Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê pps

Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử là các giá trị của X có tính chất với j = 1, 2, Khi đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối , i= 1, 2, Ví dụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên a- U = 2X + 1 b- V = Giải. a- U = 2X + 1 sẽ nhận các giá trị -1, 1, 3, 5. Ta có P(U = -1) = P(X = -1) = 0,3; P(U = 1) = P(X = 0) = 0,1; P(U = 3) = P(X = 1) = 0,2; P(U = 5) = P(X = 2) = 0,4; Vậy phân phối xác suất của U là U -1 1 3 5 P 0,3 0,1 0,2 0,4 b- V = sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2. Ta có P(V = 0) = P(X = 0) = 0,1 P(V = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,5 P(V = 2) = P(X = 2) = 0,4 Vậy phân phối xác suất của V là V 0 1 2 P 0,1 0,5 0,4 2. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục a. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử Y = y i khi X (a i , b i ). Khi đó Ví dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = sg(X + 2), trong đó Giải. Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vì Từ đó P(Y = 1) = P(Y = -1) = Vậy phân phối xác suất của y là Y -1 1 P 0,25 0,75 b. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên liên tục Trong trường hợp g là hàm đơn điệu, khả vi ta nhận được Định lý 2.1. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f X và g là một hàm đơn điệu, khả vi trên R sao cho Giả sử . Khi đó, Y là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ , trong đó g -1 (y) là hàm ngược của hàm g(y). Chứng minh. Giả sử g là một hàm tăng. Khi đó hàm phân phối của Y là Vậy hàm mật độ của Y là Tương tự, nếu g là một hàm giảm thì Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối F X và hàm mật độ f X . Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = aX + b, Giải. Ta có . Vậy theo Định lý 2.1 ta nhận được Ví dụ 2.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ Xác định hàm mật độ và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = -lnX. Giải. Do nên . Để thì Vậy Hàm phân phối của Y là Chú ý: Ta có thể tìm trực tiếp hàm phân phối F Y trước rồi từ đó tìm f Y . Trong trường hợp g không là hàm đơn điệu, ta có thể chọn một trong các cách làm như trong ví dụ dưới đây: Ví dụ 2.4. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f X và hàm phân phối F X . Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X 2 . Giải.  Cách 1 (Xác định hàm mật độ từ hàm phân phối) Hàm phân phối của Y là Từ đó,  Cách 2 (Tách miền xác định để nhận được hàm đơn điệu và từ đó áp dụng Định lý 2.1) Ta có Đặt , ở đó và áp dụng Định lý 2.1 cho các hàm và ta nhận được Vậy . . Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác. đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối , i= 1, 2, Ví dụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu. đó Ví dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = sg(X + 2), trong đó Giải. Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vì Từ