Các dạng toán về hóc trong hình học không gian

Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo vàA. a SI.[r]

(1)

(2)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN 3

DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 3

DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 9

(3)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc

I A

B C

D S

H K CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN

DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA AB a, AD 3a   Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (SDM)

A 5

7 B

6

7 C

3

7 D

1 Hướng dẫn giải

Kẻ SHMD, H MD ,

mà SAMDSAHMDAHMD Do SMD , ABCD  SH,AHSHA  Ta lại có:

2

AMD

1 3a a 13

S 3a.a , MD CD CM

2 2

    

AMD

2S 6a 13 7a 13

AH SH

DM 13 13

    

AH cos

SH

    Vậy cosin góc hai mặt phẳng (SMD) (ABCD)

Vậy chọn đáp án B

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB 2a góc BAD 120 Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I hai đường chéo

a SI

2

 Tính góc tạo mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD)

A 300 B 450 C 600 D 900

Hướng dẫn giải Ta có BAD 120 0BAI 60

Suy ra:

0

0 BI sin 60

BI a AB

AI AI a cos60

AB

 

  

 

 

 

  



Gọi  góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)

Gọi H hình chiếu vng góc I AB Ta có:

 

AB SHI ABSH Do đó:  SH,IHSHI Xét tam giác vng AIB có:

2 2

1 1

IH a IH IA IB  

0

SI

tan SHI SHI 30 HI 3

    hay  300

Vậy chọn đáp án A

M A

B C

D S

(4)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu 3* Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a , SA SB

0

ACB 30 , SA SB Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a

4 Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC)

A

33 B

3

13 C

65

13 D

2 11 Hướng dẫn giải

Gọi D trung điểm BC, suy tam giác ABD cạnh a Gọi I, E trung điểm BD AB, H giao AI DE Khi dễ thấy H trọng tâm tam giác ABD

Ta có AIBC, DEAB

Vì SA SB SEAB, suy ABSDEABSH Khi ta có SHABC

Gọi K hình chiếu vng góc I lên SA, IK đoạn vng góc chung SA BC

Do IK d SA; BC  a



 

Đặt

2

a a a

SH h, AI , AH SA h

2 3

     

Lại có

2 SAI

a 3a a

AI.SH IK.SA 2S h h h a

2

      

Gọi M hình chiếu A lên SI, AMSBC Gọi N hình chiếu M lên SC,      

SC AMN  SAC , SBC ANM  Ta có: HI a 3; SI a 39 AM AI.SH 3a

6 SI 13

    

Mặt khác IM AI2 AM2 a 39 SI SM SI IM 5a ; SC a 30

26 39

        

Ta lại có SMN SCI MN SM MN SM.CI 3a 130

CI SC SC 52

      

AM 10 tan

MN

    hay cos 65 13

 

Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC)  với cos 65 13

 

Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB 2a, AC a, AA' a 10

   , BAC 120 Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính số đo góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’)

A 750 B 300 C 450 D 150

30°

I H

E D

A C

B S

K

(5)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Hướng dẫn giải

Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C'HABC Trong ABC ta có:

   

   

   

2 2

2

BC AC AB 2AC.AB.cos120 7a a

BC a CH

a C'H C'C CH

2

Hạ HKAC Vì C'HABC đường xiên C'KAC

   

 ABC , ACC'A'  C'KH

  (1)

( C'HK vuông H nên C'KH 90 0) Trong HAC ta có HK 2SHAC SABC a

AC AC

   C'H

tan C'KH C'KH 45 HK

     (2)

Từ (1) (2) suy ABC , ACC'A'  450

Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, A'A A' B A'C a 12

  

Tính góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC)

A 750 B 300 C 450 D 600

Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A (ABC)

Vì A'A A' B A'C  nên HA HB HC  , suy H tâm tam giác ABC

Gọi I, J trung điểm BC, AB

2

7a a a A' J AA' AJ

12 1 a a

HJ CJ

3

a A'H A' J HJ

2

    

  

   

Vì A'J AB A' JC AB A' JC CJ AB

 

  

 

 góc hai

mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) Khi a

A'H 2

tan A' JC A' JC 60 JH a 3

6

    

Vậy chọn đáp án D

Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B có AB = BC  Gọi H trung điểm AB, SH  (ABC) Mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 600 Cosin góc mặt

phẳng SAC  ABC là:

A'

B'

H C

B

A C'

K

I H J

A'

C'

B C

(6)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc

A.

5 B.

5

4 C.

10

5 D.

Kẻ HP AC SAC ; ABC   SPH cos SAC ; ABC    cosSPH HP SP

     

Ta có SBC ; ABC  SBHSBH 60

0 SH

tan 60 SH HB 3 HB

     

APH

 vuông cân P HP AH 2 2

   

2 2

SP SH HP 12 14 SP 14

       

   

  HP

cos SAC ; ABC

SP 14 7

   

Vậy chọn đáp án D

Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a Biết SO ABCD , AC = a thể tích khối chóp

3

a

2 Cosin góc mặt phẳng SAB  ABC là:

A.

7 B.

3

7 C.

1

7 D.

Kẻ OPABSAB ; ABC  SPO

   

 

cos SAB ; ABC cosSPOOP

SP

Cạnh AB BC a  AC a AB BC CA a    ABC sin 600 OP OP 3OA a a

OA 2 2

      

Ta có :

2

0

S.ABCD ABCD ABC

1 1 a a

V SO.S SO.2S SO.2 .a.a.sin60 SO

3 3

    

2

2 2 3a 147a

SO 3a SP SO OP 9a

16 16

       

   

  a

7a OP 4

SP cos SAB ; ABC

4 SP 7a 3

4

     

Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O SA  (ABCD) Để góc SBC SCD 600 độ dài SA

A. a B. a C. a D. 2a

(7)

Ta có BD AC BD SAC BD SC BD SA

 

   

 



Kẻ BISC ta có SC BI SC BID SC BD

 

 

 



   

 SBC , SCD BI,ID600

Trường hợp 1: BID 60 0BIO 30 Ta có tan BIO BO OI a OC a

IO 2

     (vô lý) Trường hợp 2: BID 120 0BIO 60

Ta có tan BIO BO OI a

IO

  

Ta có sin ICO OI tan ICO SA AC.tan ICO a

OC 2

      

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA= a , SB= SAB vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là:

A.

5

 B.

5 C.

1

 D.

Kẻ ME song song với DN với E AD suy AE a



Đặt  góc hai đường thẳng SM, DN nên SM;ME  Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có SHABCD

Suy SHADADSABADSA Do

2

2 2 5a a

SE SA AE SE

4

     ME a

2



Tam giác SME cân E, có cos cosSME 5

  

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB =2a, SA = a vng góc với mặt phẳng ABCD Cosin góc hai mặt phẳng SAD SBC là:

A.

2 B.

2

3 C.

2

4 D.

(8)

Ta có BD AD BD SAD BD SI BD SA

 

   

 



Kẻ DESI ta có SI BD SI BDE SI DE

 

 

  

   

 SAD , SBC  DE,BE

 

Ta có sin AIS SA SI 7

  mà sin AIS DE DI



a DE DI.sin AIS

7

  

BD

tan DEB cos DEB

ED

    

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , có AB = 2a, AD = DC = a, SA = a SA  (ABCD) Tan góc mặt phẳng SBC  ABCD là:

A.

3 B. C. D.

Ta có SBC , ABCD  ACS Ta có AC AD2DC2 a

SA tan ACS

AC 2

  

Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA  (ABC), SA = a Cosin góc mặt phẳng SAB SBC là:

A.

5



B.

5 C.

1



D.

Gọi M trung điểm AB

Ta có CM AB CM SAB CM SB CM SA

 

   

 



Kẻ MNSB ta có SB MN SB CMN SB CM

 

 

 



   

 SAB , SBC  MN,NC MNC

  

Ta có tan SBA SA SBA 600 AB

   

Ta có sin SBA MN MN a cosMNC

MB 5

(9)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu Cho tứ diện ABCD có mặt (ABC) (ABD) tam giác cạnh a, mặt (ACD) (BCD) vng góc với Tính số đo góc hai mặt đường thẳng AD BC

A 300 B.600 C.90 D 450

Hướng dẫn giải Gọi M, N, E trung điểm cạnh CD, AB, BD

Ta có: AB BN AB BCN AB MN AB CN

 

   

 



Do ACD cân A AMCD

 

AM BCD AM BM

     AMB vuông M AB a

MN

2

  

DM ND2NM2  3a3 a2 a

4 MNE

 tam giác MEN 60 Do NE / /AD AD,BC NE,EM 600

EM / /BC



  





Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a , SB a 3 mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN

A 7

5 B

2

5 C.

5

5 D

Gọi H hình chiếu S AB, suy SHABCD Do SH đường cao hình chóp S.BMDN

Ta có: SA2SB2 a23a2AB2 SAB vng S AB

SM a

2

   Kẻ ME DN E AD  AE a

  

∥

Đặt  góc hai đường thẳng SM DN Ta có: SM,ME 

Theo định lý ba đường vng góc, ta có: SAAE

Suy SE SA2 AE2 a 5, ME AM2 AE2 a

2

     

SME

 cân E nên SME 

a cos

5 a

2

  

E

N M

O

C

D A

B

S

H

M E

N

B D

(10)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A,

AB a, AC a 3  hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’

A 3

4 B

1

4 C

1

2 D

Gọi H trung điểm BC A'HABC

2

1

AH BC a 3a a

2

   

Do đó:

2 2

A'H A'A AH 3a A'H a 3 Vậy

3

A'.ABC ABC

1 a

V A'H.S

3 

  (đvtt)

Trong tam giác vng A’B’H có HB' A' B'2A'H2 2a nên tam giác B’BH cân B’ Đặt  góc hai đường thẳng AA’ B’C’  B' BH

Vậy cos a 2.2a

  

Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB AC a  , BAC 120 AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’) Gọi M, N trung điểm cạnh CC’ A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Tính cosin góc hai đường thẳng AM C’N

A

19 B

5

39 C

29 D

7

Ta có:BC2 AB2AC22AB.ACcosA 3a BC a 3 Gọi K hình chiếu B’ lên A’C’, suy A'C'AB'K Do đó:

   

 

AKB' A' B'C' , AA'C' 30 Trong tam giác A’KB’ có

0

KA' B' 60 , A' B' a nên B'K A' B'sin 600 a

 

Suy AB' B'K.tan 300 a

 

Gọi E trung điểm AB’, suy ME C'N∥ nên C'N,AM  EM,AM

Vì AB'C'NAEEMC'N,AMAME

a

2a

a 3

H A'

C'

B C

A B'

E N

M A'

C'

B C

A B'

(11)

 2

2 2 C' B' C'A' A' B'

1 a a

AE AB' ; EM C'N EM

2 4

 

     

2

2 2 29a a 29

AM AE EM AM

16

    

Vậy cos AME ME MA 29

 

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , AC =2a Mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh bên SA hợp với mặt đáy góc  thỏa mãn cos 21

6 Góc hai đường thẳng AC SB

A. 300 B. 450 C. 600 D. 900

Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AC SHAC

Mặt khác SAC  ABCSHABC

Mặt khác BC AC2AB2 a 2AB nên tam giác ABC vuông cân B BHAC

Lại có SHACACSBH SBAC

Câu Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ ' có cạnh đáy 2a Gọi G trọng tâm tam giác

ABC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) a

2 Góc hai đường thẳng chéo B’G BC gần

A. 61,280 B. 64,280 C. 68,240 D. 52,280

Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AC ta có: BMAC

Dựng CECC'CEC'MB

Do d C; BC'M   d C; BC'G   GE a

  

Khi

2 2

1 1

CC' a CE CM CC'  

Lại có BM a BG 2a B'G BG2 BB'2 a 39

3

      

Tương tự ta có C'G a 39



Do

2 2

0

C' B' GB' GC'

cosC' B'G C' B'G 61,29

2C' B'.GB' 39

 

   

Mặt khác B'C'/ /BCBC; B'G  B'C'; B'GC' B'G 61,29

(12)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu Cho hình chóp S ABCD có SA, SB, SC, đơi vng góc với SA = SB = SC = a Tính góc hai đường thẳng SM BC với M trung điểm AB

A. 300 B. 600 C. 900 D.1200

Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM

Và cắt đường thẳng SA N Do SM; BC  BN; BCNBC

Ta có SM||BN M trung điểm AB Nên SN SA SC a   NC a 2

NV 2SM a 2 

Mà BC SB2 SC2 a 2 NBC tam giác Vậy NBC 60 0SM,BC600

Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng CI AC, với I trung điểm AB

A. 100 B 300 C. 1500 D. 1700

Hướng dẫn giải

Ta có I trung điểm AB nên CI;CAICA

Xét tam giác AIC vuông I, có AI AB AC AI 2 AC

   

Suy sin ICA IA ICA 300 CI;CA 300 CA

     

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Các tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vng A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD biết SA= ,

AB a,AD 3a. 

A.

2 B.

3

2 C.

4

130 D.

Ta có tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Nên SAAB,SAADSAABCD

Gọi O AC BD Và M trung điểm SA Do OM||SC Hay SC|| MBD  nên SC; BD  OM; BDMOB

Có

2

2 SA a SC a 13

BM AM AB AB ,MO

4 2

(13)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc BD a 10

BO

2

  Áp dụng định lý cosin tam giác MOB Ta BM2OM2OB22OM.OB.cosMOB

2 2

OM OB BM cosMOB

2OM.OB 130

 

  

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cosin góc hai đường thẳng SD BC biết AD = DC = a, AB = 2a,



SA 2a 3

A.

42 B.

2

42 C.

3

42 D.

Gọi M trung điểm AB Ta có AM AD DC a   Mà AB song song với CD nên AMCD hình vng cạnh A Do DM song song với BC Suy SD; BC  SD; DMSDM Lại có SM SA2 AM2 a 21

3

  

Và DM a ,SD SA2 AD2 a 21

   

Áp dụng định lý cosin tam giác SDM, ta

2 2

SD DM SM cosSDM

2SD.SM 42

 

 

Câu 11 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI với I trung điểm AD

A.

2 B.

3

4 C.

3

6 D.

Gọi H trung điểm BD Ta có IH||ABAB|| HIC  Nên AB;CI  IH;ICHIC Mà IH a,CH CI a

2

  

Áp dụng định lý cosin tam giác HIC, ta

 

2

2 2

a

HI CI HC 3

cosHIC cos AB; CI

2HI.CI a a 3 6

2 2

   

   

    

(14)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu 12 Cho lăng trụ ABC.A’B’ C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 H hình chiếu đỉnh A lên mặt phẳng  A’B’C , H trùng với trung điểm

cạnh B’C’ Góc BC AC  Giá trị tan là:

A. B. -3 C.

3 D.

1



Hướng dẫn giải Ta có A'H hình chiếu AA' lên mặt phẳng đáy Do AA'; ABC AA'; A'HAA'H 60 Lại có A'H a AH tan 60 a a B'H

2 2

     nên AB' a



Và

0 A'H

AA' a AC' a

cos60

   

Mặt khác BC; AC'  AC'; B'C'AC' B'  Do

2 2

AC' B'C' AB' cos

2.AC'.B'C'

 

  

Suy

2

1

tan

cos

   



Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng AD, với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABCD H thuộc AB với AH = 2HB Biết SH = 2a , cosin góc SB AC là:

A.

2 B.

2

6 C.

1

5 D.

1



Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt CH K Ta có SB; AC  SB; BKSBK 

Xét hai tam giác đồng dạng ACH BKH có CH AH HK BH  Nên

2

SB SH HB a CH a

HK BK a 21

2 SK SH HK

2

   



    

   



Do

2 2

SB BK SK cosSBK cos

2.SB.BK

 

   

Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA = a; AB = a; BC = a Gọi I trung điểm BC Cosin góc đường thẳng AI SC là:

A.

3 B.

2

 C.

3 D.

(15)

Chuyên đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Gọi H trung điểm SBIH song song với SC

Do SC|| AHI   AI;SC  AI;HIAIH Ta có AI AB2 BI2 a

2

  

2

SC SA AC

IH a

2



  

2 2

AB AS BS a AH

2



  

Áp dụng định lý cosin tam giác AHI, có

2 2

AI HI AH cos AIH

2AI.AH 3

 

  

DẠNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, BC a , AA' a 2

cos BA'C

 Tính góc đường thẳng A’B mặt phẳng (A A’C’C)

A 300 B 450 C 600 D 900

Đặt AB x A' B2 A'C2x22a2

Áp dụng định lí hàm số cosin A' BC , ta có:

 

2 2 2

2

A' B A'C BC 2x 4a a

cos BA'C x a

2A' B.A'C 2 x 2a

   

    



Kẻ BHAC, BHAA'C'C

Suy góc đường thẳng A’B mặt phẳng (AA’C’C) góc BA'H Trong tam giác vng A’BH có

0

a BH 2

sin BA'H BA'H 30 A' B a 3

    

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB 3cm, BC' 2cm  Tính góc hợp đường thẳng BC’ mặt phẳng (ACC’A’)

A 900 B 600 C 450 D 300

Hướng dẫn giải Tính góc hợp đường thẳng BC’ mặt phẳng (ACC’A’)

Gọi H trung điểm cạnh AC, suy HC’ hình chiếu BC’ lên mặt phẳng (ACC’A’)

Do BC', ACC'A' BC';HC'

Ta có tam giác BHC’ vuông H, cạnh BH cm



H B

B' C'

A'

C

A

H C

B

A' B'

(16)

Ta có sin HC' B BH HC' B 300 BC'

    Vậy BC', ACC'A' 300 Vậy góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) 60

Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A 60 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Cho BB' a Tính góc cạnh bên đáy

A 300 B 450 C 600 D 900

Hướng dẫn giải Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy

Gọi O AC BD Theo giả thiết ta có B'OABCD

   

   

B' B ABCD B

B'O ABCD , O ABCD

  

 

 



 Hình chiếu B’B (ABCD) OB

 

B' B, ABCD  B' B,BO B' BO

   Tam giác ABD có AB AD a  , BAD 60 ABD tam giác OB a

2

 

Trong tam giác vuông B’OB: a

OB 2

cos B'OB B'OB 60 BB' a

    

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 4a Hai mặt phẳng (SAB)

và (SAD) vuông góc với đáy Tam giác SAB có diện tích 8a

3 Cơsin góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) bằng:

A. 19

5 B.

6

5 C.

6

25 D.

Gọi H hình chiếu vng góc D mặt phẳng (SBC)

 

     SH

SD; SBC HSD cos SD; SBC cosHSD SD

    

2 ABC

1 8a 4a

S SA.AB SA.4a SA

2 3

    

D.SBC SBC

1 V DH.S

3



3 D.SBC S.BCD BCD

1 4a 32a V V SA.S 4a.4a

3 3

   

3

SBC

1 32a 32a

DH.S DH

3 3S

   

O

C'

B' D'

C

A B

A'

D

H K

4a

A

B C

S

H

(17)

Từ BC AB BC SAB BC SB SSBC 1BC.SB 1.4a.SB 2a.SB

BC SA 2

 

       

 



2

2 2 2

SBC

4a 80a 80 80

SB SA AB 16a SB a S 2a

3 3

 

         

 

Thế vào (1)

3

32a 4a 10 DH

5 80 3.2a

3

  

2

2 2 4a 80a 80

SD SA AD 16a SD a

3 3

 

       

 

2

2 2 80a 4a 10 304a

SH SD HD

3 15

 

      

 

 

  a 304

304 SH 15 19

SA a cos SD; SBC

15 SD 80

a

     

Chọn A

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, CD  2a, AD = AB = a Hình chiếu vng góc S mặt đáy trung điểm H đoạn AB Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) a

3 Tan góc đường thẳng BC mặt phẳng (SCD) bằng:

A. B.

4 C.

2

2 D. 2

Gọi P hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SCD)

 

     BP

BC; SCD BCP tan BC; SCD tan BCP PC

    

        a

AB / /CD AB / / SCD d H; SCD d B; SCD BP BP

     

Ta có BC2 AD2CD AB 2 a22a a 22a2

2

2 2 a 16a

PC BC BP 2a

3

 

      

 

 

  a

4a BP 3

PC tan BC; SCD

4a

3 PC

3

     

(18)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB  2a ; AD = 2a SA 

ABCD Gọi M trung điểm CD, biết SC tạo với đáy góc 450 Cosin góc tạo đường thẳng

SM mặt phẳng  ABCD là:

A.

13 B.

13

29 C.

377

29 D.

277 29

Từ SA ABCD SM; ABCD  SMA cos SM; ABCD   cosSMA AM SM

     

Từ SAABCDSC; ABCD SCASCA 45 0 SAC vuông cân A

2 2

SA AC AB BC 4a 12a 4a

      

2 2 2

SM SA AM 16a 13a 29a SM a 29

       

 

  AM a 13 377

cos SM; ABCD

SM a 29 29

    Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B có AB = BC = a; SA  (ABC Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 600 Cosin góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABC

là:

A 10

15 B

10

10 C

10

20 D

Từ SA ABC SC; ABC  SCA cos SC; ABC   cosSCA AC SC

     

ABC

 vuông cân BAC AB 2 a +Ta có

 

SB; ABC  SBA SBA 600 tan 600 SA 3 SA a 3

AB

       

2 2 2

SC SA AC 3a 2a 5a SC a

       

 

  AC a a 10

cos SC; ABC

SC a 5

   

(19)

A 10

4 B

10

6 C

6

4 D

Lăng trụ đứng A' B'C.ABCA'AABC

 

     AB

A' B; ABC A' BA cos A' B; ABC cos A' BA A' B

    

ABC

 vuông BAC2 AB2BC23a2a2 4a2AC 2a

2 2 2

A'A A'C AC 9a 4a 5a

     

2 2 2

A' B A'A AB 5a 3a 8a A' B 2a

       

 

  AB a

cos A' B; ABC cos A' BA

A' B 2a 2

     Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC= a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD Cosin góc SC mặt phẳng SHD

A.

5 B.

5

3 C.

2

5 D.

Ta có SB2BC2SC22a2 SBBC mà BCAB

 

BC SAB BC SH

    mà SHABSHABCD

Kẻ CEHDCESHDSC, SHD SC,SECSE Ta có 1CE.HD 1SABCD CE 2a

2 2  

2 a 30 SE

SE SC CE cosCSE

5 SC

      

Câu 10 Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân A có AB = AC = 4a, góc BAC  1200 Gọi

M trung điểm BC, N trung điểm AB, SAM tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA = a Góc SN mặt phẳng  ABC là:

A. 300 B. 450 C. 600 D. 900

Hướng dẫn giải Ta có SN; ABC SN; NHSNH

Ta có MAC 60 0AM 2a,MC 2a 3 

2

1

AH AM a SH SA AH a

      

Ta có NH 1BM a

 

 

0

SH

tan SNH SNH 30 SN, ABC 30 NH

(20)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Vậy chọn đáp án A

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên  ABCD trọng tâm G ABD Biết SG = 2a , cosin góc SD  ABCD là:

A.

21 B.

5 21

 C.

41 D.

5 41



Hướng dẫn giải Ta có SD; ABCD SD,GDSDG

Ta có DG 2DM AM2 AD2 a

3 3

   

SG tan SDG

GD

  

 

5

cosSDG cos SD, ABCD

41 41

   

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD a Điểm H nằm cạnh AB thỏa mãn AH 1HB

3

 Hai mặt phẳng SHC SHD vng góc với mặt phẳng đáy Biết SA =a Cosin góc SD SBC là:

A.

12 B.

5

13 C.

4

13 D.

1

Kẻ HKSBHKSBC Gọi E DH BC, kẻ DF / /HK F EK  

      

DF SBC SD, SBC SD,SF DSF

    

Ta có SH SA2AH2 2a Xét SHB có 2 12 12 132 HK 6a 13 HK SH HB 36a   Ta có EH HB HK EH DF 8a

ED CD 4 DF ED 4  13 Ta có

2

SD SH DH 2a

2 2a 10 SF

SF SD DF cos DSF

SD 13 13

      

(21)

Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 8: Góc Câu 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 600 ,gọi M trung điểm BC

Cosin góc tạo với SM mặt đáy là:

A. cos

  B. cos

10

  C. cos

3

  D. cos

10

 

Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB SHAB

Mặt khác SAB  ABC suy SHABC Khi CH a SH CHtan 600 3a

2

   

Do M trung điểm BC nên HM BC a 2

 

2

HM

cosSMH

10 HM SH

 



Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,11 MB