báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến phương pháp tọa độ để giải một số bài toán cực trị

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Vĩnh Phúc, năm 2020 MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Trang Lời giới thiệu Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến PHẦN NỘI DUNG 3 Một số ví dụ áp dụng PHẦN KẾT LUẬN Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sán kiến 17 17 17 Đánh giá lợi ích thu theo ý kiến tác giả 17 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong ch¬ng trình giáo dục toán học trờng phổ thông trung học, phơng pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phơng pháp toạ độ, ngời thờng hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị nh toán hình học giải tích Tuy nhiên nhiều ngời nghĩ phơng pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán sơ cấp: Giải phơng trình - giải bất phơng trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Thậm chí phơng pháp toạ độ giúp ta giải toán số học Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học tuý, mà đối tợng xa vời với phơng pháp toạ độ Cùng với phơng pháp khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phơng pháp toạ độ dùng để giải toán chứa Cái hồn hình học mà nhiên ta cha nhìn thấy Do nên đa phơng pháp toạ độ vào giải toán sơ cấp chơng trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phơng pháp giải tập ứng dụng phơng pháp toạ độ Đó nhận thức ý tởng chọn đề tài Phng phỏp tọa độ để giải số toán cực trị” Do điều kiện thời gian, đề tài đa ra: Phơng pháp toạ độ với toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số - thông qua vài ví dụ Hy vọng rằng: Phơng pháp toạ độ đem lại cho bạn thoải mái - sáng - lý thú Dĩ nhiên, trình nghiên cứu không tránh khỏi khuyết điểm Mong bạn đồng nghiƯp gãp ý vµ bỉ sung Tên sáng kiến: “Phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng tốn học - Mục đích: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Tháng 10/2017 Mô tả chất sáng kin: Nội dung đề tài Để giải toán tìm giá trị lớn nhỏ phơng pháp toạ độ, ngời ta thờng sử dụng tính chất sau: - Trong tất ®êng gÊp khóc nèi hai ®iĨm A vµ B cho trớc đờng thẳng nối AB đờng thẳng có độ dài ngắn - Cho điểm M đờng thẳng d ( mặt phẳng (P)) cho trớc Khi đó, độ dài đờng vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn đờng xiên kẻ từ M xuống đờng thẳng (mặt phẳng) - Trong tam giác nội tiếp đờng tròn, tam giác có chu vi diện tích lớn Nếu phép biến đổi đó, toán quy kiện hình học nói trên, nên dùng phơng pháp toạ độ để giải Ngời ta sử dụng hai bất đẳng thøc sau: r r r r u  v �u  v rr r r uv �u v r r u (Chú ý điều kiện xảy dÊu b»ng vµ chØ , v lµ véc tơ phơng, chiều có hai vectơ M vectơ không) Ngoài ý số kết sau (tự chứng minh) : A M B Cho đoạn AB, M0 đoạn AB Ta có: MaxM0M M�AB = Max{M0A,M0B}  Cho f(x) liªn tơc trªn tËp D tồn Max f (x) D Min f (x) D �f (x)   � Min f (x) Max f (x) D Phơng trình �x�D cã nghiÖm  D �f (x) � � Max f (x) Bất phơng trình xD có nghiÖm  x�D �f (x) � � Min f (x) Bất phơng trình xD có nghiệm xD Sau vài ví dụ minh hoạ 1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa hµm sè: f(x,y) = cos2x + cos2y Trªn miỊn D = {(x, y: sinx + siny = } Lời giải: Đặt u = sinx; v = siny Khi ®ã ta cã: cos2x + cos2y = - 2(u2 + v2) Xét toán mới: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: F(u,v) = u2 + v2 trªn miỊn D1 = {(u, v): u �1; v �1;u  v  } D =2-2 MinF (u,v) D1 MaxF (u, v) D1 (1) (2) -1/2 -1 A -1/2 v 1/2 H VÏ hƯ trơc Ouv B Min f (x, y) =2-2 D 1/2 Max f (x, y) u Lóc ®ã ta có mối liên hệ: Tập D1 đoạn thẳng AB (phần đờng thẳng u + v = 1 nằm hình vuông) Dễ thấy A(- ; 1) & B(1; - ) NÕu M(u; v)  D1 th× u2 + v2 = OM2 VËy MaxF (u,v) D1 = MaxOM  OA2( OB2 )  1 M�AB  4 MinF (u,v) D1 = MinOM  OH  M�AB Theo (1) ta cã: Max f (x, y) D Min f (x, y) = 4; D = - 1.2 VÝ dơ 2: T×m GTLN & NN cđa hµm sè: f(x, y) = x + y2 trªn miỊn: x �x  2y  8�0 � �x  y  �0 � 2x  y  �0 D= � Lêi gi¶i: -2 O -4 -8 B A -2 x C VÏ hÖ trục Oxy Dễ thấy điểm (x; y) thoả mãn hệ toàn tam giác ABC Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gäi D lµ miỊn dµng bc hƯ) Ta cã: Max f (x, y) D = MaxOM M�D = Max {OA2, OB2, OC2} = 20 Min f (x, y) MinOM = D M�D MinOH2 = 16 = (v× 1 1      2 OH OA OC 16 16 ) Tãm l¹i: Max f (x, y) Min f (x, y) D D = 20 16 = 1.3 VÝ dơ 3:T×m GTNN cđa hµm sè: f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z Trªn miỊn D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + = 0} Lêi gi¶i: Víi (x, y, z, t)  D, ta cã: f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - =(x - z)2 + (y - t)2 - (1) Khi (x, y, z, t) D điểm M(x; y) nằm đờng tròn đơn vị; điểm N(z, t) nằm Parabol: v = u2 + Ta cã: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2 Râ rµng: MinMN2 = M0N02 = Trong M0(0; 1) N0(0; 3) Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t)  (x, y, z, t) D Mặt khác, x = 0, y = 1, z = 0, t = f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, )D VËy Min f (x, y, z,t) D = v N(z,t) N0 M -1 O -1 M(x,y) u 1.4 VÝ dô 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: x2 x   x2  3x  víi x  R f(x) = Lêi gi¶i: 2 2 � �1 � � 1� � � � � � � �x  � � � �x  � � �2 � � � �2 � Ta viÕt l¹i f(x) díi d¹ng: f(x) = (1) 3 XÐt hƯ trơc Oxy víi ®iĨm A( ; ); B( ; ); C(x ; 0) Khi ®ã tõ (1) ta cã: f(x) = CA + CB  AB 2 � 1� � 3�   �  � � � 2 2 � � � � Trong ®ã AB = Do ®ã: f(x)  Mặt khác, giả sử AB cắt Ox t¹i C0 Ta cã: C0A + C0B = AB Nh vậy, đặt x0 = OC0 f(x0) = Vậy : Min f (x) x�R = y A C x C0 x B 1.5 VÝ dô 5: Tìm GTLN & GTNN hàm số: f(x, y) = 4x + 3y Trªn miỊn: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y} Lêi gi¶i: NÕu (x, y)  D, ta cã: x2 + y2 = 8x + 6y  (x - 4)2 + (y - 3)2 = Nghĩa là: D đờng tròn tâm O1(4; 3) bán kính R = (x, y)  D, ta cã: x2  y2  16 1  8 (x2  y2 )   OM 2 2 f(x, y) = 4x + 3y = với M(x; y) nằm đờng tròn Nối OO1 cắt đờng tròn D ®iĨm M1, M2, ta ®ỵc: M�D MaxOM = OM2= OO1 +O1M2 =5 + = Min f (x, y) O1 = + 22 = 10 O y D M1 D = + 82 = 40, VËy: Max f (x, y) M(x,y) M M�D = OM1 = OO1 - M1O1 = - = x MinOM 1.6 VÝ dơ 6: T×m GTLN & GTNN cđa hµm sè: 2 f(x) = sin x   sin x  sin x  sin x víi x  R Lêi gi¶i: 10 Gäi m giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Điều có nghĩa phơng trình sau (ẩn x) cã nghiÖm: sin x   sin2 x  sin x sin2 x = m (1) Đặt u =  sin2 x ; v = sinx u  v  uv m � �2 u v 2 � � 1�v �1 � � 1�u � ®ã (1)  � (2) (3) (4) y (5) B XÐt hƯ trơc Ouv: x O A � DƠ thÊy (3), (4), (5) biĨu diƠn cung AB nhỏ, A(1; -1); B(1; 1) (u v)2  u v m Tõ (2) ta cã:  (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - = 2m  u + v = -1 + (u + v) = -1 - � 2m loại (vì không cắt cung AB ) Từ ®ã nhËn thÊy (1) cã nghiƯm  ®êng th¼ng : u + v = -1 + tøc lµ  -1 + 1 2m  2m   -  m  11 � 2m c¾t cung AB VËy Max f (x) x�R = vµ Min f (x) x�R = -1 1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN hàm số f(x) = x x đoạn [0; 2] Lêi gi¶i: x  2  x (1) Viết f(x) dới dạng: f(x) = Xét phơng trình tham số: Đặt x = u; x 2  x = m (2)  x = v Khi ®ã: � u  2v  m (3) �2 u v 2 (4) � � u �0; v �0 (5) (2)  � v B XÐt hƯ trơc Ouv: A - u O - ThÊy hệ (3), (4), (5) có nghiệm đờng thẳng u 2v m cắt cung phần t thứ AB đờng tròn tâm O báb kính §êng th¼ng u  2v  m qua A( ; 0) cã d¹ng: u  2v  Đờng thẳng u 2v m tiếp tuyến cung AB có dạng: OC u 2v OC , 12 2  3 sin :  2 Tõ ®Êy thÊy hƯ (3), (4), (5) có nghiệm đờng thẳng u 2v m nằm hai đờng thẳng nói  VËy Max f (x)   0;2 = vµ Min f (x)   0;2 m3 1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x2 2px  2p2  x2  2qx  2q2 (p, q hai số cho trớc) Lời giải Xét p q : Trên mặt phẳng toạ độ xÐt ®iĨm A(x - p; p ) & B(x - q; q ) Khi ®ã: f(x) = (x  p)2  p  (x  q)2  q = OA + OB Râ rµng cã: OA + OB  AB Mµ AB = (q  q)2  ( p  q )2 VËy ta lu«n cã f(x)  không đổi với vị trí A B (q  q)2  ( p  q )2 (1) x Dấu = xảy A, O, B thẳng hàng Ta có: mà A, O, B thẳng hàng 13 y=- uuur uuu r OA  (x  p; p ); BO  (q  x; q ) y= O A B y q p  pq x p p  � x q x q p q Do AB không đổi với vị trí A, B nªn ta cã: �q p  p q � 2 f� � p q � � AB  ( p  q)  ( p  q) � � (2) XÐt p  q  ( p = q = 0) Lóc nµy f(x) = 2|x|  Min f(x) = (3) Tãm l¹i, víi mäi trờng hợp ta có: Min f (x) ( p  q)2  ( p  q )2 x�R 1.9 VÝ dơ 9: T×m GTLN & GTNN cđa hàm số: f(x, y) = x - y Trên miền: (x  6)2  (y  3)2 �25 � �2 �x  (y  4) �25 � 2x  y �4 � � D = �x �0, y �0 Lời giải: Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhỏ hàm f(x, y) đợc biĨu diƠn bëi miỊn g¹ch chÐo sau: y A -2 O 14 B C x Chó ý rằng: Đồ thị hàm số x - y = suy từ đồ thị hàm số x - y = mét lỵng (- ) theo trơc Oy Gọi () giá trị tuỳ ý f(x, y) D Điều có nghĩa hệ sau Èn (, x, y) cã nghiÖm: �x  y   � 2 ( x  6)  ( y  3) �25 � �2 �x  (y  4) �25 � 2x  y �4 � � �x �0, y �0 Gi¶i hƯ ta cã: 2x  y  � �2 �x  (y  4)  25 �x �0, y �0 � Suy toạ độ điểm A( 5; 4) §êng th¼ng x - y =  qua A = - - Đờng tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành B(2; 0) & C(10; 0) Đờng thẳng x - y =  qua B  = Khi ®ã: 15 x-y=-4- & x - y = hai vị trí giới hạn mà đờng thẳng x - y = cắt miền D Từ suy ra: Max f (x, y)  Min f (x, y)  4  D , D 1.10 VÝ dơ 10: Cho a, b , c, h lµ bốn số dơng cho trớc; x, y, z ba sè thùc thay ®ỉi cho ax + by + cz = k (1) ( k số cố định cho trớc) Tìm giá trị nhỏ hàm số: 2 2 2 f(x, y, z) = a h  x  b h  y  c h  z víi (x, y, z) tho¶ m·n ®iỊu kiƯn (1) Lêi gi¶i: XÐt hƯ trơc Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz) Ta cã: v C ax + by + cz = k ax A (a+b)h O ax + by 16 ah u (a+b+c)h B 2 2 OA = a h  x ; AB = b h  y ; 2 BC = c h  z VËy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC độ dài đờng gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k) k2  h2 (a  b  c)2 Ta cã: OC = k2  h2(a  b  c)2 (3) Tõ (2) suy ra: f(x, y, z)  OC = DÊu = (3) s¶y  O, A, B, C thẳng hàng ax ax by ax by  cz   ah ah  bh ah  bh  ch � x y z k a  b c k k � k � 2 f� , , � k  (a  b  c) h Nh vËy: �a  b  c a  b  c a  b  c � (4) 2 Tõ (3) vµ (4) ta cã: Minf(x, y, z) = k  (a  b  c) h 1.11 VÝ dô 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) lµ 2n sè thùc tho¶ m·n: n n �x  �y  i i i i n Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = i 1 xi2 yi2 Lời giải: Trong mặt phẳng xét hệ tä ®é Oxy: Mk � xi ; � � i Gọi Mk điểm có toạ độ k Mn � xi ; � � i 1 � Nh điểm n giả thiết x+ y =1) 17 y � � � �y � � � k i 1 i , k= 1, 2, , n n i 1 i nằm đờng thẳng x + y = (v× DƠ thÊy: Mk1Mk �k x  k1 x � �k y  k1 y � x2  y2 � �i � �i � i � � i � k k i 1 i 1 �i 1 � �i 1 � (k = 1, 2, , n) y Mn H Mk Mk-1 M1 O x Tõ ®ã suy ra: A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ O đến đờng thẳng x + y = 1, OH = 2 Rõ ràng: OM1 + M1M2 + + Mn-1Mn  OH, hay A  (1) DÊu b»ng s¶y (1) O, M1, M2, , Mn thẳng hàng & Mn  H y1 y2 y    n  tg450  xn  x1 x2  x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = 2n VËy MinA = 18 19 Kết luận Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số loại toán phức tạp chơng trình THPT Cách giải phong phú - đa dạng Mặt khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp học sinh - có phần trừu tợng Khi vận dụng phơng pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có t lôgic khéo léo Vận dụng đợc phơng pháp giúp học sinh ph¸t triĨn t - ý thøc rÌn lun kiÕn thức tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thông qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa phơng pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phơng pháp (kiến thức) toạ độ, mà có ví dụ với phơng pháp sơ cấp đơn không giải đợc phức tạp - Nhng phơng pháp toạ độ lời giải lại đơn giản, ngắn gọn dễ hiểu Do điều kiện thời gian nh tinh thần học hỏi, đa số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt đợc số yêu cầu mà Mong đóng góp chân tình bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thờng xuyên có t tởng nh suy nghĩ đến phơng pháp mà trớc ta nghĩ tới Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến -Phương pháp áp dụng số toán cực trị -Áp dụng với đối tượng học sinh giỏi, học sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Giáo viên có cách sử lý linh hoạt, cách nhìn tinh tế số tốn cực trị Học sinh có thêm phương pháp thật bổ ích để sử lí số tốn cực trị Từ em có niềm đam mê u thích mơn tốn 20 Lập Thạch, ngày 17 tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Lập Thạch, ngày 06 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Vương Thành Nam 21 ... sung Tên sáng kiến: Phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng tốn học - Mục đích: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Ngày sáng kiến áp dụng. ..MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Trang Lời giới thiệu Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến PHẦN NỘI DUNG 3 Một số ví... thiết để áp dụng sáng kiến -Phương pháp áp dụng số toán cực trị -Áp dụng với đối tượng học sinh giỏi, học sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác