Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo vàA. a SI.[r]
(1)(2)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
3
DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
3
DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
9
(3)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
I A
B C
D S
H K CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA AB a, AD 3a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (SDM)
A 5
7 B
6
7 C
3
7 D
1 Hướng dẫn giải
Kẻ SHMD, H MD ,
mà SAMD
SAH
MDAHMD Do
SMD , ABCD
SH,AH
SHA Ta lại có:2
2
AMD
1 3a a 13
S 3a.a , MD CD CM
2 2
AMD
2S 6a 13 7a 13
AH SH
DM 13 13
AH cos
SH
Vậy cosin góc hai mặt phẳng (SMD) (ABCD)
Vậy chọn đáp án B
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB 2a góc BAD 120 Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I hai đường chéo
a SI
2
Tính góc tạo mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD)
A 300 B 450 C 600 D 900
Hướng dẫn giải Ta có BAD 120 0BAI 60
Suy ra:
0
0 BI sin 60
BI a AB
AI AI a cos60
AB
Gọi góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)
Gọi H hình chiếu vng góc I AB Ta có:
AB SHI ABSH Do đó:
SH,IH
SHI Xét tam giác vng AIB có:2 2
1 1
IH a IH IA IB
0
SI
tan SHI SHI 30 HI 3
hay 300
Vậy chọn đáp án A
M A
B C
D S
(4)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 3* Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a , SA SB0
ACB 30 , SA SB Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a
4 Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC)
A
33 B
3
13 C
65
13 D
2 11 Hướng dẫn giải
Gọi D trung điểm BC, suy tam giác ABD cạnh a Gọi I, E trung điểm BD AB, H giao AI DE Khi dễ thấy H trọng tâm tam giác ABD
Ta có AIBC, DEAB
Vì SA SB SEAB, suy AB
SDE
ABSH Khi ta có SH
ABC
Gọi K hình chiếu vng góc I lên SA, IK đoạn vng góc chung SA BC
Do IK d SA; BC
a
Đặt
2
a a a
SH h, AI , AH SA h
2 3
Lại có
2 SAI
a 3a a
AI.SH IK.SA 2S h h h a
2
Gọi M hình chiếu A lên SI, AM
SBC
Gọi N hình chiếu M lên SC,
SC AMN SAC , SBC ANM Ta có: HI a 3; SI a 39 AM AI.SH 3a
6 SI 13
Mặt khác IM AI2 AM2 a 39 SI SM SI IM 5a ; SC a 30
26 39
Ta lại có SMN SCI MN SM MN SM.CI 3a 130
CI SC SC 52
AM 10 tan
MN
hay cos 65 13
Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) với cos 65 13
Vậy chọn đáp án C
Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB 2a, AC a, AA' a 10
, BAC 120 Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính số đo góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’)
A 750 B 300 C 450 D 150
30°
I H
E D
A C
B S
K
(5)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Hướng dẫn giảiGọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C'H
ABC
Trong ABC ta có:
2 2
2
BC AC AB 2AC.AB.cos120 7a a
BC a CH
a C'H C'C CH
2
Hạ HKAC Vì C'H
ABC
đường xiên C'KAC
ABC , ACC'A'
C'KH (1)
( C'HK vuông H nên C'KH 90 0) Trong HAC ta có HK 2SHAC SABC a
AC AC
C'H
tan C'KH C'KH 45 HK
(2)
Từ (1) (2) suy
ABC , ACC'A'
450Vậy chọn đáp án C
Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, A'A A' B A'C a 12
Tính góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC)
A 750 B 300 C 450 D 600
Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A (ABC)
Vì A'A A' B A'C nên HA HB HC , suy H tâm tam giác ABC
Gọi I, J trung điểm BC, AB
2
2
2
7a a a A' J AA' AJ
12 1 a a
HJ CJ
3
a A'H A' J HJ
2
Vì A'J AB
A' JC
AB A' JC CJ AB
góc hai
mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) Khi a
A'H 2
tan A' JC A' JC 60 JH a 3
6
Vậy chọn đáp án D
Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B có AB = BC Gọi H trung điểm AB, SH (ABC) Mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 600 Cosin góc mặt
phẳng SAC ABC là:
A'
B'
H C
B
A C'
K
I H J
A'
C'
B C
(6)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
A.
5 B.
5
4 C.
10
5 D.
1 Hướng dẫn giải
Kẻ HP AC
SAC ; ABC
SPH cos SAC ; ABC
cosSPH HP SP
Ta có
SBC ; ABC
SBHSBH 600 SH
tan 60 SH HB 3 HB
APH
vuông cân P HP AH 2 2
2 2
SP SH HP 12 14 SP 14
HPcos SAC ; ABC
SP 14 7
Vậy chọn đáp án D
Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a Biết SO ABCD , AC = a thể tích khối chóp
3
a
2 Cosin góc mặt phẳng SAB ABC là:
A.
7 B.
3
7 C.
1
7 D.
2 Hướng dẫn giải
Kẻ OPAB
SAB ; ABC
SPO
cos SAB ; ABC cosSPOOP
SP
Cạnh AB BC a AC a AB BC CA a ABC sin 600 OP OP 3OA a a
OA 2 2
Ta có :
2
0
S.ABCD ABCD ABC
1 1 a a
V SO.S SO.2S SO.2 .a.a.sin60 SO
3 3
2
2 2 3a 147a
SO 3a SP SO OP 9a
16 16
a7a OP 4
SP cos SAB ; ABC
4 SP 7a 3
4
Vậy chọn đáp án C
Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O SA (ABCD) Để góc SBC SCD 600 độ dài SA
A. a B. a C. a D. 2a
(7)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Ta có BD AC BD
SAC
BD SC BD SA
Kẻ BISC ta có SC BI SC
BID
SC BD
SBC , SCD
BI,ID
600Trường hợp 1: BID 60 0BIO 30 Ta có tan BIO BO OI a OC a
IO 2
(vô lý) Trường hợp 2: BID 120 0BIO 60
Ta có tan BIO BO OI a
IO
Ta có sin ICO OI tan ICO SA AC.tan ICO a
OC 2
Vậy chọn đáp án A
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA= a , SB= SAB vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là:
A.
5
B.
5 C.
1
D.
5 Hướng dẫn giải
Kẻ ME song song với DN với E AD suy AE a
Đặt góc hai đường thẳng SM, DN nên
SM;ME
Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có SH
ABCD
Suy SHADAD
SAB
ADSA Do2
2 2 5a a
SE SA AE SE
4
ME a
2
Tam giác SME cân E, có cos cosSME 5
Vậy chọn đáp án D
Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB =2a, SA = a vng góc với mặt phẳng ABCD Cosin góc hai mặt phẳng SAD SBC là:
A.
2 B.
2
3 C.
2
4 D.
2 Hướng dẫn giải
(8)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Ta có BD AD BD
SAD
BD SI BD SA
Kẻ DESI ta có SI BD SI
BDE
SI DE
SAD , SBC
DE,BE
Ta có sin AIS SA SI 7
mà sin AIS DE DI
a DE DI.sin AIS
7
BD
tan DEB cos DEB
ED
Vậy chọn đáp án C
Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , có AB = 2a, AD = DC = a, SA = a SA (ABCD) Tan góc mặt phẳng SBC ABCD là:
A.
3 B. C. D.
1 Hướng dẫn giải
Ta có
SBC , ABCD
ACS Ta có AC AD2DC2 aSA tan ACS
AC 2
Vậy chọn đáp án D
Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC), SA = a Cosin góc mặt phẳng SAB SBC là:
A.
5
B.
5 C.
1
D.
5 Hướng dẫn giải
Gọi M trung điểm AB
Ta có CM AB CM
SAB
CM SB CM SA
Kẻ MNSB ta có SB MN SB
CMN
SB CM
SAB , SBC
MN,NC
MNC
Ta có tan SBA SA SBA 600 AB
Ta có sin SBA MN MN a cosMNC
MB 5
(9)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNGCâu Cho tứ diện ABCD có mặt (ABC) (ABD) tam giác cạnh a, mặt (ACD) (BCD) vng góc với Tính số đo góc hai mặt đường thẳng AD BC
A
30
0 B.60
0 C.90
D45
0Hướng dẫn giải Gọi M, N, E trung điểm cạnh CD, AB, BD
Ta có: AB BN AB
BCN
AB MN AB CN
Do ACD cân A AMCD
AM BCD AM BM
AMB vuông M AB a
MN
2
DM ND2NM2 3a3 a2 a
4 MNE
tam giác MEN 60 Do NE / /AD
AD,BC
NE,EM
600EM / /BC
Vậy chọn đáp án B
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a , SB a 3 mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN
A 7
5 B
2
5 C.
5
5 D
3 5 Hướng dẫn giải
Gọi H hình chiếu S AB, suy SH
ABCD
Do SH đường cao hình chóp S.BMDNTa có: SA2SB2 a23a2AB2 SAB vng S AB
SM a
2
Kẻ ME DN E AD
AE a
∥
Đặt góc hai đường thẳng SM DN Ta có: SM,ME
Theo định lý ba đường vng góc, ta có: SAAE
Suy SE SA2 AE2 a 5, ME AM2 AE2 a
2
SME
cân E nên SME
a cos
5 a
2
Vậy chọn đáp án B
E
N M
O
C
D A
B
S
H
M E
N
B D
(10)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A,AB a, AC a 3 hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’
A 3
4 B
1
4 C
1
2 D
3 Hướng dẫn giải
Gọi H trung điểm BC A'H
ABC
2
1
AH BC a 3a a
2
Do đó:
2 2
A'H A'A AH 3a A'H a 3 Vậy
3
A'.ABC ABC
1 a
V A'H.S
3
(đvtt)
Trong tam giác vng A’B’H có HB' A' B'2A'H2 2a nên tam giác B’BH cân B’ Đặt góc hai đường thẳng AA’ B’C’ B' BH
Vậy cos a 2.2a
Vậy chọn đáp án B
Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB AC a , BAC 120 AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’) Gọi M, N trung điểm cạnh CC’ A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Tính cosin góc hai đường thẳng AM C’N
A
19 B
5
39 C
29 D
7
29 Hướng dẫn giải
Ta có:BC2 AB2AC22AB.ACcosA 3a BC a 3 Gọi K hình chiếu B’ lên A’C’, suy A'C'
AB'K
Do đó:
AKB' A' B'C' , AA'C' 30 Trong tam giác A’KB’ có
0
KA' B' 60 , A' B' a nên B'K A' B'sin 600 a
Suy AB' B'K.tan 300 a
Gọi E trung điểm AB’, suy ME C'N∥ nên
C'N,AM
EM,AM
Vì AB'C'NAEEM
C'N,AM
AMEa
2a
a 3
H A'
C'
B C
A B'
E N
M A'
C'
B C
A B'
(11)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
2
2 2 C' B' C'A' A' B'
1 a a
AE AB' ; EM C'N EM
2 4
2
2 2 29a a 29
AM AE EM AM
16
Vậy cos AME ME MA 29
Vậy chọn đáp án D
Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , AC =2a Mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh bên SA hợp với mặt đáy góc thỏa mãn cos 21
6 Góc hai đường thẳng AC SB
A. 300 B. 450 C. 600 D. 900
Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AC SHAC
Mặt khác
SAC
ABC
SH
ABC
Mặt khác BC AC2AB2 a 2AB nên tam giác ABC vuông cân B BHAC
Lại có SHACAC
SBH
SBACVậy chọn đáp án D
Câu Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ ' có cạnh đáy 2a Gọi G trọng tâm tam giác
ABC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) a
2 Góc hai đường thẳng chéo B’G BC gần
A. 61,280 B. 64,280 C. 68,240 D. 52,280
Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AC ta có: BMAC
Dựng CECC'CE
C'MB
Do d C; BC'M
d C; BC'G
GE a
Khi
2 2
1 1
CC' a CE CM CC'
Lại có BM a BG 2a B'G BG2 BB'2 a 39
3
Tương tự ta có C'G a 39
Do
2 2
0
C' B' GB' GC'
cosC' B'G C' B'G 61,29
2C' B'.GB' 39
Mặt khác B'C'/ /BC
BC; B'G
B'C'; B'G
C' B'G 61,29 (12)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu Cho hình chóp S ABCD có SA, SB, SC, đơi vng góc với SA = SB = SC = a Tính góc hai đường thẳng SM BC với M trung điểm ABA. 300 B. 600 C. 900 D.1200
Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM
Và cắt đường thẳng SA N Do
SM; BC
BN; BC
NBCTa có SM||BN M trung điểm AB Nên SN SA SC a NC a 2
NV 2SM a 2
Mà BC SB2 SC2 a 2 NBC tam giác Vậy NBC 60 0
SM,BC
600Vậy chọn đáp án B
Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng CI AC, với I trung điểm AB
A. 100 B 300 C. 1500 D. 1700
Hướng dẫn giải
Ta có I trung điểm AB nên
CI;CA
ICAXét tam giác AIC vuông I, có AI AB AC AI 2 AC
Suy sin ICA IA ICA 300
CI;CA
300 CA
Vậy chọn đáp án B
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Các tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vng A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD biết SA= ,
AB a,AD 3a.
A.
2 B.
3
2 C.
4
130 D.
8 130 Hướng dẫn giải
Ta có tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Nên SAAB,SAADSA
ABCD
Gọi O AC BD Và M trung điểm SA Do OM||SC Hay SC|| MBD
nên
SC; BD
OM; BD
MOBCó
2
2 SA a SC a 13
BM AM AB AB ,MO
4 2
(13)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
BD a 10BO
2
Áp dụng định lý cosin tam giác MOB Ta BM2OM2OB22OM.OB.cosMOB
2 2
OM OB BM cosMOB
2OM.OB 130
Vậy chọn đáp án D
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cosin góc hai đường thẳng SD BC biết AD = DC = a, AB = 2a,
SA 2a 3
A.
42 B.
2
42 C.
3
42 D.
4 42 Hướng dẫn giải
Gọi M trung điểm AB Ta có AM AD DC a Mà AB song song với CD nên AMCD hình vng cạnh A Do DM song song với BC Suy
SD; BC
SD; DM
SDM Lại có SM SA2 AM2 a 213
Và DM a ,SD SA2 AD2 a 21
Áp dụng định lý cosin tam giác SDM, ta
2 2
SD DM SM cosSDM
2SD.SM 42
Vậy chọn đáp án C
Câu 11 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI với I trung điểm AD
A.
2 B.
3
4 C.
3
6 D.
1 Hướng dẫn giải
Gọi H trung điểm BD Ta có IH||ABAB|| HIC
Nên
AB;CI
IH;IC
HIC Mà IH a,CH CI a2
Áp dụng định lý cosin tam giác HIC, ta
2
2 2
a
HI CI HC 3
cosHIC cos AB; CI
2HI.CI a a 3 6
2 2
(14)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 12 Cho lăng trụ ABC.A’B’ C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 H hình chiếu đỉnh A lên mặt phẳng A’B’C , H trùng với trung điểmcạnh B’C’ Góc BC AC Giá trị tan là:
A. B. -3 C.
3 D.
1
Hướng dẫn giải Ta có A'H hình chiếu AA' lên mặt phẳng đáy Do
AA'; ABC
AA'; A'H
AA'H 60 Lại có A'H a AH tan 60 a a B'H2 2
nên AB' a
Và
0 A'H
AA' a AC' a
cos60
Mặt khác
BC; AC'
AC'; B'C'
AC' B' Do2 2
AC' B'C' AB' cos
2.AC'.B'C'
Suy
2
1
tan
cos
Vậy chọn đáp án A
Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng AD, với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ABCD H thuộc AB với AH = 2HB Biết SH = 2a , cosin góc SB AC là:
A.
2 B.
2
6 C.
1
5 D.
1
Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt CH K Ta có
SB; AC
SB; BK
SBK Xét hai tam giác đồng dạng ACH BKH có CH AH HK BH Nên
2
2
SB SH HB a CH a
HK BK a 21
2 SK SH HK
2
Do
2 2
SB BK SK cosSBK cos
2.SB.BK
Vậy chọn đáp án C
Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA = a; AB = a; BC = a Gọi I trung điểm BC Cosin góc đường thẳng AI SC là:
A.
3 B.
2
C.
3 D.
(15)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Gọi H trung điểm SBIH song song với SCDo SC|| AHI
AI;SC
AI;HI
AIH Ta có AI AB2 BI2 a2
2
SC SA AC
IH a
2
2 2
AB AS BS a AH
2
Áp dụng định lý cosin tam giác AHI, có
2 2
AI HI AH cos AIH
2AI.AH 3
Vậy chọn đáp án A
DẠNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, BC a , AA' a 2
cos BA'C
Tính góc đường thẳng A’B mặt phẳng (A A’C’C)
A 300 B 450 C 600 D 900
Hướng dẫn giải
Đặt AB x A' B2 A'C2x22a2
Áp dụng định lí hàm số cosin A' BC , ta có:
2 2 2
2
A' B A'C BC 2x 4a a
cos BA'C x a
2A' B.A'C 2 x 2a
Kẻ BHAC, BH
AA'C'C
Suy góc đường thẳng A’B mặt phẳng (AA’C’C) góc BA'H Trong tam giác vng A’BH có
0
a BH 2
sin BA'H BA'H 30 A' B a 3
Vậy chọn đáp án A
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB 3cm, BC' 2cm Tính góc hợp đường thẳng BC’ mặt phẳng (ACC’A’)
A 900 B 600 C 450 D 300
Hướng dẫn giải Tính góc hợp đường thẳng BC’ mặt phẳng (ACC’A’)
Gọi H trung điểm cạnh AC, suy HC’ hình chiếu BC’ lên mặt phẳng (ACC’A’)
Do
BC', ACC'A'
BC';HC'
Ta có tam giác BHC’ vuông H, cạnh BH cm
H B
B' C'
A'
C
A
H C
B
A' B'
(16)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Ta có sin HC' B BH HC' B 300 BC'
Vậy
BC', ACC'A'
300 Vậy góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) 60Vậy chọn đáp án B
Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A 60 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Cho BB' a Tính góc cạnh bên đáy
A 300 B 450 C 600 D 900
Hướng dẫn giải Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy
Gọi O AC BD Theo giả thiết ta có B'O
ABCD
B' B ABCD B
B'O ABCD , O ABCD
Hình chiếu B’B (ABCD) OB
B' B, ABCD
B' B,BO
B' BO Tam giác ABD có AB AD a , BAD 60 ABD tam giác OB a
2
Trong tam giác vuông B’OB: a
OB 2
cos B'OB B'OB 60 BB' a
Vậy chọn đáp án C
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 4a Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD) vuông góc với đáy Tam giác SAB có diện tích 8a
3 Cơsin góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) bằng:
A. 19
5 B.
6
5 C.
6
25 D.
19 25 Hướng dẫn giải
Gọi H hình chiếu vng góc D mặt phẳng (SBC)
SHSD; SBC HSD cos SD; SBC cosHSD SD
2 ABC
1 8a 4a
S SA.AB SA.4a SA
2 3
D.SBC SBC
1 V DH.S
3
3 D.SBC S.BCD BCD
1 4a 32a V V SA.S 4a.4a
3 3
3
SBC
SBC
1 32a 32a
DH.S DH
3 3S
O
C'
B' D'
C
A B
A'
D
H K
4a
A
B C
S
H
(17)Chuyên đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Từ BC AB BC
SAB
BC SB SSBC 1BC.SB 1.4a.SB 2a.SBBC SA 2
2
2
2 2 2
SBC
4a 80a 80 80
SB SA AB 16a SB a S 2a
3 3
Thế vào (1)
3
32a 4a 10 DH
5 80 3.2a
3
2
2
2 2 4a 80a 80
SD SA AD 16a SD a
3 3
2
2
2 2 80a 4a 10 304a
SH SD HD
3 15
a 304304 SH 15 19
SA a cos SD; SBC
15 SD 80
a
Chọn A
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, CD 2a, AD = AB = a Hình chiếu vng góc S mặt đáy trung điểm H đoạn AB Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) a
3 Tan góc đường thẳng BC mặt phẳng (SCD) bằng:
A. B.
4 C.
2
2 D. 2
Hướng dẫn giải
Gọi P hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SCD)
BPBC; SCD BCP tan BC; SCD tan BCP PC
aAB / /CD AB / / SCD d H; SCD d B; SCD BP BP
Ta có BC2 AD2
CD AB
2 a2
2a a
22a22
2 2 a 16a
PC BC BP 2a
3
a4a BP 3
PC tan BC; SCD
4a
3 PC
3
(18)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB 2a ; AD = 2a SA ABCD Gọi M trung điểm CD, biết SC tạo với đáy góc 450 Cosin góc tạo đường thẳng
SM mặt phẳng ABCD là:
A.
13 B.
13
29 C.
377
29 D.
277 29
Hướng dẫn giải
Từ SA
ABCD
SM; ABCD
SMA cos SM; ABCD
cosSMA AM SM
Từ SA
ABCD
SC; ABCD
SCASCA 45 0 SAC vuông cân A2 2
SA AC AB BC 4a 12a 4a
2 2 2
SM SA AM 16a 13a 29a SM a 29
AM a 13 377cos SM; ABCD
SM a 29 29
Vậy chọn đáp án C
Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B có AB = BC = a; SA (ABC Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 600 Cosin góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng ABC
là:
A 10
15 B
10
10 C
10
20 D
10 Hướng dẫn giải
Từ SA
ABC
SC; ABC
SCA cos SC; ABC
cosSCA AC SC
ABC
vuông cân BAC AB 2 a +Ta có
SB; ABC
SBA SBA 600 tan 600 SA 3 SA a 3AB
2 2 2
SC SA AC 3a 2a 5a SC a
AC a a 10cos SC; ABC
SC a 5
Vậy chọn đáp án D
(19)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
A 10
4 B
10
6 C
6
4 D
15 Hướng dẫn giải
Lăng trụ đứng A' B'C.ABCA'A
ABC
ABA' B; ABC A' BA cos A' B; ABC cos A' BA A' B
ABC
vuông BAC2 AB2BC23a2a2 4a2AC 2a
2 2 2
A'A A'C AC 9a 4a 5a
2 2 2
A' B A'A AB 5a 3a 8a A' B 2a
AB acos A' B; ABC cos A' BA
A' B 2a 2
Vậy chọn đáp án C
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC= a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD Cosin góc SC mặt phẳng SHD
A.
5 B.
5
3 C.
2
5 D.
5 Hướng dẫn giải
Ta có SB2BC2SC22a2 SBBC mà BCAB
BC SAB BC SH
mà SHABSH
ABCD
Kẻ CEHDCE
SHD
SC, SHD
SC,SE
CSE Ta có 1CE.HD 1SABCD CE 2a2 2
2 a 30 SE
SE SC CE cosCSE
5 SC
Vậy chọn đáp án A
Câu 10 Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân A có AB = AC = 4a, góc BAC 1200 Gọi
M trung điểm BC, N trung điểm AB, SAM tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA = a Góc SN mặt phẳng ABC là:
A. 300 B. 450 C. 600 D. 900
Hướng dẫn giải Ta có
SN; ABC
SN; NH
SNHTa có MAC 60 0AM 2a,MC 2a 3
2
1
AH AM a SH SA AH a
Ta có NH 1BM a
0
SH
tan SNH SNH 30 SN, ABC 30 NH
(20)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Vậy chọn đáp án ACâu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên ABCD trọng tâm G ABD Biết SG = 2a , cosin góc SD ABCD là:
A.
21 B.
5 21
C.
41 D.
5 41
Hướng dẫn giải Ta có
SD; ABCD
SD,GD
SDGTa có DG 2DM AM2 AD2 a
3 3
SG tan SDG
GD
5
cosSDG cos SD, ABCD
41 41
Vậy chọn đáp án C
Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD a Điểm H nằm cạnh AB thỏa mãn AH 1HB
3
Hai mặt phẳng SHC SHD vng góc với mặt phẳng đáy Biết SA =a Cosin góc SD SBC là:
A.
12 B.
5
13 C.
4
13 D.
1
Hướng dẫn giải
Kẻ HKSBHK
SBC
Gọi E DH BC, kẻ DF / /HK F EK
DF SBC SD, SBC SD,SF DSF
Ta có SH SA2AH2 2a Xét SHB có 2 12 12 132 HK 6a 13 HK SH HB 36a Ta có EH HB HK EH DF 8a
ED CD 4 DF ED 4 13 Ta có
2
SD SH DH 2a
2 2a 10 SF
SF SD DF cos DSF
SD 13 13
(21)Chun đề: Hình học khơng gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 600 ,gọi M trung điểm BCCosin góc tạo với SM mặt đáy là:
A. cos
B. cos
10
C. cos
3
D. cos
10
Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB SHAB
Mặt khác
SAB
ABC
suy SH
ABC
Khi CH a SH CHtan 600 3a2
Do M trung điểm BC nên HM BC a 2
2
HM
cosSMH
10 HM SH