Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK

Vì những lý do trên chúng tôi chọn “ xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK ” Theo chương trình dà

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa vớimục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nước công nghiệp, hội nhậpvới cộng đồng quốc tế Trước bối cảnh đó, việc chuẩn bị tiềm lực con người cả

về số lượng và chất lượng là hết sức quan trọng và cần phải được tiến hành ở tất

cả các cấp học, bậc học, trong đó có bậc Đại học: “Đào tạo trình độ Cao đẳng, trình độ Đại học phải coi trọng việc bồi dưỡng ý thức tự giác trong học tập, năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng thực hành, tạo điều kiện cho người học tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng.” (Điều 40, mục 4, chương II, Luật Giáo dục 2005).

Phản ánh thực tiễn là một đặc điểm của toán học Về vai trò công cụ củatoán học đối với sự phát triển của nhiều ngành khoa học, Mac đã khẳng định:

“Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học” [20] Về vai trò của toán học đối với thực tiễn, theo Anghen: “Toán học là một khoa học trừu tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng ấy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan” [20, tr.13] Rõ ràng, ứng dụng

là một khía cạnh của toán học

Môn “Xác suất thống kê” là môn học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh

vực của thực tiễn: khoa học kĩ thuật, kinh tế, quản trị, sinh học, y học, tin học,…Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫunhiên – các hiện tượng mà ta không thể nói trước là nó có xảy ra hay không khi

thực hiện một lần quan sát “Lý thuyết Xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật” [20, tr.3] Trong

Xác suất, các nghiên cứu về biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất của biếnngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng Khi đã xác định được quy luật phân phối xácsuất của một biến ngẫu nhiên thì nói chung ta đã nắm được phần lớn thông tin vềbiến ngẫu nhiên đó Tuy nhiên, trong thực tế ta còn cần phải quan tâm đến nhữngthông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biếnngẫu nhiên được nghiên cứu, đó chính là các tham số đặc trưng Như vậy, các

tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên cho ta khảo sát kỹ lưỡng về các biến ngẫunhiên Hơn nữa, các biến ngẫu nhiên tràn ngập trong thế giới hiện thực Như vậy,

sự phản ánh thực tiễn một cách phong phú của các tham số đặc trưng của biếnngẫu nhiên là điều không thể phủ nhận

Qua quá trình tìm hiểu việc dạy và học môn XSTK cho sinh viên sư phạmngành Toán của Trường Đại học Hùng Vương, qua kinh nghiệm học tập môn họcnày chúng tôi thấy việc tăng cường các ví dụ và tình huống thực tiễn trong giảngdạy môn học đã được giảng viên quan tâm và định hướng cho sinh viên tự tìmhiểu về vấn đề vận dụng toán học vào thực tiễn Tuy nhiên, do những hạn chếnhất định về thời gian học tập và về khả năng tự học nên việc tìm hiểu, kết nốikiến thức môn XSTK với thực tiễn của sinh viên nói chung còn hạn chế Để giảiđáp phần nào câu hỏi: Các kiến thức của môn XSTK được ứng dụng vào thực tiễn

để giải quyết những vấn đề gì? Chúng tôi cho rằng việc sưu tầm, lựa chọn các bàitập có nội dung thực tiễn của nhiều lĩnh vực khác nhau giải được bằng các kiếnthức môn XSTK là hết sức cần thiết, đặc biệt cần thiết với các bạn sinh viên sưphạm bởi họ sẽ là người phải giải đáp câu hỏi đó cho học sinh phổ thông trongdạy học sau này Trong lộ trình đó, một trong những việc quan trọng đầu tiên cầnlàm là xây dựng các bài tập thực tiễn nhằm mục đích khảo sát những thông tin côđọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của các biến ngẫunhiên, góp phần tháo gỡ những khó khăn khi tìm hiểu vấn đề vận dụng các kiếnthức về XSTK nói chung, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nói riêngvào thực tiễn

Vì những lý do trên chúng tôi chọn “ xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK ” (Theo chương trình dành cho sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương) làm đề tài nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

2.1 Mục tiêu khoa học công nghệ

Sưu tầm, lựa chọn, hướng dẫn sử dụng các bài tập có nội dung thực tiễnthuộc các lĩnh vực (kinh tế, y học, nông nghiệp, ) về một số tham số đặc trưng

của biến ngẫu nhiên rời rạc (theo chương trình môn XSTK dành cho sinh viên sưphạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương) góp phần giúp các bạn sinh viên thấy rõhơn sự phản ánh thực tiễn của kiến thức biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn học,rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn.

2.2 Mục tiêu kinh tế, xã hội

Hệ thống bài tập được xây dựng sẽ là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinhviên sư phạm Toán của trường ĐH Hùng Vương, Phú Thọ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

3.1 Nghiên cứu về vấn đề bài tập trong dạy và học

3.2 Nghiên cứu các vấn đề về biến ngẫu nhiên trong môn XSTK, một số

tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đó

3.3 Sưu tầm, chọn lọc các bài tập có nội dung thực tiễn về một số tham sốđặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc phù hợp với chương trình môn XSTK chosinh viên sư phạm ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương, đưa ra lời giải chi tiếthoặc lời giải gợi ý cho các bài tập

3.4 Trình bày một số định hướng sử dụng hệ thống bài tập xây dựng đượcnhằm hỗ trợ sinh viên sư phạm trong việc vận dụng kiến thức môn XSTK vàothực tiễn cuộc sống

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu.

4.1 Khách thể nghiên cứu.

Quá trình học tập môn XSTK của sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐHHùng Vương

4.2 Đối tượng nghiên cứu.

Bài tập môn XSTK cho sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương

5 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

5.1 Nghiên cứu lý luận

Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tàiliệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài:

* Nghiên cứu về vấn đề bài tập trong dạy và học, bài tập có nội dung thựctiễn trong môn Toán.

* Nghiên cứu các vấn đề về biến ngẫu nhiên trong môn XSTK, một sốtham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đó

5.2 Điều tra, quan sát.

Khảo sát trong phạm vi hẹp thực trạng học tập, vận dụng kiến thức mônXSTK vào thực tiễn của sinh viên sư phạm ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương

6.3 Xác định được một số định hướng sử dụng hệ thống bài tập được xâydựng nhằm hỗ trợ sinh viên sư phạm trong việc vận dụng kiến thức môn XSTKvào thực tiễn cuộc sống

7 Dự kiến cấu trúc, bố cục của khóa luận.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tài dựkiến gồm ba chương:

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và lấy

giá trị trong không gian R (R là trục số thực) được gọi là biến ngẫu nhiên với bất

kỳ x RÎ tập { : X() < x} là biến cố ngẫu nhiên.

Ta thường kí hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y,… Giá trị của biến ngẫu nhiên thường kí hiệu bằng các chữ cái in thường x, y,…

Một số ví dụ về biến ngẫu nhiên:

 X là số con trai trong một lần sinh X là biến ngẫu nhiên Giá trị mà nó có thể

nhận là 0,1

 X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào một mục tiêu X là

biến ngẫu nhiên rời rạc Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, , n

 X chỉ số sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm chọn ra một cách ngẫu nhiên từ một

lô sản phẩm có 100 sản phẩm tốt và 50 sản phẩm xấu X cũng là biến ngẫu

nhiên Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, , 10

 X chỉ số chấm ở trên mặt con xúc xắc khi gieo một lần một con xúc xắc cân đối

và đồng chất X là biến ngẫu nhiên Giá trị mà nó có thể nhận là 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 X chỉ độ cao của một cây tại thời điểm t nào đó cũng là biến ngẫu nhiên.

* Phân loại biến ngẫu nhiên: Có 2 loại

+ Biến ngẫu nhiên rời rạc

+ Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có

thể nhận của nó là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (các ví dụ trên, trừ ví

dụ cuối cùng)

Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có

thể nhận của nó là tất cả mọi điểm trong khoảng (a, b) nào đó; a có thể là- ¥ và

b có thể là +¥

1.1.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Ta nhận thấy rằng tập [ :X() < x], x RÎ thay đổi nếu x thay đổi Do

đó xác suất P[:X() < x] cũng thay đổi, tức là xác suất này phụ thuộc vào x Nó là hàm của biến số x

Định nghĩa 1.4 Gọi hàm số F(x) = P[:X() < x], x RÎ là hàm phân

phối của biến ngẫu nhiễn X

1.1.2.1 Các tính chất của hàm phân phối

a) F x( ) là hàm đơn điệu tăng, tức là nếu x1x2 thì F x( ) 1 <F x( ) 2

Hệ quả: Nếu F(x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X thì với hai số

( ) 0 à ( ) 1

P Æ = v P W =Thật vậy:

1.1.2.2 Phân phối rời rạc

a) Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu

miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được

được gọi là mật độ rời rạc của X Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại

mỗi điểm cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó

X X 1 x 2 … x k …

Đặc biệt X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị {x1, x2, … ,xn} ta

có bảng phân phối xác suất (thể hiện trong sách giáo khoa THPT lớp 11- chươngtrình nâng cao):

å được thể hiện trong chương trình toán

THPT vì hợp của các biến cố X= x i (i= 1, 2, …) là biến cố chắc chắn và các biến

cố ấy đôi một xung khắc nên theo qui tắc cộng ta có:

Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị

thức với tham số n, p (0<p<1) nếu các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, 2, …, n

1.1.3.2 Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị k=0, 1, 2, với xác

1.2 Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1.2.1 Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.8 Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị

- Trong phân phối nhị thức EX np

1.2.1.1 Các tính chất của kỳ vọng toán (được phát biểu với các biến ngẫu

nhiên có kỳ vọng)

Tính chất 1: Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó:

( )

E C =C

Tính chất 2: Kỳ vọng toán của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu

nhiên bằng tích giữa hằng số đó và kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên ấy:

Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng EX là trung bình có trọng lượng Nếu lặp

lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X ta nhận được kết quả X 1 , X 2 , ,

X n Khi n  thì X = X1 X2 X n

n

hội tụ về EX Vì vậy với n đủ lớn ta

có thể xem X EX tức là kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phânphối xác suất của biến ngẫu nhiên

1.2.1.3 Ứng dụng thực tế của kỳ vọng toán

Trong kinh doanh và quản lý kinh tế, kỳ vọng toán được xem như là mộttiêu chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn một chiến lược tối ưu

trong nhiều chiến lược kinh doanh khác nhau Giá trị EX trong kinh tế thường

được gọi là lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng

1.2.2 Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.9 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng EX , nếu tồn tại

- Trong phân phối nhị thức DX np(1 p)

1.2.2.1 Các tính chất của phương sai

Tính chất 1: Phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng hiệu của kỳ vọng

biến ngẫu nhiên bình phương và bình phương kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:

V X =EX - EX

Tính chất 2: Phương sai của một hằng số bằng 0: V C( )=0

Tính chất 3: Phương sai của tích giữa một hằng số của một biến ngẫu nhiên

bằng tích giữa bình phương hằng số đó và phương sai của biến ngẫu nhiên ấy:

V(CX) = C 2 V(X)

Tính chất 4: Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng

các phương sai thành phần: V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Hệ quả 1: Phương sai của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập với nhau X 1 ,

V X





Hệ quả 2: Phương sai của tổng một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng

phương sai của chính biến ngẫu nhiên đó: V(C+X) = V(X)

Hệ quả 3: Phương sai của hiệu hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các

phương sai thành phần: V(X-Y) = V(X) + V(Y)

1.2.2.2 Bản chất của phương sai

Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên thìchưa đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó Ta còn phải xác định mức độ phân táncủa các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó Ta cóthể nghĩ rằng để đặc trưng cho mức độ phân tán thì đơn giản nhất là tìm tất cảsai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó và lấy giátrị trung bình số học của các sai lệch đó, song cách làm này không mang lại hiệu

quả vì E(X-EX) = 0 Để khắc phục điều đó người ta không tính trực tiếp trung

bình của các sai lệch mà tính trung bình của bình phương các sai lệch Đó chính

là phương sai

Vậy, phương sai của biến ngẫu nhiên X là độ lệch bình phương trung bình

quanh giá trị trung bình E X

1.2.2.3 Ý nghĩa của phương sai

Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, nói lên mức độ tập trung (hoặc mức độ tản mát, phân tán) của các giá trị của biến ngẫu nhiên X so

với giá trị trung bình của nó Nếu phương sai càng nhỏ, các giá trị của biến ngẫu

nhiên X càng tập trung quanh EX; còn nếu phương sai càng lớn thì các giá trị của biến ngẫu nhiên X càng phân tán xa EX.

1.2.2.4 Ứng dụng thực tế của phương sai

+ Trong kỹ thuật: Phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị, chi tiết giacông so với kích thước tiêu chuẩn.

+ Trong lĩnh vực kinh tế: Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của cácquyết định

1.2.3.5 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.10: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là căn bậc hai của

phương sai, kí hiệu là x

x

 = V ( X)

Ta thấy rằng đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của biến

ngẫu nhiên X Vì vậy, độ lệch chuẩn có cùng đơn vị như biến ngẫu nhiên X hoặc như đơn vị của EX.

1.2.3 Một số đặc trưng khác

1.2.3.1 Mod (Yếu vị)

Định nghĩa 1.11: Mốt (Mode) của biến ngẫu nhiên X là giá trị mà biến ngẫu

nhiên X nhận với xác suất lớn nhất Một biến ngẫu nhiên có thể có nhiều Mod.

Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố:

Như vậy, Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X là giá trị của biến ngẫu nhiên

mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất

- Trong phân phối nhị thức Mod [X] = m 0 = [np+p-1]+1 (khả năng xảy ra

nhiều nhất của một giá trị của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)

1.2.3.2 Median (Trung vị)

Định nghĩa 1.12 Median (số trung vị) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu xmed

là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng 1

Như vậy, Median là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành 2 phần bằng

nhau Với một biến ngẫu nhiên X có thể có một điểm Median hoặc có thể một

tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó có hàm chứa hoạt động của

con người cải tạo, biến đổi thực tế với một mục đích nào đó

1.3.2 Bài toán, bài toán có nội dung thực tiễn

Theo quan niệm của L.N Lanđa, A N Lêonchiep thì: Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết Theo cách quan niệm của Pôlya: “Bài toán đặt ra là sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải bài toán là tìm ra phương tiện đó” [12, tr.61]

Theo Bùi Huy Ngọc: “Bài toán thực tế là một bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có các nội dung liên quan đến thực tế” [9, tr.22] Dựa trên quan

điểm này và các quan điểm về bài toán, các quan niệm về thực tế, thực tiễn đã

trình bày, chúng tôi quan niệm rằng: Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán

mà trong giả thiết hay kết luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt động thực tiễn.

1.3.3 Bài tập, bài tập có nội dung thực tiễn

Theo Thái Duy Tuyên: Bài tập là một hệ thông tin xác định bao gồm haitập hợp gắn bó chặt chẽ và tác động qua lại với nhau

Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng thái

ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngôn ngữ thông dụng thì đó là

“cái cho”; trong toán học thì người ta gọi là giả thiết

Những yêu cầu là trạng thái mong muốn đạt tới, theo ngôn ngữ thông

dụng thì đây là “cái phải tìm”

Bài tập được đặt ra cho người học như một yêu cầu nhất thiết phải thựchiện, thực hành trên những hiểu biết về kiến thức lý thuyết nhằm củng cố cáckiến thức lý thuyết đã tích lũy được

Tóm lại, có thể hiểu bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồmnhững điều kiện và những yêu cầu được đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏingười học một lời giải đáp từ quá trình vận dụng các kiến thức lý thuyết đã biết,

mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn củangười giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra

Như vậy, bài tập chính là bài toán hiểu theo nghĩa hẹp Có những bài toánkhông hẳn chỉ đơn giản là một bài tập Tuy nhiên, giải bài tập đồng nghĩa vớiviệc giải quyết bài toán

Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ “bài tập có nội dungthực tiễn” để chỉ những bài toán có nội dung thực tiễn được đặt ra cho người họcdưới hình thức bài tập sau quá trình nghiên cứu lý thuyết, đòi hỏi người học mộtlời giải đáp cụ thể nhằm mở rộng, khắc sâu kiến thức lý thuyết

1.3.4 Phân loại bài toán có nội dung thực tiễn

Có nhiều cách phân loại các bài toán dựa vào những căn cứ khác nhau:phân loại theo mức độ khó của bài toán, phân loại theo trình độ của người học,

phân loại theo nội dung các chủ đề kiến thức trong chương trình môn học [16].Ngoài ra, đối với các bài toán thực tiễn, còn có thể phân loại theo từng lĩnh vựcthực tiễn (kinh tế, sinh học, vật lý,…) được thể hiện qua nội dung bài toán, phânloại theo giá trị sử dụng hệ thống bài toán trong môn học, phân loại theo mức độphức tạp về mặt toán học của bài toán,…

Một số cách phân loại bài toán thực tiễn của một số tác giả:

Theo cách phân loại dựa vào giá trị sử dụng các bài toán trong môn học củaTrần Vui [21], bài toán thực tiễn được chia thành ba loại:

- Bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với quan niệm thực tiễn Quanniệm thực tiễn trong các bài toán này gần gũi với người học, có thể cảm nhận,kiểm nghiệm được

- Bài toán có nội dung thực tiễn để chuyển tải các ý tưởng toán học Quanniệm thực tiễn trong các bài toán loại này có thể không gần gũi với đối tượngtiếp cận Các bài toán này được đưa ra với mục đích chuyển tải một ý tưởng,một nội dung toán học nào đó

- Bài toán thực tiễn thuần tuý toán học Quan niệm thực tiễn trong các bàitoán này có thể không gần gũi với đối tượng nào, các bài toán loại này được đưavào chủ yếu là để tăng tính sinh động, hấp dẫn

Theo Bùi Huy Ngọc [9], căn cứ vào mức độ phức tạp về mặt toán học củabài toán, các bài toán thực tiễn được chia thành hai dạng sau:

- Bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản Các bài toán loại này có mô hìnhtoán học dễ phát hiện và khi giải chỉ sử dụng trực tiếp một vài kiến thức toánhọc (ví dụ được tác giả đưa ra: “Một hình chữ nhật có một cạnh là 2a, một cạnh

là b Hỏi chu vi và diện tích là bao nhiêu?” [9, tr.95]) Nói chung, các bài toánloại này được coi là các bài toán ứng dụng “thô” của toán học

- Bài toán thực tiễn phức tạp: Các bài toán loại này có bước xây dựng môhình toán học thường phức tạp, khi giải thường phải phối hợp nhiều loại kiếnthức Thuật ngữ “phức tạp” ở đây không chỉ hiểu theo nghĩa là mô hình toán họccủa bài toán khó xây dựng hơn mô hình toán học của các toán có nội dung thựctiễn đơn giản mà còn được hiểu theo nghĩa việc chuyển tải các ý tưởng, cácphương pháp toán học vận dụng vào thực tiễn cũng đòi hỏi phức tạp hơn

Cả hai sự phân chia trên chỉ có tính chất tương đối Cần lưu ý rằng, khi nói

về độ phức tạp về mặt toán học của bài toán, không đòi hỏi sinh viên sư phạm xéttới những bài toán thực tiễn ở mức độ chuyên sâu (mức độ hoạt động nghề nghiệpcủa các chuyên gia về lĩnh vực ứng dụng toán học) mà chỉ nói tới những bài toánthực tiễn ở mức độ phổ biến (mức độ cung cấp kiến thức về vận dụng toán họcvào thực tế cho người có học vấn phổ thông và những người không nghiên cứusâu về ứng dụng toán học phục vụ cho hoạt động nghề nghiệp)

Trong khoá luận này, chúng tôi kết hợp các căn cứ, các cách phân loại bàitoán thực tiễn đã trình bày, vai trò của các bài toán thực tiễn trong việc học tậpmôn XSTK ở trường sư phạm và trong công tác dạy học toán của sinh viên saukhi tốt nghiệp làm căn cứ phân loại các bài toán thực tiễn trong môn XSTK.Theo đó, các bài toán thực tiễn trong khóa luận về chủ đề một số tham số đặctrưng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn XSTK được trình bày gồm hai loạichính như sau:

Loại 1: Các bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản, gần gũi với thực tế.

Loại này bao gồm các bài toán có mô hình toán học dễ phát hiện và khigiải chỉ sử dụng trực tiếp một vài kiến thức liên quan tới khái niệm, tính chất củacác tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc Giải các bài tập loại này chủyếu nhằm củng cố kiến thức lý thuyết về các tham số đặc trưng, không đòi hỏi

sự kết hợp với các kiến thức khác, không đòi hỏi khả năng kết nối, liên tưởngcác ý tưởng toán học một cách phức tạp

Loại 2: Các bài toán có nội dung thực tiễn chuyển tải ý tưởng, phương

pháp vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn

Loại này bao gồm các bài toán làm xuất phát điểm dẫn đến việc xây dựngkiến thức môn học; các bài toán có mô hình toán học tổng quát ăn khớp với một sốkiến thức môn học

Các bài toán này có mô hình toán học phức tạp hơn các bài toán của loại 1bởi đòi hỏi sự liên tưởng, kết nối ý tưởng toán học với thực tiễn một cách sâusắc hơn, khi giải thường phải phối hợp nhiều loại kiến thức Giải các bài tập loạinày chủ yếu nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức

môn học vào thực tiễn qua lập luận, phân tích, xây dựng mô hình toán học chobài toán và giải bài toán; củng cố cho người học một số phản ánh thực tiễn củatham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; rèn luyện khả năng khái quát hoá một lớpbài toán theo một mô toán học; góp phần hình thành thói quen trực giác toán họcđối với các tình huống thực tiễn.

Tuy nhiên, gianh giới giữa hai loại bài tập chỉ có tính chất tương đối bởimức độ giãn yếu về độ phức tạp toán học trong nội dung hay trong việc lập môhình toán học của bài toán cũng chỉ có tính chất tương đối

KÕt luËn ch¬ng I

Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ về biến ngẫu nhiên rời rạc(khái niệm, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên, các tính chất của hàm phânphối, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc: kỳ vọng, phương sai, độlệch chuẩn, mod, median, các tính chất của các tham số đó) Trong đó, chúng tôichú ý phân tích bản chất, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đặc trưng của biếnngẫu nhiên rời rạc nhằm giúp người học thấy được một số phản ánh thực tiễncủa kiến thức các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc Ngoài ra,chương 1 trình bày lý luận cơ bản về bài tập có nội dung thực tiễn, phân tích cácquan niệm về thực tế, thực tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn để làm căn cứphân loại bài tập có nội dung thực tiễn về tham số đặc trưng của biến ngẫunhiên Đây là cơ sở quan trọng để trình bày tiếp chương 2 của khóa luận

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ THAM SỐ ĐẶC

TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 2.1 Các định hướng, nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập

2.1.1 Các định hướng

Định hướng 1: Việc xây dựng hệ thống bài tập nhằm góp phần giúp người học nắm vững những kiến thức và kỹ năng cơ bản về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Các kiến thức về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc là mộttrong những nội dung quan trọng trong môn XSTK và cần được đặc biệt chú ý

do tính ứng dụng của nó Các bài toán có nội dung thực tiễn về các tham số đặctrưng của biến ngẫu nhiên là điều kiện để người học rèn luyện khả năng ứngdụng kiến thức này trong những tình huống thực tế, tiến tới nắm vững nhữngkiến thức đó Vì vậy, không thể coi nhẹ việc giải các bài toán loại này Điềuquan trọng là người học cần hiểu thấu đáo kiến thức về tham số đặc trưng củabiến ngẫu nhiên và cách thức vận dụng những kiến thức đó Đây chính là tinhthần cơ bản của định hướng thứ nhất Theo đó, các bài tập về các số đặc trưngcủa biến ngẫu nhiên rời rạc có thể xem như là những “phương tiện” để giúpngười học nắm vững các kiến thức và kỹ năng cơ bản của môn toán xác suấtthống kê, đồng thời làm đậm nét hơn nữa những khía cạnh ứng dụng của các sốđặc trưng trong thực tế

Định hướng 2: Việc xây dựng hệ thống bài tập phải góp phần rèn luyện cho người học ý thức và khả năng kết nối các ý tưởng toán học trước tình huống thực tiễn

Định hướng này xuất phát từ mục đích rèn luyện thói quen và ý thức liên

hệ với thực tế, một thành tố cơ bản của “văn hóa toán học” cần phải có củangười lao động trong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa, mà toán học nhàtrường đóng vai trò chủ yếu

Biết cách sử dụng toán học như một công cụ trong các các hoạt động laođộng sản xuất vừa là nguyện vọng, vừa là một trong những đòi hỏi đối với mỗi

người lao động chân chính Vì vậy, với kiến thức môn XSTK nói chung, kiếnthức tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nói riêng thì người học cần có thóiquen và ý thức ứng dụng các tham số đặc trưng trong suy nghĩ cũng như trongviệc làm Từ đó, người học sẽ có ý thức luôn tự tìm cách thức để liên tới tưởngtới các số đặc trưng trong học tập, trong lao động sản xuất và đời sống Chẳnghạn như tìm ra sai số của các thiết bị, chi tiết gia công so với kích thước tiêuchuẩn, tìm ra mức độ rủi ro của các quyết định trong lĩnh vực kinh tế… từ đó tađưa ra các phương án điều chỉnh Rõ ràng, không thể đạt được điều đó, nếungười học xem nhẹ tuyến các bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặctrưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Định hướng 3: Tạo điều kiện để người học thấy được sự thể hiện của bài tập toán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông

Nhà giáo dục học Xô Viết Firxôv V.V khẳng định: việc dạy học toán ởphổ thông cần chú ý đến việc phản ánh khía cạnh ứng dụng của toán học, điều

đó được thực hiện qua việc dạy cho học sinh biết ứng dụng toán học để giảiquyết các bài toán thực tiễn [23, tr.62] Rõ ràng, vai trò của các bài toán thựctiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông trong việc khai thác khíacạnh vận dụng toán học vào thực tiễn là không thể phủ nhận Các bài toán thựctiễn trong chương trình, SGK Toán phổ thông nước ta hiện nay là các bài toánthuộc loại 1 theo cách phân loại bài toán thực tiễn ở trên Việc tiếp cận các bàitoán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông đòi hỏi xem xét các bàitoán đó một cách toàn diện về nội dung, lĩnh vực thực tiễn được phản ánh, yêucầu sử dụng kiến thức môn học để giải quyết, sắp xếp, tổng hợp các bài tậpthành các tuyến cụ thể Hiện nay, trong Chương trình môn Toán THPT, các bàitoán về biến ngẫu nhiên rời rạc được cho dưới dạng tính toán xác suất xảy ra cácgiá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đã cho trước quy luật phân phối xác suất Khixây dựng hệ thống bài tập, chúng tôi có chú ý bao quát các bài toán ở phổ thôngnhằm tạo điều kiện cho người học tầm kiến thức phổ rộng và chiều sâu để dạyhọc tốt chủ đề này trong chương trình phổ thông

2.1.2 Các nguyên tắc

Nguyên tắc lựa chọn và xây dựng hệ thống bài tập các tham số đặc trưngcủa biến ngẫu nhiên rời rạc được trình bày ở mục này là sự cụ thể hóa nhữngđịnh hướng chỉ đạo xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập với chủ ý làm đậm néthơn ý nghĩa của việc xây dựng hệ thống bài tập

Nguyên tắc 1: Bám sát chương trình môn xác suất thống kê ở trường

sư phạm

Hệ thống bài tập các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc đượcxây dựng nhằm tạo ra những tình huống để góp phần cho sinh viên sư phạmnắm vững kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, đồng thời rèn luyện cho họ khảnăng và ý thức ứng dụng “tham số đặc trưng” nói riêng và ứng dụng toán họcnói chung Vì vậy, hệ thống này phải xem xét và đặt trong toàn cảnh của quátrình học tập môn XSTK của sinh viên ở trường sư phạm Trên cơ sở tôn trọngchương trình môn toán XSTK, sử dụng tối đa những tình huống và bài tập cónội dung thực tiễn về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên đã có tronggiáo trình dành cho sinh viên sư phạm Ngoài ra, chúng tôi bổ sung, khai thácnhững những bài toán có nội dung thực tiễn trong các tài liệu XSTK dành chosinh viên một số ngành khác để bạn học có thể tham khảo thêm

Nguyên tắc 2: Đảm bảo tính đa dạng của hệ thống bài toán đối với các lĩnh vực thực tế

Đảm bảo tính phong phú, đa dạng của các lĩnh vực thực tiễn trong nộidung nhằm góp phần làm rõ giá trị ứng dụng thực tiễn của kiến thức môn họcđối với các lĩnh vực khác Sự phong phú về các lĩnh vực thực tiễn giúp ngườihọc hình dung được phần nào bức tranh phác họa thực tiễn bằng công cụ kiếnthức môn học, phát triển ở họ thói quen tiếp cận các vấn đề thực tiễn bằng công

cụ toán học của một hay nhiều hơn một môn học Các bài tập cần được sắp xếp

từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm tạo nên sự trải nghiệm thành công

ở người học khi giải bài tập, tạo cho người học thêm tự tin phấn khởi, hào hứngthực hiện yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn Sự đa dạng về nộidung của các bài tập về các tham số đặc trưng thể hiện ở sự đa dạng của các tìnhhuống thực tế, ở phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất, đời sống được phản

ánh trong các bài tập về các tham số đặc trưng Sự đa dạng làm cho người họcthấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các tham số đặc trưng trong nhiềulĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của các số đặc trưng Tuy vậy,cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ liên môn, liên hệ với thực tế một cáchmiễn cưỡng.

Nguyên tắc 3: Lưu ý những thuật ngữ chuyên môn của một số lĩnh vực thực tiễn

Một trong những ưu điểm của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong cáclĩnh vực thực tiễn khác nhau là người học được tiếp cận với một số yếu tố đặc thù

về mặt chuyên môn trong các lĩnh vực đó Mỗi lĩnh vực thực tiễn có một số thuậtngữ chuyên môn riêng mà bình thường nếu không có cơ hội tiếp cận thì người

học không thể biết, chẳng hạn, trong y học có thuật ngữ “độ nhạy”, “độ đặc hiệu” của phản ứng; trong kinh tế có thuật ngữ “lợi nhuận kỳ vọng” hay thuật ngữ “đánh giá thị trường tiềm năng” của một sản phẩm,…Vì vậy, trong quá trình

xây dựng các bài toán thực tiễn, chúng tôi có chú ý tới những bài toán mangnhững đặc trưng riêng của một số lĩnh vực khác nhằm cung cấp những hiểu biếtmới, tạo cho bạn học tiềm năng rèn luyện ngôn ngữ chính xác, linh hoạt (cả vềmặt cú pháp và ngữ nghĩa) cho học sinh phổ thông trong dạy học sau này

Nguyên tắc 4: Chú ý một số bài tập có thể dẫn tới sai lầm trong vận dụng lý thuyết các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên để giải bài toán

Việc cài đặt sai lầm vào các bài toán nhằm tạo cho người học “phát triển

óc phê phán, khả năng không những chỉ là tái tạo các lược đồ lôgic xác định,

mà còn phê phán mỗi giai đoạn của lý luận tương ứng với các nguyên tắc đã tiếp thu được về tư duy toán học và về thực hành tính toán” [22, tr.12] Trong

dạy học toán, việc cài đặt một số sai lầm có dụng ý sư phạm như sai lầm trongngôn ngữ diễn đạt, sai lầm trong suy luận, sai lầm trong xét trường hợp ngoại lệ, sailầm vì trực giác toán học, được ghi nhận là rất có tác dụng đối với người họckhi họ kiểm nghiệm khả năng diễn đạt kiến thức, kiểm nghiệm những hiểu biếtcủa bản thân về sự chính xác của kiến thức và cơ sở lôgic của chúng [22] Đốivới toán học ứng dụng, một trong những đặc trưng cơ bản là nó sử dụng các khái

niệm hợp lý (khái niệm không có định nghĩa hình thức hoặc định nghĩa khônghoàn toàn chặt chẽ về mặt hình thức) và các khẳng định hợp lý (những khẳngđịnh có bao hàm khái niệm hợp lý) để đảm bảo được tính đúng đắn của vấn đề

là thực tiễn chấp nhận được và thoả mãn tính tối ưu [18] Do đó, cách suy luận

trong toán học ứng dụng không hoàn toàn giống suy luận toán học [1] Bởi lẽ

đó, có thể người học sẽ mắc sai lầm trong nhận thức, trong vận dụng lý thuyếtvào giải bài tập Trong quá trình xây dựng hệ thống bài tập, chúng tôi cũng nhấnmạnh đến việc đưa ra những bài tập có thể dẫn tới sai lầm

2.2 Xây dựng hệ thống bài tập

2.2.1 Một số bài tập loại 1: Các bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản, gần gũi với thực tế

Bài 1.1 Bắn liên tiếp 3 viên đạn độc lập vào mục tiêu Gọi X là số viên

đạn trúng đích trong 3 viên Tính kỳ vọng của X biết rằng xác suất trúng đích

của mỗi viên là 0,5

Bài 1.2 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Gọi X là số con trai

trong 2 con Tìm kỳ vọng của X Biết xác suất sinh con trai là 0,51.

Bài 1.3 Trong một lô hàng có 500 đơn vị hàng hoá Tỷ lệ hàng kém phẩm

chất là 5% Lấy ngẫu nhiên 50 đơn vị hàng hoá Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

X chỉ số hàng hoá kém phẩm chất trong 50 đơn vị hàng được chọn ra.

Bài 1.4 Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm xấu Ta

lấy bất kì từ một lô hàng một mẫu ngẫu nhiên (để kiểm tra ngẫu nhiên) gồm 5sản phẩm

Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm xấu trong mẫu.

Bài 1.5 Một nhóm có 7 người trong đó có 4 nam và 3 nữ Chọn ngẫu

nhiên ra 3 người Gọi X là số nữ có trong nhóm được chọn Lập bảng phân bốxác suất của X Tính EX và VX.

Bài 1.6 Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi đen, 4 bi trắng Xét hai

bài toán sau:

a) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la Gọi Y là số tiềnnhận được Tính kỳ vọng của Y

b) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la và chọn được 1 biđen sẽ được thưởng 300 đô la Gọi Z là số tiền nhận được Tính kỳ vọng của

Z

Bài 1.7 Gieo 1000 hạt đậu tương Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là p = 0,8.

Gọi X là số hạt nảy mầm trong 100 hạt Tìm kỳ vọng, phương sai của X

Bài 1.8 Một lô sản phẩm gồm 200 sản phẩm tỷ lệ phế phẩm là 0,05 Lấy

ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn lại) 30 sản phẩm Tính kỳ vọng và phương sai của X.

Bài 1.9 Một xí nghiệp có hai ôtô vận tải hoạt động Xác suất trong ngày

làm việc các ôtô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2 Gọi X là số ôtô bị hỏngtrong thời gian làm việc Lập bảng phân bố xác suất, tính kỳ vọng EX vàphương sai VX của X

Bài 1.10 Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm Người

ta lấy ra lần lượt 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại)

a) Gọi X là “số phế phẩm có thể gặp phải” Lập bảng phân bố xác suấtcủa X Tính kỳ vọng EXvà phương sai VX

b) Gọi Y là “số chính phẩm có thể nhận được” Lập hệ thức cho biết mối

quan hệ giữa Y và X Tính kỳ vọng EY và phương sai VY

Bài 1.11 Tỷ lệ suy dinh dưỡng ở các tỉnh miền Tây Nguyên là 35,8%.

Khảo sát ngẫu nhiên 50 trẻ ở vùng này Gọi X là số trẻ suy dinh dưỡng (SDD)

trong 50 trẻ nói trên Hỏi:

a) X có phân phối gì?

b) Tính E(X), V(X).

c) Số trẻ SDD có khả năng xảy ra cao nhất là bao nhiêu?

d) Có khả năng xảy ra tình huống cả 50 trẻ bị suy dinh dưỡng hay không?

Bài 1.12 Hai xạ thủ A và B tập bắn Mỗi người bắn hai phát Xác suất

bắn trúng đích của A trong mỗi lần bắn là 0,4; còn của B là 0,5

a) Gọi X là số phát bắn trúng của A trừ đi số phát bắn trúng của B Tìmphân bố xác suất của X , kỳ vọng EX và phương sai VX

b) Tìm phân bố xác suất của Y X và kỳ vọng EY

Bài 1.13 Số ca cấp cứu của một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến

ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

X 0 1 2 3 4 5

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường bác sĩ trực Tính

kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

Bài 1.14 Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian

1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có

bảng phân bố xác suất sau:

Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Bài 1.15 Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ

bảy hàng tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc X Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn, mod của biến ngẫu nhiên X

Bài 1.16 Theo thống kê tỷ lệ trẻ thừa cân năm 2004 là 1,7% Trong một

trường mầm non có 120 cháu Gọi biến ngẫu nhiên X là số trẻ thừa cân trong

120 trẻ nói trên

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X

Bài 1.17 Gieo 120 hạt Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,6 Gọi X là số

không nảy mầm trong 120 hạt

a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

b) Tính mod và median

Bài 1.18 Một người trồng 2 cây cảnh, xác suất để cây thứ nhất ra hoa là

0,6; xác suất để cây thứ hai ra hoa là 0,4 Gọi X là số cây ra hoa Lập bảng phânphối và tìm E X( ) và V X( )

Bài 1.19 Trên hai con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ

(km/h) của 30 chiếc ô tô trên mỗi con đường sau:

a) Tìm tốc độ trung bình, số trung vị, phương sai độ lệch chuẩn của tốc độ

ô tô trên mỗi con đường A, B

b) Theo bạn thì xe chạy trên con đường nào an toàn hơn

Bài 1.20 Một bác sĩ thú y chữa bệnh cho lợn với xác suất chữa khỏi là

0,8 Một nhóm 5 con lợn bị bệnh được đem đến bác sĩ chữa, gọi X là số con lợn chữa khỏi bệnh Viết bảng phân phối và hàm phân phối của X Tính EX và VX

Bài 1.21 Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia Mỗi

người bắn một viên Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất là 0,7; của xạ

thủ thứ hai là 0,8 Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia Tính kỳ vọng của X.

2.2.2 Một số bài tập loại 2: Các bài toán có nội dung thực tiễn chuyền tải

ý tưởng, phương pháp vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn

Bài 2.1 Có 2 hộp quà Hộp thứ nhất có 4 phiếu loại 30 ngàn đồng và 6

phiếu loại 50 ngàn đồng Hộp thứ 2 có 1 phiếu loại 200 ngàn đồng và 9 phiếuloại 20 ngàn đồng Người được thưởng chọn 1 trong 2 hộp và từ đó lấy ngẫunhiên 1 phiếu là số tiền được thưởng Hỏi chọn hộp nào có lợi hơn?

Bài 2.2 Một hộp đựng 7 quân bài đỏ và 3 quân bài đen Rút ngẫu nhiên 1

quân bài, nếu được sẽ thưởng 20 ngàn đồng, nếu nếu rút phải quân đỏ sẽ bị phạt

9 ngàn đồng Hỏi có nên tham dự trò chơi này nhiều lần hay không?

Bài 2.3 Một đấu thủ tham gia trò chơi theo quy tắc: muốn được tham gia

trò chơi thì phải nộp x đồng Khi chơi, gieo ba con xúc xắc, nếu cả 3 mặt đều có

6 nốt, thì thu về 360 đồng, nếu hai con xúc xắc có 6 nốt ở mặt trên, thì thu về

280 đồng, nếu chỉ có một con xúc xắc ở mặt trên có 6 nốt thì thu về 40 đồng

Tìm x sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt tức là trung bình tiền được bằng 0

Bài 2.4 Hai kiện tướng bóng bàn ngang sức thi đấu với nhau Hỏi thắng 2

trong 4 ván dễ hơn hay thắng 3 trong 6 ván dễ hơn?

Bài 2.5 Giả sử một trò chơi tung một con xúc xắc công bằng Trong trò

chơi này người chơi sẽ thắng 20 đô la nếu mặt 2 xuất hiện, thắng 40 đô la nếumặt 4 xuất hiện và thua 30 đô la nếu mặt 6 xuất hiện Người chơi không thắngkhông thua nếu các mặt khác xuất hiện Hãy tìm tổng số tiền người chơi hyvọng được trong trò chơi này

Bài 2.6 Người thợ chép tranh mỗi tuần chép 2 bức tranh độc lập A và B

với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05 Biết rằng nếu thành công thì ngườithợ sẽ kiếm lời từ bức tranh là 1,3 triệu đồng và bức tranh B là 0,9 triệu đồng.Nhưng nếu hỏng thì sẽ bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do bức tranh B

là 0,6 triệu đồng Hỏi trung bình người thợ kiếm được bao nhiêu tiền chép tranhmỗi tuần

Bài 2.7 Theo thống kê, một người Mĩ 50 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có

xác suất là 0,895 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,105 Một công tybảo hiểm A đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền là 1000

đô la Phí bảo hiểm là 110 đô la Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bánmột sản phẩm bảo hiểm cho người đó?

Bài 2.8 Nhu cầu hằng ngày của một khu phố về một loại thực phẩm tươi

Bài 2.9 Bình mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A Công ty A trả 500

nghìn đồng nếu nếu anh bình ốm; 1 triệu đồng nếu anh bình gặp tai nạn và 6triệu đồng nếu anh Bình ốm và gặp tai nạn Mỗi năm anh Bình đóng 100 nghìn

nạn là 0,0015; ốm nhưng không gặp tai nạn là 0,0485; không ốm nhưng gặp tai

nạn là 0,9215 Gọi X là số tiền công ty bảo hiểm chi trả cho anh Bình mỗi năm.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính E(X) Nêu ý nghĩa thực tiễn của E(X)

Bài 2.10 Theo thống kê việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên

một năm có xác suất là 0,992; còn xác suất để người đó chết trong vòng mộtnăm tới là 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinhmạng cho 1 năm với số tiền chi trả 1000 đô la, còn tiền đóng là 10 đô la

a) Hỏi lợi nhuận của công ty bảo hiểm nhận được là bao nhiêu?

b)Tính phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên xét trong ví dụ trên

và có nhận xét gì về mức độ rủi do trong kinh doanh của công ty bảo hiểm đó?

c) Nếu xác suất người đó chết trong vòng 1 năm tới tăng lên là 0,003 thìcông ty bảo hiểm phải tăng phí bảo hiểm sinh mạng lên bao nhiêu để kinhdoanh có lãi

Bài 2.11 Theo thống kê của ngành Tòa án, tỷ lệ các vụ ly hôn do ngoại

tình là 30% Hãy tính xác suất để trong 100 vụ ly hôn được xử trong một nămqua ở thành phố Z có (chỉ yêu cầu viết được công thức tính):

Bài 2.13 Một bài kiểm tra trắc nghiệm có 4 câu Mỗi câu có 5 phương án

trả lời trong đó chỉ có 1 phương án trả lời đúng Nếu trả lời đúng thì được 5 điểm.Nếu trả lời sai thì không được điểm An làm bài thi bằng cách ở mỗi câu chọn

ngẫu nhiên một phương án trả lời Gọi X là tổng số điểm mà An nhận được.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính E(X) và V(X).

Bài 2.14 Anh A hằng ngày tới cơ quan phải qua bốn ngã tư có cột đèn tín

hiệu giao thông, xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi ngã tư là 0,4 và thời gian chờ đèn đỏtrung bình mỗi lần là 30 giây

a) Lập bảng phân phối xác suất theo số lần anh A gặp đèn đỏ

b) Hỏi trung bình mỗi lần từ nhà tới cơ quan anh A phải chờ đèn đỏ mấtbao nhiêu giây?

Bài 2.15 Xác suất bắn trúng đích của một khẩu súng là p Tiến hành bắn

liên tiếp trong điều kiện không đổi cho đến khi có k phát trúng đích thì thôi bắn.Tìm kỳ vọng của số lần bắn cần thiết

Bài 2.16 Xét bài toán của trò chơi “chọn giá đúng” giữa người mua hàng và

công ty sản xuất trong đợt quảng cáo các sản phẩm của công ty Luật chơi như sau:

Mỗi lần chơi khách hàng được lựa chọn một trong 3 mức giá: Mức 1, mức

2, mức 3 cho một sản phẩm công ty đưa ra Sản phẩm công ty đưa ra thuộc 1trong 4 loại được phân theo chất lượng sản phẩm: loại 1, loại 2, loại 3, loại 4.Trong mỗi lần chơi, nếu khách hàng chọn chiến lược i I 1,2,3 (tức làchọn mức giá loại i) cho chiến lược loại j J 1,2,3,4 (tức là sản phẩm loạij) mà công ty đưa ra thì sẽ được công ty trả a i ij( 1,3; j 1,4) đơn vị tiền Sau

3 3 1 2

4 0 5 1

Hãy lập bài toán cho khách hàng để anh ta thu được số tiền thưởng cao nhấttrong khi tham gia cuộc chơi với một số lần chơi cố định và tìm số tiền thưởngtrung bình cho từng chiến lược chơi trong trường hợp đạt mức tiền thưởng caonhất (biết rằng khách hàng không biết thông tin gì về các sản phẩm và công tykhông có thông tin gì về cá nhân khách hàng, lợi nhuận của khách hàng và tổnthất của công ty từ cuộc chơi được tính là kết quả của nhiều lần chơi)

Băi 2.17 Một dự ân xđy dựng được viện thiết kế C soạn thảo cho cả hai

bín A vă B xĩt duyệt một câch độc lập Xâc suất để A vă B chấp nhận dự ân khixĩt duyệt lă 0,7 vă 0,8 Nếu chấp nhận dự ân thì A phải trả cho C lă 4 triệu đồng,còn ngược lại thì phải trả 1 triệu đồng Với B, nếu chấp nhận dự ân thì phải trảcho C 10 triệu đồng, ngược lại phải trả 3 triệu đồng Chi phí cho thiết kế lă 10triệu vă thuế 10% doanh thu Hỏi C nín nhận thiết kế hay không ?

Băi 2.18 Có 500 người xĩt nghiệm mâu để tìm ký sinh trùng sốt rĩt Tỷ

lệ mắc bệnh ở địa phương theo thống kí lă 10% Có thể lăm xĩt nghiệm theohai phương phâp :

+ Phương phâp 1: Xĩt nghiệm từng người

+ phương phâp 2: Lấy mâu 10 người trộn lẫn lăm một xĩt nghiệm Nếukết quả xĩt nghiệm lă đm tính (vô trùng) thì trong 10 người không ai mắc bệnh.Nếu kết quả xĩt nghiệm lă dương tính thì chứng tỏ trong 10 người đó có ít nhấtmột người bị mắc bệnh Lúc đó phải lăm thím 10 xĩt nghiệm lẻ để phât hiệnngười có bệnh cụ thể Hỏi lăm theo câch năo có lợi hơn

Băi 2.19 Một công ty taxi có 10 chiếc xe taxi Biết rằng yíu cầu thuí xe

trong một giờ lă biến ngẫu nhiín X tuđn theo định luật Poisson với l =5

Cho biết e- 5=0,0067 Gọi Y lă số xe được thuí trong một giờ

a) Lập bảng phđn phối xâc suất của Y.

b) Tìm Mod(X), Mod(Y), vă kỳ vọng của X, Y.

c) Tìm khả năng công ty không đâp ứng được nhu cầu của khâch hăng.d) Muốn giảm khả năng không đâp ứng được ngay yíu cầu của khâchhăng xuống dưới 1% thì cần bổ sung thím mấy xe nữa

Băi 2.20 Tỉ lệ tử vong của bệnh nhđn mắc một loại bệnh được điều trị tại

nhă ông lang A lă 90%

a) Năm 2010 đê có 9 bệnh nhđn mắc loại bệnh năy đến chữa bệnh tại nhẵng lang A vă cả 9 người đê tử vong Tính xâc suất không tử vong của bệnhnhđn thứ 10 cũng mắc loại bệnh năy đến chữa bệnh tại nhă ông lang A trongnăm đó

b) Nếu ông lang A điều trị bệnh năy cho một bệnh nhđn khỏi thì ông đượctrả 100 triệu đồng (trong đó có 5% tiền chi phí thuốc), nếu tử vong thì ông