Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ 12 Đây là đề tài hay về định hướng tìm đáp án trắc nghiệm cho các bài toán cực trị trong hình học tọa độ 12. Góp phần đơn giản hóa việc giải các bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ. Làm cẩm nang cho các em học sinh ôn thi TN THPT trong giai đoạn hiện nay. Đề tài hướng tới các thuật toán để tìm đáp án cho các bài tập trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Đề tài: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4 Đề tài: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ 12 Thuộc môn: Toán học Tên tác giả: Ngô Quang Vân Tổ bộ môn: Toán – Tin - VP Số điện thoại liên hệ: 0984879679 Năm thực hiện: 2019 - 2020 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 A ĐẶT VẤN ĐỀ 2 B NỘI DUNG .3 I CƠ SỞ LÍ LUẬN 3 II THỰC TRẠNG 3 III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .5 1 Định hướng thông qua các bài toán quen thuộc trong hình học phẳng 5 1.1 Hệ thống các bài toán cơ sở .5 1.2 Hệ thống các bài toán cơ sở trong không gian 6 1.3 Các ví dụ thực hành giải toán 9 2 Định hướng thông qua việc phát hiện và giải các bài toán hình học 12 Ví dụ 1, 2, 3 …………………………………………………………12 3 Định hướng tìm lời giải thông qua giả thiết đặc biệt của bài toán 14 Ví dụ 1, 2, 3 15 4 Định hướng từ hệ thống bài toán “công thức” 16 4.1 Hệ thống bài toán “công thức” 16 4.2 Các ví dụ thực hành giải toán 20 4.3 Các bài toán đề xuất .23 5 Bài tập tự luyện 24 C PHẦN KẾT LUẬN 28 D PHỤ LỤC .29 Hướng tiếp tục mở rộng và nghiên cứu đề tài .30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 1 A ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách và lâu dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Tầm quan trọng đó đặt lên vai những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề Trong các khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất tốt đẹp của con người lao động mới để các em vũng vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước Ở trường phổ thông dạy học toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo trong ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán Như vậy việc định hướng tìm lời giải cho học sinh là một trong những khâu then chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh học tập môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghị tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với nhiều học sinh là rất khó khăn và không tự tìm đường lối giải được Quá trình định hướng tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán Quá trình này là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo – một khả năng không thể thiếu đối với một người giải toán Hình học tọa độ trong không gian đóng một vai trò quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là trong đề thi THPT quốc gia hiện nay Hình học tọa độ trong không gian xuất hiện trong đề với tư cách là các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao, các câu hỏi quyết định và phân loại học sinh Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì cần hơn nữa cho học sinh những định hướng rõ ràng và học sinh chỉ cần tra giả thiết vào là có ngay đáp án Nhìn chung đa số học sinh đều chưa trang bị được cho mình các phương pháp đó hoặc có thì cũng chưa được rõ ràng và bài bản Là giáo viên tôi luôn trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các định hướng trước mỗi bài toán khó để học sinh có thể tìm thấy được những thuật toán, tạo tích lũy cho bản thân để giải quyết nhanh các bài toántrắc nghiệm trong khoảng thời gian ngắn 2 Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải các bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, làm phong phú thêm hệ thống các phương pháp giải dạng toán này Nhận thức được thực tế đó, tác giả mạnh dạn đề xuất chuyên đề nghiên cứu “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Hiện nay, với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi do đó hệ thống các bài toán nêu ra cũng bắt buộc phải đổi mới theo hướng này Sự đổi mới đó cũng yêu cầu người học tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phá tan” được lớp bảo vệ và đưa bài toán về đúng bản chất của nó và từ đó có thể giải được một cách nhanh gọn Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có được kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học sinh khá và giỏi Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tòi, nghiên cứu của bản thân; học hỏi các giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề trên thành một chuyên đề được gọi là các định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12 Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12: Dựa vào các bài toán cực trị quen thuộc trong hình học phẳng, hình học tọa độ 10, hình học không gian thuần túy và kết hợp với việc khái quát, tổng quát hóa Từ đó đưa ra được hệ thống các bài toán cơ sở, làm định hướng để vận dụng giải các bài toán khác một cách nhanh gọn và phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phương pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán Từ những kiến thức cơ bản dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao) II THỰC TRẠNG Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong dạy ôn thi THPT QG, các bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12là một vấn đề khó tiếp cận với học sinh và giáo viên Cái khó ở đây thể hiện có nhiều phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học tọa độ 12nhưng lại khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho từng bài toán đó Mỗi bài toán đưa ra đều được che đậy bởi một lớp phủ bên ngoài bản chất của bài toán Đồng thời các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học tọa độ 12không thể sử dụng được trực tiếp (thời gian không cho phép) mà phải thông qua các bài toán định hướng Nói cụ thể hơn, từ 3 các bài toán cực trị trong hình học phẳng, hình học tọa độ 10 và các bài toán quen thuộc trong hình học không gian để đưa ra các định hướng và từ đó tìm được ngay lời giải phù hợp cho bài toán đặt ra Đây chính là điểm yếu mà học sinh và giáo viên phổ thông cần có thêm sự hộ trợ để giải quyết các bài toán loại này Việc rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ là một vấn đề hết sức khó khăn Nhận thức được thực trạng đó tôi đã tiến hành làm thực nghiệm ở các lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 4, bằng hai bài kiểm tra 10 phút trên 10 học sinh của mỗi lớp Đề kiểm tra số 1(Thực hiện khi chưa dạy chuyên đề- Mức độ vận dụng) Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 2; 2 và mặt cầu S : x 3 2 y 2 2 z 4 2 25 Điểm M a; b; c thuộc S sao cho AM lớn nhất Tính T a b c A T 2 B T 4 C T 12 D T 16 B 3;1;3 Câu 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1;0;3 , M a; b; c và C 1;5;1 Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho biểu thức uuur uuur uuur T 2 MA MB MC có giá trị nhỏ nhất Khi đó a b c bằng: A 2 B 10 C 0 D 3 “ Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” Đề kiểm tra số 2(Thực hiện sau khi dạy chuyên đề - Mức độ vận dụng) Câu 1 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng và mặt cầu N a; b;c S : x 3 2 y 2 z 3 4 2 2 : x 2 y 1 z 1 1 1 S Điểm M thuộc và điểm thuộc sao cho MN nhỏ nhất Tính T a b c A T 2 B T 4 C T 3 D T 5 Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho hai điểm A 2;1;1 , B 0; 1;1 2 M a; b; c thuộc mặt cầu S sao S : x 1 y 2 z 2 4 và mặt cầu Điểm 2 2 cho MA MB nhỏ nhất Tính T a b c A T 3 B T 4 C T 2 D T 3 “Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” 4 Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở trang 29 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi minh họa, đề thi thử của các trường và đề thi THPT QG Có một số câu của dạng toán này có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm và đào tạo chuyên môn mũi nhọn Đối với bài toán cực trị trong hình học tọa độ có nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán bằng các phương pháp này, đòi hỏi các đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để định hướng và đưa bài toán đa màu sắc về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể giải quyết dễ dàng khi gặp những bài toán loại này Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho các bài toán cực trị trong hình học tọa độ là rèn luyện khả năng định hướng đưa bài toán ban đầu về các bài toán mà chỉ cần tra giả thiết vào là cho kết quả, tạo khả năng liên kết các bài toán có cùng dạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến Với gần hai mươi năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu, bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học tọa độ bằng định hướng sử dụng các bài toán cực trị quen thuộc và hệ thống các bài toán cơ sở trong hình học Sau đây làbốn định hướng cơ bản mà tôi đã sử dụng trong quá trình ôn thi cho học sinh và đã đạt được một số kết quả cao trong các kỳ thi THPT quốc gia 1 Định hướng thông qua các bài toán quen thuộc trong hình học phẳng Một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian, thường chứa đựng trong bản chất của nó một bài toán cực trị khá quen thuộc trong hình học phẳng Nên định hướng để giải quyết bài toán luôn là một vấn đề khá hấp dẫn Với mục này tôi muốn xây dựng hệ thống các định hướng tìm lời giải xuất phát từ bản chất của các bài toán đó 1.1 Hệ thống các bài toán cơ sở Đây là hệ thống các bài toán ta thường gặp trong hoạt động giải toán cực trị trong hình học phẳng Nó được xem như là hệ thống các bài toán cơ sở giúp ta xây dựng được hệ thống các bài toán định hướng trong hình học không gian Bài 1 Cho hai điểm A, B cố định Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA MB min, MA MB max C Bài 2 Cho điểm A cố định Tìm điểm M thuộc đường tròn sao cho MA lớn nhất, MA nhỏ nhất 5 Bài 3 Tìm các điểm M , N lần lượt thuộc hai đường tròn ngoài nhau C1 , C2 sao cho độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất, MN nhỏ nhất C Bài 4 Tìm các điểm M , N lần lượt thuộc đường thẳng và đường tròn không có điểm chung sao cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất C và điểm M nằm ngoài Đường thẳng qua M C cắt tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị lớn nhất của MA MB Bài 5 Cho đường tròn C 1.2 Hệ thống các bài toán cơ sở trong không gian Xuất phát từ hệ thống các bài toán cơ sở trên, bằng cách khái quát hóa ta đưa ra được hệ thống các bài toán cơ sở tương tự trong không gian Trang bị cách giải cho các bài toán đó để nó trở thành các công cụ phục vụ cho việc định hướng tìm lời giải nhanh cho các bài toán đặt ra sau này Bài 1 Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định Tìm điểm M thuộc MA MB min, MA MB max đường thẳng sao cho Cách giải * Tìm M � P + Nếu A, B MA MB suy ra MA MB min P khác phía đối với sao cho min khi và chỉ khi A, B, M thẳng hàng M AB � P Vậy giá trị MA MB nhỏ nhất bằng AB P + Nếu A, B cùng phía đối với P Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua ta có MA MB MA1 MB MA MB min Do A1 và B khác phía đối với (P) nên � MA1 MB min khi và chỉ khi A1, B, M thẳng hàng M A1B � P suy ra P Vậy giá trị MA MB nhỏ nhất bằng A1B M � P MA MB max * Tìm sao cho P + Nếu A, B khác phía đối với B A M A1 P Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua ta có: MA MB MA1 MB A P M 6 A1 B MA MB MA1 MB �A1B � MA MB max A1B A1, B, M thẳng hàng � M A1B � P Từ đó tìm được toạ độ điểm M P + Nếu A, B cùng phía đối với ta có: MA MB �AB � MA MB max AB � A, B, M thẳng hàng � M AB � P Bài 2 Cho mặt cầu S cố định có tâm I bán kính R S và điểm A cố định Điểm M di động trên mặt cầu Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất Cách giải S * TH1: A thuộc mặt cầu Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A , AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I * TH2: A không thuộc mặt cầu Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng đi qua A , I và S ; giả sử AB AC S S +) Nếu A nằm ngoài mặt cầu thì với điểm M bất kì trên S , ta có: AM �AI IM AI IB AB Đẳng thức xảy ra khi M �B AM �AI IM AI IC AC Đẳng thức xảy ra khi M �C S S +) Nếu A nằm trongmặt cầu thì với điểm M bất kì trên , ta có: AM �IM IA IB IA AB Đẳng thức xảy ra khi M �B AM �AI IM AI IC AC Đẳng thức xảy ra khi M �C Vậy khi M trùng với B thì AM đạt giá trị nhỏ nhất Vậy khi M trùng với C thì AM đạt giá trị lớn nhất Bài 3 Cho hai mặt cầu ngoài nhau S1 S có tâm I , bán kính R1 ; mặt cầu 2 có 7 tâm J , bán kính R2 Tìm vị trí của điểm M trên S1 , điểm N trên S2 sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Cách giải S Gọi là đường thẳng đi qua I , J ; cắt mặt cầu 1 tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử AJ JB ) ; cắt S2 tại hai điểm phân biệt C , D ( giả sử ID IC ) S S Với điểm M bất khì trên 1 và điểm N bất kì trên 2 , ta có: * MN �IM IN �IM IJ JN R1 R2 IJ AD Đẳng thức xảy ra khi điểm M trùng với A và N trùng với D MN �IM IN �IJ IM JN IJ R1 R2 BC * Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất và khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4 Cho mặt cầu S có tâm I , bán kính R và đường thẳng không có S S điểm chung với Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất Cách giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên S Đoạn IH cắt mặt cầu tại J Với điểm N trên , điểm M trên S , ta có: MN �IN IM �IH IJ JH const Đẳng thức xảy ra khi N �H , M �J Vậy khi M trùng với J ; N trùng với H thì MN đạt giá trị nhỏ nhất S có tâm I , bán kính R và điểm M nằm ngoài S Đường thẳng qua M cắt tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị lớn nhất của MA MB Bài 5 Cho mặt cầu S Cách giải Gọi là góc tạo bởi MB và MI Áp dụng định lí Côsin cho tam giác MIA và MIB ta có: 8 � chỉ khi HK KT hay H �T Góc lớn nhất đó chính bằng góc AKT 1, 2 Do đó véc tơ pháp tuyến của mp là ur ur � ur ur � n � u 1 , � u 1 , u 2 � � � � Bài 5 Trong không gian, viết phương trình mặt phẳng và tạo với mặt phẳng Q một góc nhỏ nhất P chứa đường thẳng M x0 ; y0 ;z 0 thuộc ; mặt phẳng P chứa nên điểm M thuộc P Phương trình P : A x x0 B y y0 C z z0 0 uur P Q n Bước 2: Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là P ( A; B; C ) Mặt phẳng Cách giải: Bước 1: Gọi uur có vectơ pháp tuyến là cos nQ ( A '; B '; C ') AA ' BB ' CC ' A2 B 2 C 2 Gọi là góc giữa P và Q Ta có 2 2 A '2 u Bu r' uurC ' P Bước 3: chứa nên nP ud 0 biểu thị sự liên quan giữa A, B, C Tìm giá trị lớn nhất của cos P và điểm A thuộc P , điểm B P đi qua A và cách B một khoảng Bài 6 Trong không gian, cho mặt phẳng khác A Tìm đường thẳng nằm trong nhỏ nhất Cách giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên đường thẳng ,ta thấy d B, BH �AB ) B P T A H Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H �A u r u r uuur u n , AB � � �P � Khi đó là đường thẳng qua A có một véc tơ chỉ phương là Gọi P T là hình chiếu của B trên , ta thấy BH �BT Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H �T hay đường thẳng đi qua A và T Để viết phương trình đường thẳng ta có hai cách: +/ Tìm hình chiếu vuông góc T của điểm B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua A và T ur +/ Tìm toạ độ một véc tơ chỉ phương của đường thẳng : Bài 7 Trong không gian, cho mặt phẳng P ur � ur uuur � u �n P , � n P , AB � � � � P và điểm A thuộc , đường P P thẳng d không song song hay nằm trên Tìm đường thẳng nằm trong đi qua A và tạo với đường thẳng d góc bé nhất, lớn nhất Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với d Trên đường thẳng này lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vuông góc của B A d 19 K P A H P trên và theo thứ tự là H và K � � Ta có: d , BAH ; d, � Vậy sin � d, BH BK � AB AB nhỏ nhất khi và chỉ khi H �K , hay chính là đường thẳng AK ur ur ur ur u � n , �n , u �� �P �P d � � Ta thấy một véc tơ chỉ phương của là , còn đường thẳng u r u r u r u � nP ,u d � � � tạo với d góc lớn nhất bằng 900 và có vectơ chỉ phương là P Bài 8 Trong không gian, cho mặt phẳng P và điểm A thuộc ,đường thẳng d không song song với P , không nằm trên P , không đi qua A Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đường thẳng d là lớn nhất P đi qua A sao cho khoảng cách giữa và Cách giải: Gọi d �là đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d và B là giao P điểm của d với mặt phẳng Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d� , mặt phẳng Khoảng cách giữa d và bằng BH Gọi C là hình chiếu vuông góc của B d d’ H C B P A trên d � Ta thấy BH �BC ,nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H �C r r uur � u � n P , BC � � Khi đóuu đường thẳng có một véc tơ chỉ phương Có thể thay u r uuu r vectơ BC bằng AT , trong đó T là hình chiếu vuông góc của A trên d Bài 9 Trong không gian, tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức T a.MA2 b.MB 2 c.MC 2 với a, b, c �R lớn nhất (nhỏ nhất) uur uur uuur r Cách giải: Gọi G là điểm thỏa mãn: aGA bGB cGC 0 Khi đó T được biểu diễn: uuuur 2 = uuuur uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuuu r T a MG GA b MG GB c MG GC uuur uuur 2 uuuu r a b c MG 2MG aGA bGB cGC a.GA2 b.GB 2 c.GC 2 +) Nếu a b c 0 ta có Tmin � MGmin � M là hình chiếu của G lên +) Nếu a b c 0 ta có Tmax � MGmin � M là hình chiếu của G lên 20 Bài 10 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho với a , b , c �� nhỏ nhất uur uur uuur uuur uuur T a.MA b.MB c.MC uur r uuur bGB cGC 0 Cách giải: Gọi G là điểm thỏa mãn: aGA T a b c MG a b c MG Khi đó T được biểu diễn: Do đó Tmin � MGmin � M là hình chiếu của G lên 4.2 Các ví dụ thực hành giải toán Sau khi đã xây dựng được cho học sinh hệ thống các bài toán “công thức”, ta tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải thông qua hoạt động giải các bài toán trắc nghiệm sau A 1;0;0 B 3;2;4 C 0;5;4 Ví dụ 1 Cho tam giác ABC với , , Tìm toạ độ uuu r uuu r uuur T MA MB 2 MC Oxy điểm M thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất A M 1;3;0 B M 1; 3;0 C M 3;1;0 D M 2;6;0 Giải Áp dụng định hướng [4.1 Bài 10], ta tìm được G 1;3;3 suy ra M 1;3;0 A 1;2;0 B 1; 1;3 Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz cho các điểm , , C 1; 1; 1 và mặt phẳng ( P ) : 3 x 3 y 2 z 15 0 Xét M ( a; b; c) thuộc mặt 2 2 2 phẳng ( P ) sao cho 2MA MB MC nhỏ nhất Giá trị của a b c bằng: A 3 B 7 C 2 D 1 Giải Áp dụng định hướng [4.1 Bài 9], ta tìm được G 1;2; 2 suy ra M 4; 1;0 A 2; 1; 2 Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm và đường x 1 y 1 z 1 1 1 Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm thẳng d có phương trình 1 A , song song với đường thẳng d và khoảng cách từ d tới mặt phẳng P là lớn nhất Khi đó mặt phẳng A x y 6 0 C x 2 y 3 z 1 0 P vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? B x 3 y 2 z 10 0 D 3 x z 2 0 Giải 21 uuuu r Áp dụng định hướng [4.1 Bài 3], ta tìm được H 1;1;1 suy ra AH 1;2;3 P P Phương trình mặt phẳng là: x 2 y 3 z 10 0 suy ra vuông góc với mặt phẳng 3x z 2 0 P Ví dụ 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa y 7 z 8 : x 1 1 2 1 sao cho khoảng cách từ điểm A 7; 1; 2 đường thẳng P P đến đạt giá trị lớn nhất Biết khi đó giá trị của tổng a b là: A 1 B 3 có một vectơ pháp tuyến là r n a; b;4 C 6 , D 2 Giải Áp dụng định hướng [4.1 Bài 2], ta tìm được điểm K 3; 3; 10 uuuur và H �K P suy ra AH 4; 2; 8 2 2;1;4 Khi đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là r n 2;1;4 Vậy ta có a b 3 x y 1 z2 : 1 2 1 và Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng Q P mặt phẳng có phương trình 2 x y 2 z 4 0 Mặt phẳng chứa đường Q thẳng và tạo với mặt phẳng góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là: A x z 2 0 B x z 2 0 C 3 x y z 1 0 D x y z 3 0 Giải Áp dụng định hướng [4.1 Bài 5], gọi là góc giữa hai mặt phẳng và r r ur u r P n �0 u 1;2;1 n P A; B; C Gọi là vectơ pháp tuyến của , là vectơ chỉ P Q r r P phương của chứaur nên n P u 0 � A 2B C 0 � C A 2 B Suy u r n A; B; A 2 B n 2; 1; 2 ra P và Q ur ur nQ n P 3B cos ur ur nQ n P 3 2 A2 4 AB 5B 2 Ta có 0 TH1: Nếu B 0 ta có: cos 0 � 90 22 cos TH2: Nếu B �0 : 1 2 A �A � 2 � � 4 5 0 0 B �B � 0 � �90 nên nhỏ nhất khi 2 2 A A �A � �A � 2 � � 4 5 2 � � 4 5 cos lớn nhất, suy ra �B � B B nhỏ nhất Ta có �B � nhỏ 1 A cos 1 0 3 � 90 nhất khi B Khi đó Suy ra trường hợp 2 nhận, còn trường hợp 1 loại Ta chọn A 1 , B 1 suy ra ur M 0; 1;2 � C 1 suy ra Lấy điểm suy ra M �( P ) Phương P : x y 1 ( z 2) 0 trình của hay x y z 3 0 n 1;1; 1 B 1;2; 1 P Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz , cho điểm Gọi là mặt phẳng đi P qua điểm B và cách gốc toạ độ O một khoảng lớn nhất Khi đó mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A 2 x y 6 0 B x 3 y 2 z 10 0 C x 2 y 3z 1 0 D x z 2 0 Giải uuur Áp dụng định hướng [4.1 Bài 1],ta có vectơ OB (1;2; 1) là vectơ pháp tuyến P P x 2y z 6 0 của mặt phẳng Khi đó phương trình là: Ví dụ 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x y z x y 1 z 2 : 1 : 1 1 2, 1 1 1 Gọi là mặt phẳng chứa 1 và tạo với 2 một góc lớn nhất Khi đó mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A 2 x y 6 0 C x 2 y 3 z 1 0 B x 3 y 2 z 10 0 D x 2 z 2 0 Giải Ta thấy hai đường thẳng trên phân biệt và không song song với nhau Áp dụng ur ur định hướng [4.1 Bài 4], ta có: u 1 (1;1;2), u 2 (1;1;1) , suy ra ur ur � u r u r � u 1 , u 2 � � � (1;1;0) ur ur Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng � n �u 1 , � u 1 , u 2 � � � (2; 2;2) � Vậy phương trình mp là là: x y z 1 0 23 x y 1 z 1 � : Oxyz 1 1 2 , Ví dụ 8 Trong không gian tọa độ , cho đường thẳng điểm A 1;1;1 và điểm B 2;0;1 Gọi là đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng �và cách điểm B một khoảng lớn nhất Khi đó đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây ? x 1 y z 1 1 B 1 x 1 y 1 z 1 1 1 D 1 x y z A 1 1 1 x2 y2 z 1 1 C 1 Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng � Khi đó P đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm B một khoảng lớn nhất Áp dụng định hướng [4.1 Bài 6] cho trường hợp khoảng cách uur r r r uur � AB (1; 1;0), n P (1;1;2), u � n P , AB � � 2;2; 2 Vậy phương lớn nhất, ta có x 1 y 1 z 1 1 1 trình đường thẳng là 1 x 1 y 2 z � : Oxyz 2 1 2 Ví dụ 9 Trong không gian tọa độ , cho đường thẳng A 1;1;2 và điểm Gọi là đường thẳng qua A và vuông góc với �đồng thời tạo với trục Oz góc nhỏ nhất Khi đó đường thẳng vuông góc với đường thẳng nào sau đây ? x 1 y z 2 5 B 4 x y z A 1 3 2 x 1 y 1 z 2 2 5 C 4 x 1 y 1 z 1 1 2 D 3 Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng � Khi đó P đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A và tạo với trục Oz góc nhỏ nhất Áp dụng định hướng [4.1 Bài 7] cho trường hợp góc nhỏ nhất, ur ta ur u có n P (2;1;2) , ur ur ur u d (0;0;1) �k suy ra ur ur ur u � n , �n , u �� �P �P d � � x 1 y 1 z 2 (4;2; 5) Vậy phương trình đường thẳng là: 4 2 5 hay 24 x 1 y 1 z2 d: 1 1 1 , Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho P : x y z 1 0 và điểm A 1;1;1 Gọi là đường thẳng đi qua mặt phẳng A nằm trong mặt phẳng P và cách d một khoảng lớn nhất Khi đó đường thẳng vuông góc với đường thẳng nào sau đây ? x 1 y z 2 5 B 4 x y z A 1 3 2 x 1 y 1 z 2 2 5 C 4 x 1 y 1 z 1 1 2 D 3 Giải Dễ thấy d không đi qua điểm A , không song song và không nằm trong mặt �1 5 1 � C� ; ; � P A 0;2;1 phẳng Áp dụng định hướng [4.1 Bài 8], ta có , �3 3 3 �, uuur �1 1 2 � 1 r r uur ur BC � ; ; � 1; 1; 2 � u � n P , BC � n P 1;1; 1 3 3 3 3 �hay vectơ � � suyra và ur u 3; 1;2 x 1 y 1 z 1 1 2 Vậy phương trình đường thẳng là 3 4.3 Các bài toán đề xuất Tương tự như trên ta có thể xây dựng các bài toán “công thức” để có thể định hướng nhanh và giải quyết nhanh các dạng toán sau: x 2 y 1 z 1 d: Oxyz 1 2 2 và Câu 11 Trong không gian , cho hai đường thẳng x y 3 z 1 d� : 1 2 2 Gọi và P P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách giữa d � lớn nhất Phương trình của A 4 x y 3z 6 0 C x y z 2 0 P là: B 8 x 11y 7 z 12 0 D x 2 y 2 z 6 0 M 0;0;2 Câu 12 Trong không gian Oxyz , gọi là đường thẳng đi qua và song song với mặt phẳng A 5;0;0 P : x y z 3 0 sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng nhỏ nhất Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là:uur uu r u3 4; 1; 3 u2 2; 1; 3 A uur B uur u 2;1; 3 u 4;1;3 C 4 D 5 25 Mặt phẳng Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( P) đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất đi qua điểm nào sau đây? M 1;2;4 2;2;0 A B 1;1;2 C 1;1;4 D 0;1;3 A 1;1;1 , B 2;0;1 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai và mặt phẳng ( P) : x y 2 z 2 0 Viết phương trình chính tắc của đường P thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất A C d : d : x 1 y 1 z 1 3 1 2 x y z2 d : 2 2 2 B x2 y2 z 1 1 1 D d : x 1 y 1 z 1 3 1 1 Câu 15 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm y 5 z r d : x 1 2 2 1 Tìm một vectơ chỉ phương u của đường và đường thẳng thẳng đi qua M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng r bé nhất r r r M 2; 2;1 , A 1;2; 3 A u 2;2; 1 B u 1;7; 1 C u 1;0;2 D u 3;4; 4 5 Bài tập tự luyện S Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình 2 2 2 x 2 y 1 z 3 9 Điểm M x; y; z di động trên mặt cầu S Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x 2 y z 16 A 2 B 6 C 24 D 3 A 1;0;3 , B 3;1;3 Câu 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm C 1;5;1 M a; b; c và Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho biểu thức uuur uuur uuuu r T = 2 MA + MB + MC A 2 có giá trị nhỏ nhất Khi đó a b c bằng: B 10 C 0 D 3 S Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình 2 2 2 x 1 y 2 z 5 16 và điểm A 1;2; 1 Tìm tọa độ điểm B thuộc S sao cho AB có độ dài lớn nhất 26 A B 3; 6;11 B B 1;2;9 C B 1; 2;1 D B 1;2; 9 P : x 2 y z 1 0 Câu 4 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và hai điểm A 0; 2;3 , B 2;0;1 nhất Tính Điểm M a; b; c thuộc P sao cho MA MB nhỏ a 2 b2 c2 7 C 4 9 B 4 41 A 4 D 3 A 2; 2;4 B 3;3; 1 Câu 5 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm , và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 8 0 Xét M là điểm thay đổi thuộc P , giá trị 2 2 nhỏ nhất của 2 MA 3MB bằng: A 135 B 105 C 108 D 145 P : x 2 y 2z 3 0 Câu 6 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 và mặt cầu Giả sử M thuộc và N u r uuuu r S u 1;0;1 MN thuộc sao cho cùng phương với vectơ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất Tính MN A MN 3 B MN 1 2 2 C MN 3 2 D MN 14 x y z : Oxyz 2 2 1 và Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng Q mặt phẳng P : x 2 y 2 z 0 Gọi là mặt phẳng chứa sao cho góc giữa hai mặt phẳng A x 2 y z 0 P là nhỏ nhất Phương trình mặt phẳng là: B x 22 y 10 z 0 C x 2 y z 0 D x 10 y 22 z 0 và Q Q A 3; 1;0 Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm và đường thẳng đến d: x 2 y 1 z 1 1 2 1 Mặt phẳng lớn nhất có phương trình là: x y z2 0 A x y z 1 0 C chứa d sao cho khoảng cách từ A x y z 0 x 2 y z 5 0 D B A 10; 5;8 B 2;1; 1 Câu 9 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , C 2;3;0 P và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 9 0 Xét M là điểm thay đổi trên sao cho biểu thức MA2 2MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính MA2 2MB 2 3MC 2 27 A 54 B 282 C 256 D 328 A 1;4;3 Câu 10 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm và mặt phẳng P : 2 y z 0 Biết điểm B thuộc mặt phẳng P , điểm C thuộc Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là: A 4 5 B 6 5 C 2 5 D 5 Câu11 Cho a , b , c , x, y , z là các số thực thay đổi luôn thỏa mãn các điều kiện 2 2 2 x 1 y 1 z 2 4 và a b c 6 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 thức: P x a y b z c A 2 3 2 B 16 8 3 C 16 8 3 D 2 3 2 A 1;3;2 , B 2; 1;4 Câu 12 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm và hai điểm M , N thay đổi trên mặt phẳng Oxy sao cho MN 1 Giá trị nhỏ 2 2 nhất của AM BN là: A 28 B 25 C 36 D 20 A 1;0;0 B 0; 1;0 C 0;0;1 Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , , P : 2x 2 y z 7 0 P và mặt phẳng Xét M thuộcmặt phẳng , giá trị nhỏ uuur uuur uuur nhất của uuur MA MB MC MB A 19 bằng ? B 22 C 2 D 6 A 1;0;0 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm và P điểm B 2;3;4 Gọi là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt 2 2 S : x2 y 2 z 2 2 y 2 0 S : x 1 y 1 z 2 4 cầu 1 và 2 Xét hai điểm M , N bất kỳ thuộc mặt phẳng P sao cho MN 1 Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng: A.5 B.3 C.6 D.4 y 1 z 2 x d: Oxyz 1 2 1 và Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ , cho P : 2 x y 2 z 2 0 Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt uuur P một góc nhỏ nhất Gọi n a; b;1 là một vectơ pháp tuyến của Q mặt phẳng Q phẳng Đẳng thức nào sau đây đúng? A a b 1 B a b 2 C a b 1 D a b 0 28 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;4;2 và đường x 1 y 2 z d: 1 1 2 Viết phương trình mặt phẳng P chứa d sao cho thẳng P khoảng cách từ A đến là lớn nhất A 25 x 65 y 4 z 105 0 C 5 x 13 y 4 z 21 0 B 5 x 13 y z 21 0 D 5 x 13 y 5 z 21 0 A 4;0;0 Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm , B 4;4;0 C 0;4;0 D 2;2;6 , , và điểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM sao cho biểu thức P MA MB MC MD có giá trị nhỏ nhất A OM 6 11 B OM 2 11 C OM 4 2 D OM 2 59 O 0;0;0 Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm , �1 3 � �1 3 6 � B� ; ;0 � C� ; ; � � �2 6 3 � 2 2 A 1;0;0 , � � �, � � Hai điểm M và N di động trên AB, AC sao cho mặt phẳng OMN luôn vuông góc với mặt phẳng ABC Đặt AM x, AN y , đẳng thức nào sau đây đúng: 2 2 A x y 3xy B x y 3xy C x y 4 xy D x 2 y 3 xy O 0;0;0 , Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0;1;1 B 1;0;1 C 1;1;0 , , Hai điểm M và N di động trên AB, AC sao OMN ABC cho mặt phẳng luôn vuông góc với mặt phẳng Đặt AM x, AN y , khi đó x y 3xy Khi điểm M a; b; c ở vị trí làm cho tứ diện OAMN có diện tích toàn phần nhỏ nhất Tính T a b c A T 2 3 B T 4 3 C T 2 D T 1 A 2;0;0 Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm , B 0;4;2 C 2;2; 2 , Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt ABC S phẳng , là điểm di động trên đường thẳng d , G và H lần lượt là trọng tâm của ABC , trực tâm của SBC Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S � A Tính tích SA.S � 3 9 SA.S � A SA.S � A A 12 A6 2 B 2 A C SA.S � D SA.S � 29 C KẾT LUẬN Hiện nay, trong toán học hiện đại, khả năng tư duy đại chúng nói chung đã được nâng cao lên một bậc, sự nhìn nhận về cơ bản của đối tượng người học đã tương đối linh hoạt và nhiều góc độ Tuy nhiên, khi gặp những bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12 khó thì hầu hết đều e ngại, gặp khó khăn trong khả năng định hướng, xác định hướng đi, cách làm nhanh của bài toán đó “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12” được xem như “chìa khóa” mở ra hướng đi chung trên “con đường” giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12 Đó chính là sự vận dụng linh hoạt các bài toán cực trị quen thuộc trong hình học phẳng, trong không gian để giải quyết nhanh được các bài toán đó, và quan trọng hơn, đề tài hướng đến sự kích thích, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong giải các bài toán trắc nghiệm khó về cực trị trong hình học tọa độ 12 Qua việc thực hiện nghiên cứu này, đề tài này đã đạt được những kết quả: Trình bày hệ thống lý luận và thực tiễn liên quan đến bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12 Phân loại các dạng toán, các định hướng sử dụng các bài toán cực trị quen thuộc trong hình học tìm lời giải nhanh các bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình tọa độ không gian Đề tài cũng được đánh giá cao về tính hiệu quả trong giảng dạy của giáo viên, cũng như trong học tập của học sinh ở trên các nhóm học sinh được áp dụng tại trường THPT Quỳnh Lưu 4 Trong quá trình áp dụng, đề tài cũng được tác giả thường xuyên cập nhật các ví dụ mới và các bài tự luyện mới trong các đề thi minh họa và đề thi thử của các trường THPT quốc gia trên cả nước Sưu tầm và sáng tạo các bài toán có tính chất liên kết, sắp xếp chúng theo trình tự từ cơ bản đến phức tạp và đa dạng theo tính chất Song song đó, đề tài còn đưa ra một số bài tập tự luyện được sưu tầm và sáng tạo nhằm thể hiện sự tương tác của đề tài đến đối tượng người học Giải bài toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ lớp 12 không chỉ có một con đường duy nhất, mà nó được phản ánh dưới nhiều cách thức, hướng đi khác nhau Đề tài này chỉ là một hướng mới trong những hướng đi sáng tạo, vì thế, sẽ còn nhiều thiếu sót, mong các đồng nghiệp bổ sung thêm để đề tài được hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn! 30 D PHỤ LỤC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM TẠI CƠ SỞ * Năm học 2018 - 2019 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học sinh khá và giỏi môn Toán của trường THPT Quỳnh Lưu 4 Tôi đã thu được các kết quả sau: Kết quả bài kiểm tra số 1(Trước khi dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh sinh được không làm làm được Đơn vị lớp khảo sát được 12A1 12A2 12A4 10 10 10 3 5 6 3 1 2 Kết quả bài kiểm tra số 2(Sau khi dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh sinh được không làm làm được Đơn vị lớp khảo sát được 12A1 12A2 12A4 10 10 10 0 0 0 9 7 8 Số học sinh không đủ thời gian làm 4 4 2 Số học sinh không đủ thời gian làm 1 3 2 * Năm học 2019 - 2020 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học sinh khá và giỏi môn Toán của trường THPT Quỳnh Lưu 4 Tôi đã thu được các kết quả sau: Kết quả bài kiểm tra số 1(Trước khi dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh sinh được không làm làm được Đơn vị lớp khảo sát được 12A1 12A2 12A4 10 10 10 5 6 7 3 1 2 Kết quả bài kiểm tra số 2(Sau khi dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh sinh được không làm làm được Đơn vị lớp khảo sát được Số học sinh không đủ thời gian làm 2 3 1 Số học sinh không đủ thời gian làm 31 12A1 12A2 12A4 10 10 10 0 0 0 9 8 7 1 2 3 Qua bảng kết quả thực nghiệm cho ta thấy: Trước khi dạy chuyên đề có khoảng 20% thực hiện được, khoảng 20% thưc hiện được nhưng không đủ thời gian và khoảng 60% học sinh được khảo sát không làm được Sau khi dạy chuyên đề có khoảng 80% thực hiện được, khoảng 20% thưc hiện được nhưng không đủ thời gian và khoảng 0% học sinh được khảo sát không làm được Như vậy việc đưa đề tài “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị trong hình học tọa độ 12” vào giảng dạy ôn thi THPT quốc gia đã mang lại hiệu quả cao cho các học sinh khá và giỏi Qua đó trang bị thêm cho học sinh một hành trang mới để có thể xử lý được các câu vận dụng thấp và vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia liên quan đến cực trị hình học tọa độ trong không gian Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài Các bài toán cực trị trong hình học tọa độ 12 thường khó và nhiều dạng khác nhau, đề tài này mới chỉ đề cập đến bốn dạng định hướng cơ bản Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh và để các định hướng được đầy đủ hơn tôi sẽ nghiên cứu tiếp các bài toán về cực trị trong hình học tọa độ 12 ở mức độ vận dụng và vận dụng cao thường gặp trong các đề thi thử và đề thi THPT quốc gia TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học sư phạm 2 G Polya, Toán học và những suy luận có lí, NXB Giáo dục 32 3 Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục 1992 4 Bộ Giáo dục và Đào tạo, Toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội 5 Đặng Việt Đông (Chủ biên), Công phá Toán 1, 2, 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 6 Trần Văn Hạo –Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Hình học 12, NXB Giáo dục 7 BGD - ĐT, Đề minh họa môn Toán năm 2018 và 2019 8 Đề thi thử THPT QG năm 2018, 2019 và 2020 của các trường THPT chuyên và không chuyên - Violet đề thi 9 Trần Công Diêu (chủ biên), 11 chuyên đề trọng tâm giải nhanh trắc nghiệm Toán, NXB ĐHQG HN 10 Thái Văn Quân (chủ biên), Rèn kỹ năng giải toán trắc nghiệm 12, NXB ĐHQG HN 33 ... gọi định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị hình học tọa độ 12 Tổng quan lý luận định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm. .. gặp khó khăn khả định hướng, xác định hướng đi, cách làm nhanh toán “ Rèn luyện khả định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị hình học tọa độ 12? ?? xem “chìa... QUỲNH LƯU Đề tài: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ 12 Thuộc mơn: Tốn học Tên tác giả: Ngơ Quang Vân Tổ mơn: