Đây là một phương pháp dùng các bài toán cực trị trong hình học để giải quyết các bài toán trắc nghiệm cực trị về môđun số phức. Phương pháp này giúp cho học sinh có thể giải quyết được các câu trắc nghiệm hay và khó về cực trị của môđun số phức trong các đề thi thử THPT QG và trong các đề thi THPT QG. Đây là tài liệu không thể thiếu đối với học sinh ôn thi THPT QG phần số phức.
MỤC LỤC MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN II THỰC TRẠNG III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ *Bài toán Ví dụ 1, 2, 3, Bài toán (*) Bài tập tự luyện *Bài toán 10 Ví dụ 1, 2, 3, .…………………………………………………………11 Bài tập tự luyện 13 *Bài toán 14 Ví dụ 1, 2, 14 Bài tập tự luyện 16 *Bài toán 16 Ví dụ 1, 2, 17 Bài tập tự luyện 18 *Bài toán 19 Ví dụ 1, 2, 20 Bài tập tự luyện 21 *Bài toán 21 Ví dụ 1, 2, 3, 22 Bài tập tự luyện 23 C PHẦN KẾT LUẬN 25 D PHỤ LỤC 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 A ĐẶT VẤN ĐỀ Nội dung “số phức” Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa vào chương trình phổ thơng gần mười năm qua Trong năm từ trước năm 2017 nội dung đưa vào đề thi đại học, mức độ bản, chưa mức độ khó chưa phải câu phân loại Từ năm 2017 đến với việc Bộ Giáo dục Đào tạo chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, “số phức” có mặt cấu trúc đề thi với tư cách câu hỏi khó, câu hỏi định điểm số nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết trình độ đối tượng dự thi Tầm quan trọng không thiếu “số phức” đặc biệt toán cực trị mơđun số phức khiến dạng tốn mối quan tâm lớn giai đoạn Xung quanh việc giải toán cực trị mơđun số phức, từ trước tới có nhiều phương pháp hay, đồng thời có nhiều hình thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo Tuy nhiên, để tốn cực trị mơđun số phức ngày hấp dẫn xích lại gần với chúng ta, cần phát quan trọng giúp việc giải tốn cực trị mơđun số phức trở nên dễ dàng, đơn giản nhanh gọn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm mà Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành Với hình thức thi trắc nghiệm nay, cần cho học sinh phương pháp có thuật tốn rõ ràng học sinh cần tra giả thiết vào có đáp án Nhưng nhìn chung đa số học sinh chưa trang bị cho phương pháp có chưa có tính liên kết phương pháp Là giáo viên tơi ln trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh có phương pháp có thuật tốn rõ ràng ln định hướng trước tốn khó để học sinh tìm thấy thuật tốn đó, tạo tích lũy cho thân để giải nhanh toán trắc nghiệm khoảng thời gian ngắn Trong hệ thống toán cực trị mơđun số phức có nhận dạng tìm cách giải nhanh Đó có dạng đơn giản, áp dụng nhanh phương pháp giải cổ điển thơng dụng Song có nhiều tốn mà bề ngồi khó nhận dạng, cấu trúc phức tạp khiến người đọc khơng thể lúc mà tìm thấy phương pháp áp dụng phù hợp Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khó, làm phong phú thêm hệ thống phương pháp giải dạng tốn Nhận thức thực tế đó, tác giả mạnh dạn đề xuất chuyên đề nghiên cứu “Kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Hiện nay, tốn học nói chung, tài liệu tham khảo tốn học giảng dạy toán trường phổ thơng nói riêng, tốn cực trị mơđun số phức thường có phương pháp giải phổ biến sau đây: phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp hình học Với trình độ lý luận ngày cao thay đổi hình thức thi hệ thống tốn nêu bắt buộc phải đổi theo hướng Sự đổi yêu cầu người học tư nhiều hơn, tìm tòi nhiều để “phá tan” lớp bảo vệ đưa toán chất từ giải cách nhanh gọn Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có kỹ quan trọng then chốt, đặc biệt học sinh giỏi Qua nhiều năm giảng dạy; tìm tòi, nghiên cứu thân; học hỏi giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đúc kết vấn đề thành kỹ thuật gọi kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Tổng quan lý luận kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức: Dựa vào tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ 10 kết hợp với việc biểu diễn hình học số phức Từ thấy mối liên hệ hai loại tốn tìm kỹ thuật chuyển tốn cực trị mơđun số phức tốn cực trị hình học mà việc giải trở nên quen thuộc Chẳng hạn: Kết hợp hình học tọa độ biểu diễn hình học số phức ta chuyển tốn cực trị mơđun số phức tốn cực trị hình học phẳng quen thc như: Cho đường tròn (C ) có tâm I , bán kính R hai điểm A, B Điểm M điểm di động đường tròn (C ) a) Tìm vị trí M để độ dài đoạn AM lớn b) Tìm vị trí M để P = AM + BM có giá trị lớn Cho bốn điểm A, B, M , N phân biệt cố định, điểm I thay đổi thỏa mãn IA = IB a) Tìm vị trí điểm I cho IM + IN có giá trị nhỏ b) Tìm vị trí điểm I cho IM − IN có giá trị lớn … II THỰC TRẠNG Trong giảng dạy trường phổ thông nay, đặc biệt dạy ơn thi THPT QG, tốn cực trị môđun số phức vấn đề khó tiếp cận với học sinh giáo viên Cái khó thể có nhiều phương pháp giải tốn cực trị mơđun số phức lại khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho tốn Mỗi tốn đưa che đậy lớp phủ bên chất toán Đồng thời phương pháp giải tốn cực trị mơđun số phức khơng thể sử dụng trực tiếp mà phải thông qua số kỹ thuật định Nói cụ thể hơn, từ tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ việc biểu diễn hình học số phức để đưa lời giải phù hợp cho tốn Đây điểm yếu mà học sinh giáo viên phổ thơng cần có thêm hộ trợ để giải toán loại Việc chuyển tốn cực trị mơđun số phức sang tốn cực trị hình học, vấn đề trừu tượng học sinh phổ thơng Nhận thức thực trạng tiến hành làm thực nghiệm trường THPT Quỳnh Lưu 4, THPT Đông Hiếu THPT Cờ Đỏ, hai kiểm tra 15 phút 10 học sinh trường Đề kiểm tra số (Thực chưa dạy chuyên đề- Mức độ vận dụng) Câu Xét số phức z = a + bi ( a, b P = z +1 + z + i đạt giá trị lớn ) thỏa mãn z = 2 Tim số phức z để Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + = z − 2i Biểu thức Q với Q = z − + i + z − + 2i đạt giá trị nhỏ số z = a + bi ( a, b ) Tìm z Đề kiểm tra số (Thực sau dạy chuyên đề - Mức độ vận dụng) Câu Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + − i = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ P = z1 − z2 Câu Cho số phức z thỏa mãn z khơng phải số thực w = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + − i + z −1 − i z số thực + z2 Kết thực nghiệm trình bày phân tích phần phụ lục trang 23 đề tài sáng kiến kinh nghiệm III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trước hết cần phải khẳng định, dạng toán thường xuyên xuất đề thi minh họa, đề thi thử trường đề thi THPT QG Có số câu dạng tốn có mặt nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm đào tạo chuyên môn mũi nhọn Đối với tốn cực trị mơđun số phức có nhiều phương pháp giải giai đoạn nay, để giải toán phương pháp này, đòi hỏi đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để đưa toán đa màu sắc dạng tốn cụ thể, từ người học giải dễ dàng gặp toán loại Kỹ thuật sử dụng toán cực trị hình học kỹ thuật đưa tốn ban đầu tốn dễ nhìn thấy phương pháp giải thông thường, tạo khả liên kết tốn có dạng phủ số phép đổi biến Với gần mười tám năm giảng dạy học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu, thân tác giả đúc kết số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải tốn cực trị mơđun số phức kỹ thuật sử dụng tốn cực trị hình học Sau số ví dụ sử dụng tốn cực trị hình học vào hoạt động tìm lời giải cho tốn cực trị mơđun số phức *Bài tốn Cho đường tròn (C ) có tâm I , bán kính R hai điểm A, B Điểm M điểm di động đường tròn M (C ) a) Tìm vị trí M để độ dài đoạn AM lớn b) Tìm vị trí M để P = AM + BM có giá trị lớn H K I A Giải a) Gọi đường thẳng qua hai điểm I , A cắt đường tròn (C ) hai điểm H , K cho điểm I nằm hai điểm A H Khi ta có bất đẳng thức AM AI + IM = AI + IH = AH , độ dài đoạn thẳng AM lớn điểm M trùng với điểm H b) Gọi J trung điểm đoạn thẳng AB , đường thẳng qua hai điểm I , J cắt đường tròn (C ) hai điểm H , K cho điểm I nằm hai điểm J H góc = MJA Khi ta có hai hệ thức MA2 = MJ + JA2 − 2MJ JA.cos hệ thức MB = MJ + JB − 2MJ JB.cos ( − ) , từ suy MA2 + MB2 = 2MJ + JA2 + JB2 2HJ + JA2 + JB2 (theo kết a)).Vậy điểm M trùng với điểm H P = AM + BM có giá trị lớn M H A K I J B *Kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z = Tính giá trị 2 P = ( a + b ) z −1 + z −1 + 4i đạt giá trị lớn A P = −2 D P = C P = B P = Giải Sử dụng kết Bài toán Với điểm A(1;0) , B(1; −4) , J (1; −2 ) điểm I trùng O ( 0;0) , ta có: IJ : x + y = ( C ) : x + y = Khi tọa độ M nghiệm hệ gồm phương trình IJ ( C ) Giải ta tọa độ điểm M ; − 5 M − ; kết hợp điều kiện đoạn thẳng MJ 5 có độ dài lớn ta điểm M − ; Vậy P = − + = 5 5 Nhận xét: Nếu MA = MB vị trí điểm M trùng với điểm H vị trí điểm M để S = MA + MB có giá trị lớn ( ) Thật vậy, ta có S = ( MA + MB ) MA2 + MB2 suy giá trị biểu thức S lớn MA = MB Ví dụ (Đề minh họa THPT QG - 2018) Xét số phức z = a + bi ( a, b R ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = a + b z +1− 3i + z −1+ i đạt giá trị lớn A P = 10 B P = C P = D P = Giải Sử dụng kết Bài toán Nhận xét Gọi M (a; b) điểm biểu diễn số phức z Khi đó, theo giả thiết suy M (a; b) thuộc đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;3) bán kính R = Đặt S = z +1− 3i + z −1+ i , điểm A(−1;3) điểm B(1; −1) , ta có biểu thức S = MA + MB Gọi J trung điểm đoạn thẳng AB suy J ( 0;1) Khi đường thẳng IJ : x − y + = đường 2 tròn ( C ) : ( x − 4) + ( y − 3) = Khi tọa độ M nghiệm hệ gồm phương trình IJ ( C ) Giải ta M (2;2) M (6;4) kết hợp điều kiện MJ lớn ta M (6;4) Vậy P = + = 10 Nhận xét: Trong Bài toán M vị trí K cho ta phương pháp để giải tốn tìm giá trị nhỏ (chỉ xét đường thẳng AB đường tròn (C ) khơng có điểm chung) Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b R ) thỏa mãn điều kiện z − − i = Tính P = 5.( a + b ) biểu thức z −1 + i + z − + i đạt giá trị nhỏ 5 A P = C P = −4 B P = D P = −2 Giải Sử dụng kết Bài toán Nhận xét với ( C ) : ( x − 4) + ( y −1) = , 3 3 1 A(1; −1) , B ; − , I ( 4;1) J ; − Ta có phương trình đường thẳng IJ là: 5 5 5 x − y − = Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IJ phương trình đường tròn (C ) ta hai nghiệm (6;2) (2;0) Do S = MA + MB có giá trị nhỏ nên suy M ( 2;0 ) Vậy P = 2 Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z = Tính giá trị biểu thức P = a + b z + − i + iz −1 + 6i đạt giá trị lớn B P = A P = 5+2 C P = − −2 D P = Giải Ta có T = z + − i + iz −1 + 6i = z + − i + z + + i Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z = nên quỹ tích điểm M đường tròn ( C ) tâm O bán kính R = Đặt A ( −2;1) , B ( −6; −1) Khi ta có T = MA + 5MB ( ) suy T MA2 + MB Do biểu thức T đạt giá trị lớn MA2 + MB2 có giá trị lớn Sử dụng kết Bài toán với trung điểm đoạn AB điểm I ( −4;0 ) dựa vào hình vẽ suy T max M trùng với J (1;0) MB Đẳng thức xảy M J (1;0) MA = suy a + b = 1+ = Nhận xét: Qua Ví dụ cho ta thấy sử dụng kết Bài tốn với biểu thức có dạng P = .MA + MB với lưu ý đẳng thức xảy HA HB = M H * Đến việc tìm giá trị lớn biểu thức P = .MA + MB giải qua Bài toán Vấn đề đặt có tốn hình học giúp ta tìm giá trị nhỏ biểu thức dạng không ? Để trả lời câu hỏi ta xét tốn hình học sau : Bài tốn ( *): Cho đường tròn (C ) tâm I bán kính R , hai điểm cố định A , B nằm ngồi đường tròn (C ) M điểm di động đường tròn Điểm D thuộc đoạn R = ID.IA = R2 = IM Tìm vị trí điểm thẳng IA cho ID = R R , IA M (C ) để biểu thức P = .MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải Gọi I giao điểm đoạn AI với ( C ) Ta có D II , ID = R ID.IA = R2 = IM Khi ta suy IMD đồng dạng với IAM từ suy MD IM = = AM = MD AM IA Suy P = MA + MB = ( MD + MB ) BD Đẳng thức xảy M = BD ( C ) M nằm B, D hay M M Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z − − 3i = Tính giá trị biểu thức P = a + b z + − 3i + z +1+ 5i đạt giá trị nhỏ A P = − B P = + C P = −2 + D P = −2 − Giải Do z − − 3i = suy ( a − 3) + ( b − 3) = 36 Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z suy M ( C ) có tâm I ( 3;3) bán kính R = Sử dụng kết Bài toán ( *) với giả thiết I ( 3;3) , R = , = 2, = 3, A( −6;3) B ( −1; −5) ta tìm D ( −1;3) suy đường thẳng BD : x = −1 Tọa độ giao điểm đường 2 2 ( x − 3) + ( y − 3) = 36 thẳng BD đường tròn ( C ) nghiệm hệ phương trình x = −1 x = −1; y = + Mà M M nằm B D nên MB + MD = BD suy x = −1; y = − M ( −1;3 − ) Vậy a + b = − Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z −1− i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − − 9i + (1+ i ) z + − 8i A B C 5 D Giải Ta có P = z − − 9i + (1+ i ) z + − 8i = z − − 9i + − i (1 + i ) z + − 8i từ suy biểu thức P = z − − 9i + z − 8i Sử dụng kết Bài toán ( *) với giả thiết I (1;1) , R = , = 1, = , A( 7;9) B ( 0;8) ta tìm điểm D ;3 suy 2 BD = 5 Vậy Pmin = BD = 5 Bài tập tự luyện Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b z +1 + z + i đạt giá trị lớn A P = ) thỏa mãn z = 2 Tính P = a + b C P = −4 B P = D P = Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z ( z + − 4i) số ảo Tính giá trị P = b − a z + i + z − − i đạt giá trị lớn A P = 10 + C P = 10 − B P = − 10 − D P = − 10 Bài Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + − i = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ P = z1 − z2 A P = 2 B P = 2 + C P = D P = 2 − Bài (THPT chuyên ĐH Vinh) Giả sử z1, z2 hai số phức z thoả mãn iz + − i = z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 là: A B C D Bài (Trường THPT chuyên Nguyễn Đắc Đạo - Bắc Ninh) 3 i Gọi z số phức thoả mãn điều + i z2 = − + 2 2 kiện 3z − 3i = Đặt M m giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hai số phức z1 = biểu thức T với T = z + z − z1 + z − z2 Tính mơđun số phức = M + mi A 21 B 13 C D Giải Trước hết ta giải tốn hình học sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I bán kính R Gọi H điểm di động cung nhỏ BC Tìm vị trí H để P = HA + HB + HC có giá trị lớn nhỏ Trên đoạn AH lấy điểm E cho HB = HE (1), HBE có BHE = BCA = 600 nên HBE Suy ABE + EBC = EBC + CBH = 600 suy ABE = CBH Ta có AB = BC BH = BE suy ABE = CBH (c.g.c) suy AE = CH (2) Từ (1) (2) suy HA = AE + EH = HB + HC suy HA + HB + HC = 2HA Vậy P max HA đường kính dễ dàng tìm P Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z1 , z H điểm biểu diễn cho H trùng với ba đỉnh tam giác ABC số phức z Từ điều kiện 3z − 3i = suy A, B, H O thuộc đường tròn (C ) : x + y − = ta có tam giác ABO nên OH + HA + HB đạt giá trị 3 lớn H giao điểm thứ hai OI với (C ) đạt giá trị nhỏ H trùng với ba đỉnh tam giác ABO Khi giá trị lớn M = 21 giá trị nhỏ m = suy giá trị = Nhận xét: Bài tốn hình học chứa Bài xem kỹ thuật để sử dụng hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị môđun số phức khác Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z +2 +2 z −2 A max T = B max T = 10 C max T = D max T = *Bài toán Cho bốn điểm A, B, M , N phân biệt cố định, điểm I thay đổi thỏa mãn IA = IB a) Tìm vị trí điểm I cho IM + IN có giá trị nhỏ b) Tìm vị trí điểm I cho IM − IN có giá trị lớn Giải a) Gọi đường trung trực đoạn thẳng AB , theo giả thiết ta có điểm I thuộc đường thẳng Khi đó, ta có trường hợp sau: Trường hợp Hai điểm M N nằm hai phía , điểm I giao điểm MN Trường hợp Hai điểm M N nằm phía , gọi M điểm đối xứng M qua , ta có: IM + IN = IM + IN M N Do vị trí 10 Giải Gọi z1 = a + bi , z2 = c + di ( a, b, c, d R ) điểm M (a; b) N (c; d ) biểu diễn cho z1, z2 hệ toạ độ Oxy Từ giả thiết ta có điểm M thuộc đường tròn (T ) có tâm gốc tọa độ O , bán kính R = điểm N thuộc đường thẳng : x + y + = Ta có d (O, ) nên đường thẳng đường tròn (T ) khơng có điểm chung Mặt khác z1z2 = ac + bd + (bc − ad )i ; z1z2 = ac + bd + (−bc + ad )i nên suy z1z2 + z1z2 = 2(ac + bd ) , Q = c2 + d − 2(ac + bd ) = (c − a)2 + (b − d )2 − suy Q = MN − (vì a2 + b2 = ) Sử dụng kết Bài toán Gọi H hình chiếu vng góc O : x + y + = H (−1; −1) Đoạn OH cắt đường 2 2 +− i ;− tròn (T ) điểm J − suy M J N H hay z1 = − 2 z2 = −1 − i Vậy P = − − Ví dụ Biết số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1( z1 + − 4i) số ảo z2 = Biểu thức Q với Q = z1 + z2 z2 − + 2i − ( z1z2 + z1z2 ) − 2017 đạt giá trị nhỏ số phức z1 = a + bi z2 = c + di với số a, b, c, d R Tính P = a+b+c+d A P = − B P = C P = −1 D P = Giải Gọi z1 = a + bi , z2 = c + di ( a, b, c, d R ) M (a; b), N (c; d ) biểu diễn cho z1, z2 hệ toạ độ Oxy Từ giả thiết ta có M thuộc đường tròn (T ) có tâm I (−1;2) , bán kính R = điểm N thuộc đường thẳng : −2 x + y + = Do d (I, ) nên đường thẳng đường tròn (T ) khơng có điểm chung Mặt khác ta có: z1z2 = ac + bd + (bc − ad )i ; z1z2 = ac + bd + (−bc + ad )i nên ta suy z1z2 + z1z2 = 2(ac + bd ) Do ta có: Q = a + b2 + c2 + d − 2(ac + bd ) − 2017 hay Q = (c − a)2 + (b − d )2 − 2017 suy biểu thức Q = MN − 2017 Sử dụng kết Bài toán Gọi điểm H hình chiếu vng góc điểm I đường 1 thẳng : −2 x + y + = Khi suy điểm H có tọa độ cặp số ; −1 2 Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J ( 0;0 ) O suy M J N H hay 1 z1 = 0, z2 = − i Vậy P = − 2 15 Nhận xét: Trong Bài tốn ta thực đường thẳng thay đường cong khơng có điểm chung với (T ) Nhưng kỹ thuật sử dụng việc tìm giá trị nhỏ hàm số thay cho việc dùng khoảng cách Ví dụ (Trường THPT - Gia Định - TP.HCM) Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − 10 − i = Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 A − B 101 − C 101 + D + Giải Ta có z1 + i = z1 − z1 − 2i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm x2 parabol ( P) : y = z2 − 10 − i = suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 2 nằm đường tròn (T) : ( x − 10 ) + ( y − 1) = Đường tròn (T) có tâm I (10;1) a2 bán kính R = Xét điểm A a; ( P ) Sử dụng Bài toán Nhận xét ta có z1 − z2 nhỏ IA2 nhỏ M nằm I A Từ ta a4 a2 việc tìm giá trị a để IA = f (a) = + − 20a + 101 cách khảo sát 16 lập bảng biến thiên suy Min IA = Vậy Min z1 − z2 = −1 Bài tập tự luyện Bài (Đề thi thử THPT QG - Bắc Giang - 2018) Cho hai số phức z, w thoả mãn z − − 2i điều kiện w + + 2i w − − i A Pmin = Tìm giá trị nhỏ Pmin P = z − w −2 −2 B Pmin = + C Pmin = 2 D Pmin = 2 +1 Bài ( THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) Cho số phức phức z thoả mãn z − z + = ( z − + 2i )( z − + 3i ) Tìm giá trị nhỏ w , biết w = z − + 2i A w = B w = C w = D w = 2 Bài ( Trường THPT Thanh Chương 1) Biết số phức z1, z2 thoả mãn điều 2 kiện z − − z + i = 1, z − − i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P với P = z1 − z2 16 A P = C P = B P = D P = Bài Biết số phức z1, z2 thoả mãn z1 + + z1 − = 10 , z2 −1 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A P = 16 − B P = 18 − C P = − D P = 10 − Bài Biết số phức z1, z2 thoả mãn z1 − − 2i = , ( z2 − 1)( z2 + 2i ) số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A P = B P = + 5 C P = − 5 D P = *Bài tốn Cho nửa đường tròn (T ) có tâm O , bán kính R đường kính AB M điểm chuyển động nửa đường tròn (T ) Xác định vị trí M để tổng MA + 3MB đạt giá trị lớn Giải Ta có AMB = 900 , nên theo định lí Pitago có: MA2 + MB2 = AB2 = 4R2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số 1; ( MA;MB) ta suy ( ) ( ) MA + 3MB MA2 + MB = 4R 3MA = MB AMB nửa tam giác Đẳng thức xảy MAB = 600 *Kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Biết số phức z thoả mãn điều kiện z ( z + − 4i) số ảo Biểu thức Q = z − − i + z + − 3i đạt giá trị lớn z = a + bi với a, b R a + 2b − Tính P = a + b A P = −3 + B P = 3 +3 C P = −3 − D P = 3 −3 Giải 17 Gọi số phức z = a + bi ( a, b ) điểm M (a; b) điểm biểu diễn cho số phức z Từ giả thiết ta có điểm M thuộc đường tròn (T ) có tâm điểm I (−1;2) , bán kính R = biểu thức Q = MA + 3MB với A (1;1) B ( −3;3) Ta kiểm tra đoạn thẳng AB đường kính đường tròn (T ) từ giả thiết biểu thức Q = z − − i + z + − 3i đạt giá trị lớn z = a + bi với số a, b R 3 +3 ; 2 a + 2b − Sử dụng kết Bài tốn Ta tìm điểm M hay số phức z = 3 +3 +3 + i Vậy P = 2 ( ) Nhận xét: Ta thay cặp số 1; cặp số ( ; ) xét tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Việc tìm số phức Ví dụ kết nhiều không đẹp cho tốn trắc nghiệm Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = 17 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ P = 1999 z + − i + 2017 z − + 3i Tính M + m ( A M + m = 8302 17 B M + m = 17 C M + m = 4034 17 D M + m = 17 ( ) 19992 + 20172 + 1999 ) 19992 + 20172 + 1999 Giải Ta có z − − 2i = 17 suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I ( 2;2 ) bán kính 17 Xét điểm A( −2;1) , B ( 6;3) M ( x; y ) Khi P = 1999MA + 2017MB với AB đường kính đường tròn tâm I ( 2;2 ) nên ta có P = 1999 68 − MB + 2017MB Ta hàm số f ( x) = 1999 68 − x + 2017 x, x 0;2 17 , từ cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn ta suy Pmin = 1999.2 17 , Pmax = 17 19992 + 20172 Vậy M + m = 17 ( 19992 + 20172 + 1999 ) Ví dụ (THPT Quảng Xương - Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z −1 = Tìm giá trị lớn biểu z + 3i thức P = z + i + z − + 7i A 10 B 20 C D Giải 18 Sử dụng Bài tốn với đường tròn (C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 20 , A( 0; −1) B ( 4;7 ) ta Pmax = 20 2 Bài tập tự luyện Bài (Trường THPT Chu Văn An - Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + i + z − − i A max T = C max T = B max T = D max T = Bài (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z −1 A max T = B max T = 10 C max T = D max T = Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z −1 A max T = 15 B max T = C max T = 20 D max T = 10 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2 Tìm tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức T = z −1 + 2018 z + + 4i ( 1+ 2018 +1) ( + 2018 + 1) A 2018 B C 4036 D 2 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2 Tính giá trị lớn biểu thức T = a z −1 + b z + + 4i với a, b số thực dương A a + b2 B 2a + 2b2 C 2a + 2b D a + b2 Nhận xét : Ta giải toán mà giả thiết cho điểm A , B I thẳng hàng Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 3i = Tìm giá trị lớn P = z −1 + z + − 2i A B C 2 D Giải Từ giả thiết ta có điểm M biểu diễn cho số phức 3 z thuộc đường tròn tâm I − ; bán kính 2 R= , A (1;0 ) , B ( −1;2 ) Suy điểm A , B I thẳng hàng IA = 3IB , ta tìm giá trị 19 ( ) ( lớn MA + 3MB Ta có MA2 + 3MB = MI + IA + MI + IB ) suy MA2 + 3MB2 = 4MI + IA2 + 3IB2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta ( MA2 + 3MB2 ) (1 + 3) = có MA + 3MB Vậy P max = Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z −1 − i + z + + 3i = Giá trị lớn z − − 3i là: B A D 5 C Giải Gọi I (1;1) , J ( −1; −3) , A ( 2;3) Xét số phức z = x + yi ( x, y R ) , có điểm biểu diễn M ( x; y ) suy MI + MJ = Do M di chuyển đường elip có tiêu điểm I J , độ dài trục lớn Tìm giá trị lớn z − − 3i tức tìm độ dài lớn đoạn thẳng AM điểm M di chuyển elip.Ta có: IA = (1;2 ) ,JA = ( 3;6 ) JA = 3IA , điểm A nằm trục lớn elip Suy AM đạt độ dài lớn M trùng với B , đỉnh elip nằm trục lớn khác phía A so với điểm I Gọi S trung điểm IJ suy S( 0; −1) Độ dài đoạn AB = SA + SB mà AS = ( −2; −4 ) suy AS = 5, SB = = AB = 5 Vậy z − − 3i max = 5 Ví dụ : Cho số phức z, w thỏa mãn z − + 3i = 3, iw + + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 3iz + 2w A 554 + B 578 + 13 C 578 + D 554 + 13 Giải 3iz − −15i = 3iz − −15i = 3i 3iz − −15i = 3i −i −i −2w − + 8i ) = −2w − + 8i = −2w − + 8i = iw + + 2i = ( 2 Ta có z − + 3i = Gọi A B điểm biểu diễn 3iz −2w suy A, B thuộc đường tròn tâm O(9;15) bán kính đường tròn tâm I(4; −8) bán kính suy OI = 554 Khi T = 3iz + 2w = 3iz − ( −2w ) = AB u cầu tốn trở thành tìm AB max Vì OI = 554 + AB max = AO + OI + IB = 554 + 13 20 *Bài tốn Cho đường tròn (T ) có tâm điểm I , bán kính R dây cung BC khác đường kính đường tròn Tìm vị trí điểm A thuộc cung lớn BC cho AB + AC lớn Giải E Gọi D điểm cung lớn BC D lấy điểm E đối xứng với điểm B qua đường A thẳng AD Ta chứng minh ba điểm E , A C ba điểm thẳng hàng hay ta có góc EAD + DAC = 1800 Thật vậy, đường thẳng AD đường trung trực đoạn thẳng BE C B suy DAE = DAB Mặt khác, ta có tứ giác ADCB tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I nên góc DAC = DBC mà ta có góc DBC = DCB ( BD = DC ) nên ta suy hệ thức sau: EAD + DAC = DAB + DCB = 1800 (do tứ giác ADCB nội tiếp) Khi ta có đẳng thức AB + AC = AE + AC = EC Mặt khác EC DE + DC = DB + DC nên ta suy AB + AC lớn 2BD Vậy AB + AC lớn điểm A nằm cung lớn BC *Kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) Biết số phức z thoả mãn điều kiện z − + 3i = Tính P = a + b z −1 + 3i + z − + 5i đạt giá trị lớn B P = + A P = + C P = 2 D P = + 2 Giải Sử dụng Bài toán với B (1; −3) , C (3; −5) , (C ) : ( x − 3) + ( y + 3) = ta tìm ( ) ( ) điểm A + 2; −3 + hay z = + + −3 + i Vậy P = 2 Ví dụ Biết số phức z thoả mãn z ( z + − 4i) số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức Q = z + − i + z − 4i A Q = B Q = 10 + 10 C Q = 10 + 10 D Q = Giải Sử dụng kết Bài toán với hai điểm B ( −3;1) , C ( 0;4) đường tròn (C ) , 2 (C ) : ( x +1) + ( y − ) = ta tìm d ( I , BC ) + R = + Từ ta suy 21 2 giá trị lớn Q là: 3 Q=2 5+ = 10 + 10 Vậy + Q = 10 + 10 z −1 = Tìm giá trị lớn z + 3i Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện biểu thức P = z − + i + z + − i A 10 + B 10 + C 10 + D 10 Giải Sử dụng kết Bài toán với hai điểm B ( 4; −1) , C ( −2;1) đường tròn (C) với (C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 20 ta tìm phương trình đường BC : x + y −1 = , 2 điểm I ( 2;3) Khi d ( I , BC ) + R = + 10 Từ ta suy giá trị lớn ( ) ( biểu thức P cần tìm là: P = 2 + 10 + 10 ) = 10 + Vậy P = 10 + Bài tập tự luyện Bài Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + − i + z −1 − i A P = + B P = + 2 z số thực + z2 C P = 16 + D P = 4 + 2 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( − z )( i + z ) số ảo Tìm giá trị 1 lớn biểu thức P = z − i + z − + i 2 10 + A P = 10 + B P = C P = 10 +10 D P = 10 + Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = (1 + i ) z Tìm giá trị lớn biểu thức P = z −1 + z −1 + 2i A P = + B P = + 2 C P = + 2 D P = 4 + 2 22 *Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC đường thẳng : ax + by + c = a2 + b2 Tìm tọa độ điểm M đường thẳng cho P = MA2 + MB2 + MC có giá trị nhỏ ( ) Giải Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn IA + IB + IC = (*), sau ta tiến hành phân ( ) ( ) ( tích biểu thức P sau: P = MI + IA + MI + IB + MI + IC hợp với điều kiện (*) điểm I ta đưa P thành P = ( + + ) MI2 + IA2 + IB + IC Từ ta có P MI có giá trị nhỏ hay M hình chiếu vng góc I đường thẳng Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với , M giao điểm d hay tọa độ M nghiệm hệ gồm phương trình d phương trình ) kết A I B C M *Kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn điều kiện z − 3i = z −1 − i , M , A , B C điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = , z2 = 4i z3 = + 4i Khi điểm M thỏa mãn MA2 + 2.MB2 + 3.MC đạt giá trị nhỏ Tính P = 10 ( a + b ) A 10 B 43 C −43 D −95 Giải Áp dụng kết Bài toán với M ( a; b ) , A ( 2;0 ) , B ( 0;4 ) , C ( 2;4 ) điểm I 10 điểm thỏa mãn đẳng thức IA + 2.IB + 3.IC = suy điểm I ; Điểm M 3 thuộc đường thẳng có phương trình x − y + = suy d : x + y − = 17 13 M ; Vậy P = 43 10 Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn điều kiện z + i = z − i , M , A , B C điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = + 5i , z = −6 − i z3 = + i Khi điểm M thỏa mãn MA2 − 2.MB2 + 3.MC đạt giá trị nhỏ Tính P = ( a + b ) + 2000 A 2018 B 2020 C 2019 D 2000 23 Giải Áp dụng kết Bài toán với M ( a; b ) , A( 4;5) , B ( −6; −1) , C (1;1) điểm 19 I điểm thỏa mãn đẳng thức IA − 2.IB + 3.IC = suy điểm I ;5 Điểm M 19 19 thuộc đường thẳng có phương trình y = suy d : x − = M ;0 Vậy P = 2019 Nhận xét: Đối với tốn có hai điểm A B cách giải hoàn toàn tương tự tốn ba điểm Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b 1 ) thỏa mãn z − + i = z − + i , 8 M , A B điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = i z = + 4i Khi điểm M thỏa mãn 2.MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = 1000 ( a + b ) + 20 A 2020 B 1020 C 520 D 2018 Giải Áp dụng kết Bài toán với M ( a; b ) , A( 0;1) , B ( 3;4) điểm I điểm thỏa mãn đẳng thức 2.IA + IB = suy điểm I (1;2 ) Điểm M thuộc đường thẳng : x − y − = suy d : x + y − = M ( 2;0 ) Vậy P = 2020 Nhận xét: Trong Bài toán ta thay đường thẳng đường tròn (C ) , điểm M cần tìm hai giao điểm đường thẳng qua hai điểm I tâm đường tròn (C ) với đường tròn Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thoả mãn điều kiện z ( z + − 4i) số ảo, M , A , B C điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = −4 + i , z = + 4i z3 = − 2i Khi điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC đạt giá trị nhỏ Tính P = ( a + b ) + 2000 A 2018 B 2020 C 2019 D 2002 Giải Áp dụng kết Bài toán nhận xét với M ( a; b ) , A( −4;1) , B ( 2;4) , C ( 2; −2) điểm I điểm thỏa mãn đẳng thức IA + IB + IC = suy điểm I ( 0;1) Điểm M thuộc đường thẳng (C ) có phương trình ( x +1) + ( y − 2) = suy 2 24 10 10 ;2 − tâm J ( −1;2 ) , đường thẳng IJ : x + y − = M −1 + Vậy 2 P = 2002 Bài tập tự luyện Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z − − i = z − − i , M , 2 A , B C điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = −4 + i , z = + 4i z3 = − 2i Khi điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC đạt giá trị Tính P = ( a + b ) A B −4 Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b C D 1 ) thỏa mãn z − + i = z − + i , M , 8 A B điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = + 2i z = + 5i Khi điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = 10 ( a + b ) A 10 B −35 C 35 D 40 Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b ) Biết số phức z thoả mãn điều kiện z − + 3i = , M , A B điểm biểu diễn cho số phức z , z1 = i z = + 4i Khi điểm M thỏa mãn 2.MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = 29 ( a + b ) + 2012 A 2020 B 1020 C 520 D 2018 25 C PHẦN KẾT LUẬN Hiện nay, toán học đại, khả tư đại chúng nói chung nâng cao lên bậc, nhìn nhận đối tượng người học tương đối linh hoạt nhiều góc độ Tuy nhiên, gặp tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khó hầu hết e ngại, gặp khó khăn kỹ thuật định hướng, xác định hướng đi, cách làm nhanh tốn “Kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức” xem “chìa khóa” mở hướng chung “con đường” giải nhanh tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Đó vận dụng linh hoạt kỹ thuật sử dụng tốn cực trị quen thuộc hình học phẳng khả biến đổi để đưa tốn có cấu trúc đại số phức tạp tốn dễ hiểu, từ dễ dàng vận dụng giải nhanh toán, quan trọng hơn, đề tài hướng đến kích thích, tìm tòi, sáng tạo học sinh giải toán trắc nghiệm khó cực trị mơđun số phức Qua việc thực nghiên cứu này, đề tài đạt kết quả: Trình bày hệ thống lý luận thực tiễn liên quan đến toán trắc nghiệm cực trị môđun số phức Phân loại dạng toán, kỹ thuật sử dụng tốn cực trị quen thuộc hình học phẳng tìm lời giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Đề tài đánh giá cao tính hiệu giảng dạy giáo viên, học tập học sinh đơn vị áp dụng: Trường THPT Quỳnh Lưu 4, THPT Cở Đỏ THPT Đơng Hiếu Trong q trình áp dụng, đề tài tác giả thường xuyên cập nhật ví dụ tự luyện đề thi minh họa đề thi thử trường THPT nước Sưu tầm sáng tạo tốn có tính chất liên kết, xếp chúng theo trình tự từ đến phức tạp đa dạng theo tính chất Song song đó, đề tài đưa số tập tự luyện sưu tầm sáng tạo nhằm thể tương tác đề tài đến đối tượng người học Giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khơng có đường nhất, mà phản ánh nhiều cách thức, hướng khác Đề tài hướng hướng sáng tạo, thế, nhiều thiếu sót, mong đồng nghiệp bổ sung thêm để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cám ơn ! Quỳnh Lưu , tháng năm 2018 Tác giả Ngô Quang Vân 26 D PHỤ LỤC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM TẠI CÁC CƠ SỞ * Năm học 2016 - 2017 tiến hành thực nghiệm đề tài cho học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Quỳnh Lưu 4, THPT Đơng Hiếu - TX Thái Hòa THPT Cờ Đỏ - Nghĩa Đàn Tôi thu kết sau: Kết kiểm tra số (Trước dạy chuyên đề) Cơ sở THPT Quỳnh Lưu Đông Hiếu Cờ Đỏ Số lượng học sinh khảo sát 10 10 10 Số học sinh làm câu Số học sinh làm câu 3 Số học sinh làm câu 0 Kết kiểm tra số (Sau dạy chuyên đề) Cơ sở THPT Quỳnh Lưu Đông Hiếu Cờ Đỏ Số lượng học sinh khảo sát 10 10 10 Số học sinh làm câu 0 Số học sinh làm câu Số học sinh làm câu 7 * Năm học 2017 - 2018 tiến hành thực nghiệm đề tài cho học sinh giỏi môn Tốn trường THPT Quỳnh Lưu 4, THPT Đơng Hiếu - TX Thái Hòa THPT Cờ Đỏ - Nghĩa Đàn Tôi thu kết sau: Kết kiểm tra số (Trước dạy chuyên đề) Cơ sở THPT Quỳnh Lưu Đông Hiếu Cờ Đỏ Số lượng học sinh khảo sát 10 10 10 Số học sinh làm câu Số học sinh làm câu 4 Số học sinh làm câu 1 Kết kiểm tra số (Sau dạy chuyên đề) Cơ sở THPT Quỳnh Lưu Đông Hiếu Cờ Đỏ Số lượng học sinh khảo sát 10 10 10 Số học sinh làm câu 0 Số học sinh làm câu Số học sinh làm câu 7 27 Qua bảng kết thực nghiệm cho ta thấy: Trước dạy chuyên đề có khoảng 5% thực được, khoảng 30% thưc nửa khoảng 65% học sinh khảo sát không làm câu Sau dạy chuyên đề có khoảng 73% thực được, khoảng 26% thưc nửa khoảng 1% học sinh khảo sát không làm câu Như việc đưa đề tài “Kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức” vào giảng dạy ôn thi THPT quốc gia mang lại hiệu cao cho học sinh giỏi Qua trang bị thêm cho học sinh hành trang để xử lý câu vận dụng thấp vận dụng cao đề thi THPT quốc gia liên quan đến cực trị môđun số phức 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại học sư phạm G Polya, Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục 1992 Bộ Giáo dục Đào tạo, Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội Đặng Việt Đông (Chủ biên), Công phá Toán 1, 2, 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn (chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục BGD - ĐT, Đề minh họa mơn Tốn năm 2018 Đề thi thử THPT QG năm 2018 trường THPT chuyên không chuyên - Violet đề thi Trần Công Diêu (chủ biên), 11 chuyên đề trọng tâm giải nhanh trắc nghiệm Toán, NXB ĐHQG HN 10 Thái Văn Quân (chủ biên), Rèn kỹ giải toán trắc nghiệm 12, NXB ĐHQG HN 29