Cho hai không gian Banach X, Y, một toán tử tuyến tính liên tục A: X →
Y, một tập hợp lồi D ⊂ X, một véctơ b ∈ Y và những hàm lồi liên tục f0, f1, ...,fk
trên D Ta xét bài toán 0 x D MinI (x) ∈ (1) Ax = b (2) f1(x) ≤ 0,..., fk(x) ≤ 0 (3)
Ta nói bài toán là chính quy nếu b là điểm trong của A(D) và có ít nhất một điểm trong x0của D nghiệm đúng Ax0 = b, f1(x0) < 0,..., fk(x0) < 0 (4) Với mỗi véctơ à = (à1,..., àk) ∈ Rk và mỗi phiếm hàm λ∈ Y* ta đặt
L(x; λ ; à) = I0(x) + λ(Ax-b) + ∑ = k i i if x 1 ) ( à hàm này cũng đ−ợc gọi là hàm Lagrance Định lý
Giả sử bài toán (1), (2), (3), (4) là chính quy. Một điểm x thoả mun các rằng buộc (2),(3),(4) ( Điểm chấp nhận đ−ợc) là lời giải của bài toán khi và
chỉ khi có một phiếm hàm tuyến tính liên tục λ trên Y và những số thực ài≥ 0 ( i = 1,...,k) sao cho L(x; λ ; à) = D x Min ∈ L(x; λ ; à) (5) àifi(x) = 0 ( i= 1,....,k) (6) Chứng minh
Giả sử x là lời giải và kí hiệu I={i: fi(x) = 0 } khi ấy hệ sau đây vô nghiệm
x ∈ D, Ax = b, fi(x) < 0 ( i ∈ I), f0(x) – f0(x) < 0
Vì vế trái lại có một x nghiệm đúng hệ này thì ε > 0 đủ nhỏ ta sẽ có
x’ = εx + (1-ε) x ∈ D
fi(x’) ≤εfi(x) + (1-ε)fi(x) ≤ 0 ( i = 1,...,k)
Đồng thời J0(x’) ≤ εJ0(x) + (1-ε)fi(x) < f0(x) trái với giả thiết x là lời giải
Vậy phải có một phiếm hàm tuyến tính λ trên Y và những số ài≥ 0
( i = 0,1,...,k) sao cho ài > 0 với ít nhất một i ∈ I ∪ {0}, ài = 0 ( i ∉ I)
Và mọi (x ∈ D) à0(f(x) – J0(x)) + λ(Ax-b) + ∑ = k i i if x 1 ) ( à ≥ 0 (7) Do ài = 0 ( i ∉ I) nên điều kiện (6) đ−ợc thoả mãn
Mặt khác, nếu ài = 0 thì thay x bằng x0 ta có λ(Ax0-b) + ∑
= k i i i f x 1 0) ( à ≥ 0
Và do (5) suy ra ài = 0 ( i = 1,...,k) trái với ở trên vậy ài > 0 và bằng cách chia các phiếm hàm λ và các số ài cho à0 ta có thể coi nh− à0 = 1
Ta chứng minh phiếm hàm λ liên tục, vì tập hợp A(D) có điểm trong b
nếu toán tử tuyến tính A là toàn ánh từ X lên Y
Theo định lý ánh xạ mở, A phải biến mọi lân cận U của x0 thành lân cận của Ax0
( i = 0,1,...,k) với c là một hằng số nào đó .
Khi ấy với mỗi y ∈ A(w) – b ta có x ∈ w sao cho Ax – b = y và fi(x) ≤ c ( i= 1,2,..,k) Từ đó theo (7) : λy ≥ f0(x) - c∑ = k i i 1 à mọi y ∈ A(w) – b
Mà A(w) – b là tập hợp lồi ( miễn là ta chọn w là hình cầu trong X) và chứa điểm trong Ax0 – b
Suy ra λ phải liên tục
Từ (8) và chú ý : Ax - b = 0, fi(x) ≤ 0 ( i = 1,2,..,k) ⇒ ∀ x ∈ D : f0(x) + λ(Ax0 – b) + ∑ = k i i i f x 1 ) ( à ≥ f0(x) + λ(Ax - b) + ∑ = k i i if x 1 ) ( à (8) Đó chính là hệ thức (4) ⇒ điều kiện cần đã đ−ợc chứng minh
Điều kiện đủ
Nếu có λ∈ Y* và các số ài≥ 0 ( i=1,..,k) nh− trên thì từ (5) ta suy ra vế phải của (8) bằng f0(x) cho nên mọi x chấp nhận đ−ợc ( Thoả mãn (1), (2),(3)) Theo (4): f0(x) ≥ f0(x) suy ra x là lời giải
kết luận
Sau khi đề tài đ−ợc hoàn thiện tôi đã trình bày đ−ợc những vấn đề sau: Các định nghĩa, các tính chất và các định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính và trong không gian tôpô tuyến tính.
Các định lý về điểm bất động trong đó có định lý Banach,định lý J.Schauder,và một số định lý có liên quan .Và đi nghiên cứu các bài toán cực trị , một trong vấn đề quan trọng hình thành nên giải tích lồi , các ứng dụng của giải tích lồi trong thực tế về cơ học, vật lý.
Mặc dù vậy vẫn còn nhiều vấn đề liên quan đến giải tích lồi mà đề tài vẫn ch−a nghiên cứu tới, em hy vọng với thời gian rộng hơn, với nhiều tài liệu tham khảo hơn đề tài của em sẽ đ−ợc trình bày đầy đủ hơn.
Em xin chân thành cảm ơn sự h−ớng dẫn tận tình của thầy Hà Trung San đã giúp em hoàn thành đề tài này
Cuối cùng em mong nhận đ−ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của em đ−ợc hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1]. Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại , tập III, nhà xuất bản giáo dục, 1979. [2]. N.Dunford J.T.Schart-Lineroperators General Theory,Publishirs, New
York , 1958.
54
đại học thái nguyên tr−ờng đại học s− phạm
khoa toán
L−ơng Thanh hải
Giải tích lồi và Giải tích lồi và Giải tích lồi và
Giải tích lồi và ápápápáp dụng dụng dụng dụng
luận văn tốt nghiệp đại học