Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê pps

Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ.. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ Xác địn

Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên

Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên Ta sẽ đi xác định mối quan

hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y

1 Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X) Giả sử là các

giá trị của X có tính chất với j = 1, 2, Khi đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối

, i= 1, 2,

Ví dụ 1.2 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

P 0,3 0,1 0,2 0,4

Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên

a- U = 2X + 1

b- V =

Giải a- U = 2X + 1 sẽ nhận các giá trị -1, 1, 3, 5 Ta có

P(U = -1) = P(X = -1) = 0,3; P(U = 1) = P(X = 0) = 0,1;

P(U = 3) = P(X = 1) = 0,2; P(U = 5) = P(X = 2) = 0,4;

Vậy phân phối xác suất của U là

P 0,3 0,1 0,2 0,4

b- V = sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2 Ta có

P(V = 0) = P(X = 0) = 0,1

P(V = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,5

P(V = 2) = P(X = 2) = 0,4

Vậy phân phối xác suất của V là

P 0,1 0,5 0,4

2 Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục

a Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử Y = yi khi X (ai, bi) Khi đó

Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = sg(X + 2), trong đó

Giải Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vì

Từ đó

P(Y = 1) =

P(Y = -1) =

Vậy phân phối xác suất của y là

P 0,25 0,75

b Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên liên tục

Trong trường hợp g là hàm đơn điệu, khả vi ta nhận được

Định lý 2.1 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ fX và g là một hàm

Khi đó, Y là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

,

trong đó g-1(y) là hàm ngược của hàm g(y)

Chứng minh Giả sử g là một hàm tăng Khi đó hàm phân phối của Y là

Vậy hàm mật độ của Y là

Tương tự, nếu g là một hàm giảm thì

Định lý được chứng minh

Ví dụ 2.2 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối FX và hàm mật độ fX

Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = aX + b,

Giải Ta có Vậy theo Định lý 2.1 ta nhận được

Ví dụ 2.3 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Xác định hàm mật độ và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = -lnX

Giải Do nên Để thì Vậy

Hàm phân phối của Y là

Chú ý: Ta có thể tìm trực tiếp hàm phân phối FY trước rồi từ đó tìm fY

Trong trường hợp g không là hàm đơn điệu, ta có thể chọn một trong các cách làm như trong ví dụ dưới đây:

Ví dụ 2.4 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX và hàm phân phối FX Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X2

Giải

 Cách 1 (Xác định hàm mật độ từ hàm phân phối)

Hàm phân phối của Y là

Từ đó,

 Cách 2 (Tách miền xác định để nhận được hàm đơn điệu và từ đó áp dụng Định lý 2.1)

Ta có

và

áp dụng Định lý 2.1 cho các hàm và ta nhận được

Vậy