Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì . Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và p Y (y). Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . Vậy Từ đó p(x,y) =P(X = x, Y = y) = .p X (x) = và phân phối của Y là Ví dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Giải. Ta có Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số . Từ đó, hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và . Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f X,Y (x, y). Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì . Từ định nghĩa trên ta có Hàm mật độ của X Với tập D bất kỳ Hàm phân phối của X Ví dụ 1.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời Tính Giải. Với y > 0, hàm mật độ của Y là Vậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là Từ đó, 2. Kì vọng điều kiện Định nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y, ký hiệu được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y là thì với mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là thì với mọi giá trị y sao cho f Y (y) >0. Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó . Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là Xác định E(X ) và E(Y Giải. Ta có hàm mật độ của X là = và hàm mật độ của Y là = Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là = = và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là = = Vậy E(Y và E(X Tính chất 2.4. Cho g là hàm Borel thì nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. . Đặc biệt, nếu C là hằng số. với a, b là hằng số . Đặc biệt Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f Y (y) thì Ví dụ 2.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời Tính EX; EY và Giải. Từ Ta nhận được E(Y) = 1. Vì là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nên Ta có Vậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1 . Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân. phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có Vậy phân phối điều kiện. 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là Từ đó, 2. Kì vọng điều kiện Định nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y, ký hiệu được xác định bởi