Đây là chuyên đề luyện thi THPT quốc gia phần hình học không gian đầy đủ các dạng toán theo các đề từ năm 2010 đến nay. Được tác giả biên soạn theo dạng và có gợi ý phương pháp và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu tốt phục vụ cho việc giảng dạy và phục vụ cho việc tự ôn thi của học sinh.
Trang 1+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó a ( ) b ( ) : a b
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
0
( ) ( ) (( ),( )) 90
+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt ) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng
cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt ) (trên đường thẳng ∆)
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt ) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt )
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó
II Các định lý thường được sử dụng
Trang 2+/ / /( )
' ' ( )
B: Là diện tích đáy của lăng trụ
h: Là độ dài đường cao của lăng trụ
2 Thể tích khối chop
1
3
V h
B: Là diện tích đáy của khối chóp
h: Là độ dài đường cao của hình chóp
Trang 3+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung
Cách 2:
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đó d d d ( , ') d d P ( ,( )) d A P ( ,( )) với A là một điểm bất kỳ thuộc d
Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm B d 'dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)).
Trang 4II Các kỹ thuật tính khoảng cách và thể tích
1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán khoảng cách
Một kỹ thuật mà ta thường làm khi gặp bài toán khoảng cách, đó là việc chuyển khoảng cách cầntính về khoảng cách từ điểm đặc biệt nhất trong bài toán đến một mặt phẳng xác định Tôi xin đượcgọi nó là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán khoảng cách
a/ Một số kỹ thuật dời về điểm rơi
a , SA ( ABCD), góc giữa SB và đáy bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM), với M là trung điểm của CD
Trang 5S ABM S ABCD- 2S ADM a2
Ví dụ 2.(Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB =
2a, AD = a Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy mộtgóc bằng 45 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD)
Trang 6HC=a 2 suy ra SH=a 2
V 1SH S 1SH AB AD 2 2 3
Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó HMCD; CDSH suy ra CDHP
mà HP SM suy ra HP(SCD) Lại có AB//CD suy ra AB// (SCD) suy ra d(A;(SCD)) = d(H;
Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) ở bài toán này là điểm H (SH (ABCD))))
Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D, BC2 ,a AD a ,
Gọi E là trung điểm CH ME AD ME AD/ / , nên tứ giác ABEM là hình bình hành ME BC
E là trực tâm tam giác DCM DE CM tại I, DI // AM CM AM CM (SAM) d(D,(SAM)) = d(I,(SAM)) = IM
H
M
B C
Trang 7CH là đường cao của tam giác vuông BCD 2 3
Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) ở bài toán này là điểm I (IM (SAM))
Ví dụ 4 (Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếuvuông góc của A' trên ABC là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A C' và mặt đáy bằng 60 0Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A ' '
Giải
K
H A
Trang 8Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) ở bài toán này là điểm H (A ’ H (ABC))
Ví dụ 5 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ,a
· 60 ,
ABC
cạnh SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 60. Tính theo a thể tích
khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
Gọi H là trung điểm của CD Do DACD đều nên AH ^CD
Trong tam giác SAH kẻ AK ^SH
B
S
K
Trang 9Ví dụ 6 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 0
45 Gọi E là trung điểm của
BC Tính Thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC
+ Có DE và SC là hai đường thẳng chéo nhau
+ Trong (ABCD) kẻ CF // DE cắt AD kéo dài tại F
AK vuông góc với CF cắt ED tại H và CF tại K
3
D S
F
I
Trang 10Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) ở bài toán này là điểm A (SA (ABCD))))
Ví dụ 7 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy là hình thoi cạnh a,
120o
BAD và AC' a 5 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa haiđường thẳng AB' và BD theo a
Giải
Gọi O là tâm hình thoi ABCD
Do hình thoi ABCD có BAD 120o
ABC, ACD đều
Tứ giác AB'C'D là hình bình hành AB'//C'D AB'// (BC'D)
d(AB',BD) d(AB',(BC'D)) d(A,(BC'D)) d(C,(BC'D))
Vì BDAC,BD CC' BD (OCC') (BC'D) (OCC').
Trong (OCC'), kẻ CHOC' (H OC').
Trang 11Ví dụ 8 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, góc ACB
bằng 1200, đường thẳng A C' tạo với mặt phẳng ABB A góc ' ' 0
30 Gọi M là trung điểm của BB’.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, CC’ theo a
Giải
Kẻ CH AB, vì AA’(ABC) nên AA ' CH CH (ABB'A' ) 0
30'
2 0
3
a AB
'
Ta có: AM nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) và CC’ // (ABB’A’) nên
d(AM, CC’) = d(CC’, (ABB’A’))= d(C, (ABB’A’)) = CH =
7
21
a
Ví dụ 9 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a Góc giữa CA' và mặt (AA B B bằng ' ' ) 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' vàkhoảng cách giữa A I' và AC với I là trung điểm AB
Giải
M
C'
B' A'
C
B A
Trang 12AF A A AE a a a
Vậy: d AC A I , ' AFa 35210
Trang 13Ví dụ 10 (Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác vuông tại A,
AB a AC a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H
của cạnh BC; Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối lăng trụ
Gọi E là hình chiếu vuông góc của A'cạnh B C' '
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A' trên HE A K' HE (1)
Trang 14Bài 1 (Đề thi thử Violet) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a 3
, (a>0) và đường cao OA= a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích khối tứ diện và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM theo a
B K H
Trang 16d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H là hình
chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP) Cm được H thuộc cạnh PM áp dụng hệ thức lượng trong tam
' '
' ' '
2 2
a M C P C
P C M C H
Bài 4 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC
= 2a, góc BAC = 1200 Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chópS.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a
Trang 17Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AB
Theo giả thiết có SGABC
Xét tam giác ABC vuông tại B
Trang 18Xét tam giác SGE vuông tại G có 2 2 3 2 2 26
E A
Bài 6 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,
AB AC a và M là trung điểm của cạnh AB Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng
600 Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC và khoảng cách từ B đến mp(SAC)
Trang 19Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC ABDC là hình vuông.
+ Gọi I là hình chiếu của S lên mp(ABC) I nằm trên đường chéo AD sao cho AI 3AD
Từ (1) và (2) suy ra IH SAC d I SAC , IH
+ Xét tam giác SIK vuông tại I có: IK 3a SI; 3 6a
SI IK a IH
Bài 7 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a.
Hình chiếu vuông góc của A¢ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA C C¢ ¢ )
Trang 20tạo với đáy một góc bằng 45o Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢ và khoảng cách từ Bđến mặt phẳng AA’C’C theo a.
Giải
Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,AC,AM
Theo giả thiết, A H¢ ^(ABC BM), ^AC
Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên IH BM|| Þ IH ^AC
a HE
HE =HD +HA = a Þ =
Vậy: ( ,( ' )) 2 ( ,( ' )) 2 3
32
d B AA C C¢ = d H AA C C¢ = a
Bài 8 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD)) có đáy ABCD)) là hình vuông cạnh a Gọi I là
trung điểm AB, H là giao điểm của BD)) với IC Các mặt phẳng (SBD))) và (SIC) cùng vuông góc với
Trang 21đáy Góc giữa (SAB) và (ABCD))) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD)) và khoảng cách giữa0
hai đường thẳng SA và IC.
Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH(ABCD)
Dựng HEAB SHE AB, suy ra SEH
là góc giữa (SAB) và (ABCD) SEH 60 0
Gọi P là trung điểm của CD, suy ra AP
song song với CI d SA,CI d CI, SAP d H, SAP
Bài 9 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vuông
cân ở B và AB = a Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB.Biết diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 3a2 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từđiểm B đến mp(ACB’)
Giải
M
F K P
E
I H
Trang 22Diện tích tam giác ABC là:
2
1
2
1
a BC AB
1
2 2 2 2
2
a HK a
HE HI HA
Vậy
3
2 2
Gọi O là tâm tam giác đều BCD cạnh a
Do A.BCD là chóp đều nên AOBCD AO là đường cao của hình chóp
M N
I
Trang 23
3
a IK
Bài 11 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD)) có đáy ABCD)) là hình chữ nhật, SA a 3 và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD)) với mặt đáy bằng 300 Tính
thể tích khối chóp S.ABCD)) và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD)) và SC theo a.
Giải
O
E D
A
S
F H
Do SAABCD)) và SABcân nên AB SA a 3
Góc giữa SD với mặt đáy là góc SD))A 300
Trong tam giác SAD có tan 300 0 3
Trang 24Bài 12 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD)) có đáy ABCD)) là chữ nhật có tâm O, AB = a, tam
giác OAB là tam giác đều Tam giác SAB là tam giác đều, tam giác SCD)) là tam giác cân tại S Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD))) là điểm H thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD))
AB
4
3
3
.
a SH S
Ta có AB //CD AB //(SCD)))
)) (
, ( )
Trang 25Gọi M, N là trung điểm của AB và CD)).
SN SM a HN
SH
2 3
Do CD))//AB nên CD))SM SM (SCD))) SM d(AB, (SCD)))) Vậy
2
3 )
(SC AB a
Bài 13 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD)) có đáy ABCD)) là hình chữ nhật, hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD))) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD)) Biết
D S
H K
Ta có ABCB BC: 2MO a AB , AC2- BC2 3a
Trang 263
AH D))H , do SH (ABCD))) SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD và góc
giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc SBH 300
Vì tanSHB tan 300 SH SH HB.tan 300 AB2 AH2.tan 300
I
M
N
Trang 27Bài 15 (Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a.
Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, góc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’B theo a.
Giải
+
2
2 ' ' '
34
Trang 28C A
H A'
Ta có CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’,A’B) = d(C’,(ABB’A’)).
Dựng HM A’B’ Khi đó A’B’ (BMH) suy ra (ABB’A’) (BMH)
Dựng HK BM suy ra HK (ABB’A’).
2
3.3
( ,( ' '))
133
92
a a
0
0
tan 60
3 tan 60 3
Trang 29C B
BAC , hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC,
góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và ( ABCD) là 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD vàkhoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a
H O
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Ta có: OBAC SO, AC SOB 600
Tam giác SOH vuông tại H suy ra tan 600 tan 600
2
ABCD)) ABC
a
Trang 302 3
Bài 18 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Bài 19 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB Góc giữa mặt
Trang 31phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD
vuông tại H có SH HEtan 600 2 3.a
Hình vuông ABCD có diện tích bằng 4a2
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
3 2
Bài 20 (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác
SAB đều và tam giác SCD vuông tại S
1) Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD.
2) Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc cới SA Tính AM theo a.
3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
A
D S
F
M N
Trang 321) SABlà t/giác đều, cạnh a Gọi I, J lần lượt là t/điểm AB, CD
P
H
Trang 33 d AB SCD)) , d I SCD)) , Theo câu (1) IS v/góc SJ và AB v/góc (SIJ), AB // CD nên
CD v/góc (SIJ) => CD v/góc IS Từ đó IS v/góc (SCD) => IS = d (I, (SCD)) = 3
Bài 21 (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác
vuông cân ở B và AB = a Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H củacạnh AB Biết diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 3a2.Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từđiểm B đến mp(ACB’)
2
1
a BC AB
2 2 2 2 2
a HK a
HE HI HA
Vậy
3
2 2
'
; ACB HK a
B
Bài 22 (Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều có cạnh
bằng a và AB'a 3 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’
Trang 34AA’ là đường cao của lăng trụ Trong tam giác AA’B’: AA'a 2
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Vì AB//A’B’ nên AB//(SA’B’) Do đó d (AB, CB’) = d(AB,(CA’B’)) = d(I,(CA’B’))
Gọi H là trung điểm của đoạn AC
Góc giữa A’B và (ABC) là góc A’BH
=> góc A’BH = 45° => A’BH vuông cân tại H
=> A’H = HB = AC/2 = a
SABC = (1/2)HB.AC = a²
Trang 35VABC.A’B’C’ = A’H.SABC = a.a² = a³
Có A’A = A 'H2HA2 a 2 và AB = a 2 => A’A = AB
Nên A’ABB’ là hình thoi => AB’ vuông góc với A’B
Mặt khác AC vuông góc với HB và A’H => AC vuông góc với (A’HB) => AC vuông góc với A’BSuy ra A’B vuông góc với (ACB’)
Vậy đường thẳng A’B vuông góc với đường thẳng B’C
Bài 24 (Đề thi thử -2016) Cho hình chóp S ABCD)) có SA vuông góc với đáy, ABCD)) là hình chữnhật với AB3a 2,BC3a Góc giữa (ABCD)) với () SBC bằng ) 60 Gọi 0 M là trung điểm CD))
Chứng minh rằng (SBM) ( SAC) và tính thể tích tứ diện SABM
Giải
Gọi I BMAC,suy ra I là trọng tâm của tam giác BCD))
I M
S
C D
Bài 25 (Đề thi thử -Violet) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C biết góc giữa đường thẳng ' ' ' A'C
và mặt phẳng ( ABC) bằng 600 , AB a, AC 2a và BAC 1200 Tính thể tích khối lăng trụ
Trang 36Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) là A nên: ' ' 0
(AC ABC,( ) ( AC AC, )A CA' 60 Do đó3
2 60 tan
sin 2
AC AB
Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên
thể tích của hình lăng trụ là :
3 2
'
3 2
3 3 2
, ( 2
1 )) (
, ( )) (
, ( )
S AM B d
),(
; vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên
a BH a
AM a
a a BC AC AB
2
3 4
3 4
7 2
5 4 2
2 2 2 2 2 2
-
Trong tam giác vuông B’BH có 12 1' 2 12 BK a 3
BH B B
Vậy
2
3 )
,
C B AM
Bài 26 (Đề thi thử -Violet) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a.
Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, góc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’B theo a.
Giải
+
2
2 ' ' '
34
A B C
a
+Vì BH (A’B’C’) nên góc giữa
A’B với (A’B’C’) là góc giữa A’B với A’H.
Hay BA H ' 600
0' tan 60 3
Ta có CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’,A’B) = d(C’,(ABB’A’)).
Dựng HM A’B’ Khi đó A’B’ (BMH) suy ra (ABB’A’) (BMH)
D M
C' A'
A
B'
H K
M
C A
H A'
B'
C' B
K
Trang 37Dựng HK BM suy ra HK (ABB’A’).
2
3.3
( ,( ' '))
133
92
a a
Trang 38Bài 28 (Đề thi thử -Violet) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc
giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểmcạnh CC’ Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N)
Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A 'MA 60 0
Tam giác A’AM vuông tại A nên:
Khi đó: C là trung điểm BD và BAD 90 0
Gọi E là trung điểm AD, ta có: CE AD Dựng CH NE (H NE)
Trang 39Bài 29 (Đề thi thử -Violet) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với
7
AB a , AC2a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC trùng với trung
điểm H của cạnh AB; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 Tính theo 0 a thể tíchcủa khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
Giải
+ Tính V S ABC.
Ta có SH ABC SH là chiều cao của hình chóp S ABC
Xét ABC vuông tại C, ta có BC AB2- AC2 a 3
Diện tích ABC vuông tại C là: 1 1 2
ABC
S AC BC a a a Gọi I là trung điểm của BC, ta có HI BC (HI/ /AC và ACBC)
Trong ABC , dựng AD)) song song và bằng với CB
Ta có BC/ /AD)) và AD))SAD)) nên BC/ /SAD))
Do đó d SA BC , d BC SAD)) , d B SAD)) ,
Tính d H SAD)) ,
Gọi K là trung điểm của AD)), ta có HK AD)) (AD))BC là hình chữ nhật)
Trong SHK, kẻ HPSK Chứng minh được HPSAD))
a
Trang 40Tính được: 12 12 1 2 12 12 42
HP SH HK a a a
32
a HP
Suy ra , 3
2
a
d H SAD)) ; d B SAD)) , 2d H SAD)) , a 3 Vậy d SA BC , a 3
Bài 30 (Đề thi thử -Violet) Cho hình hộp chữ nhật ABCD)) A B C D)) ' ' ' ' có AD))2AB2a,' 3a
A C Gọi M là trọng tâm tam giác A AB' và N là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể
tích khối chóp M AND)) và khoảng cách giữa hai đường thẳng D))N và BM