ý tưởng, phương phỏp vận dụng kiến thức toỏn học vào thực tiễn
Bài 2.1. Cú 2 hộp quà. Hộp thứ nhất cú 4 phiếu loại 30 ngàn đồng và 6
phiếu loại 50 ngàn đồng. Hộp thứ 2 cú 1 phiếu loại 200 ngàn đồng và 9 phiếu loại 20 ngàn đồng. Người được thưởng chọn 1 trong 2 hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn 1 phiếu là số tiền được thưởng. Hỏi chọn hộp nào cú lợi hơn?
Bài 2.2. Một hộp đựng 7 quõn bài đỏ và 3 quõn bài đen. Rỳt ngẫu nhiờn 1
quõn bài, nếu được sẽ thưởng 20 ngàn đồng, nếu nếu rỳt phải quõn đỏ sẽ bị phạt 9 ngàn đồng. Hỏi cú nờn tham dự trũ chơi này nhiều lần hay khụng?
Bài 2.3. Một đấu thủ tham gia trũ chơi theo quy tắc: muốn được tham gia
trũ chơi thỡ phải nộp x đồng. Khi chơi, gieo ba con xỳc xắc, nếu cả 3 mặt đều cú 6 nốt, thỡ thu về 360 đồng, nếu hai con xỳc xắc cú 6 nốt ở mặt trờn, thỡ thu về 280 đồng, nếu chỉ cú một con xỳc xắc ở mặt trờn cú 6 nốt thỡ thu về 40 đồng. Tỡm x sao cho trũ chơi là vụ thưởng vụ phạt tức là trung bỡnh tiền được bằng 0
Bài 2.4. Hai kiện tướng búng bàn ngang sức thi đấu với nhau. Hỏi thắng 2
trong 4 vỏn dễ hơn hay thắng 3 trong 6 vỏn dễ hơn?
Bài 2.5. Giả sử một trũ chơi tung một con xỳc xắc cụng bằng. Trong trũ
chơi này người chơi sẽ thắng 20 đụ la nếu mặt 2 xuất hiện, thắng 40 đụ la nếu mặt 4 xuất hiện và thua 30 đụ la nếu mặt 6 xuất hiện. Người chơi khụng thắng khụng thua nếu cỏc mặt khỏc xuất hiện. Hóy tỡm tổng số tiền người chơi hy vọng được trong trũ chơi này.
Bài 2.6. Người thợ chộp tranh mỗi tuần chộp 2 bức tranh độc lập A và B
với xỏc suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05. Biết rằng nếu thành cụng thỡ người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh là 1,3 triệu đồng và bức tranh B là 0,9 triệu đồng. Nhưng nếu hỏng thỡ sẽ bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do bức tranh B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bỡnh người thợ kiếm được bao nhiờu tiền chộp tranh mỗi tuần.
Bài 2.7. Theo thống kờ, một người Mĩ 50 tuổi sẽ sống thờm trờn 1 năm cú
xỏc suất là 0,895 và người đú chết trong vũng 1 năm tới là 0,105. Một cụng ty bảo hiểm A đề nghị người đú bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền là 1000 đụ la. Phớ bảo hiểm là 110 đụ la. Hỏi trung bỡnh cụng ty A lói bao nhiờu khi bỏn một sản phẩm bảo hiểm cho người đú?
Bài 2.8. Nhu cầu hằng ngày của một khu phố về một loại thực phẩm tươi
sống cú bảng phõn bố xỏc suất
Nhu cầu (kg) 31 32 33 34
P 0,15 0,25 0,45 0,15
Một cửa hàng trong khu phố này nhập về mỗi ngày 34 kg loại thực phẩm này với giỏ 25.000đ/kg và bỏn ra với giỏ 40.000đ/kg. Nếu bị ế, thỡ cuối ngày cửa hàng phải bỏn hạ giỏ cũn 15.000đ/kg thỡ mới hết hàng. Tớnh tiền lời trung bỡnh của cửa hàng này về loại thực phẩm trờn trong một ngày.
Bài 2.9. Bỡnh mua bảo hiểm của cụng ty bảo hiểm A. Cụng ty A trả 500
nghỡn đồng nếu nếu anh bỡnh ốm; 1 triệu đồng nếu anh bỡnh gặp tai nạn và 6 triệu đồng nếu anh Bỡnh ốm và gặp tai nạn. Mỗi năm anh Bỡnh đúng 100 nghỡn
nạn là 0,0015; ốm nhưng khụng gặp tai nạn là 0,0485; khụng ốm nhưng gặp tai nạn là 0,9215. Gọi X là số tiền cụng ty bảo hiểm chi trả cho anh Bỡnh mỗi năm.
a) Lập bảng phõn bố xỏc suất của X.
b) Tớnh E(X). Nờu ý nghĩa thực tiễn của E(X)
Bài 2.10. Theo thống kờ việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thờm trờn
một năm cú xỏc suất là 0,992; cũn xỏc suất để người đú chết trong vũng một năm tới là 0,008. Một chương trỡnh bảo hiểm đề nghị người đú bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả 1000 đụ la, cũn tiền đúng là 10 đụ la.
a) Hỏi lợi nhuận của cụng ty bảo hiểm nhận được là bao nhiờu?
b)Tớnh phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiờn xột trong vớ dụ trờn và cú nhận xột gỡ về mức độ rủi do trong kinh doanh của cụng ty bảo hiểm đú?
c) Nếu xỏc suất người đú chết trong vũng 1 năm tới tăng lờn là 0,003 thỡ cụng ty bảo hiểm phải tăng phớ bảo hiểm sinh mạng lờn bao nhiờu để kinh doanh cú lói.
Bài 2.11. Theo thống kờ của ngành Tũa ỏn, tỷ lệ cỏc vụ ly hụn do ngoại
tỡnh là 30%. Hóy tớnh xỏc suất để trong 100 vụ ly hụn được xử trong một năm qua ở thành phố Z cú (chỉ yờu cầu viết được cụng thức tớnh):
a) 40 vụ ly hụn vỡ ngoại tỡnh. b) 50 vụ ly hụn vỡ lý do khỏc.
c) Số vụ ly hụn do ngoại tỡnh cú khả năng cao nhất.
Bài 2.12. Một xạ thủ bắn 20 phỏt xỏc suất trỳng đớch là 0,8.
a) Tỡm xỏc suất để bắn 18 phỏt trỳng. b) Tỡm số phỏt trỳng trung bỡnh khi bắn. c) Tỡm số phỏt trỳng cú khả năng xảy ra nhất.
Bài 2.13. Một bài kiểm tra trắc nghiệm cú 4 cõu. Mỗi cõu cú 5 phương ỏn
trả lời trong đú chỉ cú 1 phương ỏn trả lời đỳng. Nếu trả lời đỳng thỡ được 5 điểm. Nếu trả lời sai thỡ khụng được điểm. An làm bài thi bằng cỏch ở mỗi cõu chọn ngẫu nhiờn một phương ỏn trả lời. Gọi X là tổng số điểm mà An nhận được.
a) Lập bảng phõn bố xỏc suất của X. b) Tớnh E(X) và V(X).
Bài 2.14. Anh A hằng ngày tới cơ quan phải qua bốn ngó tư cú cột đốn tớn
hiệu giao thụng, xỏc suất gặp đốn đỏ ở mỗi ngó tư là 0,4 và thời gian chờ đốn đỏ trung bỡnh mỗi lần là 30 giõy.
a) Lập bảng phõn phối xỏc suất theo số lần anh A gặp đốn đỏ.
b) Hỏi trung bỡnh mỗi lần từ nhà tới cơ quan anh A phải chờ đốn đỏ mất bao nhiờu giõy?
Bài 2.15. Xỏc suất bắn trỳng đớch của một khẩu sỳng là p. Tiến hành bắn
liờn tiếp trong điều kiện khụng đổi cho đến khi cú k phỏt trỳng đớch thỡ thụi bắn. Tỡm kỳ vọng của số lần bắn cần thiết.
Bài 2.16. Xột bài toỏn của trũ chơi “chọn giỏ đỳng” giữa người mua hàng và
cụng ty sản xuất trong đợt quảng cỏo cỏc sản phẩm của cụng ty. Luật chơi như sau: Mỗi lần chơi khỏch hàng được lựa chọn một trong 3 mức giỏ: Mức 1, mức 2, mức 3 cho một sản phẩm cụng ty đưa ra. Sản phẩm cụng ty đưa ra thuộc 1 trong 4 loại được phõn theo chất lượng sản phẩm: loại 1, loại 2, loại 3, loại 4. Trong mỗi lần chơi, nếu khỏch hàng chọn chiến lược i I∈ ={1,2,3} (tức là chọn mức giỏ loại i) cho chiến lược loại j J∈ ={1,2,3,4} (tức là sản phẩm loại j) mà cụng ty đưa ra thỡ sẽ được cụng ty trả a iij( =1,3; j =1,4) đơn vị tiền. Sau đõy là ma trận giỏ A ( )aij i 1,3;j 1,4
= =
= của cỏc chiến lược chơi của người chơi và cụng ty: 0 4 2 4 3 3 1 2 4 0 5 1
Hóy lập bài toỏn cho khỏch hàng để anh ta thu được số tiền thưởng cao nhất trong khi tham gia cuộc chơi với một số lần chơi cố định và tỡm số tiền thưởng trung bỡnh cho từng chiến lược chơi trong trường hợp đạt mức tiền thưởng cao nhất (biết rằng khỏch hàng khụng biết thụng tin gỡ về cỏc sản phẩm và cụng ty khụng cú thụng tin gỡ về cỏ nhõn khỏch hàng, lợi nhuận của khỏch hàng và tổn thất của cụng ty từ cuộc chơi được tớnh là kết quả của nhiều lần chơi).
Bài 2.17. Một dự ỏn xõy dựng được viện thiết kế C soạn thảo cho cả hai
bờn A và B xột duyệt một cỏch độc lập. Xỏc suất để A và B chấp nhận dự ỏn khi xột duyệt là 0,7 và 0,8. Nếu chấp nhận dự ỏn thỡ A phải trả cho C là 4 triệu đồng, cũn ngược lại thỡ phải trả 1 triệu đồng. Với B, nếu chấp nhận dự ỏn thỡ phải trả cho C 10 triệu đồng, ngược lại phải trả 3 triệu đồng. Chi phớ cho thiết kế là 10 triệu và thuế 10% doanh thu. Hỏi C nờn nhận thiết kế hay khụng ?
Bài 2.18. Cú 500 người xột nghiệm mỏu để tỡm ký sinh trựng sốt rột. Tỷ
lệ mắc bệnh ở địa phương theo thống kờ là 10%. Cú thể làm xột nghiệm theo hai phương phỏp :
+ Phương phỏp 1: Xột nghiệm từng người.
+ phương phỏp 2: Lấy mỏu 10 người trộn lẫn làm một xột nghiệm. Nếu kết quả xột nghiệm là õm tớnh (vụ trựng) thỡ trong 10 người khụng ai mắc bệnh. Nếu kết quả xột nghiệm là dương tớnh thỡ chứng tỏ trong 10 người đú cú ớt nhất một người bị mắc bệnh. Lỳc đú phải làm thờm 10 xột nghiệm lẻ để phỏt hiện người cú bệnh cụ thể. Hỏi làm theo cỏch nào cú lợi hơn.
Bài 2.19. Một cụng ty taxi cú 10 chiếc xe taxi. Biết rằng yờu cầu thuờ xe
trong một giờ là biến ngẫu nhiờn X tuõn theo định luật Poisson với l =5. Cho biết e- 5=0,0067. Gọi Y là số xe được thuờ trong một giờ.
a) Lập bảng phõn phối xỏc suất của Y.
b) Tỡm Mod(X), Mod(Y), và kỳ vọng của X, Y.
c) Tỡm khả năng cụng ty khụng đỏp ứng được nhu cầu của khỏch hàng. d) Muốn giảm khả năng khụng đỏp ứng được ngay yờu cầu của khỏch hàng xuống dưới 1% thỡ cần bổ sung thờm mấy xe nữa.
Bài 2.20. Tỉ lệ tử vong của bệnh nhõn mắc một loại bệnh được điều trị tại
nhà ụng lang A là 90%.
a) Năm 2010 đó cú 9 bệnh nhõn mắc loại bệnh này đến chữa bệnh tại nhà ụng lang A và cả 9 người đó tử vong. Tớnh xỏc suất khụng tử vong của bệnh nhõn thứ 10 cũng mắc loại bệnh này đến chữa bệnh tại nhà ụng lang A trong năm đú.
b) Nếu ụng lang A điều trị bệnh này cho một bệnh nhõn khỏi thỡ ụng được trả 100 triệu đồng (trong đú cú 5% tiền chi phớ thuốc), nếu tử vong thỡ ụng
khụng lấy tiền thuốc của bệnh nhõn đú. Với mức tiền trờn, ụng lang nờn nhận chữa bệnh đú cho cỏc bệnh nhõn khụng?
c) Trung bỡnh một năm cú khoảng 30 người tới chữa bệnh, ụng lang cú thể được coi là người cú thu nhập cao vỡ việc chữa bệnh đú khụng?
Bài 2.21. Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đó phỏng vấn ngẫu
nhiờn 200 khỏch hàng về sản phẩm đú và thấy cú 34 người trả lời là “sẽ mua”; 96 người trả lời “cú thể sẽ mua”; 70 người trả lời “khụng mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khỏch hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cỏch trả lời trờn là 40%; 20% và 1%.
a) Hóy đỏnh giỏ thị trường tiềm năng của sản phẩm đú.
b) Tớnh số tiền lói trung bỡnh của người đi tiếp thị một loại sản phẩm khi giới thiệu sản phẩm cho 5 người khỏc? 10 người khỏc? (biết nếu người tiếp thị sản phẩm bỏn được một sản phẩm thỡ được trả 100.000 đồng, nếu khụng được thỡ khụng được trả tiền và giả sử mỗi khỏch hàng chỉ mua tối đa 1 sản phẩm)
(Giải thớch: đỏnh giỏ thị trường tiềm năng của sản phẩm trong toỏn học nghĩa là đỏnh giỏ xem khi gặp ngẫu nhiờn một người thỡ xỏc suất để người đú mua sản phẩm là bao nhiờu).
Bài 2.22. Tỷ lệ bệnh B tại một địa phương bằng 0,02. Dựng một phản ứng
giỳp chẩn đoỏn, nếu người bị bệnh thỡ phản ứng dương tớnh là 95%; nếu người khụng bị bệnh thỡ phản ứng dương tớnh là 10%.
a) Xột độ nhạy cảm của phản ứng.
b) Một người làm phản ứng thấy dương tớnh, tỡm giỏ trị của phản ứng dương tớnh.
c) Tỡm xỏc suất chuẩn đoỏn đỳng của phản ứng.
d) Nếu muốn tỡm số xột nghiệm chớnh xỏc trung bỡnh khi làm xột nghiệm cho 5 người thỡ cần bổ sung thờm giả thiết gỡ?
(Giải thớch: “xột độ nhạy của phản ứng” trong toỏn học nghĩa là xỏc định xỏc suất để một phộp thử dương tớnh với điều kiện bệnh nhõn cú bệnh); “giỏ trị của phản ứng dương tớnh” trong toỏn học nghĩa là xỏc định xỏc suất để một bệnh
nhõn cú bệnh thật sự khi kết quả của phộp thử là dương tớnh; “giỏ trị của phản ứng õm tớnh” trong toỏn học nghĩa là xỏc định xỏc suất để một bệnh nhõn khụng
Bài 2.23. Trong một trận khụng chiến cú 400 mỏy bay cường kớch tấn
cụng 200 mỏy bay nộm bom. Cứ một cặp mỏy bay cường kớch tấn cụng một mỏy bay nộm bom. Như vậy, trận khụng chiến đú cú thể chia thành 200 trận khụng chiến cơ sở, trong mỗi trận cơ sở đú cú thể tham gia một mỏy bay nộm bom và 2 mỏy bay cường kớch.
Cỏc trận khụng chiến cơ sở được tiến hành theo tiến trỡnh sau: Cỏc mỏy bay cường kớch nổ sỳng trước, mỗi chiếc bắn một phỏt vào mỏy bay nộm bom, xỏc suất trỳng đớch là 0,2 (cho cả 2 mỏy bay). Nếu mỏy bay nộm bom khụng bị bắn rơi, thỡ sẽ bắn trả mỗi mỏy bay cường kớch một phỏt với xỏc suất trỳng đớch là 0,3.
a) Tỡm kỳ vọng và phương sai của số mỏy bay nộm bom bị bắn rơi. b) Tỡm kỳ vọng và phương sai của số mỏy bay cường kớch bị bắn rơi. (Biết rằng cỏc trận khụng chiến cơ sở độc lập với nhau).
Bài 2.24. Theo một điều tra về xó hội học cho thấy tỷ lệ sinh viờn học tập
khụng đỳng với ngành nghề mà họ yờu thớch là 34%. Một lớp gồm 60 sinh viờn. Gọi X là số sinh viờn khụng theo đỳng ngành nghề yờu thớch trong 60 sinh viờn này. Hóy:
a) Mụ tả quy luật phõn phối của X
b) Về trung bỡnh thỡ trong 60 sinh viờn sẽ cú bao nhiờu sinh viờn khụng thớch ngành đang học?