Khai thác một số dạng toán về dãy số

MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Dãy số có vai trò quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống. Ngay từ khi học tiểu học học sinh đã bắt đầu làm quen với một số bài toán về dãy số như tìm quy luật của một dãy số đơn giản, tính tổng dãy số. Trong chương trình trung học phổ thông hiện nay chúng ta cũng bắt đầu tìm hiểu khái niệm dãy số, giới hạn dãy số và một số bài toán liên quan. Ở bậc đại học, sinh viên tiếp tục được tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn về dãy số và một số bài toán liên quan. Dãy số cũng là một phần quan trọng của đại số cũng như giải tích toán học. Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế (IMO) hay trong những kỳ thi Olympic toán sinh viên các trường đại học và cao đẳng trong toàn quốc, các bài toán về dãy số thường được xuất hiện khá nhiều và thường được đánh giá ở mức độ khó. Vì vậy, dãy số luôn thu hút được sự quan tâm của giáo viên toán, học sinh chuyên toán và sinh viên ngành toán. Các dạng toán về dãy số rất phong phú bao gồm các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, các bài toán tính tổng dãy số. Bên cạnh đó, một số dạng toán về phương trình hàm, cũng có thể giải quyết thông qua công cụ dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích và đòi hỏi sự sáng tạo tư duy của người học. 2. Tính cấp thiết của đề tài Hiện nay các dạng toán về dãy số rất đa dạng và có nhiều tài liệu viết về vấn đề này. Tuy nhiên, trong các tài liệu thì dãy số dường như mới được giới thiệu như là một kiến thức cơ sở để nghiên cứu về hàm số, chuỗi số và các ứng dụng của dãy số chưa được giới thiệu nhiều. Với mong muốn giúp học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toán muốn tìm hiểu sâu hơn về dãy số, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác một số dạng toán về dãy số” để nghiên cứu. Nhóm thực hiện đề tài hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho các học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toán quan tâm đến dãy số và các bạn sinh viên chuẩn bị tham gia vào kì thi olympic toán sinh viên. 3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài - Khai thác một số dạng toán về dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tìm giới hạn - Đưa ra một số ứng dụng của dãy số như chứng minh điểm bất động, giải phương trình hàm. 1 - Đưa ra hệ thống ví dụ minh họa cho các dạng toán về dãy số. 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu: Dãy số. 4.2 Phạm vi nghiên cứu: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn của dãy số, và ứng dụng của dãy số. 5. Nội dung nghiên cứu Đề tài gồm 4 chương: Chương 1: Dãy số 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn của dãy số 1.3. Các dấu hiệu hội tụ của dãy số 1.4. Dãy truy hồi Chương 2: Số hạng tổng quát của dãy số. 2.1. Phương pháp quy nạp 2.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức 2.3. Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân 2.4. Phương pháp sai phân 2.5. Phương pháp thế lượng giác 2.6. Phương pháp ma trận Chương 3: Giới hạn của dãy số. 3.1. Tính giới hạn của dãy số 3.2. Xét tính hội tụ của dãy số Chương 4: Ứng dụng của dãy số 4.1. Giải phương trình hàm 4.2. Một số bài toán về bất dẳng thức trong dãy số 6. Phương pháp nghiên cứu Từ việc nghiên cứu các tài liệu về dãy số, nhóm đề tài tổng hợp và phân loại các phương pháp tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số. Thông qua việc nghiên cứu một số định lí cơ bản về dãy số, nhóm đề tài nghiên cứu ứng dụng của dãy số vào các dạng toán khác. Trên cơ sở lí thuyết đã nghiên cứu, nhóm đề tài xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập minh họa. Để khai thác dạng toán về số hạng tổng quát của dãy số, chúng tôi sử dụng một số phương pháp cơ bản như phương pháp quy nạp, phương pháp sai phân, phương pháp truy hồi… Để khai thác dạng toán về giới hạn dãy số và sự hội tụ của dãy số, chúng tôi sử dụng phương pháp kẹp giữa, phương pháp sai phân,… 2 Chương 1: DÃY SỐ Trong chương một chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản nhất về dãy số: định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số, các định lý liên quan đến giới hạn dãy số và một số tiêu chuẩn hội tụ của dãy số. Các khái niệm trong chương một được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo[1], [3], [5]. 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa dãy số thực Định nghĩa 1.1 - Một ánh xạ u từ tập các số nguyên dương N* vào tập hợp các số thực R được gọi là một dãy số thực (dãy số vô hạn). : *u →¥ ¡ ( ) n u na Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển 1 2 , , , , n u u u trong đó ( ) n u u n= , gọi 1 u là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Kí hiệu: { } n n u ∈Ν , { } n u , ( ) n n u ∈Ν - Mỗi ánh xạ u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với * m ∈ ¥ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là 1 2 , , , m u u u trong đó 1 u là số hạng đầu, m u là số hạng cuối. 1.1.2. Dãy số bị chặn Dãy số { } n u được gọi là: - dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho ,< n u M n∀ - dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho n u m> , n∀ - dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nhận xét: - dãy số bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một số M > 0 sao cho: , ≤ ∀ n u M n 1.1.3. Dãy số đơn điệu Dãy số thực { } n u được gọi là: - dãy đơn điệu tăng nếu: 1 , + ≤ ∀ n n u u n - dãy đơn điệu tăng nghiêm ngặt nếu: 1 , + < ∀ n n u u n - dãy đơn điệu giảm nếu: 1 , + ≥ ∀ n n u u n - dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt nếu: 1 , + > ∀ n n u u n - dãy số thực tăng hoặc giảm gọi là đơn điệu, tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt gọi là đơn điệu nghiêm ngặt. Nhận xét: 3 - Nếu 2 dãy { } { } , n n u v đều tăng (tương ứng giảm) thì dãy { } n n u v+ tăng (tương ứng giảm). - Nếu 2 dãy { } { } , n n u v đều tăng (tương ứng giảm) và các số hạng không âm thì dãy { } . n n u v tăng (tương ứng giảm). - Một dãy số có thể không tăng hoặc không giảm. Ví dụ: Dãy { } n u xác định bởi ( 1) , n n u n N= − ∈ 1.1.4. Dãy con của một dãy số thực Cho dãy 1 2 { }: , , , n n u u u u . Dãy { } k n u với các chỉ số thỏa mãn: 1 2 3 n n n< < được gọi là một dãy con trích ra từ dãy { }. n u 1.2. Giới hạn của dãy số 1.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.2 a) Dãy ( ) n u được gọi là hội tụ đến l (hay có giới hạn l) nếu 0 0, ε ∀ > ∃ ∈n N sao cho 0 , ε − < ∀ > n u l n n Kí hiệu: lim n n u l →+∞ = và dãy { } n u được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. Nếu lim 0 n n u →+∞ = thì dãy { } n u được gọi là vô cùng bé khi n → +∞ b) Giới hạn vô cùng - Dãy ( ) n u được gọi là có giới hạn dương vô cùng nếu: 0 0 0, , ∀ > ∃ ∈ ∀ > ⇒ > n A n N n n u A Kí hiệu: lim n n u →+∞ = +∞ - Dãy ( ) n u được gọi là có giới hạn âm vô cùng nếu: 0 0 0, , ∀ > ∃ ∈ ∀ > ⇒ < − n A n N n n u A Kí hiệu: lim n n u →+∞ = −∞ - Dãy ( ) n u được gọi là một dãy vô cùng lớn nếu: 0 0 0, , ∀ > ∃ ∈ ∀ > ⇒ > n A n N n n u A Nhận xét: - Dãy ( ) n u được gọi là 1 dãy vô cùng lớn khi và chỉ khi dãy 1 n u       là dãy vô cùng bé. - Dãy có giới hạn ±∞ đều phân kì. - Mọi dãy tiến đến +∞ đều bị chặn dưới. - Mọi dãy tiến đến −∞ đều bị chặn trên. 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của giới hạn: 4 Định lý 1.1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Chứng minh: Giả sử: 1 2 lim , lim . n n n n u a u a →+∞ →+∞ = = Ta phải chứng minh: 1 2 a a= Chọn 1 2 2 a a ε − = . Ta có: 1 2 a a ε − > (1) Khi đó 0 ε ∀ > 1 1 lim , n n u a n →+∞ = ∃ sao cho 1 1 ; 2 ε ∀ > − < n n n u a 2 2 lim , n n u a n →+∞ = ∃ sao cho 2 2 ; 2 ε ∀ > − < n n n u a Chọn 1 2 ax( , )n m n n= Ta có: 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n a a a u u a a u u a ε ε ε − = − + − ≤ − + − < + = (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 2 1 2 0a a a a− = ⇒ = ⇒ đpcm. Định lý 1.2: Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của dãy. Chứng minh: Giả sử: lim . n n u a →+∞ = Khi đó 0 0 0; ; : ε ε ∀ > ∃ ∀ > − < n n n n u a Xét { } k n k u là 1 dãy con của { }. n u Khi đó 0 0 ; lim k k k n n n k n n k n u a u a ε →+∞ ∀ > ≥ ≥ ⇒ − < ⇒ = Định lý 1.3: Nếu dãy { } n u là dãy hội tụ và lim n n u a →+∞ = thì dãy { } n u cũng hội tụ và lim n n u a →+∞ = . Chứng minh: Giả sử: lim . n n u a →+∞ = Khi đó 0 0 0; ; : ε ε ∀ > ∃ ∀ > − < n n n n u a Mà 0 , . ε − ≤ − ⇒ − < ∀ > n n n u a u a u a n n Do đó dãy { } n u cũng hội tụ và lim n n u a →+∞ = Định lý 1.4: Mọi dãy hội tụ là dãy bị chặn. Chứng minh: Giả sử: lim . n n u a →+∞ = Theo tính chất 3 ta có lim n n u a →+∞ = Chọn 1 ε = . Từ lim . n n u a →+∞ = có 0 0 0 ; : 1 1; ∃ ∀ > − < ⇒ < + ∀ > n n n n n u a u a n n Đặt 0 1 2 M = max{ , , , , 1}+ n u u u a Ta có * , ≤ ∀ ∈ n u M n N Do đó dãy { } n u bị chặn Định lý 1.5: Giả sử các dãy { } n u và { } n v hội tụ. Khi đó: 5 a) Dãy { } n n u v+ cũng hội tụ và lim( ) lim lim n n n n n n n u v u v →+∞ →+∞ →+∞ + = + b) Dãy { . } n n u v cũng hội tụ và lim( . ) lim .lim n n n n n n n u v u v →+∞ →+∞ →+∞ = c) Nếu lim 0 n n v b →+∞ = ≠ thì dãy n n u v       cũng hội tụ và lim lim lim n n n n n n n u u v v →+∞ →+∞ →+∞ = Chứng minh: a) Giả sử: lim , lim . n n n n u a v b →+∞ →+∞ = = Khi đó 0 ε ∀ > 1 lim , n n u a n →+∞ = ∃ sao cho 1 ; 2 ε ∀ > − < n n n u a 2 lim , n n v b n →+∞ = ∃ sao cho 2 ; 2 ε ∀ > − < n n n v b Chọn 0 1 2 ax( , )n m n n= Ta có: 0 ( ) ( ) , 2 2 ε ε ε + − + ≤ − + − < + = ∀ > n n n n u v a b u a v b n n Do đó: lim( ) lim lim n n n n n n n u v a b u v →+∞ →+∞ →+∞ + = + = + b) Giả sử: lim , lim . n n n n u a v b →+∞ →+∞ = = Dãy { } n v hội tụ nên bị chặn. Do đó 0: , n M v M n∃ > < ∀ Đặt ( ) 0 ax ,=M m M a Khi đó 0 ε ∀ > ( ) 1 1 0 2 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 , : 2 , : 2 ax , . : . . 2 2 ε ε ε ε ε ∃ ∀ > − < ∃ ∀ > − < = ∀ > − = − + − ≤ − + − < + = n n n n n n n n n n n n n n u a M n n n v b M n m n n n n u v ab u v av av ab u a v a v b M M M M Do đó lim( . ) lim .lim n n n n n n n u v ab u v →+∞ →+∞ →+∞ = = c) Giả sử: lim , lim 0. n n n n u a v b →+∞ →+∞ = = ≠ Chọn: 1 1 1 . lim , : , 2 2 , 2 n n n n n n b b v b n v b n n b b v v b v b n n ε →∞ = = ∃ − < ∀ > − < − ⇒ > − ∀ > Do đó: 1 0,≠ ∀ > n v n n 6 Ta chứng minh 1 1 lim n n v b →+∞ = Thật vậy: 2 0, 0 . 0 2 ε ε ∀ > ≠ ⇒ > b b ( ) 2 2 2 0 1 2 2 2 lim : . , 2 ax , 1 1 2 2 1 1 lim n n n n n n n n b v b n v b n n n m n n v b b v b v b b v b ε ε ε →+∞ →+∞ = ⇒ ∃ − < ∀ > = − − = < = ⇒ = Áp dụng phần b có lim 1 lim lim .lim lim n n n n n n n n n n n u u a u v v b v →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = Hệ quả: Nếu lim n n u a →+∞ = và R α ∈ thì lim . n n u a α α →+∞ = Định lý 1.6: Cho 2 dãy hội tụ { } n u , { } n v . Giả sử tồn tại 0 n sao cho 0 ,≥ ∀ > n n u v n n . Khi đó lim lim n n n n u v →+∞ →+∞ ≥ Chứng minh: Giả sử phản chứng lim lim n n n n u a b v →+∞ →+∞ = < = Khi đó :r a r b∃ < < . Đặt 1 2 0; 0 ε ε = − > = − >r a b r 1 lim , n n u a n →+∞ = ∃ sao cho 1 ; n n n u a r a∀ > − < − 2 lim , n n v b n →+∞ = ∃ sao cho 2 ; n n n v b b r∀ > − < − { } 1 2 0 1 2 , , ax , , ⇒ < ∀ > > ∀ > ∀ > ⇒ < < n n n n u r n n v r n n n m n n n u r v Mà 0 ,≥ ∀ > n n u v n n (gt); mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó a b≥ hay lim lim n n n n u v →+∞ →+∞ ≥ Hệ quả: a) nếu lim n n u a →+∞ = và 0 0 : ,∃ ≥ ∀ > n n u b n n thì a b≥ b) nếu lim n n u a →+∞ = và 0 0 : ,∃ ≤ ∀ > n n u c n n thì a c ≤ Định lý 1.7: Giả sử các dãy { } n u , { } n v , { } n w thỏa mãn n n n u v w≤ ≤ đồng thời dãy { } n u , { } n w cùng hội tụ đến a: lim lim w n n n n u a →+∞ →+∞ = = . Khi đó dãy { } n v cũng hội tụ và có cùng giới hạn bằng a. Ta có lim n n v a →+∞ = Chứng minh: 7 Với 0 ε ∀ > { } 0 0 1 1 2 1 0 2 2 lim , , : lim w , , : w ax , , : v w , n n n n n n n n n n u a n n n a u a a n n n a a n m n n n n a u a v a n n ε ε ε ε ε ε ε →+∞ →+∞ = ∃ ∀ > − < < + = ∃ ∀ > − < < + = ∀ > − < ≤ ≤ < + ⇒ − < ∀ > Vậy lim n n v a →+∞ = 1.3. Các dấu hiệu hội tụ dãy số Định lý 1.8: (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Nếu { } n u dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ và { } 1 lim sup n n n n u u →+∞ ≥ = . b) Nếu { } n u dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và { } 1 lim inf n n n n u u →+∞ ≥ = . Chứng minh: a) Vì dãy { } n u bị chặn trên nên nó có cận trên đúng. Đặt sup ; = < +∞ n n a u a . Ta có * ,≤ ∀ ∈ n u a n N Cho trước 0 ε > vì a a ε − < nên a ε − không là cận trên của { } n u . Vì thế 0 * 0 : n n N a u a ε ∃ ∈ − < ≤ Mặt khác vì { } n u là dãy tăng nên 0 0 ;∀ > ≤ n n n n u u Do đó 0 0 , ε ε ε − < ≤ ≤ < + ⇒ − < ∀ ≥ n n n a u u a a u a n n Vậy { } 1 lim sup n n n n u a u →+∞ ≥ = = b) Nếu dãy { } n u giảm thì dãy { } n u− tăng. Theo phần a) { } 1 lim( ) sup inf n n n n n u a u u →+∞ ≥ − = = − = − Do đó { } 1 lim inf n n n n u u →+∞ ≥ = Định lý 1.9: (Định lý Bolzano – Weierstrass) Mọi dãy số thực { u n } bị chặn đều có một dãy con hội tụ. Chứng minh: Gọi K là tập hợp tất cả các số nguyên dương k sao cho u k là một cận trên của tập hợp {u k+1 , u k+2 , …} tức là u n ≤ u k với mọi n ≥ k+1.  Nếu K là một tập hợp vô hạn thì gọi k 1 , k 2 , … là những số nguyên dương thuộc K sao cho k 1 < k 2 … . Dãy số thực { n k u } là một dãy con của dãy { u n }. Từ định nghĩa của tập hợp K suy ra u 1 k ≥ u 2 k ≥ … ≥ u n k ≥ … Dãy số thực { u n k } đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.  Nếu K là một tập hữu hạn thì tồn tại một số nguyên dương k 1 lớn hơn mọi số nguyên thuộc K. Vì k 1 ∉ K nên u 1 k không phải là một cận trên của tập hợp 8 { u k+1 , u k+2 , … } . Do đó tồn tại một số nguyên dương k 2 > k 1 sao cho u 2 k > u 1 k . Vì k 2 ∉ K nên tồn tại một số nguyên dương k 3 > k 2 sao cho u 3 k > u 2 k . Tiếp tục như vậy, ta được một dãy con { u n k } của dãy { u n } sao cho u 1 k < u 2 k < … < u n k < … Dãy số thực { u n k } đơn điệu tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Định lý 1.10: (Nguyên lý Cauchy) - Dãy Cauchy: Dãy { } n u được gọi là dãy Cauchy nếu: * 0 0, , , : n m n N m n n u u ε ε ∀ > ∃ ∈ ∀ > − ≤ - { } n u là dãy cauchy * 0 0 0, , : , 0 ε ε + ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ > − ≤ ∀ ≥ n n p n N n n u u p - Dãy { } n u là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ. Chứng minh: ⇒ Giả sử dãy { } n u hội tụ đến giới hạn a. Khi đó 0 0 0 0, , : 2 , ; 2 2 ε ε ε ε ε ∀ > ∃ ∀ > − < ∀ > − ≤ − + − < + = n n m n m n n n u a m n n u u u a a u Vậy { } n u là 1 dãy cơ bản. ⇐ Giả sử { } n u là 1 dãy cơ bản. Khi đó { } n u là một dãy bị chặn. Do đó theo tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass dãy { } n u có một dãy con hội tụ đến giới hạn a nào đó. Theo định nghĩa của dãy Cauchy dãy { } n u cũng hội tụ đến a. 1.4. Dãy truy hồi 1.4.1. Dãy truy hồi cấp 1 với hệ số là hằng số a) Dạng tổng quát: 1 , ; , + = + ∀ ∈ ∈ n n u au b n N a b R b) Công thức: +) a=1 thì { } n u là cấp số cộng. +) 1a ≠ thì , ,= + ∈ n n u Aa B A B R 1.4.2. Dãy truy hồi cấp 2 với hệ số là hằng số a) Dạng tổng quát: 2 1 , ; , + + = + ∀ ∈ ∈ n n n u au bu n N a b R b) Công thức: Xét phương trình đặc trưng của dãy: 2 0;a b λ λ − − = +) Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , ; , λ λ ∃ ∈A B R 1 2 ; λ λ = + ∀ ∈ n n n u A B n N +) Nếu phương trình có nghiệm kép: , , λ ∃ ∈A B R ( ) n n u A Bn λ = + +) Nếu phương trình có nghiệm phức x iy λ = + 9 Đặt: 2 2 ; tan ; , 2 2 π π λ α α   = = + = ∈ −  ÷   y r x y x (cos sin ) ( cos sin ); ; , λ α α α α = + = + ∀ ∈ ∈ n n r i u r A n B n n N A B R 1.4.3. Dãy truy hồi cấp 1 dạng: ( ) 1 , n n u f u n + = Cách làm: Bước 1: Biến đổi đưa về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n n u f u u f u n ρ ρ ρ ρ  =  =   Bước 2: Đặt dãy phụ: ( ) n n v u ρ = Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo n v đơn giản hơn 1.4.4. Dãy truy hồi cấp 2 dạng: ( ) 1 1 , , n n n u f u u n + − = Cách làm: Bước 1: Biến đổi đưa về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n u u f u u u u f u u n ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − − −  + =  + =   Bước 2: Đặt dãy phụ: ( ) n n v u ρ = Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo n v đơn giản hơn 10 [...]... được công thức truy hồi về dạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân thì bài toán trở nên khá là đơn giản 2.3.1 Sơ lược về cấp số cộng, cấp số nhân Định nghĩa 2.1: Dãy số (un) có tính chất un = un −1 + d , ∀n ≥ 2, d là số thực không đổi gọi là cấp số cộng d: gọi là công sai của cấp số cộng; u1 gọi là số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng Định lý 2.1: Cho cấp số cộng (un) Ta có: un =...  Ví dụ 2.5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) u1 = 2  3 2 un +1 = un + 6un + 12un + 6 14 n −1 v13 = a 3n−1 −1 2 3n −1 b   α + ÷ 3a   n−1 Giải Áp dụng bài toán 2.2 có un = 43 − 2 2.3 Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng, cấp số nhân là một trong những nội dung của chương trình toán học phổ thông Trong một số bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số nếu ta đưa được... chẽ hơn Trong một số bài toán đơn giản ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của dãy số bằng cách cho một vài giá trị đầu của dãy số dựa vào công thức truy hồi đã cho Sau đó ta dùng phương pháp quy nạp chứng minh công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 2.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau : u1 = 3, un +1 = 2un , ( n ≥ 1) Giải n −1 Bằng cách thử trực tiếp một vài giá trị đầu của dãy số ta dự đoán... (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N* 2.1.2 Sử dụng phương pháp quy nạp tìm số hạng tổng quát của dãy số Phương pháp quy nạp là một phương pháp rất có hiệu quả trong việc đi tìm số hạng tổng quát của dãy số Nó là một trong những công cụ đắc lực cho việc tìm công thức tổng quát của dãy số Sau khi tìm được công thức tổng quát của dãy số ta thường dùng phương pháp quy nạp để làm cho bài toán thêm chặt...  n 2.5 Phương pháp thế lượng giác Trong một số trường hợp số hạng đầu tiên của dãy số được cho dưới dạng giá trị lượng giác của góc đặc biệt Vì vậy ta có thể sử dụng phép thế lượng giác để đi tìm công thức tổng quát của dãy số Nhiều công thức truy hồi có thể đơn giản hơn nhờ thông qua phương pháp này Bài toán 2.5: u1 ∈ ¡ Xác định số hạng tổng quát của dãy số: { un } :  2 un+1 = 2un − 1, ∀n ≥ 2... ta 1 − qn có: Sn = u1 1− q 2.3.2 Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để đi tìm số hạng tổng quát của một số dạng dãy số u1 Bài toán 2.3: Dãy số un :  un = aun −1 + f (n), ∀n ≥ 2 trong đó f ( n) là một đa thức bậc k theo n Ta xác định công thức tổng quát như sau: Phân tích f ( n) = g ( n) − ag (n − 1) (1) với g ( n) cũng là một đa thức theo n Khi đó ta có: un − g (n) = a[un−1 − g (n − 1)]= =a n −1[u1...Chương 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Trong chương 2 đề tài đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức, phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân, phương pháp sai phân, phương pháp thế lượng giác, phương pháp ma trận Trong mỗi một phương pháp chúng tôi trình bày sơ lược phương pháp, việc áp dụng các phương pháp đó vào tìm số hạng... công cụ hữu ích giúp ta tìm số hạng tổng quát của dãy số. Dựa vào đó ta có thể giải bài toán một cách ngắn gọn hơn 2.4.1 Sơ lược về phương pháp sai phân Định nghĩa 2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt x k = x0 + kh (k∈ N*) với x0∈ R, h∈ R bất kì, cho trước Gọi y k = f(xk), khi đó hiệu số ∆yk : = yk +1 − yk (k∈ N*) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x) 2 Hiệu số ∆ yk : = ∆yk +1 − ∆ k = ∆... của n số hạng đầu của cấp số cộng ( un ) có công sai d ta có: n Sn = [2u1 + (n − 1)d ] 2 Định nghĩa 2.2: * Dãy số ( un ) có tính chất un+1 = q.un ∀n ∈ ¥ gọi là cấp số nhân q : gọi là công bội n −1 Định lý 2.3: Cho cấp số nhân ( un ) có công bội q Ta có un = u1q Định lý 2.4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ( un ) có công bội q ta 1 − qn có: Sn = u1 1− q 2.3.2 Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân... 2 3 2.2 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức Trong một số trường hợp đặc biệt nhờ sử dụng các hằng đẳng thức bình phương của một tổng,lập phương của 1 tổng và khéo léo đổi biến ta cũng có thể tìm được một số hạng tổng quát của dãy số Bài toán 2.1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) u1 = α b 2 − 2b , ∀n ≥ 1; a ≠ 0; c =  2 4a un +1 = aun + bun + c(1) Giải Đặt vn = un + b 2a Thay vào (1) có 2 b b . các bài toán tính tổng dãy số. Bên cạnh đó, một số dạng toán về phương trình hàm, cũng có thể giải quyết thông qua công cụ dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải. viên toán, học sinh chuyên toán và sinh viên ngành toán. Các dạng toán về dãy số rất phong phú bao gồm các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, . hiểu nghiên cứu sâu hơn về dãy số và một số bài toán liên quan. Dãy số cũng là một phần quan trọng của đại số cũng như giải tích toán học. Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như