Khai thác một số dạng toán về dãy số

Các dạng toán về dãy số rất phong phú bao gồm các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, các bài toán tính tổng dãy số.. Mục tiêu, nhiệm vụ

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài

Dãy số có vai trò quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống Ngay từ khi học tiểu học học sinh đã bắt đầu làm quen với một

số bài toán về dãy số như tìm quy luật của một dãy số đơn giản, tính tổng dãy

số Trong chương trình trung học phổ thông hiện nay chúng ta cũng bắt đầu tìm hiểu khái niệm dãy số, giới hạn dãy số và một số bài toán liên quan Ở bậc đại học, sinh viên tiếp tục được tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn về dãy số và một số bài toán liên quan

Dãy số cũng là một phần quan trọng của đại số cũng như giải tích toán học Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế (IMO) hay trong những kỳ thi Olympic toán sinh viên các trường đại học và cao đẳng trong toàn quốc, các bài toán về dãy số thường được xuất hiện khá nhiều và thường được đánh giá ở mức độ khó Vì vậy, dãy số luôn thu hút được sự quan tâm của giáo viên toán, học sinh chuyên toán và sinh viên ngành toán Các dạng toán về dãy số rất phong phú bao gồm các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, các bài toán tính tổng dãy số Bên cạnh đó, một số dạng toán về phương trình hàm, cũng có thể giải quyết thông qua công cụ dãy số

Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích và đòi hỏi sự sáng tạo tư duy của người học

2 Tính cấp thiết của đề tài

Hiện nay các dạng toán về dãy số rất đa dạng và có nhiều tài liệu viết về vấn đề này Tuy nhiên, trong các tài liệu thì dãy số dường như mới được giới thiệu như là một kiến thức cơ sở để nghiên cứu về hàm số, chuỗi số và các ứng dụng của dãy số chưa được giới thiệu nhiều

Với mong muốn giúp học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành

toán muốn tìm hiểu sâu hơn về dãy số, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai

thác một số dạng toán về dãy số” để nghiên cứu Nhóm thực hiện đề tài hi vọng

đây sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho các học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toán quan tâm đến dãy số và các bạn sinh viên chuẩn bị tham gia vào kì thi olympic toán sinh viên

3 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

- Khai thác một số dạng toán về dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tìm giới hạn

- Đưa ra một số ứng dụng của dãy số như chứng minh điểm bất động, giải phương trình hàm

- Đưa ra hệ thống ví dụ minh họa cho các dạng toán về dãy số

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: Dãy số

4.2 Phạm vi nghiên cứu: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn của dãy số,

và ứng dụng của dãy số

5 Nội dung nghiên cứu

Đề tài gồm 4 chương:

Chương 1: Dãy số

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Giới hạn của dãy số

1.3 Các dấu hiệu hội tụ của dãy số

1.4 Dãy truy hồi

Chương 2: Số hạng tổng quát của dãy số.

2.1 Phương pháp quy nạp

2.2 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

2.3 Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân

2.4 Phương pháp sai phân

2.5 Phương pháp thế lượng giác

2.6 Phương pháp ma trận

Chương 3: Giới hạn của dãy số.

3.1 Tính giới hạn của dãy số

3.2 Xét tính hội tụ của dãy số

Chương 4: Ứng dụng của dãy số

4.1 Giải phương trình hàm

4.2 Một số bài toán về bất dẳng thức trong dãy số

6 Phương pháp nghiên cứu

Từ việc nghiên cứu các tài liệu về dãy số, nhóm đề tài tổng hợp và phân loại các phương pháp tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số Thông qua việc nghiên cứu một số định lí cơ bản về dãy số, nhóm đề tài nghiên cứu ứng dụng của dãy số vào các dạng toán khác Trên cơ sở lí thuyết đã nghiên cứu, nhóm đề tài xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập minh họa

Để khai thác dạng toán về số hạng tổng quát của dãy số, chúng tôi sử dụng một số phương pháp cơ bản như phương pháp quy nạp, phương pháp sai phân, phương pháp truy hồi…

Để khai thác dạng toán về giới hạn dãy số và sự hội tụ của dãy số, chúng tôi sử dụng phương pháp kẹp giữa, phương pháp sai phân,…

- Một ánh xạ u từ tập các số nguyên dương N* vào tập hợp các số thực R

được gọi là một dãy số thực (dãy số vô hạn)

: *u ¥ →¡

na u n( )

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

1, , , , 2 n

u u u trong đó u n =u n( ), gọi u là số hạng đầu, 1 u là số hạng n

thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Dãy số { }u được gọi là: n

- dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n <M n, ∀

- dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n >m , n∀

- dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Nhận xét:

- dãy số bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một số M > 0 sao cho: u n ≤M, ∀n

1.1.3 Dãy số đơn điệu

Dãy số thực { }u được gọi là: n

- dãy đơn điệu tăng nếu: u n ≤u n+1, ∀n

- dãy đơn điệu tăng nghiêm ngặt nếu: u n <u n+1,∀n

- dãy đơn điệu giảm nếu: u n ≥u n+1,∀n

- dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt nếu: u n >u n+1, ∀n

- dãy số thực tăng hoặc giảm gọi là đơn điệu, tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt gọi là đơn điệu nghiêm ngặt.

Nhận xét:

- Nếu 2 dãy { } { }u n , v đều tăng (tương ứng giảm) thì dãy n {u n +v n} tăng (tương ứng giảm).

- Nếu 2 dãy { } { }u n , v đều tăng (tương ứng giảm) và các số hạng không n

âm thì dãy {u v tăng (tương ứng giảm) n n}

- Một dãy số có thể không tăng hoặc không giảm

→+∞ = và dãy { }u được gọi là dãy hội tụ. n

Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.

- Dãy ( )u được gọi là 1 dãy vô cùng lớn khi và chỉ khi dãy n

- Dãy có giới hạn ±∞đều phân kì

- Mọi dãy tiến đến+∞ đều bị chặn dưới

- Mọi dãy tiến đến−∞ đều bị chặn trên

1.2.2 Một số tính chất cơ bản của giới hạn:

Định lý 1.1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

a) Dãy {u n +v n} cũng hội tụ và lim(n u n v n) limn u n nlimv n

 

 

  cũng hội tụ và

limlim

lim

n

n n n

u u

εε

lim lim lim

Định lý 1.6: Cho 2 dãy hội tụ { }u , { } n v n

Giả sử tồn tại n sao cho 0 u n ≥v n,∀ >n n 0

Khi đó limn n lim n

0 1 2

,,

Mà u n ≥v n,∀ >n n (gt); mâu thuẫn với điều giả sử.0

Do đó a b≥ hay limn u n limn v n

1.3 Các dấu hiệu hội tụ dãy số

Định lý 1.8: (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Nếu { }u dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ và n { }

 Nếu K là một tập hợp vô hạn thì gọi k1, k2, … là những số nguyên dương thuộc

K sao cho k1 < k2 … Dãy số thực { u } là một dãy con của dãy k n

{ un } Từ định nghĩa của tập hợp K suy ra uk1 ≥ uk2 ≥ … ≥ uk n ≥ …

Dãy số thực { uk n } đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ

 Nếu K là một tập hữu hạn thì tồn tại một số nguyên dương k1 lớn hơn mọi số nguyên thuộc K Vì k1 ∉ K nên uk1 không phải là một cận trên của tập hợp

{ uk+1, uk+2, … } Do đó tồn tại một số nguyên dương k2 > k1 sao cho uk2 > uk1

Vì k2∉ K nên tồn tại một số nguyên dương k3 > k2 sao cho

uk3 > uk2 Tiếp tục như vậy, ta được một dãy con { uk n } của dãy { un } sao cho

Vậy { }u là 1 dãy cơ bản n

⇐ Giả sử { }u là 1 dãy cơ bản Khi đó { } n u là một dãy bị chặn Do đó theo tiêu n

chuẩn hội tụ Weierstrass dãy { }u có một dãy con hội tụ đến giới hạn a nào đó n

Theo định nghĩa của dãy Cauchy dãy { }u cũng hội tụ đến a n

1.4 Dãy truy hồi

1.4.1 Dãy truy hồi cấp 1 với hệ số là hằng số

u = A Bn+ λ

+) Nếu phương trình có nghiệm phức λ = +x iy

Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo v đơn giản hơn n

1.4.4 Dãy truy hồi cấp 2 dạng: u n+1 = f u u( n, n−1,n)

Chương 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Trong chương 2 đề tài đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức, phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân, phương pháp sai phân, phương pháp thế lượng giác, phương pháp ma trận Trong mỗi một phương pháp chúng tôi trình bày sơ lược phương pháp, việc áp dụng các phương pháp đó vào tìm số hạng tổng quát của dãy số Bên cạnh đó chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ phương pháp đó.

2.1 Phương pháp quy nạp

2.1.1 Sơ lược phương pháp quy nạp

Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈ N

Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi n p≥ , ta thực hiện 2 bước

theo thứ tự:

 Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề là đúng với n= p

 Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với n k= ≥ p, ta phải chứng minh

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N*.

2.1.2 Sử dụng phương pháp quy nạp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Phương pháp quy nạp là một phương pháp rất có hiệu quả trong việc đi tìm số hạng tổng quát của dãy số Nó là một trong những công cụ đắc lực cho việc tìm công thức tổng quát của dãy số Sau khi tìm được công thức tổng quát của dãy số ta thường dùng phương pháp quy nạp để làm cho bài toán thêm chặt chẽ hơn

Trong một số bài toán đơn giản ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của dãy số bằng cách cho một vài giá trị đầu của dãy số dựa vào công thức truy hồi đã cho Sau đó ta dùng phương pháp quy nạp chứng minh công thức tổng quát của dãy số

Bài toán 2.1:

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)

2 1

2

1

2, 1; 0;

4(1)

2 1

2 1

Bằng quy nạp ta chứng minh được (1)

Ví dụ 2.4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)

Giải Áp dụng bài toán 2.2 có u n =43 −2

d là số thực không đổi gọi là cấp số cộng.

d: gọi là công sai của cấp số cộng;

n

n

S = u + −n d

Định nghĩa 2.2:

Dãy số (u ) có tính chất n u n+1 =q u n ∀ ∈n ¥ gọi là cấp số nhân *

q : gọi là công bội

Định lý 2.3: Cho cấp số nhân (u ) có công bội q Ta có n 1

1

n n

u =u q −

Định lý 2.4: Gọi S là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ( n u ) có công bội q ta n

có: 1

11

n n

trong đó ( )f n là một đa thức bậc k theo n

Ta xác định công thức tổng quát như sau:

Phân tích ( )f n = ( ) g n −ag n( −1) (1) với ( )g n cũng là một đa thức theo n Khi

∗ Nếu a =1 thì ( )g n −ag n( −1) là một đa thức bậc nhỏ hơn bậc của ( )

g n một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của ( ) g n , mà ( ) f n là đa thức bậc k nên để có (1) ta chọn đa thức ( ) g n là đa thức bậc k +1, có hệ số tự do bằng không và khi đó để xác định g(n) thì trong đẳng thức (1) ta cho k +1giá trị của n bất kỳ ta được hệ k +1 phương trình, Giải hệ này ta tìm được các hệ số của g(n)

∗ Nếu a≠1 thì ( )g n −ag n( −1) là một đa thức cùng bậc với ( )g n nên ta

chọn ( )g n là đa thức bậc k và trong đẳng thức (1) ta cho k+1 giá trị của n thì ta

2 1

n

n n

u u

Tìm công thức tổng quát của dãy ( )u n

Giải Ta phân tích 2n =k.2n −3 2k n− 1 cho n=1ta có a= −2

u u

2.4 Phương pháp sai phân

Sai phân là một công cụ hữu ích giúp ta tìm số hạng tổng quát của dãy số.Dựa vào đó ta có thể giải bài toán một cách ngắn gọn hơn

2.4.1 Sơ lược về phương pháp sai phân

Định nghĩa 2.3

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt xk = x0 + kh (k∈N*) với x0∈R,

h∈R bất kì, cho trước Gọi yk = f(xk), khi đó hiệu số ∆y k := y k+1− y k (k∈N*) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)

sai phân cấp i của hàm số f(x) (i = 1, 2, …, n, …)

Mệnh đề Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y0, y1, y2, …, yn, …

Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

- Giải phương trình đặc trưng

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

+ Nếu (*) có k nghiệm thực khác nhau là λ λ1, , ,2 λk thì nghiệm tổng quát là

1 1n 2 2n n

Trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số tùy ý

+Nếu trong (*) có nghiệm thực λj bội s thì nghiệm tổng quát là

+ u là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k n

+ u là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng n

+ *

n

u là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

2.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số

• Giải phương trình không thuần nhất: au n+1+bu n = f n (3)

Gọi u là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất n

u = +u u thỏa mãn (3) Thật vậy, u là nghiệm của n

phương trình thuần nhất (2) nên

a b

1 5( 1)3 3 3 5.3

Khi đó u n = + +u n u*n u n**, trong đó u là nghiệm tổng quát của (2), n u u lần *n, **n

lượt là một nghiệm riêng tùy ý của phương trình u1 =α,au n+1 +bu n = f và 1n

u = An là nghiệm riêng của phương trình 1 3 3n

Đồng nhất hệ số ta được:

222

a b c

2.4.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số

Định nghĩa 2.6: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 là phương trình sai phân

có dạng:

1 , 2 , n 2 n 1 n n,

u =α u =β au + +bu + +cu = f n∈¥ (6)Trong đó : , , , ,a b c α β là các hằng số a ≠0

Trong đó c c là các hằng số xác định được khi biết 1, 2 u u 1, 2

ii, Nếu λ λ1, 2 là 2 nghiệm thực kép λ λ λ1 = =2 thì

1 2

( ) n n

Trong đó c c là các hằng số xác định được khi biết 1, 2 u u 1, 2

iii, Nếu phương trình có nghiệm phức λ = +x iy

Giải phương trình đặc trưng ak2 +bk c+ =0, tìm k

i, Nếu k k là 2 nghiệm thực khác nhau thì:1, 2

(Do k k là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 ak2 +bk c+ =0).

ii, Nếu k k là 2 nghiệm thực kép 1, 2 k1 = =k2 k thì

1 2

( ) n n

u c c n k + + = +

1

1 ( 1 2 ) n n

u c c n k + + = +

1 2

( ) n n

Ta chứng minh: n( cos1 sin )

ar [cos(n+2) +sin(n+2) ] [cos(n+1)

+sin(n+1) ] (cos sin ) 0

ar cos( 2) cos( 1) cos 0

ar sin( 2) sin( 1) sin 0

2 2

[ cos( 2) cos( 1)cos ] [ sin( 2) sin( 1) sin ] 0

u = +u u thỏa mãn (8) Thật vậy ta có u là nghiệm tổng n

quát của phương trình thuần nhất (7) nên:

u =γ µn ;Thay *

n

u là một nghiệm riêng của (8)

được xác định bằng phương pháp đồng nhất với u n* =xcosn y+ sinn

• Trường hợp f n = f1n + f n2n, ∈¥ , trong đó f là đa thức của n, còn 1n

2 =γµ γ µn, , ∈¡

n

f khi đó u n = u n + +u*n u n**, trong đó u là nghiệm tổng quát n

của (2), u u lần lượt là một nghiệm riêng tùy ý của phương trình *n, n**

u = +u u thỏa mãn (8) Thật vậy ta có u là nghiệm tổng n

quát của phương trình thuần nhất (7) nên:

a b

n n

a b c

2.4.6 Hệ phương trình sai phân.

2.4.6.1 Hệ hai phương sai phân tuyến tính bậc nhất với hệ số là hằng số

Đó là hệ phương trình được xác định bởi:

1 1

u v

αβ

4 21

u X

Bài toán trở thành đi tìm lũy thừa cấp n của ma trận A vuông cấp 2

Chú ý: Phương trình đặc trưng của ma trận A chính là phương trình đặc trưng

chính là phương trình đặc trưng trong cách giải 1

2.4.6.2 Hệ ba phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số.

1 1 1

w

u v

αβγ

u u

u u

=

+

n n

2.5 Phương pháp thế lượng giác

Trong một số trường hợp số hạng đầu tiên của dãy số được cho dưới dạng giá trị lượng giác của góc đặc biệt Vì vậy ta có thể sử dụng phép thế lượng giác

để đi tìm công thức tổng quát của dãy số Nhiều công thức truy hồi có thể đơn giản hơn nhờ thông qua phương pháp này

Bài toán 2.5:

Xác định số hạng tổng quát của dãy số: { } 1

2 1

- Nếu u1 ≤ ⇒ ∃1 α : cosα =u1 Khi đó

2 2

2 3

1

2 1 cos2 ;cos 2 ;

cos 2n n

1 1

2

2 2

3

2cos (*)

3

n n

a

+ = +

Theo quy nạp ta được:

1 1

2 2

1

n n n

2 3

1

cos3 ;

cos3n n

1 1

Xác định công thức tổng quát của dãy số

Ta có

1

2 2

2 3

1

3cos

34cos 3cos cos

3cos6

3cos (*)6

n n

3 3

2

n n n

1 1

2cos

2 4cos 2cos 2

2cos 2n (*)

n

u u

2 2 1

, 22

n

n n

u u

2 2 1

2 2

1

sin cos 1sin

2.6 Phương pháp ma trận.

Trong việc tìm công thức tổng quát của dãy số ngoài các phuwong pháp

đã nêu trên thì ta cũng có thể dùng công cụ ma trận để giải quyết Thường phương pháp này dược áp dụng nhiều hơn khi số hạng tổng quát được cho dưới dạng hệ phương trình sai phân

2.6.1 Đối với phương trình sai phân

Giả sử p∈¥* và: ( , , ,0 1 1) p

p

a a a − ∈¡ Ta xét dãy truy hồi tuyến tính với hệ số

không đổi { }u n n∈¥ xác định bởi:

1

1 1 0

( , , , )

;

p p

n p

u u X

2.6.2 Đối với hệ phương trình sai phân

Ví dụ 2.30: Tìm số hạng tổng quát của dãy ,u v được xác định bởi: n n

0 0

11

u v

2 2

,3

+ +