Giải và khai thác một số dạng toán cơ sở về hàm số một biến phức

Về mặt nghiệp vụ, nhờ học hàm số biến số phức, người học hiểu được những quan hệ gắn bó giữa các hàm sơ cấp như: hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit, người học sẽ có một công cụ

Giải và khai thác một số dạng toán cơ sở về hàm số một biến phức

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Cơ sở lý thuyết hàm số biến phức được đặt nền móng từ giữa thế kỉ XVII bởi các công trình nghiên cứu của hai nhà toán học vĩ đại: L.Euler, Giăng Đalămbe Tuy nhiên phải đến giữa thế kỷ XIX nhờ các công trình của Cauchy, Becna Riman… thì lý thuyết hàm số biến số phức mới được xây dựng tương đối hoàn chỉnh và trở thành thành một bộ môn độc lập

Một trong những đặc điểm nổi bật của bộ môn hàm số biến phức là, một mặt nội dung của nó có một giá trị lý luận sâu sắc, mặt khác những thành tựu đẹp

đẽ nhất mà nó đạt được phần lớn là do việc trực tiếp giải quyết các bài toán thực tiễn Chính vì thế công cụ toán học của nó đã được áp dụng một cách rất có hiệu lực để giải quyết hàng loạt các vấn đề khó trong nội bộ toán (tính các tích phân suy rộng, chứng minh các định lý cơ bản của đại số học, ) cũng như để giải quyết các vấn đề lớn của thực tiễn (các bài toán của lý thuyết đàn hồi, nước thấm, các bài toán về thủy khí động học, ) Việc học tập nghiên cứu bộ môn này rất cần thiết cho mọi sinh viên ngành khoa học tự nhiên (không phân biệt đó là khoa học cơ bản hay khoa học kỹ thuật)

Lý thuyết hàm số biến số phức nghiên cứu các hệ thống hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức Đã có nhiều giáo trình và tài liệu viết

về lý thuyết hàm biến phức:[1], [2], [5], [7], [8]… Giáo trình Hàm biến phức chủ yếu được biên soạn cho sinh viên năm thứ 2, thứ 3 khoa toán các trường Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học Tự nhiên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành

Việc nghiên cứu hàm số biến số phức đối với sinh viên chuyên ngành toán các trường Đại học Sư phạm không chỉ giúp người học hiểu hơn các kiến thức đã học ở giải tích cổ điển Về mặt nghiệp vụ, nhờ học hàm số biến số phức, người học hiểu được những quan hệ gắn bó giữa các hàm sơ cấp như: hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit, người học sẽ có một công cụ mới để giải nhiều bài toán khó về hình học sơ cấp Điều này sẽ nâng cao kiến thức chuyên môn của

kiến thức cơ sở của hàm số một biến phức Nhưng do thời lượng không nhiều nên việc tìm hiểu về hàm số một biến phức còn rất hạn chế, đặc biệt là khi vận dụng lý thuyết để giải bài tập, bên cạnh đó việc khai thác các dạng toán cơ sở của lớp hàm này vẫn còn khá mới mẻ đối với sinh viên.

Trong các kì thi Olympic toán sinh viên quốc tế và quốc gia, các bài toán liên quan đến biến phức thường được đề cập đến với nhiều dạng phong phú thông qua các đặc trưng và các phép biến đổi khác nhau của phương pháp giải, vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu Vì vậy việc phân dạng bài toán cơ sở của hàm số một biến phức sẽ tạo nền tảng khoa học để sinh viên

có thể áp dụng giải bài tập một cách tốt hơn

Như vậy việc giải và khai thác các dạng bài tập toán học thực sự cần thiết Đóng vai trò như một công cụ đắc lực để giải quyết có hiệu quả nhiều lớp bài toán điển hình Việc nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi đem đến cho người học nhiều kết quả thú vị đồng thời phát huy năng lực tìm tòi sáng tạo, tập dượt cho sinh viên kỹ năng nghiên cứu khoa học Vấn đề giải và khai thác các dạng bài toán đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm Có nhiều tài liệu viết về khai thác các dạng bài tập toán như [4], [6], [11] Các tài liệu trên đã đưa ra được hệ thống bài tập trên cơ sở phân dạng, hướng dẫn giải từ đó khai thác đưa ra được các dạng bài tập mới dựa trên những dữ liệu cụ thể Tuy nhiên tài liệu chỉ giới hạn cho bài toán phổ thông

Thực tế hiện nay chưa có nhiều những nghiên cứu tiếp cận hàm số một biến phức theo hướng giải và khai thác một số dạng bài toán cơ sở của nó Như vậy việc cung cấp thêm cho người đọc đề tài thể hiện được hệ thống ý tưởng, cách tiếp cận các dạng bài toán cơ sở của hàm số một biến phức theo hướng khai thác sẽ đáp ứng được nhu cầu toán học đặt ra cũng như tạo được nền tảng kiến thức để tiếp tục nghiên cứu giải tích hàm nhiều biến phức, hình học vi phân và các chuyên đề toán học chuyên sâu về sau

Trên cơ sở đã nắm được những khái niệm, tính chất của hàm số một biến phức, bản thân tôi với mong muốn đưa ra một hệ thống tập trung, phân loại kiến thức và khai thác một số dạng bài toán cơ sở nhằm đem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên hiểu sâu sắc hơn về các hàm số một biến số phức.Vì vậy chúng

tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Giải và khai thác một số dạng toán cơ

sở về hàm số một biến phức”

2 Mục tiêu khóa luận

Hệ thống, phân loại một số bài tập về hàm số một biến phức theo các chủ điểm từ đó xây dựng lời giải và đưa ra những khai thác về chúng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu những kiến thức cơ sở về hàm số một biến phức

• Phân loại một số dạng bài tập về hàm số một biến phức và xây dựng lời giải cho các dạng bài toán đó

• Đưa ra hướng khai thác các dạng bài toán từ các bài toán cho trước trong mỗi dạng

4 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình, luận văn có nội dung liên quan đến hướng nghiên cứu rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức, các hướng khai thác một bài toán như khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Hàm số một biến phức

• Phạm vi: Tập trung nghiên cứu những dạng toán cơ sở về các vấn đề liên quan đến hàm số một biến phức như: lý thuyết chuỗi, giới hạn, tính liên tục, tính khả vi phức, tính biến hình …

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống những kiến thức cơ sở về hàm số một biến phức,

7 Bố cục của khóa luận:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành 4 chương

Chương 1 trình bày sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán và một số kiến thức cơ cở về lý thuyết hàm số một biến phức

Chương 2 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến phức

Chương 3 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về tính khả vi và tính biến hình của hàm số một biến phức

Chương 4 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về tích phân hàm số một biến phức, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này, khóa luận tập trung trình bày một số kiến thức cơ sở về các bước giải và khai thác một bài toán Những nội dung lý thuyết liên quan đến hàm số một biến phức như: Dãy số, chuỗi số, giới hạn và tính liên tục, tích phân theo biến phức, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư.

1.1 Sơ lược về các bước giải và khai thác một bài toán.

Thông thường để giải một bài toán, cần qua nhiều công đoạn khác nhau Trong [6] đã đưa ra một số công đoạn sau: tìm hiểu sơ bộ đề bài, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất các bài toán mới Tất nhiên không phải bài toán nào cũng phải trải qua đủ các công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều cho việc giải các bài toán, và đối với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ theo trình tự đó để rèn luyện các thao tác tư duy

1.1.1 Tìm hiểu sơ bộ đề toán.

Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn bài quá dễ Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho người học

Trước hết cần đọc kỹ bài toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sủa càng rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết nhất là chi tiết rắc rối Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: bài toán này thuộc “vùng” kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kỹ năng gì? Nếu giải quyết được thì

sẽ giải quyết được vấn đề gì?

1.1.2 Khai thác đề toán.

Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn? Cần phải tìm gì? Đâu là các dữ kiện? Đã cho biết những gì? Mối tương quan giữa cái cần tìm cái chưa biết (các điều kiện rằng buộc) Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ các giả thiết, kết luận

Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình (các phép biến hình bảo giác, ) Nếu cần có thể sử dụng nét đậm nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong hình vẽ Cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp chúng ta nắm bắt được dễ

Đây là bước quan trọng trong việc giải bài toán Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bìa toán, mà chỉ đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và có nhiều khả năng dẫn tời thành công hơn Tùy trường hợp

cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt càng nhuần nhuyễn thì càng dễ tời thành công Càng giải quyết được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành những “kinh nghiệm sống” chứ không phải là những chỉ dẫn khô khan

1.1.4 Trình bày lời giải.

Khi đã tìm được lời giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau Việc trình bày lời giải là văn bản

để đánh giá kết quả hoạt động tìm tòi lời giải bài toán

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng lập luận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lý luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào “bỗng dưng” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình bày trước đó Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn ta thường dùng những phương pháp tổng hợp

Lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

1.1.5 Khai thác một số bài toán

Công việc này rất cần thiết trong học toán nhưng thường hay bị bỏ qua Việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải một bài toán có thể giúp chúng ta phát hiện được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn Việc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải sẽ gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là một trường hợp đặc biệt Công đoạn này được gọi là khai thác bài toán

Có thể khai thác một bài toán như sau:

a) Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không? b) Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài

toán tổng quát có còn đúng nữa không? Trái lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa luôn luôn đưa đến kết quả đúng, thậm chí có thể mạnh hơn

c) Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được một bài toán mới Phương pháp để giải

một bài toán khác

d) Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp giải một bài toán

khác

Ví dụ 1.1: Từ bài toán “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp

chia hết cho hai” đưa đến hai bài toán tương tự sau:

Bài toán 1: Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Bìa toán 2: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.

Ví dụ 1.2: Từ bài toán “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp

chia hết cho hai” có thể khái quát thành:

Bài toán khái quát 1: Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 (đúng)

Bài toán khái quát 2: Tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n (đúng)

Bài toán đặc biệt hóa: Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (mạnh hơn)

1.2 Dãy số và chuỗi số phức.

1.2.1 Giới hạn của một dãy số phức.

Định nghĩa1.2.1: Dãy số phức là một ánh xạ từ tập hợp các số tự nhiên vào £

gọi là giới hạn của dãy số phức { }z n

nếu với mỗi

Định lí 1.2.4: (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy { }z n

là dãy cơ bản khi và chỉ khi dãy

Ngược lại nếu

z

∞

=

∑ phân kỳ

Điều kiện cần và đủ để chuỗi số phức

1 n

n∞ z

=

∑ hội tụ là

z

∞

=

∑ gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1

n n

z

∞

=

∑ hội tụ

Định lí 1.2.6: Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

Điểm trong:

z X∈ được gọi là điểm trong nếu ∃ >r 0 :D z r( ), ⊂ X

được gọi là điểm tụ của X

nếu mọi lân cận U

của 0

z chứa ít nhất

một điểm của X

khác 0

z

được gọi là điểm cô lập củaX

nếu tồn tại một lân cận U

1.4 Giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến số phức

1.4.1 Định nghĩa hàm số biến số phức

a a z a z a z z

cũng liên tục tại 0

z (iii) Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) của các hàm liên tục là một hàm liên tục.

>

n

ε )

′ =

z n

không lên tục đều trên Ω

1.5 Lý thuyết chuỗi lũy thừa, định lý Abel

Định nghĩa 1.5.1: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

0

n n

z thì nó phân kì tại mọi z

sao cho 1

z > z

Định lí 1.5.2: (Về bán kính hội tụ) Với mọi chuỗi lũy thừa

c z luôn luôn tồn

như vậy gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (2).

Định lí 1.5.3: (Công thức Cauchy – Hadamard)

Bán kính hội hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính theo công thức

1limsup

→∞

=

n n x

Công thức (3) gọi là công thức Cauchy – Hadamard

+

→∞

thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa cũng

được cho bởi 1

C R

Nếu tại điểm z

giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của

f z g z

và f z g z( ) ( ) ( g z( ) ≠0)

cũng khả vi phức tại 0

z với mọi

1.6.2 Điều kiện Cauchy – Riemann

Định lí 1.6.2: Cho hàm f( ) ( )z =u x;y +iv( )x;y

, nếu các hàm 2 biến u x y( ; ),

(i) Hàm mũ thu hẹp trên tập hợp ¡

trùng với hàm mũ thông thường trong giải

(i) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác.

(ii) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn.

(iii) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.

(iv) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng.

(i) Hàm Jukovski chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ tại điểm z=0.

(ii) Hàm Jukovski khả vi trên

1.8.Tích phân theo biến phức

Định nghĩa 1.8.1: (Tích phân đường) Cho hàm f z( )

1.9 Lý thuyết tích phân Cauchy

Định lí 1.9.1: (Định lí Cauchy cho miền đơn liên) Nếu hàm ω= f z( )

chỉnh

hình trong miền đơn liên Ω

thì với mọi chu tuyến trơn từng khúcγ ⊂ Ω

Định nghĩa 1.9.1: (Tích phân loại Cauchy) Giả sử Γ

là đường cong Jordan trơn

η

ϕ η

η

và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên Ω

0 0

z z

z z

n

z e

(iii) Không tồn tại

( )( )

( )

=

′

f a res f z a

f a

c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent

qua đó xác định 1

c−

CHƯƠNG 2 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH

LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN PHỨC

Chương này, khóa luận tập trung giải và khai thác một số dạng toán cơ

sở về dãy số, chuỗi số phức, giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến phức

2.1 Giải và khai thác một số dạng toán về dãy số.

Cách 2: Trong hình bình hành tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng

bình phương độ dài của các cạnh

n

z z

z z

Tóm lại ta có được: Dấu đẳng thức xảy ra ở ( )**

khi và chỉ khi tỷ số hai số khác không bất kỳ là dương

ii) Tương tự : Một số bất đẳng thức khác thường gặp:

là độ dài của cung AB

Hệ thức vừa chứng minh nói lên độ dài dây AB

phải nhỏ hơn hoặc bằng cung

AB

Bài 5.[7]: Chứng minh rằng nếu 1 2 3

Câu hỏi: Nếu cho n

điểm thỏa mãn các yêu cầu 1

Khi đó phương trình ban đầu trở thành

12

Bài 7: Tìm giới hạn của dãy số phức { }z n

z n

z n

2.2 Giải và khai thác một số dạng toán về chuỗi số phức.

Bài 1.[7]: Cho các chuỗi hội tụ

1 n

n C

∞

=

∑

=

∑

có hội tụ hay không?

2 1

Bài 3: Tìm miền hội tụ của các chuỗi số.

Miền hội tụ là toàn bộ mặt phẳng phức

Tìm miền hội tụ của chuỗi

2

1

n n

n z a

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng phức

 Miền hội tụ là D={ }0

Tìm miền hội tụ của chuỗi số 1

n n n

∞

=

∑

Bán kính hội tụ 1

n n

a R

 Miền hội tụ không đóng không mở

Tìm miền hội tụ của chuỗi 1

n

n

z n

chuỗi đã cho hội tụ

Như vậy trên đường tròn đơn vị có những chỗ chuỗi hội tụ nhưng có những chỗ chuỗi phân kỳ