SKKN kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán THPT, phần đại số mà cụ thể chủ đề số phức, học sinh hoàn thiện hiểu biết tập hợp số Trong chủ đề này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa; lấy môđun, … số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức z x yi x , y , i2 với điểm M x; y mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với "gần gũi" Hơn nữa, nhiều toán số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán cực trị số phức Hơn nữa, với tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn đại số nói chung số phức nói riêng sang tốn hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lúng túng, việc giải toán số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Trước vấn đề tơi thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân loại tập loại toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Bài tốn cực trị số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số, … Qua nội dung này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ toán đại số sang hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục tiêu trên, nội dung này, tập trung giải tốn theo hướng hình học, khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i (đơn vị ảo): i2 z x yi y b) Số phức: Biểu thức ( x , y ) gọi số phức x gọi phần thực, gọi phần ảo z x yi c) Với số phức hiệu: z Như , z x y2 , giá trị biểu thức x y2 gọi mơđun z Kí Trang d) Với số phức z x yi Số phức z x y i x yi gọi số z x yi + Với phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Như z x yi e) Với số phức z x yi Xác định điểm M x; y mặt phẳng tọa độ Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z x yi Để cho thuận tiện nội dung kí hiệu M x; y M z hay đơn giản M z để M điểm biểu diễn cho số phức z x yi 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức z x yi , z x y i x , y , x , y , i2 + Phép cộng: z z x x y y i + Phép trừ: z z x x y y i + Phép nhân: z.z x.x y.y x.y x y i + Phép chia: z z.z với z 0i z z.z 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc + Với M z z OM + Với M M z ,M M z z z MM + Với A A zA , B B zB cho trước tập hợp điểm M M z zA , zB thỏa mãn hai số phức khác z zA z zB hệ thức đường trung trực đoạn AB M0 M0 z0 , R , tập hợp điểm M M z thỏa mãn hệ thức z z0 R đường trịn tâm M0 bán kính R 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, đa số em học sinh cịn lúng túng việc giải tốn liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có hệ thống tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để em làm tốt tập thuộc dạng Vì vậy, thân viết sáng kiến kinh nghiệm cho mình: "Kinh nghiệm giải số tốn cực trị số phức phương pháp hình học giải tích" 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề BÀI TOÁN 1: Cho số phức z a b0 i a ,b0 tập hợp số phức z x yi thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 : a) Tìm giá trị nhỏ z z0 b) Tìm z để z z0 nhỏ Nhận xét: + Gọi M M z ,M0 M0 z0 ; A A z1 ;B B z2 z z0 MM0 + Từ đẳng thức z z1 z z2 suy ra, M thuộc trung trực đoạn AB Trang Bài toán trở thành: a) Tìm giá trị nhỏ M 0M với M b) Tìm M cho M 0M nhỏ Định hướng: Ta thấy, với điểm M M M M 0H , H hình chiếu M lên Do đó, z z d M0; Và để M 0M nhỏ với M M H hay M hình chiếu M0 lên Phương pháp giải Từ hệ thức z z1 z z2 , suy phương trình đường thẳng + Với câu a), ta tính khoảng cách d M0; , kết luận z z d M0; + Với câu b) • Viết phương trình đường thẳng d qua M0 , vng góc với (hoặc song song với AB ) • Giải hệ gồm hai phương trình: d suy nghiệm x; y Kết luận, số phức cần tìm z x yi Đặc biệt: z tức tìm số phức z cho mơđun z nhỏ Ví dụ 1.1 Trong tất số phức z thỏa mãn z 2i z 4i trị nhỏ môđun z A 13 B 13 C D 26 Tìm giá 13 Lời giải Chọn A Đặt M Mz Ta có: x,y z x yi M x; y z 2i z 4i x y 2 x y M :2x 3y Khoảng cách từ O đến Vậy z d O, 13 13 13 13 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z 3i z 5i , tìm giá trị nhỏ z i Trang A B 68 C 12 17 D 34 17 Lời giải Chọn C x,y Đặt z x yi M M z M x; y Ta có : z 3i z 5i x y x y M : x 4y z i d M0; 12 17 , M0 2; Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức z a bi a,b thỏa mãn hệ thức z 5i z i , biết z i nhỏ Tính P ab 13 A 23 C B D 100 100 16 25 Lời giải Chọn A Đặt M Mz Từ hệ thức z 5i z i , ta 2 17 M : x y Đặt M0 1;1 , z i MM0 Gọi d đường thẳng qua M0 1;1 vng góc với d: x1 d:3x y Xét hệ x x 3y phương 10 3x y y y hay trình 23 10 Vậy hình chiếu vng góc M0 lên H ; 23 10 10 Trang Từ z i nhỏ z 23 i P 23 10 10 100 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z0 R 0, z0 a bi cho trước a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) z z1 , z1 số phức cho trước b) Tìm số phức z để z z1 đạt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét : + Đặt M M z , I I z0 , A A z1 z z0 MI + Từ đẳng thức z z0 R suy M thuộc đường trịn C tâm I , bán kính R Bài tốn trở thành : a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) AM với M C b) Tìm M C cho AM lớn (nhỏ nhất) + Gọi M1 ,M2 giao điểm đường thẳng AI C với điểm M C ta ln có AM1 AM AM2 Do AM AM1 AI R ;max AM2 AI R Phương pháp giải a) z z1 z1 z0 R ;max z z1 z1 z0 R b) Tìm z + Từ hệ thức z z0 R Suy phương trình đường trịn C + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A z1 , I z0 + Giải hệ phương trình gồm phương trình C d , suy nghiệm x1 ; y1 , x2 ; y2 + Thử lại để x; y thích hợp từ hai Ví dụ 2.1 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z 3i z1 i A.1 B.3 C 10 Lời giải Tìm D Chọn A Trang Đặt M M z , I 1; , A 1;1 AI z i MA Từ hệ thức z 3i Suy M đường trịn bán kính R Vậy z i MA M A AI R Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z i Tìm giá trị lớn z A B C Lời giải Chọn A Ta có: I 0;1 , A O 0; IA M M z với z thỏa mãn hệ thức z i suy M thuộc đường trịn bán kính R Vậy max z AIR112 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án z a bi Ví dụ 2.3 Trong tất số phức thỏa mãn z i đạt giá trị nhỏ Tính P a A Chọn A Ta có: I 1; B 2,A 13 3;1 M M C:x12 y 22 Đường thẳng AI : x hay x y Xét hệ b D z 2i C Lời giải biết D 13 Mz y Trang y x1 3x 4y Với x ; y Vậy z x 5;y 2 13 i P b 13 a x 5; y z i Với x 1 5; y z i Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mã hệ thức z i Biết z lớn Tìm phần ảo z B D A C Lời giải Chọn A M x; y M z Đặt Từ hệ thức z i M C : x y Đường thẳng d qua O 0; tâm I 0;1 C phương trình x C Giao d nghiệm x x 0, y 2 y1 x có x; y hệ x 0, y • Với x 0, y z i z • Với x 0, y z 3i z Vậy z lớn z 3i 3i , phần ảo số phức z thỏa mãn yêu cầu toán Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án BÀI TỐN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 Với phức z z 1, số z z a) Tìm giá trị nhỏ z z3 z z4 Với 3, số phức cho trước b) Tìm số phức z để z z3 z z4 nhỏ Nhận xét: - Đặt M (z ), A z3 , B z4 z z3 AM , z z BM - Từ hệ thức z z1 z z2 Suy ra, M thuộc đường thẳng Dẫn đến toán: Tìm M cho MA MB nhỏ Trang Đặt M M ( z) Từ hệ thức | z i | | z M :2x 8y 11 Đặt A 2;1 ,B 3; 3i | suy Thay A vào phương trình , ta 2.( 2) (1) 11 Thay B vào phương trình , ta 2.(3) 8.( 2) 11 Vậy A, B nằm phía với Gọi d đường thẳng qua vng góc với x,y d : x y hay 4 x y Gọi I dthì tọa độ I nghiệm hệ: 2x 8y 11 x 61 ; y 31 4x y 34 17 AA nên Gọi A điểm đối xứng với A qua I trung điểm 27 45 493 A ; Suy min{| z i| |z 2i |} A B 17 17 17 Nhận xét: Nếu ta biểu diễn toán giấy có ta chọn đáp án phù hợp với đáp án đưa Đáp án A: 5,97;B: 6,53;C: 9,31;D: 2,81 Dựa vào hình minh họa: A B 4,52 4,52 6,36 nên chọn đáp án B Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 2i z i Tìm phần thực số phức z biết z 2i z 4i đạt giá trị nhỏ A B C D 6 Chọn D Đặt M M z Từ hệ thức z 2i Lời giải z i , ta được: M :2y Đặt A1;2 , B 0; , A, B khác phía so với Đường thẳng y AB :x 6x y Tọa độ giao điểm A B y nghiệm hệ 2y1 6x y x 4 Trang Vậy, phần thực số phức thỏa mãn yêu cầu toán x Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 3.3 (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Xét số phức z a bi , a , b thỏa mãn z 3i Tính P a b z 3i z1 i A P 10 đạt giá trị lớn B.P C.P Lời giải Chọn A Đặt M Mz Từ hệ thức D.P z 3i 5, ta M C : x y Đặt A 1;3 , B 1; , I trung điểm AB I 0;1 Theo lí thuyết trên, ta thấy MA MB lớn MI lớn , M K Đường thẳng qua I vng góc với AB có phương trình x 2y x 2 y y Xét hệ phương trình x 2y Ta Tức H2;2, x y x K 6;4 Chọn điểm K (như nói trên) Vậy P a b 10 BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 a) Giá trị nhỏ biểu thức z z A z zB b) Tìm số phức z để z zA z zB z z2 Tìm đạt giá trị lớn Ở z1 , z2 , zA , zB số phức cho trước Nhận xét - Đặt A A zA , B B zB , M M z z z A z z B MA2 MB2 Trang 10 - Từ hệ thức z z1 z z2 Suy M thuộc đường thẳng Dẫn đến tốn tìm M cho MA MB2 nhỏ - Gọi I trung điểm AB Khi với điểm M , ta có: MA MB AB2 MI suy 2 MA MB AB 2 2MI Do A, B cố định nên AB không đổi, MA2 MB2 nhỏ MI nhỏ lên đường thẳng Khi M M0 , M0 hình chiếu I giá trị nhỏ MA2 MB2 2 2 2 AB 2d I, AB MA MB 2M 0I 2 Phương pháp giải - Từ z z1 z z2 Suy phương trình đường thẳng - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , độ dài đoạn thẳng AB Kết luận MA MB 2d I, AB 2 y + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với Nghiệm x , hệ hai phương trình d phần thực phần ảo z Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa hệ thức z i z i z 2i A 305 B 441 34 C 169 z i Tìm giá trị nhỏ D 34 68 Lời giải Chọn A Đặt M M z Từ z 2i z i Ta M :8x 2y Đặt A0; ,B2;1 gọi I trung điểm A I 1;0 Khoảng cách từ I B đến d I, 13 , AB 68 Vậy MA 169 2 MB 2d I , AB2 305 68 34 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Trang 11 Ví dụ 4.2 Cho số phức z thỏa hệ thức z 3i cho z i z i đạt giá trị nhỏ A z i B z Chọn B Đặt M Mz z 3i z i z i Tìm số phức z C z i D z i Lời giải Từ hệ Ta thức M:x y Đặt A 1;1, B 3;1 Gọi I trung điểm AB I 1;1 Đường thẳng qua I, vng góc với có phương trình x y1 hay 1 x y Xét hệ phương trình x y x Vậy số phức thỏa mãn yêu cầu x y y toán z Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 5i z 11i Biết số 2 z x yi z 8i z 6i đạt giá trị nhỏ Giá trị phức thỏa mãn biểu thức P x y2 A 16 B C D Lời giải Chọn A Đặt M x; y Mz Từ hệ thức z 5i z 11i ta M : x y 12 Trang 12 Đặt A(2 ; 8), B(6 ; 6), I trung điểm AB I 4;7 Đường thẳng d qua I vng góc với x 3y 12 Xét hệ phương trình x 4y 16 có phương trình 3x x Vậy P 16 4y 16 y BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 a) Tìm giá trị lớn z z A z zB b) Tìm z để z z A z zB đạt giá trị lớn Lời giải Nhận xét phân tích Đặt A A z A , B B z B ,M M z z z A MA, z z B MB z z2 suy M Từ z z1 Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng cho trước điểm M cho MA MB lớn Tính giá trị A, B phía so với A, B khác phía so với - Với A, B cố định +) Nếu A, B phía so với với điểm M , ta ln có | MA MB | AB Dấu xảy M , A, B thẳng hàng hay MAB +) Nếu A, B khác phía so với , gọi A điểm đối xứng với A qua với điểm M , ta ln có | MA MB | MA MB A B Dấu xảy M,A,B thẳng hàng hay MA B Phương pháp giải Từ hệ thức z z1 z z2 suy phương trình đường thẳng Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình để kiểm tra xem A, B phía hay khác phía so với +) Nếu A, B phía so với Với câu a) giá trị lớn z z A z zB AB Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình x,y đường thẳng AB ta nghiệm phần thực phần ảo z +) Nếu A, B khác phía so với A - Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với Giải hệ phương trình gồm phương trình d , ta nghiệm x; y tọa độ điểm H Trang 13 - Lấy điểm A cho H trung điểm AA Với câu a) giá trị lớn z z A z zB A B Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng A B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng x,y A B ta nghiệm phần thực phần ảo z Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức lớn biểu thức P z i z 4i A 13 Chọn A Đặt M x; y B 10 z i z 7i C 13 Tìm giá trị D Lời giải Mz,A 4;1 ,B 2;4 Từ hệ thức z i z 7i , ta M :2x 3y Thay tọa độ điểm A vào phương trình , ta 2.4 3.1 Thay tọa độ điểm B vào phương trình , ta 2.2 3.4 Suy A, B phía so với 0 Theo phần lý thuyết trên, ta giá trị lớn AB 24 41 P 13 z i Biết rằng, số phức Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z x yi thỏa mãn z i z 6i đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức P x y A Chọn A Đặt M x; y M B C Lời giải z , A 3;1 , B 2;6 Từ hệ M : x y Thay tọa độ điểm A vào phương trình D thức z1 z i , ta được: , ta Trang 14 Thay tọa độ điểm B vào phương trình , ta Vậy hai điểm A, B khác phía so với Theo phần lý thuyết Gọi A điểm đối xứng A qua đường thẳng : y x A 1;3 Đường thẳng A B : x 1 y 3 hay 2x y Giao điểm y x x A B nghiệm hệ y 3x y z thỏa mãn đạt giá Vậy số phức trị lớn z i z 6i z 0i nên P Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z0 R, R a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức z zA z zB b) Tìm số phức z để z z A z zB đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: - Đặt A A z A , B B z B ,M M (z) z z A MA2, z z B MB2 - Từ z z R Suy M đường trịn C tâm I bán kính R Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm M (C) để MA MB2 nhỏ Tìm giá trị 2 AB2 MH MA MB - Gọi H trung điểm AB Ta có suy AB2 MA2 MB2 2MH2 Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy + nhỏ MH nhỏ M M1 MA2 MB2 MB 2|R IH| AB2 MA M M2 2 + nhỏ nhấtMH nhỏ MA MB 2 MB 2(R IH) AB maxMA Trang 15 Phương pháp giải - Từ hệ thức c z z R ,(R 0) Suy phương trình đường trịn C , tâm I bán kính C - Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB AB - Nếu yêu cầu tìm MA MB2 MA MB 2| R IH |2 - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH C , suy hai nghiệm ( x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn MA MB2 giá trị lớn MA MB2 (R IH)2 AB 2 Ví dụ 6.1 Cho số phức z thỏa mãn z Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn là: biểu thức | z 6i |2 | z 10i |2 A 66 466 B 15 C 82 482 Lời giải D 41 241 Chọn A Đặt M M ( z) Từ hệ thức z suy M thuộc đường trịn tâm O0;0, bán kính R Đặt A(8;6), B(4;10) Gọi H trung điểm A H(6;8), B OH 100, AB2 32 Theo lý thuyết thì: • Giá trị nhỏ P 2 | z 6i | | z 10i | MA MB2 AB Pmin 2| R OH |2 66 Trang 16 • Giá trị lớn P | z 6i |2 | z 10i |2 MA MB2 Pmax 2| R OH |2 AB22 466 Ví dụ 6.2 Trong tất số phức z thỏa mãn z i 13 , tìm số phức z cho z 5i z 9i nhỏ A z 4i Chọn A Đặt M M z Từ hệ thức C : x y1 Đặt A 1;5 , B 3;9 IH : x B z 3i C z 2i Lời giải z i 13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn 13 Tâm I 5;1 , bán kính Gọi H trung điểm AB y hay D z i R 13 H 1;7 x y 17 Tọa độ giao điểm IH C nghiệm hệ x 3x 2y Giải ta được: x 3; y Đường thẳng y 13 17 x 7; y Với x 3; y M H 13 với M1 3;4 Với x 7; y M 2H 14 với M2 7; Trang 17 Theo phần lý thuyết trên, z 5i z 9i MA MB2 nhỏ M M1 Vậy số phức cần tìm z 4i BÀI TOÁN Cho hai số phức z , z thỏa mãn hệ thức R, z z1 Trong z1 , z , z3 số phức cho trước, tìm giá trị z z2 z z3 nhỏ z z Nhận xét: - Đặt M M z , M M z Từ hệ thức z z1 R Suy ra, M thuộc đường tròn C Từ hệ Suy ra, M thuộc đường thẳng z z MM z z2 z z3 Dẫn đến tốn: Tìm điểm M , M C cho MM nhỏ + Trường hợpCthì giá trị nhỏ z z + Trường hợp C giá trị nhỏ z z z z dI, R thức Lời giải R Suy ra, đường tròn C , tâm I , bán kính R C - Từ hệ thức z z1 - Từ hệ thức z z z z3 Suy ra, đường thẳng - Tính khoảng cách d từ I đến + Nếu d R giá trị nhỏ z z z z , zx;y z x;y d C + Nếu d R zx ; y M x ; y giá trị nhỏ z z hình chiếu I lên z x ; y z z d R M x;y a C , a đường thẳng qua I vng góc với , (Chú ý: chọn M điểm nằm I , M ) Trang 18 Ví dụ 7.1 Cho số phức z , z thỏa mãn z i z 3i z 9i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z z gần số số sau A 1,6 B 1,1 C 1,7 D 1,5 Lời giải Chọn D Đặt M M z , M M z Từ hệ thức z i 2, suy M thuộc đường tròn x 2 y với tâm I 2;1 , bán kính R Từ hệ thức z 3i z 9i , suy m thuộc đường thẳng : x y Khoảng cách từ I đến biểu thức P z z dI, 2 2 1,54 R Vậy, giá trị nhỏ 2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết thu sau lần kiểm tra học sinh khá, giỏi lớp 12A2 trường sau Dưới trung Trung Khá Giỏi Thời gian bình bình Lần 10/42 24/42 5/42 3/42 Lần 14/42 18/42 10/42 Nhanh Trang 19 Sau áp dụng tơi cảm thấy hài lịng với kết trên, đa số em hiểu giải tốt vấn đề III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm tương đối thể đầy đủ số dạng toán liên quan đến cực trị số phức Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải dạng tập liên quan đến đồ số phức từ đạt kết cao kỳ thi tới 3.2 Kiến nghị Với sáng kiến kinh nghiệm muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp số kinh nghiệm mà thân tích lũy nhiều năm giảng dạy Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm quý thầy cô giảng dạy lồng ghép sử dụng vào giảng mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Minh Thế Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giải tích 12-Đồn Quỳnh (Tổng Chủ biên), nhà xuất Giáo dục [2] Đề tham khảo đề thi THPT Quốc gia mơn tốn năm 2018 GDĐT [3] Đề thi thử số trường nước Trang 21 ... kiến kinh nghiệm cho mình: "Kinh nghiệm giải số toán cực trị số phức phương pháp hình học giải tích" 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề BÀI TOÁN 1: Cho số phức z a b0 i a ,b0 tập hợp số phức. .. sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán cực trị số phức Hơn nữa,... dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, đa số em học sinh lúng túng việc giải toán liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có hệ thống tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để em làm