Giải tích lồi và áp dụng

1 đại học thái nguyên trờng đại học s phạm khoa toán Giải tích lồi và áp Giải tích lồi và ápGiải tích lồi và áp Giải tích lồi và áp dụng dụng dụng dụng Chuyên ngành: Giải tích luận văn tốt nghiệp đại học thái nguyên 2 Mục lục Trang Mở đầu 4 Chơng1. Các định lý tách tập lồi 5 1. định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính 5 1.1.định nghĩa tập lồi 5 1.2.các tính chất 5 1.3.định lý tách 8 2. định lý tách tập lồi trong không gian tôpô tuến tính 11 2.1.Định lý 1 11 2.2.Định lý 2 15 2.3.Định lý 3 17 Chơng 2.các định lý điểm bất động 18 1.Giới thiệu một số định lý 18 1.1.Nguyên lý ánh xạ co 18 1.2.Định lý(Banach) 18 1.3.Hệ quả 19 1.4.Ví dụ 19 2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn 20 2.1. Một số định lý có liên quan 20 2.2.Định lý (J.Schauder) 24 2.3.Định lý (Peano) 25 3. Các định nghĩa 27 Chơng 3. lý thuyết cực trị 32 1.tích biến phân cổ điển 32 1.1.Các bài toán cực trị trong khoa học và kỹ thuật 32 3 1.2.Mở rộng bài toán biến phân cơ bản 32 1.3.Nghuyên lý Hamilton 36 1.4.Phiếm hàm phụ thuộc những đạo hàm cấp cao 39 1.5.Bài toán đầu mút động 42 1.6.Trờng hợp phiếm hàm phụ thuộc các đạo hàm cấp cao 45 2. Các ví dụ áp dụng 46 3. Bài toán lồi 49 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 4 Mở đầu 1. Mục đích, lý do chọn đề tài Một trong những mong muốn của những nhà toán học là ứng dụng đợc môn toán vào thực tiễn đời sống và sản xuất Chẳng hạn những bài toán trong những vấn đề về quản lý,sắp xếp để đạt hiệu quả tốt nhất. Gần đây các phơng hớng phát triển các nguyên lý điểm bất động đã có đợc rất nhiều thành công và phát triển mạnh Do nhu cầu nghiên cứu những bài toán này mà hình thành môn giả tích lồi, vì thế em đặc biệt quan tâm tìm hiểu những vấn đề mở rộng hơn nhờ việc ứng dụng giải tích lồi do đó em đã chọn đề tài Giải tích lồi và áp dụng. 2. Phơng pháp nghiên cứu Sử dụng đồng thời các phơng pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp để nêu nên đợc mối liên hệ giữa các khái niệm và các định lý, từ đó hiểu rõ hơn các ứng dụng của giải tích lồi vào thực tiễn. 3. Phạm vi đề tài Nội dung đề tài bao gồm: Phần mở đầu, Chơng 1, chơng 2, chơng 3, kết luận và tài liệu tham khảo. Chơng 1: Các định lý tách tập lồi Chơng 2:Các định lý điểm bất động Chơng 3: Lý thuyết cực trị 5 Chơng 1 Các định lý tách tập lồi 1. Định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính 1.1. Định nghĩa tập lồi Tập K X gọi là lồi nếu x, y K, [0,1], điểm x + (1 - )y K Ví dụ Trong không gian ba chiều các hình tứ diện, hình lập phơng, hình cầu đều là tập lồi Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là tập lồi Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tâp lồi Nếu f(x) là phiếm hàm tuyến tính thì tập {x: f(x) a}, {x: f(x) a} với a cố định là tập lồi 1.2. Các tính chất Bổ đề 1 Giao của họ bất kỳ các tập lồi trong không gian tuyến tính X là tập lồ Chứng minh Việc chứng minh đợc suy trực tiếp từ định nghĩa Bổ đề 2 Nếu x 1 , x 2 , ,x n là các điểm của tập lồi K, còn a 1 ,a 2 , ,a n là các vô hớng không âm sao cho = = n i i a 1 1 thì = n i ii Kxa 1 Chứng minh n = 2 theo định nghĩa định lý đợc chứng minh 6 Giả sử định lý đúng với n = m ta phải chứng minh định lý đúng với n = m +1 Đặt b = a 2 + + a m+1 và 1 1 2 2 + + ++= m m x b a x b a y , theo truy chứng ta có K y vì a 1 + b = 1 nên + = += 1 1 11 m i ii byxaxa K Đpcm Bổ đề 3 Cho X là không gian tuyến tính Nếu K 1 , K 2 lồi trong X thì K 1 và K 1 K 2 cũng lồi Chứng minh Cho x, y K 1 x = x 1 y = y 1 x 1 ,y 1 K 1 khi đó nếu 0 1, nhờ tính lồi của K 1 có ax + (1 a)y = ( ax 1 + (1-a)y 1 ) K 1 Tơng tự x,y K 1 + K 2 x = x 1 + x 1 y = y 1 + y 2 x 1 , y 1 K 1 x 2 , y 2 K 2 Nhờ tính lồi của K 1 , K 2 ta có ax + (1-a)y = a(x 1 + x 2 ) + (1-a)( y 1 + y 2 ) = ax 1` + (1-a)y 1 + ax 2 + (1-a)y 2 K 1 + K 2 Tơng tự K 1 K 2 cũng là lồi Bổ đề 4 Nếu T là ánh xạ tuyến tính không gian X vào D, còn A là tập lồi trong X thì TA lồi Định nghĩa Cho M là không gian con tuyến tính của X 7 Điểm p gọi là c- điểm trong của M nếu với mỗi x X, > 0, < p + x M Điểm p gọi là c-điểm biên của M nếu nó không là c- điểm trong của M và phần bù của M Định nghĩa phiếm hàm Mincôpski Cho K là tập lồi của không gian tuyến tính X và cho 0 là c-điểm trong của K, với mỗi x X, đặt I(x) = {a: a > 0, a -1 x K } )( inf)( xIa axF = Hàm F(x) gọi là phiếm hàm Mincôpski của tập hợp K Ví dụ Nếu K là hình cầu đơn vị của không gian Banach X thì F(x) = x Bổ đề 5 Nếu K là tập lồi của không gian X, có 0 là c- điểm trong Cho F(x) là phiếm hàm Mincôpski của K khi đó a, F(x) 0 b, F(x) < + c, Nếu a 0 thì F(ax) = aF(x) d, Nếu x K thì F(x) 1 e, F(x + y) F(x) + F(y) f, Toàn bộ c-điểm trong của tập K đặc trng bởi F(x) < 1, Còn toàn bộ c- điểm biên của nó bởi F(x) = 1 Chứng minh a,c,d là rõ ràng Khẳng định b đợc suy ra từ 0 là c- điểm trong của K Để chứng minh khẳng định e, chú ý nếu c > F(x) + F(y) thì c = a + b ở đây a > F(x), b > F(y) 8 Từ tính lồi của tập K suy ra điểm K b a ybbxaa b a yx c yx + + = + + = + )()( 11 Nh vậy F(x + y) c f, Nếu X là c- điểm trong của K thì điểm X + x = (1 + x) với đủ nhỏ, K F(x) ( 1 + ) -1 < 1 Ngợc lại, cho F(x) < 1, Đặt = 1 F(x) và xét X là không gian thực Giả sử (F(y) + F(-y)) < (1) Ta có F(x + y) F(x) + F( y) (2) Nếu 0 thì F( y) = F(y) = F(y) Nếu < 0 thì F( y) = F[(- )(-y)] = (- )F(-y) = F(-y) Vậy F( y) [F(y) + F(-y)] với tuỳ ý Từ (2) có F(x + y) < 1 không phụ thuộc vào dơng hay âm thoả mãn (1) 1(x + y) = x + y K x là c- điểm trong của phần bù của K Tơng tự chứng minh bất đẳng thức F(x) > 1 đặc trng cho c-điểm trong của phần bù của K Nh vậy F(x) = 1 đặc trng cho c-điểm biên của K 1.3. Định lý tách 1.3.1. Định nghĩa Cho X là không gian vectơ, M,N X , phiếm hàm f gọi là tách tập hợp M và N nếu tồn tại hằng số thực c sao cho Ref(M) c, Ref(N) c 1.3.2.Các tính chất Bổ đề 1 Để phiếm hàm tuyến tính f tách tập M và N của không gian X, điều kiện cần và đủ là nó tách tập hợp con M N và {0} Chứng minh Phiếm hàm tuyến tính tách M và N khi và chỉ khi 9 NyMx yfxf )(Reinf)(Resup Nếu có (1) thì x M , y N có F(y-x) = f(y) f(x) Ref(y-x) = Re[f(y) f(x)] = Ref(y) Ref(x) 0 NMz zf )(Reinf Chứng tỏ f tách M-N và {0} Ngợc lại nếu có (2) thì x M, y N: f(y) - f(x) = f(y-x) Re[f(y)-f(x)] = Ref(y-x) Ref(y) - Ref(x) = Ref(y-x) 0 Ref(y) Ref(x) 0, x M, y N NyMx yfxf )(Reinf)(Resup Bổ đề 2 Cho f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian véctơ X D là không gian con của X, nếu f(D) không trùng với toàn bộ trờng vô hớng T thì f(D)=0 Chứng minh Nếu f(D) 0 f(D) T f(D) T f(D) = 0 Giả sử tồn tại y D: f(y) 0 khi đó = ) )( (, )( yf y fD yf y Nh vậy mỗi vô hớng thuộc f(D) T f(D) Tất nhiên f(D) T. Vậy f(D) = T 1.3.3. Định lý(Định lý cơ bản về tách tập lồi) Cho M và N là các tập lồi không giao nhau của không gian tuyến tính X, Thêm vào M có c- điểm trong, khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác 0, f tách M và N 10 Chứng minh Giả sử X là không gian tuyến tính thực, nếu m là c-điểm trong của tập hợp M thì điểm 0 của không gian X là c-điểm trong của tập M m Dễ thấy phiếm hàm tách M và N khi và chỉ khi nó tách M m và N m Nh vậy có thể bổ sung rằng 0 là c-điểm trong của M Cho p N nh thế p là c- điểm trong của M N, còn 0 là c- điểm trong của K = M N P Vì M và N không giao nhau nên tập hợp M N không chứa điểm 0 và nh vậy K không chứa điểm p Kí hiệu F là hàm Mincốpski của tập hợp K khi đó F(p) 1 Nếu đặt f o ( p) = F(p) thì f o là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con một chiều của không gian X gồm từ các bội thực của p Ngoài ra a R có : f o (ap) F(ap) Vì f o (ap) = F(ap) khi a 0 Khi a < 0, f o (ap) = aF(p) < 0 < F(ap) Theo định lý Han Bannach f o có thể thác triển đến phiếm hàm tuyến tính f sao cho f(x) F(x) x X Từ đó suy ra f(K) 1, đồng thời f(p) 1 Nh vậy f tách tập K và p, theo bổ đề 1 thì f tách tập M và N Nếu không gian X phức, ta chỉ xét phép nhân véctơ với số thực, có thể coi nó nh một không gian tuyến tính thực Nhờ chứng minh trên ta có thể xác định trên X hàm thực f sao cho f(x+y) = f(x) +f(y) f( x) = f(x) Với thực sao cho f(M) và f(N) thuộc các khoảng không giao nhau [...]... minh a, Cho X là không gian tuyến tính, K X, I = [0, 1], để tập K lồi, điều kiện cần và đủ là ánh xạ : [x,y,a] ax + (1-a)y của tích tôpô XxXxI vào X chuyển vào K, vì liên tục và K ì K ì K = K ì K ì I Nên ( K ì K ì I ) = ( K ì K ì K ) ( K ì K ì I ) K nếu K lồi Vậy nếu K lồi thì K lồi Bây giờ chứng nếu p là điểm trong của tập hợp K và q K thì ap + (1-a)q khi 0 < a < 1 là điểm trong của K Thật vậy... w( A) (2) Theo định lý 1 bao đóng của tập lồi là lồi, nh vậy tập w( A) lồi và chứa A, do đó w( A) w( A) , kết hợp với (2) có w( A) = w( A) Iii, suy từ i, và ii, Từ i, và bổ đề 1 suy ra w( A) + w( B) là tập lồi, đóng, nh thế w( A + B) w( A) + w( B) (3) Hơn nữa tổng x + y là hàm liên tục đối với x và y nên X 1 + Y1 X 1 + Y1 với tùy ý X1, Y1 X Nh vậy từ i và ii suy ra w( A + B) = w( A + B) = w( A)... 2 Đặc trng lồi của không gian Bannach X đợc xác định bởi 0 ( X ) = sup{ [0,2]: X ( ) = 0} Hai đại lợng này cho thông tin về tính chất của không gian Chẳng hạn X lồi đều khi và chỉ khi X ( 2) = 1 ,nếu 0 ( X ) < 2 thì X là không gian phản xạ Rõ ràng mọi không gian lồi đều thì lồi chặt và phản xạ, vì vậy không gian lồi đều có tính chất không giống không gian Hinber Nếu C là một tập lồi, đóng trong... mới của toán học Đặc biệt sự ra đời và phát triển của giải tích hàm không thể tách rời với việc xử lý các bài toán biến phân ngày càng phức tạp gặp trong các ứng dụng của toán học, cơ học và vật lý Thời gian gần đây đã xuất hiện nhiều bài toán không thể giải quyết đợc trong khuôn khổ tích biến phân cổ điển : Đó là các bài toán thờng gặp trong các vấn đề quản lý và điều khiển Chính do nhu cầu nghiên... hình thành giải tích lồi , một ngành mới của giải tích hàm Trong chơng này chúng ta sẽ đi sâu vào tích biến phân cổ điển , đồng thời sẽ trình bày một số sự kiện tổng quát của lý thuyết hiện đại về các bài toán cực trị 1.2 Mở rộng b i toán biến phân cơ bản Xét bài toán với nhiều hàm cha biết Cho phiếm hàm b J ( y ) = f ( x, y, y ' )dx a Trong đó y là một véctơ hàm, nghĩa là một ánh xạ từ [a,b] vào Rn 32... hợp riêng của tích phân (9) Thành thử nhiều vấn đề khác nhau: Đờng đoản thời, đờng trắc địa, đờng truyền ánh sáng đều là những dạng khác nhau của cùng một bài toán 1.3 Nguyên lý Hamilton Ta hãy áp dụng các phơng pháp tích biến phân vào một số vấn đề cơ học cổ điển Cho hệ n chất điểm có khối lợng m1 , m2 , , mn và các toạ độ là xi , yi , z i , (i = 1,2, , n) Giả sử điểm thứ i chịu tác dụng của lực Fi... thì bao lồi của A, kí hiệu w(A) là không gian của tấtcả các tập lồi chứa A , nếu X là không gian tôpô tuyến tính bao lồi đóng của A , kí hiệu w( A) là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A Rõ ràng w(A) là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính n a x i =1 xi A , Trong đó 0 ai 1và n a i =1 i i i các phần tử của = 1 , tổ hợp tuyến tính nh thế gọi là tổ hợp lồi Nh vậy w(A) là toàn bộ các tổ hợp lồi có thể... Nếu K1, K2 X lồi thì K1 và K1 + K2 cũng lồi Từ đó cũng có w(A+B) w(A) + w(B) (1) n n i =1 i =1 Hơn nữa, nếu y B và x = ai xi w( A) thì x + y = ai ( xi + y ) , nh thế w( A) + y = w( A + y ) và nh vậy w(A) + B w(A+B) 13 Từ đó w(A) + w(B) w(w(A)+B) Nh vậy w(A) + w(B) w(w(A)+B) w(w(A+B)) = w(A+B) Kết hợp với (1) suy ra w(A+B) =w(A) + w(B) Để chứng minh ii, chú ý rằng w( A) đóng và chứa w(A) suy... Peano đợc chứng minh Chú ý: Khi chứng minh định lý Peano ta đã áp dụng nguyên lý Schauder thiết lập sự tồn tại nghiệm phơng trình tích phân (3) là phơng trình tuyến tính Nguyên lý này cho phép thiết lập sự tồn tại nghiệm của các phơng trình tích phân không tuyến tính phức tạp hơn 3 Các định nghĩa Định nghĩa 1 Không gian Bannach (X, ) đợc gọi là lồi chặt nếu với x y mà x+ y < 1 , điều này tơng đơng với... = f(x) - if(ix) là phiếm hàm tuyến tính khác 0 xác định trên không gian phức X và tách M,N 2 Các định lý tách Tập lồi trong không gian tôpô tuyến tính 2.1 Định lý 1 Trong không gian tôpô tuyến tính a, Bao đóng v phần trong của tập lồi l tập lồi b, Điểm trong của một tập hợp l c- điểm trong của tập hợp đó c, Nếu tập hợp lồi K của không gian tôpô tuyến tính có ít nhất một điểm trong thì để p l điểm trong . khoa toán Giải tích lồi và áp Giải tích lồi và ápGiải tích lồi và áp Giải tích lồi và áp dụng dụng dụng dụng Chuyên ngành: Giải tích luận văn tốt nghiệp. đã chọn đề tài Giải tích lồi và áp dụng. 2. Phơng pháp nghiên cứu Sử dụng đồng thời các phơng pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp để nêu nên đợc mối liên hệ giữa các khái niệm và các định lý,. công và phát triển mạnh Do nhu cầu nghiên cứu những bài toán này mà hình thành môn giả tích lồi, vì thế em đặc biệt quan tâm tìm hiểu những vấn đề mở rộng hơn nhờ việc ứng dụng giải tích lồi