mômen tất cả các bậc nhưng cũng có biến ngẫu nhiên không có mômen đối với mọi k, bắt đầu từ một số k nào đó. Ví dụ 3.2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ Ta có Như vậy Điều này có nghĩa X chỉ có các momen gốc bậc 1, 2, 3 hữu hạn . b. Hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn Định nghĩa 3.3. i) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số bất đối xứng của X, ký hiệu được xác định bởi ii) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số nhọn của X, ký hiệu được xác định bởi . Ví dụ 3.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối a- Tìm momen gốc bậc k của X, k b- Xác định hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn. Giải. Hàm mật độ của X là a- Dễ thấy m k = , k b- Ta có Vậy hệ số bất đối xứng là và hệ số nhọn là . c. Mod và Med Định nghĩa 3.5. Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu x mod là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó phân phối đạt giá trị lớn nhất. Như vậy nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod là gía trị mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất. Còn nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod là gía trị làm cho hàm mật độ f(x) đạt cực đại. Định nghĩa 3.6. Med (số trung vị ) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu x med là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng , nghĩa là F(x med ) = . Nói cách khác, x med là số trung vị nếu P[X < x med ] > < P[X > x med ]. Như vậy, Med là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành 2 phần bằng nhau. Với một biến ngẫu nhiên X có thể có một điểm Med hoặc có thể một khoảng Med. Ví dụ 3.7. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ Xác định EX, x mod và x med . Giải. Ta có Do nên f(x) đạt cực đại tại x =1. Vậy x mod = 1. Hàm phân phối của X là Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1. Vậy x med = 1. Nhận xét: trong ví dụ trên ta thấy E(X) = x mod = x med = 1. Điều này xảy ra là do biến ngẫu nhiên X có phân phối đối xứng. . Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số nhọn của X, ký hiệu được xác định bởi . Ví dụ 3.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối a- Tìm momen gốc bậc k của X, k b- Xác. của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu x mod là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó phân phối đạt giá trị lớn nhất. Như vậy nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod là gía trị mà tại đó xác suất. X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod là gía trị làm cho hàm mật độ f(x) đạt cực đại. Định nghĩa 3.6. Med (số trung vị ) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu x med là giá trị của biến ngẫu nhiên