳng AC là: a( x − c) + cy = ⇔ ax + cy − ac = uuuur Vì AC vec tơ pháp tuyến đường thẳng BM nên phương trình đường thẳng BM c( x − b) − ay = ⇔ cx − ay − bc = Từ suy 29  a 2c + bc ac − abc  bc M ; 2 ÷÷ Giả sử Y ( x1; y1 ) Vì WY đường kính H (0; − )  2 a + c a +c  a  đường tròn ω2 nên ∠WCY = 90° ∠YMW = 90° Suy CY ⊥ WC MY ⊥ MW ⇒ x1 = c Ta có: uuuuur  c3 − bc y (a + c ) − ac + abc  uuuuur  m(a + c ) − a 2c − bc abc − ac  MY =  2 ; MW =  ; 2 ÷÷ ÷ , 2 2  a +c ÷ a + c a + c a +c     uuur uuuur Vì MY ⊥ MW nên MY MW = 2 2 2 2 Suy (c − bc )  m(a + c ) − a c − bc  + (abc − ac )  y1(a + c ) − ac + abc  = Suy y1 (a + c )a(b − c ) = (b − c)(mc − bc)(a + c ) ⇒ y1 = Suy Y (c; mc − bc a mc − bc ) a mb − bc ) a uuuur uuuur c uuuuur mc uuuuur mb Suy HY = (c; ), HX = (b; ) ⇒ HY = HX a a b Tương tự X (b; Suy điểm X , Y H thẳng hàng 5) Phần thứ năm: Một số toán hình học dùng để luyện tập Bài toán 20: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC; G điểm cạnh AB cho GB=2GA Các đường thẳng GM CA cắt D Đường thẳng qua M vuông góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh DE = BC PG = PE Bài toán 21: Cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm BC Điểm M tùy ý thuộc cạnh AB; P giao điểm AE CM; N giao điểm MD AE; H giao điểm DP CN; I giao điểm đường trung trực DH đường thẳng vuông góc với AH H Chứng minh I thuộc đường cố định 30 Bài toán 22: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K trung điểm đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài toán 23: Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC Gọi I trung điểm AC Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC , chúng cắt E Chứng minh AE vuông góc với BI Bài toán 24: Cho đường tròn (O) đường kính AB ; M điểm tùy ý nằm (O) Đường phân giác ·AMB cắt (O) N Đường phân giác ·AMB cắt NA, NB P, Q ; AM cắt đường tròn đưởng kính NQ điểm thứ hai R ; BM cắt đường tròn đường kính NP điểm thứ hai S Chứng minh đường trung tuyến kẻ từ N tam giác NSR qua điểm cố định Bài toán 25: Cho đường tròn ( I ),( J ) (có tâm tương ứng I J ) cắt M N Tiếp tuyến chung ( I ) ( J ) gần M so với M tiếp xúc với ( I ) A tiếp xúc với ( J ) B Đường thẳng qua B vuông góc với AM cắt IJ D Điểm E đối xứng với B qua J Chứng minh điểm M , D, E thẳng hàng IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nhằm phục vụ cho việc học tập học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định đạt hiệu tốt Đó kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2014-2015, đội tuyển Toán Nam Định đoạt giải Quốc gia, có giải nhì, giải ba 01 giải khuyến khích Học sinh Vũ Ngọc Đào -Thành viên đội tuyển Toán Nam Định tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2007-2008 giải toán kì thi (bài toán 11 báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này) cách 31 sử dụng phương pháp tọa độ , đoạt giải nhì với số điểm cao toàn quốc dự thi vòng chọn đội tuyển Việt Nam thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008 32 V ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ: Để hoàn thành báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Sở Giáo dục - Đào tạo Nam Định, Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đồng nghiệp tổ Toán - Tin trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm chuẩn bị chu đáo, song không tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy cô giáo để báo cáo sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Tác giả sáng kiến Trần Xuân Đáng CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) 33 CÁC PHỤ LỤC 1) Danh sách tài liệu tham khảo: - Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam - Đề thi Olympic 30/4 môn toán - Tạp chí Toán học tuổi trẻ - Trang Website: http://www.mathscope.org 34 [...]... giải khuyến khích Học sinh Vũ Ngọc Đào -Thành viên đội tuyển Toán Nam Định tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2007-2008 đã giải được bài toán 7 của kì thi (bài toán 11 trong bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này) bằng cách 31 sử dụng phương pháp tọa độ , đã đoạt được giải nhì với số điểm cao nhất toàn quốc và được dự thi vòng 2 chọn đội tuyển Việt Nam thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008... thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007 có bài toán sau: Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích của điểm A biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC Lời giải: 24 Chọn hệ trục tọa độ Oxy... có phương trình: −b( x − xM ) + axM − bc bc b2 ( y − h) = 0 ⇔ b2 ( x − ) − (axM − bc)( y − h + ) = 0 b a a Suy ra đường thẳng ∆ luôn đi qua điểm cố định I ( bc b2 ,h − ) a a 4) Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi Olympic Toán Quốc tế Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có bài toán sau đây: Bài toán 18: Cho A, B, C , D là bốn điểm phân biệt trên một. .. , ÷ 2 2 2 2 ÷  (b + d ) c(b + d )  Suy ra H  20 Suy ra H là trung điểm của IE 2) Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học trong các tạp chí Toán Trong tạp chí Toán tuổi thơ” số 78+79 (tháng 8+9 năm 2009) có bài toán sau: Bài toán 14: Cho tam giác ABC Điểm M di động trên cạnh BC ( M khác B và C ) Đường thẳng đi qua M song song với AC cắt AB tại P Đường thẳng... các điểm M , D, E thẳng hàng IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này nhằm phục vụ cho việc học tập của học sinh các lớp chuyên Toán của trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định và đã đạt được hiệu quả tốt Đó là trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2014-2015, đội tuyển Toán Nam Định đã đoạt được 6 giải Quốc gia, trong đó có 2 giải nhì, 3 giải ba và 01 giải. .. giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thi n hơn Tác giả sáng kiến Trần Xuân Đáng CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) 33 CÁC PHỤ LỤC 1) Danh sách các tài liệu tham khảo: - Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam - Đề thi Olympic 30/4 môn toán - Tạp chí Toán học và tuổi trẻ - Trang Website:... (b; Suy ra các điểm X , Y và H thẳng hàng 5) Phần thứ năm: Một số bài toán hình học dùng để luyện tập Bài toán 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC; G là điểm trên cạnh AB sao cho GB=2GA Các đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D Đường thẳng qua M vuông góc với CG tại E cắt AC tại K Gọi P là giao điểm của DE và GK Chứng minh rằng DE = BC và PG = PE Bài toán 21: Cho hình vuông... Suy ra AE = 2 2 a + c + 3ac  a + 3ac + c 2 2 Suy ra các điểm A, I , E thẳng hàng 16 Đối với bài toán này nếu chúng ta chọn hệ trục tọa độ có điểm gốc là B và các trục tọa độ chứa các cạnh AB, BC thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của cạnh BC Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AM Gọi H là hình chiếu của M trên CD Gọi N là giao điểm của AH... K thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi 3a 2 − 3xo2 + yo2 = 0 ⇔ xo2 yo2 − = 1( yo ≠ 0) a 2 3a 2 x2 y 2 Vậy quỹ tích điểm A là Hyperbol 2 − 2 = 1 trừ hai điểm B, C a 3a Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có bài toán sau: Bài toán 17: Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm của cạnh BC Cho đường thẳng d vuông góc với AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E , F lần lượt là trung điểm của MB và MC... luôn đi qua một điểm cố định khác A Lời giải: Kẻ AO ⊥ BC (O ∈ BC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B, C ∈ Ox và A thuộc tia Oy Giả sử B(b,0), C (c,0), A(0, a)(a > 0, b ≠ c) uuuur Giả sử M (m,0) Ta có AB = (b, −a) Suy ra phương trình AB là ax + by − ab = 0 uuuur Ta có AC = (c, −a) Suy ra phương trình AC là ax + cy − ac = 0 uur Ta có n1 = (a, c) là vec tơ pháp tuyến của MP Suy ra phương trình ... THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định đạt hiệu tốt Đó kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2014-2015, đội tuyển Toán Nam Định đoạt giải Quốc gia, có giải nhì, giải ba 01 giải khuyến khích