Các phép toán : + Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với mộ[r]
(1) Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật (1) D·y = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = 1: Sö dông c«ng thøc tæng qu¸t n 1 = − a (a+n) a a+n - - - Chøng minh - - ( a+n)− a n a+ n a 1 = = − = − a (a+n) a (a+n) a (a+ n) a (a+n) a a+n Bµi 1.1: TÝnh 3 3 a) A= + + + .+ 8 11 11 14 2006 2009 1 1 B= + + + + 10 10 14 14 18 402 406 10 10 10 10 c) C= + + + .+ 12 12 17 17 22 502 507 4 4 D= + + + .+ 13 13 18 18 23 253 258 b) d) Bµi 1.2: TÝnh: 1 1 1 1 a) A= b) B= + + + + + + + + 9 7 19 252 509 10 18 13 26 17 802 405 3 c) C= − + − + + − 10 13 301 304 401 405 Bµi 1.3: T×m sè tù nhiªn x, tho¶ m·n: x 1 1 a) − − − − − = 2008 10 15 21 120 1 1 15 + + + .+ = c) 3.5 5.7 7.9 (2 x +1)(2 x +3) 93 b) 4 4 29 + + + + .+ = x 9 13 13 17 41 45 45 Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: 1 1 n + + + + = a) 5 8 11 (3 n− 1)(3 n+ 2) n+ 5 5 5n + + + .+ = b) 7 11 11 15 (4 n− 1)( n+3) n+3 Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥2 ta cã: 3 3 + + + + < 14 14 19 19 24 (5 n − 1)(5 n+ 4) 15 Bµi 1.6: Cho A= 4 + + + 15 19 19 23 399 403 chøng minh: 16 16 < A< 81 80 2 ; ; ; 11 11 18 18 25 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi S lµ tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y TÝnh S Bµi 1.7: Cho d·y sè : Bµi 1.8: Cho A= 1 1 + + + + Chøng minh 2 Bµi 1.9: Cho A= 2 2 + + + + 2 Chøng minh: 2007 < A< A< 1003 2008 (2) Bµi 1.10: Cho B= 1 1 334 + + + + Chøng minh: B< 2 2007 2006 Bµi 1.11: Cho S= 1 1 + + + Chøng minh: S < 2 12 409 Bµi 1.12: Cho Bµi 1.13: 24 48 200 202 Cho B= + + + + Chøng minh: B> 99 , 75 25 49 201 Bµi 1.14: Cho A= 9 9 + + + + Chøng minh: 11 17 305 A= A< 11 18 27 1766 20 20 Chøng minh: 40 < A< 40 + + + + 16 25 1764 43 21 Bµi 1.15: 2 2 Cho B= + + + + .+ 99 T×m phÇn nguyªn cña B 98 100 Bµi 1.16: 15 2499 Cho C= + + + + Chøng minh C > 48 16 2500 Bµi 1.17: Cho M= 1 M + + + 1+ 2+ 1+2+3+ 1+2+3+ +59 Chøng minh 98 101 Chøng minh 97 < N < 98 + + + + 3 4 99 100 Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: 2n 1 = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) Chøng minh: Bµi1.18: Cho N= (a+2 n)− a 2n a+ 2n a 1 = = − = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a (a+n)( a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) 3n 1 = − a(a+ n)(a+2 n)(a+3 n) a( a+n)(a+2 n) (a+n)(a+ 2n)(a+3 n) 2 + + + 3 37 38 39 Bµi 1.19: TÝnh S= Bµi 1.20: Cho Bµi 1.21: Cho B= Bµi 1.22: Cho C= Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > ta cã: 1 1 A= + + + + < n A= 1 Chøng minh + + + 3 18 19 20 A< 36 36 36 Chøng minh B < + + + 5 25 27 29 5 Chøng minh C< + + + 11 11 14 302 305 308 48 (3) 1 + + + 27 28 29 30 TÝnh M= Bµi 1.25: TÝnh 1 + + .+ 51 52 100 P= 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99 100 Bµi 1.26: TÝnh: Q= Bµi 27: TÝnh: Bµi 1.24: R= (n− 1)(n+1) 1002 1004 + + + .+ + .+ 5 7 (2 n− 1)(2 n+1) 2005 2007 22 32 42 2006 + + + + 2005 2007 Bµi 1.28: Cho S= n+1 2006 n 2005 1002 So s¸nh S víi (2) D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : 2 2 + + + + + + 2005+1 20052+ 20052 + 2005 +1 20052 + 1 an { } víi n tù nhiªn 1 1 A= + + + + 100 2 2 1 1 1 Bµi 2.2: TÝnh: B= − + − + + 99 − 100 2 2 2 1 1 Bµi 2.3: TÝnh: C= + + + + 99 2 2 Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho 1 1 D= − + − 10 + − 58 2 2 2 26 3n − Chøng minh A= + + + + n 27 A >n − 98 +1 Chøng minh B < 100 Bµi 2.6: Cho B= + 10 + 28 + + 98 27 5 5 Bµi 2.7: Cho C= + + + + 99 Chøng minh: C< 4 4 19 + 2 + 2 + + 2 Chøng minh: D < 2 3 10 Bµi 2.8: Cho D= Bµi 2.9: Cho 100 E= + + + .+ 100 Chøng minh: 3 3 E< (4) Bµi 2.10: Cho 10 n+1 F= + + + .+ n 3 3 víi n N* Chøng minh: 11 302 Bµi 2.11: Cho G= + + + + 100 Chøng minh: <G<3 3 Bµi 2.12: Cho 13 19 601 H= + + + + 100 Chøng minh: < H <5 3 Bµi 2.13: Cho I= Bµi 2.14: Cho 13 22 904 K= + + + + 101 Chøng minh: 3 3 Bµi 2.15: Cho 11 15 403 L= + + + .+ 100 Chøng minh: L < 4,5 3 3 11 17 23 605 + + + + 100 Chøng minh: I < 32 33 K< 17 (3) D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: 15 24 2499 A= 16 25 2500 Bµi 3.1: TÝnh: Bµi 3.2: 1 1 Cho d·y sè: ,1 , ,1 , , 15 24 35 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y ( 13 )(1− 61 )(1 − 101 )(1 − 151 ) (1 − 7801 ) Bµi 3.3: TÝnh: B= 1− 199 Bµi 3.4: Cho C= Chøng minh: C2 < 200 201 Bµi 3.5: Cho 99 1 Chøng minh: D= < D< 100 15 10 ( 12 +1)( 13 +1)( 14 + 1) (991 +1) Bµi 3.6: TÝnh: E= Bµi 3.7: TÝnh: F= ( 12 − 1)( 13 − 1)( 14 − 1) .(1001 −1) Bµi 3.8: TÝnh: G= Bµi 3.9: TÝnh: 15 899 2 30 30 31 H= 10 62 64 F< 11 (5) I =101 10001 100000001 00 000 ⏟ Bµi 3.10: TÝnh: n −1 c/ s Bµi 3.11: Cho K= 1 1 −1 −1 − −1 2 1002 ( )( )( ) ( ) So s¸nh K víi ( 12 )(1− 13 )(1− 14 ) (1 − 201 ) Bµi 3.12: So s¸nh L= 1− Bµi 3.13: So s¸nh M = 1− 21 víi ( 14 )( 1− 19 )(1 − 161 ) (1 − 1001 ) −1 víi 11 19 22 42 502 49 51 Bµi 3.14: TÝnh: N= Bµi 3.15: TÝnh P= 1− ( 71 )(1 − 27 )(1 − 37 ) ( 1− 107 ) ( 32 )(1 − 25 )(1 − 27 ) (1 −20072 ) Bµi 3.16: TÝnh: Q= 1− ( 12 − 13 )( 12 − 15 )( 12 − 17 ) ( 12 − 991 ) Bµi 3.17: TÝnh: T = Bµi 3.18: So s¸nh: U= ( Bµi 3.19: Cho V = 1+ .39 21 22 23 40 1 1+ 1.3 )( vµ V = −1 20 )( 1+ 31.5 ) (1+99 1101 ) Chøng minh V < 2 200 Bµi 3.20: Cho S= Chøng minh: 201<S <400 199 Bµi 3.21: Cho 10 208 Chøng minh: A= 12 210 2 A< 25 Bµi 3.22: TÝnh: B= 100 2 3 100 101 Bµi 3.23: TÝnh: 1999 1999 1999 1999 1+ 1+ 1+ (1+ ( )( )( ) 1000 ) C= (1+10001 )(1+10002 )(1+10003 ) (1+1000 1999 ) Bµi 3.24: TÝnh: n −1 ¿ (¿¿) , víi n 1− ¿ 4 D= 1− 1− 1− ¿ 25 ( )( )( ) N, n ≥1 (6) Bµi 3.25: Cho ( E= − vµ F= 1 1− − 1+ 1+ 2+ 1+ 2+ 3+ +n )( n+ n ) ( víi n ) E F N* TÝnh ( 12 )(1+ 14 )(1+161 )(1+2561 ) .(1+ ) Bµi 3.26: Cho G= 1+ 1024 vµ H= 2047 TÝnh: G + H n Bµi 3.27: Cho n (22 −1)(22 + 1)+2 3+2 5+2 15 17+2 255 257+2 I= 16 256 65536 22 n Chøng minh: I< víi n N 1 1 Bµi 3.28: Cho d·y sè: ; ; ; ; 16 ; 3 3 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi A lµ tÝch cña 11 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y Chøng minh c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña B= 13 97 32 +22 A= 6 62 n vµ B= n a) Chøng minh : M= A B lµ sè tù nhiªn 3− A n Bµi 3.29: Cho 3−2 A n+ víi n −1 N lµ sè tù nhiªn b) Tìm n để M là số nguyên tố n Bµi 3.30: Cho 37 1297 62 +1 A= 3 3 n ( 13 )(1+ 31 )(1+ 31 ) (1+ 31 ) (1+ 31 ) B= 1+ n víi n N a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c th× 5A – 2B chia hÕt cho 45 n Bµi 3.31: Cho 13 97 32 +22 A= 3 32 n n .( víi n N ) Chøng minh: A < (4) TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: Bµi 4.1: TÝnh: A= 1+( 1+ 2)+( 1+ 2+ 3)+ +(1+2+3+ + 98) 2+2 3+3 4+ .+98 99 (7) 98+2 97+3 96+ +98 1 2+2 3+3 4+ .+98 99 Bµi 4.2: TÝnh: B= Bµi 4.3: 1 1 + + + + 300 301 302 101 400 TÝnh: C= 1 1 + + + + 102 103 104 299 400 TÝnh: 1 100 − 1+ + + .+ 100 D= 99 + + + + 100 TÝnh: 1 1 + + + + 51 52 53 100 E= 1 1 + + + + 99 100 TÝnh 5 15 15 5− + − 15 − + 27 11 121 F= : 8 16 16 8− + − 16 − + 27 11 121 TÝnh 1 1 + ) :2 1,2 : ( ) ( 15 5 G= − (5 37 − 14 ) : 5643 , 32+ 252 TÝnh 98 99 92 + + + .+ + 92 − − − − .− 99 98 97 10 11 100 H= : 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 TÝnh 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 29 41 2941 I= : 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 Bµi 4.10: TÝnh 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 13 169 91 K= : 4 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 Bµi 4.11: TÝnh L= TÝnh 1,6: 1 , 25 1, 08 − : 25 M= + +0,6 0,5 : 5 , 64 − − 2 25 17 Bµi 4.4: Bµi 4.5: Bµi 4.6: Bµi 4.7: Bµi 4.8: ( ) 2− Bµi 4.9: 12 − Bµi 4.12: 2+ +3 +4 8+5 10 4+6 8+9 12+ 12 16+15 20 ( ) ( ( ) ) (8) 94 38 11 11 −6 :8 1591 1517 43 ( ) Bµi 4.13: TÝnh N=8 Bµi 4.14: TÝnh P=10101 Bµi 4.15: 1 1 1+ + + + .+ 99 TÝnh Q= 1 1 + + + .+ + 99 97 95 97 99 Bµi 4.16: 1 1 + + + .+ 200 R= 198 199 + + + + + 199 198 197 TÝnh 5 + − (111111 222222 11 13 37 ) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ -*** CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : HS cần nắm vững kiến thức sau trước nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng … Từ các tính chất phép toán ta chứng suy các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : (9) a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)2 * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi các công thức trên là các đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước đầu tiên phải đưa các phân số cùng mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân tử và mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư cao Qua số bài tập sau đây chúng ta tìm hiểu kĩ giải vấn đề này cách làm “đặc biệt “ Câu Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1 P x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy Tính tổng : (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 1 P x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy - Ta có : x xy xyz x xy xyz x xy xyz xy xyz x xyz x xy ( nhân vào tử và mẫu phân số với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = ) x xy xyz x xy xyz = * Có thể làm theo cách khác sau : a b c d x ; y ; z ;t b c d a với a,b,c,d là các số thực - Vì xyzt = nên ta có thể đặt khác Khi đó ta có : Biểu thức P biến đổi thành : 1 1 a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1 1 1 1 b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c 1 1 a a a b b b c c c d d d 1 1 1 1 b c d c d a d a b a b c bcd acd abd abc bcd acd abd abc acd abd abc bcd abd abc bcd acd abc bcd acd abd bcd acd abd abc bcd acd abd abc 1 (10) Vậy P = * Chú ý : bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích , ta có a b c d x ; y ; z ;t b c d a ) thể biến đổi cách làm trên (đặt A.B B + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( A.C C ) Kĩ tưởng đơn giản này giúp ích lớn việc giải nhiều bài toán khó Thật vây : A 1 1986 (BD HSG toán 8Câu Tính : T.77) + Hướng dẫn giải : n n 1 - Ta có : ( nhớ ) A 1 1986 1 1 1 1 1986 1986 1 1 2.3 3.4 1986.1987 1987.1986 10 1987.1986 10 27 1987.1986 ;(1) 12 20 1987.1986 n Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 2.3 3.4 4.5 1986.1987 4.5.6 1988 (1.2.3 1985) (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) 1987.1988 1.2 2.3 1986.1987 1988 994 1986.3 2979 A * Lưu ý : Bài toán tổng quát là : (11) A 1 n với n là số tự nhiên lớn + Với bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a 1) am.an = am + n 2) am : an = am – n 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn am a m n n ( hay : a ) n an a n 5) b b n -n 6) a = a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27 15.49.9 10 10 Câu Rút gọn : 12 ( HSG quốc gia – 1971) + Hướng dẫn giải : 18 219.27 15.49.94 219.33 5.218.39 2.1 5.1.3 5.36 734 367 19 10 20 18 10 10 12 3 3.4 10206 5103 2.1 3.2 - Ta có : Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 toán 7/T11) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = + 52 + 53 + 54 + … + 551 (NC&PT 551 - Vậy A = Do đó : 5.A - A = 551 * NX : Với biểu thức A trên người ta còn thường bài toán : Chứng minh A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho chứng minh A không là số nguyên Các em hãy thử tìm lời ? Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác và thoả mãn hệ thức : a b c 0 b c c a a b a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh : ( HSG toán – 1999 – A ) + Hướng dẫn giải : - Từ giả thiết suy : : a b c ab b ac c b c a c a b a c a b , nhân hai vế với b c ta (12) a ab b ac c (b c )2 a c a b b c c a Tương tự : a b cb c ab a a c b c a b ca a cb b2 a c b c a b Cộng theo cột hai vế ba đẳng thức trên ta có ĐPCM Câu Chứng minh a,b,c khác thì : b c c a a b 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a (Các bài toán chọn lọc …) + Hướng dẫn giải : - Ta có : a c b a b c a b a c a b a c a b a c a b 1 c a c b c a c b ; c a 1 b c b a b c b a Tương tự : ; Cộng theo vế các kết vừa tìm , suy ĐPCM Dạng Toán tìm x : x x x x 1 Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : 2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế đẳng thức với cùng giá trị là , : x x x x 1 2000 2001 2002 2003 x4 x 3 x2 x 1 1 1 1 1 2000 2001 2002 2003 x 2004 x 2004 x 2004 x 2004 0 2000 2001 2002 2003 1 1 x 2004 0 2000 2001 2002 2003 1 1 0 Vì 2000 2001 2002 2003 ( hiển nhiên) nên x + 2004 = hay x = -2004 * Nhận xét : Với hệ thức chứa các phân số có quy luật trên ( + 2000 = + 2001 = + 2002 = + 2003 = 2004 ) thì kĩ biến đổi trên là công cụ hữu hiệu để giải bài toán x-ab x ac x bc a b c Câu Tìm x , biết : a+b a c b c với a b; b c; c a + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với : (13) x-ab x ac x bc a b c 0 a+b a c b c Quy đồng mẫu số dấu ngoặc đặt thừa số chung ta : 1 0 a b b c c a 1 0 Từ đó a b b c c a thì x = ab + bc + ca ; 1 0 Nếu a b b c c a thì có vô số giá trị x thoả mãn bài toán x-ab-ac-bc III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : * Các bài : 1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42; 44;45;47 - NC&PT toán 207207 1) Tính : 201201 1999 2) Rút gọn phân số : 9995 199 99 ( TQ : 99 995 ) (BD HSG toán 8- trang 73) 1 2002 M 2001 2000 1999 2001 3) Tính : (HSG toán T.p HP– 2002 – A) 1 1 2009.2010 4) Rút gọn : A = 1.2 2.3 3.4 1 1 1998.1999.2000 ( HSG toán T.p HP– 5) Rút gọn : B = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1999 – A) 1 1 6) Rút gọn : N= + + + .+ 2006 2008 7) Biết xyz = Hãy tính tổng : 5 A = x xy y yz z zx ;( KQ = 5) (HSG toán – 2001 – A) 8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : 1992 x y z 1 xy 1992 x 1992 yz y 1992 xz z trang 77) 3 1 : 1 9) Tính : a) 63 3.62 33 :13 b) ( BD HSG toán – (14) 1 1 1 1 c) 10 90 72 56 42 30 20 12 ( HSG quận Ba Đình HN – 2005) 315 x 313 x 311 x 309 x 0 103 105 107 10) Tìm x,biết : 101 ( HSG q Hoàn Kiếm HN – 2004) 11) Tìm x , biết : a ) x x 10 12 1 1 1 b) x 8 8 8 a b c c) x b c c a a b ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) 12) TÍnh : a ) A 1 1999 2000 2001 2002 2003 b) B 1 1 1 1 1 16 25 121 ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) 1 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 3 13) a)Tính : 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 A x 3x 0, 25 xy x y TÌm giá trị A , biết x = và y là số c) Cho nguyên âm lớn x 14) Tìm x , biết : + HCM – 2004 ) x +1 +3 x+2 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p 15) Thực phép tính : 111 2 1,5 14 31 19 1: 1 1 93 12 6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 16) Thực phép tính : 1 a ( a b) a c b b a b c c c b c a ( HSG quốc gia – 1963) 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : (15) 1 n 1 ( HSG quốc gia – 1978) 18) Cho a,b,c là các số thực có tích Chứng minh : 1 1; a) a ab b bc c ca 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a b c a ( Toán tuổi thơ 2b) số 51) 19) TÌm tất các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a a b b c c a số 51) 20) Cho 0 và a + a b x a c x b c x 4x 1 c b a a b c abc ( Toán tuổi thơ 2b 21) Cho x,y,z là các số khác không và Hoặc x = y = z x2y2z2 = IV HƯỚNG DẪN GIẢI : 207207 207 69 1) 201201 201 67 1 103 1999 2.10 2 10 9995 10 10 103 2 2) 1 2002 M 2001 2000 1999 2001 3) + x c 0 TÌm x , biết : 1 y z y z x Chứng minh : (16) 1 2002 Đặt A = ; 2001 2000 1999 2001 , ta có : B= 2000 1999 2002 B ( 1) ( 1) ( 1) 2001 2002 2002 2002 2002 2002 2001 2002 1 2002 2002 2 A M B 2002 Vậy * Tương tự ta có bài toán sau : Bài toán : Tính giá trị biểu thức: 1 1 97 99 A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 a) 1 1 99 100 B 2 99 98 97 99 b) Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 1 1 1 100 100 100 100 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 100 100 100 99 99 100 99 100 100 100 99 99 1 1 1 1 100 100 99 1 100 99 99 100 2 2 b) Biến đổi số chia: B 100 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy 1 4) Áp dụng đẳng thức : a a a( a 1) ( a 0), ta có : 1 1 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 2009 1 2010 2009 2010 2010 1 1 5) Áp dụng kết : a(a 1) (a 1)(a 2) a(a 1)(a 2) , ta có : (17) 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000 1 1 1999.2000 1999.2000 2.1999.2000 1 6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : a(a 2) , sau đó áp dụng kết nhận vào giải bài toán * Chú ý : Từ kết các bài 4,5,6 trên ta rút số quy luật ( Công thức ) sau đây : 1 1) n(n 1) n n k 1 k n n 1 2) n(n 1) 1 1 3) n(n k ) k n n k k 1 4) n(n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 1 2n 1 2 7) n.(n 1) n (n 1).n 1 1 8) a(a 1) (a 1)(a 2) a(a 1)(a 2) (Trong đó: n, k N , n ) 7) Nhân tử và mẫu phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = , ta : A x xy 5 5 5x 5xy 5 x xy y yz z zx x xy xy x x xy x xy * Chú ý : Cũng có thể đặt phần ví dụ mẫu 1992 xy z (2) , thay (1) và (2) vào vế trái 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy : đẳng thức : (18) 1992 x y z xy 1992 x 1992 yz y 1992 xz z 1992 x y z 1992 1992 x 1992 yz y xyz xz z z xz y z xz z y ( z xz ) xz z xz z xz z z xz xz z 1 xz z xz z 1 VP 3 4 2 16 2 : 1 : 1 1 : 3 27 9 9) a) VT b) 6 3.62 33 :13 62 3 33 :13 22.32.32 33 :13 33 3.2 1 :13 33.13:13 33 27 c) 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 10 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 1 1 10 90 72 56 42 30 20 1 1 10 90 72 56 42 30 9 10 10 0 315 x 313 x 311 x 309 x 0 103 105 107 10) Tìm x , biết : 101 ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 2004) + Làm tương tự Câu : 315 x 313 x 311 x 309 x 0 101 103 105 107 315 x 313 x 311 x 309 x 1 1 1 0 101 103 105 107 416 x 416 x 416 x 416 x 0 101 103 105 107 1 416 x 0 101 103 105 107 (19) 1 Vì 101 103 105 107 > nên dẫn đến 416 – x = hay x = 416 11) Tìm x , biết : a) Kết : x = 48 1 1 1 b) x 8 8 8 1 1 x : 8 8 1 8 1 x 64 x 64 9 x ;x 64 64 a b c c) x b c c a a b x + Theo tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c a b c b c c a a b 2 a b c Vậy x = 12) TÍnh : a ) A 1 1999 2000 2001 2002 2003 b) B 1 1 1 1 1 16 25 121 a) b) Từ đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên : B 1 1 1 1 1 16 25 121 15 24 35 48 63 80 99 120 ( ).( ).( ).( ).( ) 16 25 36 49 64 81 100 121 20 35 54 25 54 54 ( ).( ) ( ) 10 21 36 55 27 55 55 11 1 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 3 15 13) a) Ta có : 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200 (20) A x 3x 0, 25 xy x y TÌm giá trị A , biết x = và y là số c) Cho nguyên âm lớn ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y là số nguyên âm lớn nên y = -1 cùng với x = thay vào biểu thức A , : 2 1 1 1 1 2 A 1 1 2 4 9 3 9 4 : 6 1 14) Tìm x , biết : x + 3x +1 + 3x + = 117 HCM – 2004 ) 3x + 3x +1 + 3x + = 117 3x(1 + + 32) = 117 13.3x = 117 3x = 117 : 13 3x = 32 x = 15) Thực phép tính : ( HSG - quận Tân Phú – T.p 111 2 1,5 14 31 19 1: 1 1 93 12 6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 16) Thực phép tính : 1 a ( a b) a c b b a b c c c b c a ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n : 1 n 1 ( HSG quốc gia – 1978) + Ta có : n 1 n 1 n 1 n 1 x y z a ;b ;c y z x với x,y,z là các số khác 18) Vì abc = nên ta có thể đặt : Khi đó ta có : a) Vế trái đẳng thức a) biến đổi thành : (21) 1 yz zx xy yz zx xy 1; x x y y z z xy yz zx xy yz zx xy yz zx xy yz zx 1 1 1 y z z x x y Vậy ta có ĐPCM b) Vế trái đẳng thức b) biến đổi thành : x 1 y z y x z 1 1 y z z x y x y z y z x z x y x y z y z x z x y ;(*) x y z x xyz Tương tự ta biến đổi vế phải đẳng thức b) biểu thức (*) suy ĐPCM 19) Đẳng thức đã cho tương đương với : 1 ;(*) a b c 1 1 1 b c a a b c x ; y ;z b c a ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = Khi đó ta có Đặt : * 1 x 1 y 1 z 1 xy yz zx x y z 0 ( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = ) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - = (x -1)(y - 1)(z - 1) = x = y = z = a b b c c a 20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với : 1 0 a b c a b c 1 0 Nếu : a b c a b c thì x = a + b + c 1 0 Nếu a b c a b c thì có vô số giá trị x thoả mãn 1 y z x y z y yz 21) Từ giả thiết ta có : a b c x x z y x z x ;y z yx zx Tương tự : Nhân theo vế ba đẳng thức trên : x y x z y z x y x z y z x2 y z Đẳng thức này xảy x2y2z2 = x = y = z (22) §Ò sè 1: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: a) n 16 2 n ; b) 27 < 3n < 243 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi ( Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC §Ò sè 2: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) A a) Thực phép tính: 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 n2 n n n b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x 3, 5 a Bài 3: (4 điểm) x 7 b x 1 x 7 x 11 0 : : a Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 b.Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a AC = EB và AC // BE (23) b Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng Từ E kẻ EH BC H BC Biết gãc HBE = 50o ; gãc MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b AM = BC §Ò sè 4: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- 1 − − +1 :(− −1) 3 [( ) ( ) ] − b- 3 ( )2003 − −1 2 − 12 ()( ) ()( ) C©u ( ®iÓm) a- Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên a+1 b- T×m sè nguyªn x,y cho x - 2xy + y = C©u ( ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× a = c víi b,d b d kh¸c b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để đợc số có ba chữ số gièng C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1 §Ò sè 5: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn (24) Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB (25)