II. Caực vớ dú: 1.Vớ dú 1: Giaỷi Pt
20 CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN
Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Gói I laứ ủieồm baỏt kyứ trẽn cánh BC. ẹửụứng thaỳng qua I song song vụựi AC caột AB ụỷ K; ủửụứng thaỳng qua I song song vụựi AB caột AC, AM theo thửự tửù ụỷ D, E. Chửựng minh DE = BK
Giaỷi
Qua M keỷ MN // IE (N∈ AC).Ta coự:
DE AE DE MN = MN AN⇒AE = AN (1) MN // IE, maứ MB = MC ⇒ AN = CN (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra DEAE = MNCN (3) Ta lái coự MNAB =CNAC⇒MNCN = ABAC(4) Tửứ (4) vaứ (5) suy ra DEAE =ABAC (a) Tửụng tửù ta coự: BKKI = ABAC (6)
Vỡ KI // AC, IE // AC nẽn tửự giaực AKIE laứ hỡnh bỡnh haứnh nẽn KI = AE (7) Tửứ (6) vaứ (7) suy ra BKKI = BKAE = ABAC (b)
Tửứ (a) vaứ (b) suy ra DEAE = BKAE ⇒ DE = BK
4) Vớ dú 4:
ẹửụứng thaỳng qua trung ủieồm cuỷa cánh ủoỏi AB, CD cuỷa tửự giaực ABCD caột caực ủửụứng thaỳng AD, BC theo thửự tửù ụỷ I, K. Chửựng minh: IA . KC = ID. KB
Giaỷi
Gói M, N theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa AB, CD Ta coự AM = BM; DN = CN TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG N D I M E K C B A F E I K M N D C B A E Q C P B A
Veừ AE, BF lần lửụùt song song vụựi CD ∆AME = ∆BMF (g.c.g) ⇒ AE = BF Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: IA = AE BF
ID DN =CN (1)Cuỷng theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: KB = BF Cuỷng theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: KB = BF
KC CN(2)Tửứ (1) vaứ (2) suy ra IA =KB Tửứ (1) vaứ (2) suy ra IA =KB
ID KC ⇒ IA . KC = ID. KB
5) Vớ dú 5:
Cho xOyã , caực ủieồm A, B theo thửự tửù chuyeồn ủoọng trẽn caực tia Ox, Oy sao cho
1 1 1
+
OA OB= k (k laứ haống soỏ). Chửựng minh raống AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh Giaỷi
Veừ tia phãn giaực Oz cuỷa ãxOy caột AB ụỷ C. veừ CD // OA (D ∈ OB) ⇒ DOC = DCO = AOC ã ã ã
⇒ ∆COD cãn tái D ⇒ DO = DC
Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự CD = BD CD OB - CD
OA OB⇒OA = OB
⇒ CD CD 1 1 1 1
OA OB+ = ⇒OA OB+ =CD (1)Theo giaỷ thieỏt thỡ 1 + 1 1 Theo giaỷ thieỏt thỡ 1 + 1 1
OA OB= k (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra CD = k , khõng ủoồi
Vaọy AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh laứ C sao cho CD = k vaứ CD // Ox , D ∈ OB
6) Vớ dú 6:
Cho ủieồm M di ủoọng trẽn ủaựy nhoỷ AB cuỷa hỡnh thang ABCD, Gói O laứ giao ủieồm cuỷa hai cánh bẽn DA, CB.
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNGQ Q P F K I H G M O D C B A z O y x D C B A
Gói G laứ giao ủieồm cuỷa OA vaứ CM, H laứ giao ủieồm cuỷa OB vaứ DM. Chửựng minh raống:
Khi M di ủoọng trẽn AB thỡ toồng OG + OH
GD HC khõng ủoồi Giaỷi
Qua O keỷ ủửụứng thaỳng song vụựi AB caột CM, DM theo thửự tửù ụỷ I vaứ K. Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: OG OI GD= CD; OHHC = OKCD ⇒ OG + OH OI OK IK GD HC =CD CD+ =CD OG OH IK + GD HC CD ⇒ = (1)
Qua M veừ ủửụứng thaỳng vuõng goực vụựi AB caột IK, CD theo thửự tửù ụỷ P vaứ Q, ta coự:
IK MP FO
CD =MQ = MQ khõng ủoồi vỡ FO laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn AB, MQ laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh thang nẽn khõng ủoồi (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra OG + OH FO
GD HC =MQ khõng ủoồi
7) Vớ dú 7:
Cho tam giaực ABC (AB < AC), phãn giaực AD. Trẽn AB laỏy ủieồm M, trẽn AC laỏy ủieồm N sao cho BM = CN, gói giao ủieồm cuỷa CM vaứ BN laứ O, Tửứ O veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AD caột AC, AB tái E vaứ F.
Chửựng minh raống: AB = CF; BE = CA Giaỷi.
AD laứ phãn giaực nẽn BAD = DAF ã ã EI // AD ⇒ BAD = AEF ã ã (goực ủồng vũ)
Maứ DAF OFCã =ã (ủồng vũ); AFE = OFC ã ã (ủoỏi ủổnh) Suy ra AEF AFEã =ã ⇒ ∆AFE cãn tái A ⇒ AE =AF (a)
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNGG G P O K I N D Q C B M A F E
Aựp dúng ủũnh lớ Taleựt vaứo ∆ACD , vụựi I laứ giao ủieồm cuỷa EF vụựi BC ta coự
CF CI CF CA
=
CA CD⇒ CI =CD (1)
AD laứ phãn giaực cuỷa BACã nẽn CACD =BABD (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra CFCI = BABD (3)
Keỷ ủửụứng cao AG cuỷa ∆AFE . BP // AG (P ∈AD); CQ // AG (Q∈ OI) thỡ BPD = CQIã ã = 900
Gói trung ủieồm cuỷa BC laứ K, ta coự ∆BPK = ∆CQK (g.c.g) ⇒ CQ = BP ⇒ ∆BPD = ∆CQI (g.c.g) ⇒ CI = BD (4)
Thay (4) vaứo (3) ta coự BDCF = BABD ⇒ CF = BA (b) Tửứ (a) vaứ (b) suy ra BE = CA
Baứi taọp về nhaứ
1) Cho tam giaực ABC. ẹieồm D chia trong BC theo tổ soỏ 1 : 2, ủieồm O chia trong AD theo tổ soỏ 3 : 2. gói K laứ giao ủieồm cuỷa BO vaứ AC. Chửựng minh raống KAKC khõng ủoồi 2) Cho tam giaực ABC (AB > AC). Laỏy caực ủieồm D, E tuyứ yự thửự tửù thuoọc caực cánh AB, AC sao cho BD = CE. Gói giao ủieồm cuỷa DE, BC laứ K, chửựng minh raống :
Tổ soỏ KDKE khõng ủoồi khi D, E thay ủoồi trẽn AB, AC (HD: Veừ DG // EC (G ∈ BC).
CHUYÊN ẹỀ 18 – BỔ ẹỀ HèNH THANG VAỉ CHUỉM ẹệễỉNG THẲNG ẹỒNG QUY
A. Kieỏn thửực
