Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập cực trị có nội dung thực tiễn và liên môn thuộc chương trình giải tích 12 giải bằng phương pháp đạo hàm

nguồn lực con người của xã hội hiện nay, vấn đề định hướng giảng dạy gắnkiến thức lý thuyết với thực tiễn là một trong những yêu cầu quan trọng đượcđặt ra cho ngành giáo dục.Định hướng t

nguồn lực con người của xã hội hiện nay, vấn đề định hướng giảng dạy gắnkiến thức lý thuyết với thực tiễn là một trong những yêu cầu quan trọng đượcđặt ra cho ngành giáo dục.

Định hướng trên đây đã được thể chế hóa trong Luật giáo dục: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh” (Luật giáo dục (2005) điều 24.2).

Một trong những quan điểm xây dựng và phát triển chương trình môn

Toán THPT: “Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn với thực tiễn” Theo đó, “tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học” là một trong những tư tưởng cơ bản Do đó việc dạy học

môn Toán cần đảm bảo giúp học sinh sử dụng toán học đúng nghĩa là công cụsắc bén để giải quyết một cách hữu hiệu nhiều vấn đề của khoa học, côngnghệ, sản xuất và đời sống Như vậy, vấn đề tăng cường rèn luyện khả năng,thói quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học vào các mônhọc khác, vào những tình huống đa dạng của đời sống thực tiễn là một mụctiêu, một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục toán học

“Đạo hàm và các bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm” là một trong

những chủ đề chính trong chương trình Giải tích THPT Đạo hàm là một công

cụ sắc bén giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài tập, trong đó có những bài tậpmang nội dung thực tiễn, liên môn Trong hệ thống các bài tập có nội dungthực tiễn nói chung, bài tập cực trị có nội dung thực tiễn và liên môn đặc biệt

có vị trí quan trọng trong việc rèn luyện ý thức, thói quen, khả năng tối ưuhóa các hoạt động thực tiễn của con người Việc giải các bài tập thuộc dạngnày một mặt củng cố cho học sinh kiến thức vận dụng toán học vào thực tiễn,một mặt thể hiện quan điểm liên môn, một quan điểm dạy học đang rất đượcchú trọng hiện nay Các kiến thức đạo hàm là một trong các công cụ thuận lợi

để giải lớp bài tập này Tuy nhiên trong chương trình, sách giáo khoa Giảitích 12 hiện nay số lượng các bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên mônchưa nhiều, trình bày chưa được liên tục Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng, thóiquen tối ưu hóa các hoạt động thực tiễn của học sinh qua bài tập môn Toánnói chung, môn Giải tích 12 nói riêng còn có những hạn chế nhất định Rõràng, vấn đề đặt ra là cần cho học sinh thực hiện giải các bài tập cực trị có nộidung thực tiễn và liên môn nhiều hơn nhằm rèn luyện cho học sinh ý thức,thói quen, khả năng tối ưu hóa mọi hoạt động thực tiễn, góp phần thực hiệnmục tiêu giáo dục toán học

Vì những lí do đó chúng tôi chọn: “Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập cực trị có nội dung thực tiễn và liên môn thuộc chương trình Giải tích

12 giải bằng phương pháp đạo hàm” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2 Mục tiêu khóa luận

Nghiên cứu trình tự các bước giải bài tập bằng phương pháp đạo hàm;xây dựng, chỉ dẫn sử dụng hệ thống bài tập cực trị có nội dung thực tiễn vàliên môn thuộc chủ đề Giải tích 12 giải bằng phương pháp đạo hàm nhằm gópphần rèn luyện ý thức, khả năng tối ưu hóa mọi hoạt động thực tiễn, củng cốkiến thức về đạo hàm cho học sinh lớp 12 THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu – nội dung nghiên cứu

 Nghiên cứu vai trò của toán học đối với các vấn đề thực tiễn

 Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Giải tích 12 THPT; đặc biệt là cáckiến thức về đạo hàm - ứng dụng đạo hàm trong giải toán

 Điều tra tình hình dạy và học các bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm củagiáo viên dạy học môn Toán ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

 Đề xuất các nguyên tắc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập cực trị có nộidung thực tiễn và liên môn giải bằng phương pháp đạo hàm trong chương trình 12

 Hệ thống hóa, đề xuất, tập hợp, xây dựng hệ thống bài tập

 Thử nghiệm sư phạm nhằm minh họa tính khả thi và hiệu quả bước đầucủa hệ thống bài tập đã xây dựng

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tàiliệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài:

- Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 về mục tiêu, nộidung, mức độ đề cập các bài tập thực tiễn giải bằng đạo hàm

- Nghiên cứu các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT

- Nghiên cứu nội dung kiến thức đạo hàm, các bước giải bài tập bằngphương pháp đạo hàm

4.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một số giáo viên Toán THPT vềvấn đề dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn nói chung, dạy học giảiBTCT có nội dung thực tiễn và liên môn bằng công cụ đạo hàm nói riêng

4.3 Tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên dạy môn Toán giỏi ở một số

trường THPT về việc dạy học “giải bài tập bằng phương pháp đạo hàm”

trong chương trình 12 hiện hành

Xin ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên dạy Toán

ở trường Đại học Hùng Vương để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thứccủa khóa luận

4.5 Phương pháp thử nghiệm sư phạm

Tổ chức thử nghiệm sư phạm dạy học các bài tập đã xây dựng ở một sốtiết học trong môn Toán lớp 12 nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quảcủa hệ thống bài tập đã đề xuất

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Nội dung thực tế trong dạy học giải BT bằng phương phápđạo hàm trong chương trình 12

 Phạm vi: BTCT có nội dung thực tiễn và liên môn được giải bằng

phương pháp đạo hàm

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

 Làm rõ quan điểm về BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn, vai trò của

hệ thống BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn trong dạy học

 Xây dựng được hệ thống BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn phùhợp với chương trình Giải tích 12 hiện hành giải bằng phương pháp đạo hàm.Đưa ra những chỉ dẫn cần thiết khi sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng, gópphần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề ứng dụng đạo hàm để giải cácBTCT ở trường THPT

 Đề tài là tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Toán THPT, sinh viên

sư phạm ngành Toán quan tâm tới vấn đề tăng cường nội dung thực tiễn, liênmôn trong dạy học môn Toán

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2: Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn và liên môn

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Về bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1.1 Thực tế, thực tiễn

Theo từ điển Tiếng Việt, “thực tế là tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ với đời sống con người; thực tiễn là những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của

xã hội (nói tổng quát)” [8, tr 957] Như vậy, ta thấy thực tiễn là một tồn tại

của thực tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó hàm chứa hoạtđộng của con người cải tạo, biến đổi thực tế với một mục đích nào đó

tử là những yếu tố thực tế”.

1.1.1.3 Bài tập có nội dung thực tiễn

Theo quan niệm của L.N Lanđa, A N Lêonchiep thì: Bài tập là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết.

Theo Thái Duy Tuyên: Qua nghiên cứu lí luận và sự trải nghiệm thực tiễn cóthể hiểu bài tập là một hệ thông tin xác định bao gồm hai tập hợp gắn bó chặtchẽ và tác động qua lại với nhau

Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng

thái ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngôn ngữ thông dụng thì

đó là “cái cho”, trong toán học thì người ta gọi là giả thiết

Những yêu cầu là trạng thái mong muốn đạt tới, theo ngôn ngữ thông

dụng thì đây là “cái phải tìm”

Hai tập hợp này tạo thành bài tập, nhưng chúng lại không phù hợp vớinhau, thậm chí mâu thuẫn với nhau; từ đó xuất hiện nhu cầu biến đổi chúng

để khắc phục sự không phù hợp, mâu thuẫn giữa chúng, theo [18]

Tóm lại, có thể hiểu bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồmnhững điều kiện và những yêu cầu được đưa ra trong quá trình dạy học, đòihỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phầnkhông ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra.Dựa trên các quan điểm này và trên cách hiểu về thực tế, thực tiễn đã

trình bày, chúng tôi quan niệm rằng: Bài tập có nội dung thực tiễn là bài tập

mà trong điều kiện về giả thiết hay trong yêu cầu của kết luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt động thực tiễn

1.1.1.4 Bài tập cực trị

Bài tập cực trị là bài tập trong đó đòi hỏi phải tìm cực trị của một hàm sốhay một đại lượng, trong điều kiện ràng buộc nào đó của các biến hay củanhững đại lượng biến đổi khác theo những điều kiện hay những quy luật nhấtđịnh của một quá trình tự nhiên, quá trình sản xuất hoặc một quá trình nào đótrong đời sống, theo [12]

Những bài tập liên quan tới giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm cực trị đã hấpdẫn con người từ thủa xa xưa Ngày nay, những BTCT với những điều kiệnràng buộc xác định có tầm quan trọng ngày càng to lớn trong kinh tế, quản lý

và khoa học công nghệ

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng thường được biểuthị bằng một hàm số (một hoặc nhiều biến số) là một bộ phận quan trọngtrong một ngành của toán học hiện đại: Lý thuyết tối ưu.

Như vậy có thể hiểu BTCT như là một bài toán tối ưu Các bài toán tối

ưu là một lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại, có ý nghĩa vô cùng to lớntrong mọi lĩnh vực khoa học, công nghệ, sản xuất, kinh tế, quản lý và trongđời sống

Mặc dù lý thuyết tối ưu không được giảng dạy ở trường phổ thông nhưngviệc giải các BTCT - một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu đã đượcxem xét trong môn Toán ở mức độ phổ thông

1.1.2 Vấn đề liên môn

Liên môn là sự phản ánh mối liên hệ, tác động qua lại của môn học này vớimôn học khác vào trong nội dung và phương pháp dạy học của các môn họcnhằm đảm bảo hình thành những hiểu biết nhất quán và toàn diện về tự nhiên,đồng thời cũng hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh

Vấn đề liên môn trong dạy học từ lâu đã là một vấn đề có ý nghĩa thựctiễn sâu sắc, được quan tâm đặc biệt trong nhiều công trình nghiên cứu khoahọc và hiện nay càng được chú ý nghiên cứu nhằm phát triển, mở rộng phạm

vi ứng dụng Liên môn không chỉ dừng lại trong phạm vi quan điểm vềphương pháp dạy học các môn học mà còn hướng tới xem lại nội dung cácmôn học, tổ chức lại các môn học, hình thành các môn học mới thích hợp vớikhả năng và nhu cầu giáo dục, đào tạo hiện nay Những thể hiện mới ngàycàng cao của quan điểm liên môn trong tổ chức dạy học như tổ hợp, tích hợpcác môn học là những kết quả của các quá trình nghiên cứu ở nhiều nước trênthế giới Trong [19], các tác giả còn nhấn mạnh đây là một xu thế của dạy họcgiai đoạn hiện nay, giai đoạn được đặc trưng bởi sự gia tăng lớn lao và thườngxuyên khối lượng thông tin, tri thức; khả năng dễ dàng tiếp nhận các thông tin

môn, đòi hỏi con người phải đa năng Để đáp ứng được những thách thức đócủa xã hội, việc dạy học ở nhà trường chủ yếu và trước hết, ngoài khía cạnh

“kiến thức đơn thuần”, là phải tập trung cố gắng dạy cho học sinh biết sửdụng kiến thức của mình vào những tình huống có ý nghĩa

Tác giả Roegiers X đã khẳng định: Chỉ có thể tạo ra và phát triển nănglực học tập liên môn của học sinh ở nhà trường bằng một quá trình dạy họcquán triệt tinh thần tích hợp:

- Cần đặt toàn bộ quá trình học tập vào những tình huống có ý nghĩa đốivới học sinh

- Đích cuối cùng của một quá trình học tập là năng lực phản ánh khảnăng đối phó với một tình huống cụ thể

- Cần thiết phải có sự soi sáng của nhiều môn học

- Cần thiết phải vượt lên trên các nội dung học tập Thay cho việc nhấnmạnh đến các nội dung, các đặc điểm đặc biệt của môn học, các nguyên lý tổchức chủ yếu của nội dung đó, cần phải nhấn mạnh cách tư duy của học sinh chophép họ nắm được những nội dung và nguyên lý tổ chức đó một cách tốt hơn.Với quan niệm như vậy, có thể có hai nhóm trong những cách tích hợp tổchức nội dung dạy học:

Nhóm 1: Vẫn duy trì các quá trình học tập riêng rẽ, các môn học riêng rẽ,

tuy nhiên có sắp xếp giới thiệu những nội dung gần nhau, những ứng dụngchung của các môn học đó một cách thích hợp nhằm giúp cho học sinh lậpnhững mối liên hệ giữa các kiến thức đã lĩnh hội Tương ứng với nhóm này làmức độ tích hợp thấp nhất: sự phối hợp giữa các môn học

Nhóm 2: Kết hợp các quá trình học tập của hai hay nhiều môn học khác

nhau Cách này tiến xa hơn cách thứ nhất, vì nó dẫn đến hợp nhất bộ phận haytoàn bộ hai hay nhiều môn học Tương ứng với nhóm hai, có hai mức độ thựchiện tích hợp khác nhau:

+ Kết hợp từng bộ phận, nội dung của hai hay nhiều môn học mới còngọi là tổ hợp.

+ Hòa vào nhau toàn bộ nội dung của một số môn học nào đó (chẳng hạnVật lý, Hóa học, Sinh học …) thành môn học mới (khoa học tự nhiên) khôngcòn môn riêng, gọi là tích hợp hoàn toàn

1.1.2.1 Đặc trưng của các liên hệ liên môn giữa toán học và các khoa học khác

Giữa toán học với các khoa học khác, đặc biệt là với các ngành khoa học

tự nhiên và kỹ thuật cũng có mối liên hệ nhất định Trong bối cảnh của sựphát triển có tính bùng nổ của công nghệ thông tin hiện nay, các quan hệ đóngày càng trở nên gắn bó, đa dạng và có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc

Các mối liên hệ giữa toán học với các khoa học khác là những mối liên

hệ “hai chiều” đan xen, phức tạp, đa dạng và sinh động

Mặc dù phương pháp và ngôn ngữ toán học được sử dụng rộng rãi trongnghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và xã hội, đã được thừa nhận là không thểthiếu được nhưng những tác động trở lại từ các khoa học khác tới toán họccũng có ý nghĩa không kém phần quan trọng Tính đa dạng, sinh động và mới

mẻ của vô vàn tình huống nảy sinh từ khoa học tự nhiên dẫn tới những môhình toán học mới

Các bài tập có nội dung liên môn là những minh họa sinh động, để qua

đó thấy rõ hơn vai trò công cụ không thể thiếu được của toán học trong khoahọc, kỹ thuật, công nghệ và đời sống xã hội

1.1.2.2 Vai trò của việc thực hiện quan hệ liên môn trong dạy học môn Toán

Thực hiện các liên hệ liên môn góp phần thực hiện các mục tiêu, nhiệm

vụ giáo dục toán học một cách toàn diện, góp phần chủ động tăng cường rènluyện ý thức và khả năng ứng dụng toán học, đặc biệt là năng lực chọn lựa,giải quyết vấn đề một cách tối ưu cho học sinh

Thực hiện các liên hệ liên môn trong dạy học toán sẽ góp phần thực hiện

- Thực hiện các liên hệ liên môn sẽ tạo ra những điều kiện thuận lợi giúpcho học sinh thấy rõ nguồn gốc, ý nghĩa bản chất thực tiễn của các khái niệm,hiện tượng và quan hệ giữa chúng Đồng thời qua đó HS thấy được conđường trừu tượng hóa chúng từ thực tiễn Nhờ đó giúp cho HS hiểu và nắmchắc các kiến thức Nhờ việc thực hiện các liên hệ liên môn giữa các mônhọc, một số kiến thức toán học sẽ được củng cố vững chắc hơn bằng cácthông tin và sự kiện của các môn học khác Thí dụ: Nhờ biểu tượng và kháiniệm về chuyển động không đều trong vật lý khi dạy khái niệm đạo hàm giúphọc sinh thấy được nguồn gốc, ý nghĩa thực tiễn của khái niệm đạo hàm, vậntốc, gia tốc … và vận dụng các khái niệm đó một cách đúng đắn trong nhữngtình huống khác nhau.

Đặc biệt, thực hiện các liên hệ liên môn trong dạy học toán sẽ đòi hỏihọc sinh phải thường xuyên thực hành nhận dạng, thể hiện, vận dụng nhữngkhái niệm và định lý toán học trong nhiều tình huống khác nhau Qua đó,không những góp phần giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản mà còngóp phần rèn luyện cho họ khả năng, ý thức vận dụng kiến thức phương pháptoán học vào những tình huống thực tiễn:

+ Bằng việc thực hiện các liên hệ liên môn giữa toán học và các môn họckhác có thể góp phần giúp cho học sinh thấy được việc ứng dụng toán họcvào một tình huống là một quá trình gồm các bước:

Bước 1: Xây dựng mô hình toán học tình huống.

Bước 2: Giải quyết trên mô hình toán học xây dựng được ở bước 1 bằng

công cụ toán học

Bước 3: Trở lại tình huống cụ thể ban đầu và kết luận.

Đây chính là một quá trình nhận thức các hiện tượng và quy luật bằngphương pháp toán học

+ Bằng việc thực hiện những liên hệ liên môn giữa môn Toán với cácmôn học khác trong quá trình dạy học toán, có thể góp phần cho học sinh thấy

rõ nhu cầu và giá trị thật sự to lớn của toán học và việc ứng dụng các kiếnthức toán học để giải quyết các tình huống cần thiết trong học tập, lao động,sản xuất và đời sống; tạo ra sự kích thích hứng thú học toán, sự say mê, hamthích tìm cách ứng dụng toán học và như vậy sẽ góp phần tích cực nâng caohiệu quả của việc dạy học toán trong nhà trường.

-Thực hiện tốt các liên hệ liên môn trong dạy học toán, đặc biệt là vớicác môn khoa học tự nhiên, có tác dụng bồi dưỡng cho học sinh quan niệmduy vật biện chứng: cách nhìn các sự vật, hiện tượng trong mối liên hệ thốngnhất toàn vẹn

1.1.2.3 Các phương thức chủ yếu thực hiện liên môn trong dạy học toán ở trường phổ thông

Từ những yêu cầu lý luận và thực tiễn, chúng ta thấy rằng cần thiết phảitìm kiếm những phương thức, biện pháp hữu hiệu nhằm thực hiện tốt các mốiliên hệ liên môn trong dạy học toán nói chung và trong từng nội dung cụ thểnói riêng Có thể coi đó chính là chìa khóa để giải quyết vấn đề liên môntrong dạy học toán ở trường phổ thông

Trong [14], tác giả đã nêu ra ba biện pháp chủ yếu khai thác các mối liên

hệ với các môn học khác trong dạy học toán ở trường phổ thông:

1 Tận dụng các biểu tượng, khái niệm HS đã tích lũy được trong cácmôn học khác để hình thành khái niệm toán học Thí dụ: Dựa vào biểu tượng

và khái niệm về chuyển động trong vật lý để dạy các đại lượng vô cùng bé,đồng thời sử dụng kiến thức về phép tính về vi tích phân để mô tả, biểu diễncác khái niệm vật lý (vận tốc, gia tốc, khối lượng riêng…)

2 Cụ thể hóa các khái niệm, công thức toán học bằng các khái niệm, quyluật, sự kiện được học trong các môn học khác Việc cụ thể hóa các khái niệm

và công thức toán học giúp HS hiểu ý nghĩa thực tiễn và nắm chắc các kháiniệm, công thức đó Thí dụ: Trong một chuyển động không đều, vận tốc tại

S’’(t); hay khối lượng riêng của một vật thể  = m’(V) – đạo hàm của khốilượng theo thể tích …

3 Có thể rèn luyện khả năng và thói quen ứng dụng các kiến thức toánhọc vào các sự kiện thực tế được nghiên cứu trong các môn học khác thôngqua một hệ thống BT có nội dung liên môn

Như vậy, ta thấy rằng các tác giả đều nhấn mạnh việc xây dựng và đưa vàodạy học cho HS một hệ thống BT có nội dung liên môn, coi đó là một phươngthức chủ yếu để thực hiện liên môn trong dạy học toán ở trường phổ thông

1.1.3 Về bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn

1.1.3.1 Khái niệm bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn

Khái niệm BTCT đã nói ở mục 1.1.1.4 là khái niệm đối với BTCT

thuần túy toán học Theo định nghĩa này thì bài toán yêu cầu tìm cực trị củamột hàm số trên một miềm nào đó khác với bài toán yêu cầu tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất trên miềm đó Tuy nhiên đối với các BTCT có nội dungthực tiễn, liên môn khi lập mô hình toán học cho bài toán và giải bài toán thìthường dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên mộtmiền và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đó có thể là giá trị cực trị của hàm sốtrên miền đó Trong khóa luận này để tránh những rườm rà trong trình bày thìcác BT có nội dung thực tiễn, liên môn với yêu cầu tối ưu hóa một hoạt độngnào đó chúng tôi gọi chung là BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn

Từ các khái niệm về BTCT, BT có nội dung thực tiễn, vấn đề liên môn

từ các phân tích đã trình bày ở trên, trong khóa luận này chúng tôi quan niệm

Bài tập cực trị có nội dung thực tiễn liên môn là bài tập trong đó có chứa đựng các yếu tố thực tiễn phản ánh mối liên hệ, tác động qua lại giữa các vấn

đề thuộc các lĩnh vực khác nhau mà việc giải nó đòi hỏi phải tìm cực trị của một hàm số, trong điều kiện ràng buộc nào đó của các biến số.

1.1.3.2 Vai trò của các bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn trong dạy học môn Toán ở THPT

a) Góp phần củng cố, đào sâu, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ

bản được quy định trong chương trình

Các kiến thức cơ bản được quy định trong chương trình 12 như: Hàm số và

đồ thị (miền xác định của hàm số, tính đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất,nhỏ nhất; cực đại, cực tiểu địa phương ), bất đẳng thức, phương trình và bấtphương trình, đạo hàm qua việc sử dụng các kiến thức này để giải các BTCT.Theo [11], việc giúp cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản được quyđịnh trong chương trình là một nhiệm vụ quan trọng, đóng vai trò cơ sở đểthực hiện các nhiệm vụ giáo dục toán học khác, tạo điều kiện thuận lợi choviệc giáo dục toàn diện

Thông qua luyện tập, ứng dụng các kiến thức để giải các BTCT có thểgóp phần đào sâu, củng cố các kiến thức, giúp cho HS nắm kiến thức mộtcách vững chắc

b) Góp phần chủ động rèn luyện có hiệu quả khả năng, thói quen liên hệ

và vận dụng các kiến thức, phương pháp toán học vào thực tế

Trong bối cảnh của sự bùng nổ thông tin và công nghệ thông tin cùng vớinhững nhu cầu của xã hội hiện đại, trong đó các bộ môn càng thâm nhập vàonhau đòi hỏi con người phải đa năng Nhiệm vụ chủ yếu của nhà trường làngoài khía cạnh “kiến thức đơn thuần”, trước hết phải tập trung cố gắng dạycho HS biết sử dụng kiến thức của mình vào những tình huống có ý nghĩa với

họ, tức là cần phải phát triển những năng lực sử dụng các nội dung và kỹ năngtrong một tình huống

Trong dạy học môn Toán, nhiệm vụ đó chính là phải dạy cho học sinhcách thức vận dụng toán học vào thực tiễn

c) Góp phần cho học sinh thấy rõ quan hệ gắn bó, mật thiết giữa toán học

Trong [11], tác giả nhấn mạnh: Để đạt được mục đích đào tạo con ngườiđáp ứng yêu cầu xã hội trong giai đoạn mới, toàn bộ việc dạy học các bộ mônnói chung và dạy toán nói riêng phải quán triệt nguyên lý giáo dục Ba phươnghướng chủ yếu để thực hiện nguyên lý đó là:

* Làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tế:

- Làm rõ nguồn gốc thực tế của toán học

- Làm rõ sự phản ánh thực tế của toán học

- Làm rõ những ứng dụng thực tế của toán học

Muốn vậy cần tăng cường cho HS tiếp cận

với những bài tập có nội dung thực tiễn khi học lý thuyết cũng như khi làmbài tập Những ứng dụng của toán học có khi không thể hiện trực tiếp ở ngaytrong thực tiễn mà ở một lĩnh vực khác gần thực tiễn hơn nó, như vật lý, hóahọc Làm việc với những ứng dụng của toán học trong những môn này cũng

là một hình thức liên hệ toán học với thực tiễn, đồng thời cũng làm rõ nhữngmối liên hệ liên môn

* Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng vào thực tế, tức là tiến hành các hoạt động “hành” theo nghĩa rộng – một

điều kiện để sẵn sàng tham gia lao động sản xuất và hoạt động xã hội

* Tăng cường vận dụng và thực hành toán học trong nhà trường và ở ngoài nhà trường Trong nội bộ môn toán, cần cho học sinh giải những BT có

nội dung thực tế như giải bài toán bằng cách lập phương trình, toán cực trị

Rõ ràng là thông qua các BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn, tạo ranhững điều kiện thuận lợi để góp phần thực hiện nguyên lý giáo dục tốt hơn.Qua các BTCT có nội dung thưc tiễn, liên môn góp phần cho HS thấyđược lợi ích to lớn của việc ứng dụng toán học vào thực tiễn; thấy được vaitrò “công cụ” không thể thiếu được của toán học trong mọi lĩnh vực hoạt độngcủa con người Qua đó góp phần nâng cao hứng thú học tập bộ môn, làm chocác em ham thích, tìm tòi và ứng dụng thành công

Phôc vô

X©y dùng nªn

C¸c lÝ thuyÕt To¸n häc

Thùc tiÔn

d) Góp phần rèn luyện ý thức và khả năng ứng dụng toán học vào thực

tiễn, giáo dục cho học sinh thói quen xem xét các vấn đề trong quan điểm “tối ưu”

Giải quyết các vấn đề trong thực tiễn bằng phương pháp hợp lý, ngắngọn, nâng cao năng suất lao động, hạ giá thành sản phẩm, tôn trọng hiệu quảcông việc – những yếu tố của “tác phong công nghiệp” của người lao độngtrong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa Giải các bài tập loại này, ngoàiviệc củng cố các kiến thức toán học tương ứng, còn có tác dụng đào tạo thế hệtrẻ có đức tính cần thiết của người lao động mới, người quản lý kinh tế Cóthể coi hệ thống BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn như là một cái giámang để giáo dục ý thức và tư duy ứng dụng, đặc biệt là tư duy về hoạt độngtối ưu đồng thời với việc dạy học các kiến thức toán học

e) Góp phần tăng cường nội dung về ứng dụng toán học trong dạy học toán ở

trường phổ thông

Chúng ta đều biết rằng những kiến thức và phương pháp toán học đượclựa chọn và đưa vào dạy học ở trường phổ thông phải là những kiến thức vàphương pháp toán học phổ thông, cần thiết nhất, cơ bản nhất, căn cứ vào mụctiêu của trường phổ thông và phản ánh được tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ

và phương pháp toán học hiện đại

Vì vậy các BTCT có nội dung thực tiễn và liên môn không những gópphần quán triệt nguyên lý giáo dục mà còn góp phần phản ánh đươc tinh thần

và sự phát triển của khoa học toán học hiện nay

1.2 Về bài tập có nội dung thực tiễn trong chương trình THPT

lôgrait cơ số a của b; logarit thập phân và ứng dụng; logarit tự nhiên; kháiniệm hàm số mũ và hàm số lôgarit; khái niệm hàm số lũy thừa; khái niệmnguyên hàm; khái niệm tích phân; khái niệm số phức, số phức liên hợp vàmôđun của số phức; khái niệm căn bậc hai của số phức; định nghĩa acgumencủa z, dạng lượng giác của số phức.

- HS nắm được điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị; công thức lãikép; quy tắc tính lôgarit; một số phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit;một số tính chất của nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm;một số phương pháp tính tích phân và ứng dụng của tích phân; biểu diễn hìnhhọc của số phức, phép cộng, trừ và phép nhân số phức; công thức Moa – vrơ

b) Kỹ năng

Học sinh biết vận dụng đạo hàm để giải các BTCT, tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số, khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số thường gặp; sửdụng công thức lãi kép để giải bài tập; biết so sánh hai lôgarit cùng cơ số; biếttính đạo hàm và vẽ đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit và hàm số lũy thừa;biết giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit; biếttìm nguyên hàm, tính tích phân của hàm số một biến; biết tính căn bậc hai của

số phức, giải phương trình bậc hai; biết tìm các dạng lượng giác của số phức

c) Tư duy, thái độ

- Tư duy: Phát triển các phẩm chất trí tuệ như tư duy logic linh hoạt, liên

hệ trong thực tiễn

- Thái độ: Tích cực tiếp thu tri thức mới, nghiêm túc, tự giác trong họctập, có hứng thú tham gia trả lời câu hỏi xây dựng bài

1.2.1.2 Cấu trúc nội dung

Theo phân phối chương trình đổi mới môn Toán THPT thực hiện từ năm2005- 2006 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, phần Giải tích 12 (theo chương trìnhnâng cao) gồm 4 chương:

Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (23 tiết)

§1 Tính đơn điệu của hàm số

§2 Cực trị của hàm số

§3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

§5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

§6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

§7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ

§8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit (23 tiết)

§1 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

§2 Lũy thừa với số mũ thực

§3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

1.2.2 Mức độ đề cập các bài tập có nội dung thực tiễn trong chương trình Giải tích 12

Các bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn được đưa vào chươngtrình Giải tích 12 THPT hiện hành

Trong đó phần bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn được trình bàychủ yếu trong Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,

và một số bài trong Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.Các BTCT này chủ yếu được yêu cầu giải bằng phương pháp đạo hàm, sửdụng đạo hàm để lập bảng biến thiên, từ đó đưa ra kết quả

Tuy vậy, bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn vẫn chưa thực sựđược chú trọng, số lượng bài tập còn ít Phần lớn các BTCT trong sách giáo khoathuộc dạng tìm cực trị của một hàm số cho trước, chỉ có rất ít BTCT có nội dungthực tiễn và liên môn như: Chương I có 9 bài trên 79 bài tập (chiếm 11,39%),chương 2 có 8 bài trên 97 bài tập (chiếm 8,25%), chương 3 có 5 bài trên 59 bàitập (chiếm 8,47%), chương 4 có 2 trên 42 bài tập (chiếm 4,76%) Các BT có nộidung thực tiễn, liên môn được đề cập một cách không thường xuyên, thiếu tính

hệ thống, chưa tạo thành một tuyến kiến thức rõ nét, xuyên suốt

Như vậy tính thực tiễn được phản ánh trong nội dung chương trình và SGKmôn Toán THPT tuy đã được quan tâm nhưng chưa thường xuyên, tỉ lệ bài mangnội dung thực tiễn còn thấp Chính vì nội dung thực tiễn trong SGK toán THPThiện nay còn ít, thiếu tính phong phú nên không tạo điều kiện để giáo viên khaithác nội dung thực tế trong dạy học một cách thường xuyên Bởi lẽ đó cần có sựđịnh hướng cụ thể về việc khai thác bổ sung và làm phong phú thêm các nộidung thực tế trong dạy học toán nhằm làm giờ học thêm sinh động, nâng cao giátrị thực tiễn của kiến thức, góp phần đáp ứng yêu cầu, mục tiêu giáo dục toánhọc THPT trong giai đoạn hiện nay

1.2.3 Về các bước giải bài tập bằng phương pháp sử dụng đạo hàm

Bước 1: Thiết lập mô hình toán học cho bài tập thực tiễn, liên môn

Trên cơ sở xác lập các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và các quy luật

mà chúng phải tuân theo (những quan hệ định tính của tình huống), thiết lậpcác mối liên hệ giữa các biến số và tham số điều khiển hiện tượng, miền xácđịnh thích hợp của biến Từ đó xây dựng hàm mục tiêu tương thích với tìnhhuống đã cho

Bước 2: Sử dụng công cụ đạo hàm để tìm cực trị của hàm mục tiêu đã

xây dựng ở bước 1

Trong bước này, có thể sử dụng các quy tắc đạo hàm để tìm cực trị hàm

số một biến, theo [4]:

Quy tắc 1: Giả sử hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên miền

D thì điểm x D0 là điểm cực trị của hàm số nếu: f x 0 0 và f x  đổidấu khi x dần qua x0

+ x được gọi là điểm cực đại khi 0 x dần qua x thì 0 f x  đổi dấu từdương sang âm (tức là f x  0 nếu x x 0 và f x  0 nếu x x 0 với x đủ

dần đến x ).0

+ x được gọi là điểm cực tiểu nếu 0 x dần qua x thì 0 f x  đổi dấu từ

âm sang dương (tức là f x  0 nếu x x 0 và f x  0 nếu x x 0 với x đủdần đến x ).0

Trong trường hợp phương trình y có nghiệm nhưng không xét dấu0

được y ta sử dụng quy tắc 2:

Quy tắc 2: Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đến cấp hai tại

0

x , f x 0 0 và f x0 0 thì x là điểm cực trị của hàm số và:0

+ Nếu f x0 0 thì x là điểm cực tiểu.0

+ Nếu f x0 0 thì x là điểm cực đại.0

Bước 3: Kiểm chứng lại kết quả tính toán ở bước 2, loại bỏ những giá trị

không tương thích với tình huống thực tế đã được đặt ra ban đầu (nếu có)

Từ đó ta thấy rằng các BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn là những

“mô hình” cụ thể, rất thuận lợi góp phần rèn luyện cho học sinh khả năng, cácthao tác vận dụng kiến thức và phương pháp toán học vào thực tiễn Đồngthời cũng tạo điều kiện góp phần rèn luyện sự linh hoạt, sáng tạo trong quátrình vận dụng, khi lựa chọn phương pháp thích hợp, ngắn gọn đơn giản đểgiải các BTCT

1.3 Thực trạng vấn đề dạy học các bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn giải bằng phương pháp sử dụng đạo hàm trong dạy học môn Giải tích lớp 12 ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

 Khảo sát thực trạng

Để thu thập những thông tin về thực trạng vấn đề dạy học các bài tập cựctrị có nội dung thực tiễn, liên môn giải bằng phương pháp sử dụng đạo hàmtrong dạy học môn Giải tích lớp 12, chúng tôi đã điều tra đối với giáo viên vàhọc sinh là HS lớp 12 ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ Việcđiều tra tập trung vào các vấn đề sau:

- Sự quan tâm, đưa vào dạy học những BT có nội dung liên môn, thựctiễn nói chung, các bài tập được giải bằng đạo hàm nói riêng trong và ngoàiSGK (đối với GV)

- Khả năng, tốc độ thực hiện giải các bài tập có nội dung liên môn vàthực tiễn giải bằng đạo hàm của HS lớp 12 (đối với học sinh)

- Những khó khăn của GV trong việc tăng cường dạy học những BT cónội dung liên môn, thực tiễn trong và ngoài SGK

Việc điều tra được thực hiện bằng phương pháp phỏng vấn, khảo sát quaphiếu thăm dò, dự giờ.

Đối với HS, chúng tôi điều tra bằng bài kiểm tra (đối với 85 học sinh lớp

12 của các trường: THPT Việt Trì, THPT Công Nghiệp Việt Trì, THPT Hạ Hòa) Với ý định sư phạm đã nói, mỗi đề kiểm tra dành cho học sinh gồm hai BT:Bài 1 (BTCT loại 1): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của một hàm

số cho trước

Bài 2 (BTCT loại 2): Bài tập này là một tình huống thực tế, đòi hỏi ngườigiải phải xây dựng được một hàm mục tiêu phù hợp với tình huống, sau đómới đi tìm cực trị của hàm số này Cuối cùng phải kiểm tra các kết quả tìmđược với các điều kiện của tình huống đã cho trước khi kết luận

Chúng tôi xin giới thiệu một trong số các đề kiểm tra đã được thực hiện

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:

y x 4  8x2 16 trên đoạn [-1; 3]

Câu 2:

Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5

hải lý Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về

hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện

tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ Hãy xác định

thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất?

Suy ra d = d(t) = 85t2  70t 25 Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất

khi 7

17

t  (giờ), khi đó ta có d3,25 (hải lý)

Bảng kết quả thăm dò bằng điểm

Bảng kết quả thăm dò theo từng bài

38

44,71%

4755,29%

2529,41%

6070,59%

BTCT loại 1: 44,71%BTCT loại 2: 29,41%

Các kết quả thăm dò bằng các bài kiểm tra cho thấy:

1) Nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm cực trị và giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất; không biết phân biệt giữa giá trị trị cực đại với giá trịlớn nhất, giá trị cực tiểu với giá trị nhỏ nhất Vì thế, họ đã coi giá trị cực đại,cực tiểu địa phương tính được là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số được xét.2) Số học sinh không giải được bài tập 2 (BTCT có nội dung thực tiễn)chiếm tỉ lệ cao (70,59%), trong đó:

- Không biết xây dựng mô hình toán học của tình huống (sử dụng ngônngữ, ký hiệu để mô tả tình huống)

- Không biết chuyển hàm mục tiêu về dạng hàm số một biến số để có thể

áp dụng các quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; khả năng, tốc độ giảibài tập còn chậm

- Không kiểm tra để loại những giá trị không tương thích với tình huống

Từ đó, chúng ta thấy rằng cần phải kiên trì, thường xuyên luyện tập chohọc sinh khả năng xây dựng mô hình toán học của những tình huống thực tiễntrong suốt quá trình dạy học toán ở trường phổ thông, nếu muốn rèn luyện chohọc sinh khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

Đối với giáo viên, chúng tôi điều tra bằng các phiếu thăm dò đối với 22giáo viên dạy ở các trường: THPT Việt Trì, THPT Hạ Hòa, THPT CôngNghiệp Việt Trì (Phiếu điều tra trong phần phụ lục) Qua phiếu điều tra, tỉ lệgiáo viên ý thức được tầm quan trọng của các BTCT có nội dung thực tiễn,liên môn đối với việc dạy học Giải tích 12 khá cao, nhưng thực tế số giáo viên

đã xây dựng, đưa vào sử dụng các bài tập này trong dạy học lại không nhiều.Kết quả thăm dò bằng các bài kiểm tra đối với học sinh phù hợp với ý kiếnđánh giá của các giáo viên qua các phiếu thăm dò mà chúng tôi đã thực hiện

 Phân tích các nguyên nhân

Từ kinh nghiệm thực tiễn kết hợp với các ý kiến của các giáo viên quacuộc thăm dò, chúng tôi thấy thực trạng trên của học sinh có thể do nhữngnguyên nhân chính sau đây:

Thứ nhất: Mặc dù trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, các

BTCT đã được quan tâm “cần dành nhiều chú ý cho học sinh có ý thức rènluyện kỹ năng giải quyết tốt các bài tập thuộc dạng này”, nhưng trên thực tếcác BTCT được đề cập một cách không thường xuyên, thiếu tính hệ thống,chưa tạo thành một tuyến kiến thức rõ nét, xuyên suốt Phần lớn các BTCTtrong sách giáo khoa thuộc dạng tìm cực trị của một hàm số cho trước, chỉ córất ít BTCT có nội dung thực tiễn và liên môn

Thứ hai: Trong điều kiện sách giáo khoa và tài liệu tham khảo như vậy,

sự quan tâm của giáo viên về chủ đề này cũng không thường xuyên và nếu cócũng chủ yếu là các BTCT loại 1 (tìm cực trị của một hàm số cho trước).Mặt khác, các giáo viên chưa chú ý tới phương pháp dạy học thích hợpđối với các BTCT loại 2 (có nội dung thực tiễn và liên môn) Chính vì thế,học sinh ít được rèn luyện kỹ năng giải các BTCT có nội dung thực tiễn vàliên môn, cho nên thường lúng túng khi gặp các BTCT như vậy Do đó đãkhông tận dụng được những cơ hội tốt để góp phần giáo dục ý thức về tối ưu

và cực trị trong học tập, lao động sản xuất, trong đời sống cũng như giáo dục

ý thức và khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh thông quacác bài tập này

Thứ ba: Sự hạn hẹp của quỹ thời gian dạy học đối với một khối lượng

lớn các kiến thức và kỹ năng trong dạy học môn toán ở nhà trường cũng làmột nguyên nhân làm cho chủ đề cực trị chưa được quan tâm đúng mức vàthường xuyên

Thứ tư: Một trong những nguyên nhân quan trọng phải kể đến là trong

các đề thi (tốt nghiệp THPT, tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng)nhìn chung rất ít quan tâm tới các ứng dụng của toán học trong các môn họckhác cũng như trong thực tiễn và lao động sản xuất Đối với các BTCT đặcbiệt là các BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn cũng nằm trong tình trạngchung như vậy Hệ quả tất yếu là việc dạy học toán ở nhà trường “tách rờicuộc sống đời thường”

Thứ năm: Giáo viên còn gặp khó khăn trong việc sưu tầm, chọn lọc, sử

dụng các bài tập có nội dung thực tiễn, liên môn phù hợp với chương trìnhmôn Toán lớp 12

Tóm lại:

Việc đưa vào những bài tập có nội dung thực tiễn, liên môn trong dạyhọc toán 12 tại các trường phổ thông của tỉnh Phú Thọ hiện nay nhìn chungchưa được chú ý, điều này gây ảnh hưởng không tốt đến việc rèn luyện khảnăng vận dụng toán học vào thực tiễn Một trong những nguyên nhân dẫn đếntình trạng trên là do giáo viên còn gặp khó khăn trong việc sưu tầm, lựa chọnbài tập phù hợp với nội dung chương trình Nguyên nhân sâu xa hơn nữa cóthể bởi họ thiếu các tài liệu phục vụ cho việc sử dụng các bài tập có nội dungthực tiễn, liên môn

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Một trong những xu hướng dạy học hiện nay là tích hợp thực tiễn, liênmôn trong các môn học Môn Toán là một trong những môn học quan trọngtrong việc tích hợp liên môn và thực tiễn

Qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn, chương 1 đã thu được một số kếtquả sau: Làm nổi bật lên vai trò, chức năng của BTCT có nội dung thực tiễn,liên môn trong dạy học; Khảo sát thực trạng sử dụng BTCT có nội dung thựctiễn, liên môn trong dạy học ở một số trường phổ thông của tỉnh Phú Thọ.Phân tích được nguyên nhân dẫn đến hiện trạng việc thực hiện dạy học sửdụng yếu tố thực tiễn, liên môn chưa được thường xuyên và xác định đượcnguyên nhân chủ yếu dẫn đến thực trạng đó là do GV thiếu các tài liệu phục

vụ cho việc sử dụng các BT có nội dung thực tiễn, liên môn Từ đó cho thấyviệc cần thiết phải xây dựng hệ thống BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn

để phục vụ, hỗ trợ việc dạy học Giải tích 12

Chương 2

HỆ THỐNG BÀI TẬP CỰC TRỊ CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀ

LIÊN MÔN 2.1 Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập cực trị có nội dung thực tiễn, liên môn

2.1.1 Bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 12 THPT hiện hành

Hệ thống các BTCT được xây dựng nhằm tạo thêm những tình huống đểgóp phần giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, đồngthời rèn luyện cho họ khả năng và ý thức ứng dụng “cực trị” nói riêng và ứngdụng toán học nói chung, rèn luyện quan điểm tối ưu vào học tập, lao độngsản xuất và đời sống, góp phần thực hiện tốt hơn các nhiệm vụ dạy học toánmột cách toàn diện

Vì vậy, hệ thống này phải được xem xét và đặt trong hoàn cảnh của quátrình dạy học toán ở nhà trường phổ thông trên cơ sở tôn trọng chương trình

và sách giáo khoa hiện hành, sử dụng tối đa tình huống và BTCT đã có, đồngthời phát hiện, khai thác những nội dung thích hợp để có thể bổ sung nhữngBTCT có nội dung thực tiễn và liên môn Nói cách khác, khi lựa chọn và xâydựng hệ thống BTCT cần thiết phải bám sát chương trình và sách giáo khoahiện hành

2.1.2 Tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ, đảm bảo tính khả thi

Như trên đã trình bày, hệ thống các BTCT cần phải được xem xét và đặttrong hoàn cảnh của quá trình dạy học toán

Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy hệ thống BTCT nhằm đạt đượcnhững mục đích dạy học đã nêu ở trên, không làm thay đổi tới hệ thống

chương trình, sách giáo khoa cũng như kế hoạch dạy học hiện hành Đây làmột trong những điều kiện cơ bản để có thể đảm bảo tính khả thi của hệthống Vì vậy, hệ thống các BTCT cần phải được tinh lọc một cách thậntrọng, vừa mức về số lượng và mức độ.

Không thể đạt được các mục đích đặt ra cho hệ thống các BTCT nếu tachỉ đưa vào một số ít các BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn Trái lại, nếu

bổ sung quá nhiều các BTCT sẽ dẫn tới tình trạng quá tải, không đủ thời gian

để thực hiện, ảnh hưởng tới kế hoạch dạy học chung của môn học Nói cáchkhác, hệ thống BTCT như vậy không có tính khả thi

Đồng thời chúng ta cũng thấy rõ rằng về mức độ các BTCT cần phải

được lựa chọn để phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh.

Đây cũng là một yêu cầu quan trọng để có thể đảm bảo được tính khả thi

và tính hiệu quả của hệ thống BTCT Khó khăn lớn nhất và chủ yếu khi giảicác BTCT có nội dung liên môn và thực tế đối với phần lớn học sinh là bướcxây dựng mô hình toán học của tình huống (xây dựng hàm mục tiêu củaBTCT tương ứng với tình huống) Vì vậy khi lựa chọn những BTCT có nộidung thực tiễn, liên môn chỉ nên chọn những tình huống mà khi xây dựnghàm mục tiên tương ứng chỉ phải sử dụng một hoặc hai đại lượng trung gian.Đồng thời cũng cần tránh những BTCT đòi hỏi tìm cực trị đối với hàm mụctiêu quá khó khăn và phức tạp

Các BTCT cũng cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phứctạp, nhất là những BTCT đầu tiên nhằm giúp người học dễ đạt được nhữngthành công khi giải những bài tập đó Sự trải nghiệm thành công ở những bàitập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi, hào hứng thực hiện nhữngyêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn

2.1.3 Cân đối, đa dạng về nội dung

Sự đa dạng về nội dung của các BTCT thể hiện ở sự đa dạng của các tìnhhuống liên môn, ở phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất, đời sống đượcphản ánh trong các BTCT.

Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắccủa BTCT trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng củacực trị và tối ưu

Tuy vậy, cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ liên môn, liên hệ vớithực tiễn một cách khiêng cưỡng

2.1.4 Sát hợp với thực tế học tập ở nhà trường và thực tế đời sống, lao động sản xuất

Trong phạm vi nhà trường, việc tăng cường rèn luyện khả năng và bồidưỡng ý thức về tối ưu cho học sinh được thực hiện chủ yếu thông qua cácBTCT có nội dung thực tiễn, liên môn Qua các bài tập này, học sinh đượcluyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để tìm cực trị của mộtđại lượng trong những tình huống xuất hiện trong quá trình học tập các mônhọc khác hay trong thực tế đời sống sản xuất Để đảm bảo tính khả thi và tínhhiệu quả, những tình huống này phải đơn giản, gần gũi và quen thuộc đối vớihọc sinh, nói chung chỉ mang tính mô phỏng Vì vậy, khi xây dựng hệ thốngBTCT, cần phải chọn lọc những BTCT là những tình huống sát với chươngtrình sách giáo khoa và thực tế dạy học các môn học có liên quan, hay lànhững tình huống sát với vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuấtcủa học sinh Những tình huống đó phải là những tình có thể xuất hiện trongthực tế Các tình huống như vậy tạo ra một bức tranh sinh động về cực trị vàtối ưu mà học sinh có thể cảm thụ được

2.2 Hệ thống bài tập cực trị có nội dung thực tiễn và liên môn

Trong chương trình Giải tích 12, đạo hàm và các ứng dụng là một nộidung quan trọng, là công cụ hiệu lực cho phép tìm được cực trị của nhữnghàm số phức tạp, đa dạng thường gặp trong các môn học khác (đặc biệt trong

Vật lý, Hóa học, Sinh học, …) hoặc trong thực tế sản xuất và đời sống mộtcách thuận tiện mà các công cụ khác không thể thực hiện được hoặc thực hiệnmột cách khó khăn hơn Vì vậy, khi xây dựng các BTCT cho học sinh lớp 12,chúng tôi đặc biệt chú ý tới ứng dụng của cực trị trong các lĩnh vực nói trên.

Hệ thống bài tập, theo [16], là một tập hợp các bài tập được xây dựng cóđịnh hướng, có liên hệ với nhau bởi ba quan hệ chủ yếu: Quan hệ mục tiêudạy học, quan hệ nội dung toán học, quan hệ trình độ phát triển tư duy Theoquan niệm đó, hệ thống các BTCT gồm những bài tập nhằm chú ý rèn luyệncho học sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng toán học vào thực tế, đặcbiệt là ý thức và khả năng tối ưu hóa trong suy nghĩ cũng như trong hànhđộng, đồng thời góp phần thực hiện tốt các mục tiêu giáo dục nói chung Hệthống bài tập này bao gồm những bài tập dẫn tới việc tìm cực trị của một đạilượng (thường được biểu diễn như một hàm số) trong những điều kiện ràngbuộc cụ thể nào đó

- Thành phần thứ nhất, thành phần không thể thiếu trong hệ thống là

những BTCT trong đó yêu cầu tìm cực trị của một hàm số cho trước hay tìmđiều kiện để một hàm số đã cho đạt cực trị Các bài tập này nhằm mục đíchrèn cho học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc tìm cực trị của hàm số bằngphương pháp ứng dụng đạo hàm Những bài tập này là một bước chuẩn bị hếtsức cần thiết để giải những BTCT có nội dung thực tiễn, liên môn Chúng tôi

ký hiệu nhóm những bài tập loại này là K (kỹ năng)

- Thành phần thứ hai của hệ thống là các BTCT có nội dung thực tiễn,

liên môn Các bài tập dạng này được chọn chủ yếu là các ứng dụng cực trịtrong thực tế đời sống (các lĩnh vực thủy lợi, giao thông, xây dựng, côngnghiệp hóa chất và thực phẩm …), trong Hình học, Vật lý, Hóa học, … Cácbài tập dạng này được ký hiệu là L + T (liên môn, thực tiễn)

Thực ra, mỗi bài tập dạng L + T đều ẩn chứa trong nó một bài tập dạng K(hay nói cách khác, mỗi bài tập dạng L + T đều trở thành một bài tập dạng Ksau giai đoạn mô hình hóa toán học)

Sau đây là sơ đồ hệ thống BTCT:

Tìm cực trị hoặc điều kiện để có cực trị

của một hàm số cho trước (K)

Hình học(LT2)

Vật lý, hóahọc … (LT3)BTCT có nội dung thực tiễn,

liên môn (L + T)

Minh họa các dạng bài tập

x





Như đã trình bày ở trên, có thể tìm thấy các bài tập dạng này trong SGKhiện hành

Ví dụ 2.2: (Bài tập dạng LT2)

Một điểm A trên đường tròn (O) cho trước Hãy xác định cát tuyến BCsong song với tiếp tuyến tại A sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất?Tính diện tích của tam giác ABC khi đó

BC

Ống đây có độ tự cảm L = 2

5 H; và điện trở hoạt động R1 = 30Ω (ampe

kế có điện trở không đáng kể) R2 là một biến trở Nối mạch ngoài với nguồnxoay chiều có U = 300V, f = 50Hz và dịch chuyển con chạy Hãy xác định giátrị của R2 sao cho công suất mạch lớn nhất và tính chỉ số của ampe kế khi đó

A

R2R

1 , L

B C

A

B O

Bài 2.5:

Tìm diện tích nhỏ nhất của một ngũ giác có hình chiếc phong bì mở, nộitiếp đường tròn (O, r) cho trước (hình phong bì mở là hình tạo bởi một hình chữnhật và một hình tam giác cân có đáy trùng với một cạnh của hình chữ nhật)

C

B A

Bài 2.8:

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Một mặt phẳng đi qua đườngchéo DB’ Xác định vị trí của mặt phẳng này sao cho diện tích của thiết diệnnhỏ nhất

Bài 2.9:

Cho một tam giác đều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhậtMNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ rự nằm trênhai cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hìnhchữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

k Xác định k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất.

Bài tập cực trị có nội dung vật lý

Bài 2.14:

Một vật được ném lên trời xuyên góc  so với phương nằm ngang, vậntốc ban đầu v0 = 9 m/s

a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà nó đạtđược độ cao đó (g = 10m/s2).

b) Xác định góc  để tầm ném cực đại

Bài 2.15:

Cần phải đẩy một xe trượt mang vật nặng có khối lượng tổng cộng m rờikhỏi vị trí Hệ số ma sát nghỉ giữa hai xe và mặt đất là  Để thực hiện đượcđiều kiện đó cần phải tác dụng một lực nhỏ nhất là bao nhiêu?

Bài 2.16:

Cần phải bắn các viên đá qua một chướng ngại vật có độ cao h Khoảngcách phương ngang đến chướng ngại vật đó là l Có thể thực hiện được điềunày với vận tốc nhỏ nhất của hòn đá là bao nhiêu?

Bài 2.19:

Có N ắc quy giống nhau Từ những ác quy này có thể mắc theo phươngpháp song song để được mạch điện gồm N/n nhánh rẽ, mỗi nhánh có n ắc quynối với mạch ngoài có điện trở R Xác định R để cường độ dòng điện mạchchính sẽ đạt cực đại?

Bài 2.22:

Khi tác động vào một hệ cơ học một lực biến thiên điều hòa F F0sin t

Thì trong hệ có một giao động cưỡng bức với biên độ:

0 2

F A



Ở đây: m là khối lượng riêng của hệ; 0 là tần số giao động riêng của hệ; 

là tần số tắt dần, đặc trưng cho lực cản của môi trường Với tần số  của ngoạilực bằng bao nhiêu sẽ xảy ra cộng hưởng? (tức là biên độ A trở nên cực đại)

Bài 2.23:

Một cốc nước chia độ có khối lượng 180g và trọng tâm của cốc khôngnằm ở độ chia thứ 8 Mỗi độ ứng với 20cm3 Người ta đổ nước (khối lượngriêng 1 gam/1cm3) vào cốc Tính xem đổ nước lên đến độ chia nào thì trọngtâm của cốc và nước ở vị trí thấp nhất

Bài 2.24:

Cho một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20 cm Vật sáng AB vuông gócvới trục chính, A trên trục chính; cho ảnh thật A’B’ > AB và cách AB mộtkhoảng AA’ = L = 90 cm

Xác định thời điểm sau khi thực hiện việc cấy vi khuẩn vào, số lượng vikhuẩn tăng lên là lớn nhất?

Bài tập cực trị có nội dung thực tế

Bài 2.29:

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếutrên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cásau một vụ cân nặng

  480 20

P n   n (gam)Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để saumột vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Bài 2.30:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

  0,025 230 

Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (xđược tính

bằng miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết ápgiảm nhiều nhất và tính độ giảm đó?

Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m3),

hệ số k cho trước (k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy) Hãyxác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Bài 2.33:

Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hìnhtròn có bán kính a Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều