Từ đó, Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p). Đặt thì . Do E(X i ) = p với mọi i = 1, 2, , n nên . Hiệp phương sai Mệnh đề 3.4. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h E[g(X).h(Y)] = E[g(X)]. E[h(Y)] Định nghĩa 3.5. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X, Y) được xác định bởi Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y - E(Y))] Khai triển vế phải ta nhận được Cov(X, Y) = E(XY) –E(X).E(Y) Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì theo Mệnh đề 3.4 ta có Cov(X, Y) = 0. Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng. Thật vậy, cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất và biến ngẫu nhiên . Dễ thấy E(X) = 0 và do XY = 0 nên E(XY) = 0. Như vậy Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 0 tuy nhiên rõ ràng X, Y là không độc lập. Tính chất 3.6. Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(X, X) = D(X) Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y), a là hằng số. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta có Như vậy, và nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì . Ví dụ 3.7. Cho X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với phương sai . Đặt . Chứng minh Giải. Ta có . Hệ số tương quan Định nghĩa 3.8. Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu r(X, Y) được xác định bởi : Nếu D(X) và D(Y) thì r(X, Y) Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y) = 0 hay có ít nhất một trong 2 đại lượng ngẫu nhiên X, Y là hằng số thì ta quy ước r(X, Y) = 0. Khi r(X, Y) = 0, ta nói X, Y không tương quan. Lưu ý rằng nếu X, Y độc lập thì X, Y không tương quan nhưng khẳng định ngược lại không đúng. (Ví dụ trong Định nghĩa 3.5) Định lí 3.9. Với mọi biến ngẫu nhiên X, Y ta luôn có và khi và chỉ khi X và Y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh . Xét phương sai của đại lượng . Ta có Từ đó suy ra r(x, Y) 1. Tương tự, xét phương sai của ta nhận được r(X, Y) -1. Bây giờ, giả sử nếu r(X, Y) = ±1. Từ chứng minh trên suy ra , nghĩa là = c với c là hằng số. Như vậy , nghĩa là X,Y phụ thuộc tuyến tính. Ngược lại, nếu Y = aX + b với a,b là hằng số thì Cov(X, Y) = Vậy (X, Y) = Định lí được chứng minh. . sai của tổng các biến ngẫu nhiên Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta có Như vậy, và nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì . Ví dụ 3.7. Cho X 1 , , X n là các biến. Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p). Đặt thì . Do E(X i ) = p với mọi i = 1, 2, , n nên . Hiệp phương. Thật vậy, cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất và biến ngẫu nhiên . Dễ thấy E(X) = 0 và do XY = 0 nên E(XY) = 0. Như vậy Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 0 tuy nhiên rõ ràng X, Y