Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 pptx

mômen tất cả các bậc nhưng cũng có biến ngẫu nhiên không có mômen đối với mọi k, bắt đầu từ một số k nào đó.. Khi đó, hệ số bất đối xứng của X, ký hiệu được xác định bởi... Cho biến ngẫ

mômen tất cả các bậc nhưng cũng có biến ngẫu nhiên không có mômen đối với mọi k, bắt đầu từ một số k nào đó

Ví dụ 3.2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Ta có

Như vậy

Điều này có nghĩa X chỉ có các momen gốc bậc 1, 2, 3 hữu hạn

b Hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn

Định nghĩa 3.3

i) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn Khi đó, hệ số bất đối xứng của

X, ký hiệu được xác định bởi

ii) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn Khi đó, hệ số nhọn của X, ký

Ví dụ 3.4 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối

a- Tìm momen gốc bậc k của X, k

b- Xác định hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn

Giải Hàm mật độ của X là

a- Dễ thấy

b- Ta có

Vậy hệ số bất đối xứng là

và hệ số nhọn là

c Mod và Med

Định nghĩa 3.5 Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xmod là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó phân phối đạt giá trị lớn nhất

Như vậy nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod là gía trị mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất Còn nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod là gía trị làm cho hàm mật độ f(x) đạt cực đại

Định nghĩa 3.6 Med (số trung vị ) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu xmed là giá trị

của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng , nghĩa là F(xmed)

= Nói cách khác, xmed là số trung vị nếu P[X < xmed] > < P[X > xmed]

Như vậy, Med là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành 2 phần bằng nhau Với một biến ngẫu nhiên X có thể có một điểm Med hoặc có thể một khoảng Med

Ví dụ 3.7 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Xác định EX, xmod và xmed

Giải Ta có

Hàm phân phối của X là

Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1 Vậy xmed = 1

Nhận xét: trong ví dụ trên ta thấy E(X) = xmod = xmed = 1 Điều này xảy ra là do biến ngẫu nhiên X có phân phối đối xứng