PHẦN 1 ÔN THI CUỐI KÌ-NĂM HỌC 2014-2015 1.1 Nội dung ôn tập 1) Các phân phối xác suất quan trọng (Phân phối nhị thức, Phân phối chuẩn). 2) Định lí giới hạn trung tâm. 3) Ước lượng khoảng (đối xứng) của kì vọng phân phối chuẩn,ước lượng khoảng (đối xứng) tỉ lệ. 4) Kiểm định giả thuyết về kì vọng của phân phối chuẩn (chưa biết phương sai), kiểm định giả thuyết về tỉ lệ. 1.2 Bài tập tham khảo 1.1. Một sinh viên thi vấn đáp trả lời 5 câu hỏi một cách độc lập. Khả năng trả lời đúng mỗi câu hỏi đều bằng 65%. Nếu trả lời đúng thì sinh viên được 4 điểm, nếu sai thì bị trừ 2 điểm. a) Tìm xác suất để sinh viên đó trả lời đúng 3 câu hỏi. b) Tìm số điểm trung bình mà sinh viên đó đạt được. 1.2. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 160 cm và σ = 6 cm. Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 1.55 cm. a) Tìm tỉ lệ thanh niên lùn ở vùng đó. b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người không lùn. 1.3. Trọng lượng của một gói đường đóng bằng máy tự động có phân bố chuẩn. Trong 1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015g, trọng lượng trung bình của 1000 gói đường là 1012g. Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói đường có trong lượng ít hơn 1008g. 1.4. Một chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn nếu sai số tuyệt đối giữa chiều dài của nó so với chiều dài quy định không vượt quá 10mm. Biến ngẫu nhiên X chỉ độ lệch của chiều dài chi tiết so với chiều dài quy định có phân phối chuẩn N(µ, σ 2 ), với µ = 0 mm, σ = 5 mm. a) Chọn ngẫu nhiên 1 chi tiết máy, tính xác suất chi tiết máy đó đạt tiêu chuẩn. b) Hỏi có ít nhất bao nhiêu chi tiết được sản xuất để trong đó có ít nhất một chi tiết không đạt tiêu chuẩn với xác suất không nhỏ hơn 95%. 1 Đề cương ôn tập môn xác suất và thống kê toán c) Gọi Y là số chi tiết đạt tiêu chuẩn khilấy ra ngẫu nhiên 100 chi tiết. Tính E(Y ). 1.5. Thời gian X (phút) hoàn thành 1 sản phẩm của một công nhân của nhà máy K có phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ) với µ = 5 phút. Biết xác suất một công nhân của nhà máy K hoàn thành 1 sản phẩm trong thời gian ít hơn 5,5 phút là 0,6915. a) Tìm phương sai của X. b) Nhà máy K khoán cho mỗi công nhân phải hoàn thành 25 sản phẩm trong mỗi ca làm việc 2 giờ. Tính xác suất một công nhân hoàn thành 25 sản phẩm với thời gian thấp hơn 2 giờ. Giả sử thời gian hoàn thành mỗi sản phẩm là độc lập nhau. 1.6. Doanh thu hàng tháng của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên X (triệu đồng) có phân phối chuẩn. Theo số liệu thống kê thì có 65% số tháng có doanh thu cao hơn 20 triệu đồng và 8% số tháng có doanh thu cao hơn 30 triệu đồng. a) Tìm kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ của X; b) Cửa hàng này cần kinh doanh tối thiểu bao nhiêu tháng để đạt tổng doanh thu ít nhất 1 tỉ đồng với xác suất lớn hơn 0,95? Biết doanh thu các tháng của cửa hàng là độc lập. 1.7. Tuổi thọ của một máy điện tử là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm và độ lệch tiêu chuẩn trung bình 1,5 năm. Bán một máy được lãi 140 ngàn đồng song nếu máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn thì phải qui định thời gian bảo hành là bao lâu? 1.8. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên X có E(X) = 250 giờ và σ(X) = 250 giờ. a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế ngay. Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng duy trì được ánh sáng liên tục trong ít nhất 8750 giờ (≈ 1 năm). b) Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: chủ cửa hàng phải mua bao nhiêu bóng đèn để duy trì ánh sáng liên tục ít nhất 8750 giờ với xác suất lớn hơn 0,9772. 1.9. Một nhà nghỉ có 1000 người. Nhà ăn phục vụ ăn trưa trong hai đợt liên tiếp. Mỗi nguời chọn ăn trưa một trong hai đợt này với xác suất như nhau. Dùng định lý giới hạn trung tâm tính: nhà ăn cần tối thiểu bao nhiêu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa với xác suất lớn hơn hay bằng 0,99? 1.10. Một nhà máy có 5000 công nhân cùng sản xuất độc lập một loại sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 100 công nhân và tiến hành quan sát thời gian X (phút) hoàn thành của 1 sản phẩm ta thu được số liệu sau đây X 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 Số công nhân 5 20 25 30 15 5 a) Tìm khoảng tin cậy của thời gian trung bình hoàn thành 1 sản phẩm với độ tin cậy 0,95. b) Nếu công nhân hoàn thành sản phẩm dưới 34 phút thì được gọi là có tay nghề cao. Hãy tìm khoảng tin cậy số công nhân có tay nghề cao với độ tin cậy 0,95. 2 Đề cương ôn tập môn xác suất và thống kê toán c) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng thời gian trung bình hoàn thành 1 sản phẩm của công nhân thấp hơn 36 (phút) không? 1.11. Điều tra thời gian sử dụng của 100 lốp xe của công ty A, ta được bảng số liệu sau: Thời gian (nghìn km) 3,0-3,2 3,2-3,4 3,4-3,6 3,6-3,8 3,8-4,0 Số lốp 13 19 27 23 18 a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tuổi thọ trung bình của mỗi lốp xe. b) Có ý kiến cho rằng tuổi thọ trung bình của lốp xe lớn hơn 3400 km. Với mức ý nghĩa 5% hãy nhận định về ý kiến đó. c) Lốp loại I là lốp có tuổi thọ từ 3600 km trở lên. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tỉ lệ lốp loại I của công ty A lớn hơn 40% không? 1.12. Trong điều kiện bình thường trọng lượng trung bình sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là 20 kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm người ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả sau: Trọng lượng sản phẩm 19 20 21 22 23 Số sản phẩm 10 60 20 5 5 Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về điều nghi ngờ trên. 1.13. Công ty truyền hình cáp SV đã lắp đặt truyền hình cáp cho 8.000 hộ ở địa phương F. Để mở rộng kinh doanh và dự định nâng cấp chương trình truyền hình cáp tốt hơn, công ty SV điều tra 10.000 hộ ở địa phương F và thấy có 3.600 hộ lắp đặt truyền hình cáp. Trong số 3.600 hộ lắp đặt truyền hình cáp đó có 720 hộ lắp đặt truyền hình cáp của công ty SV. a) Hãy ước lượng khoảng tỷ lệ hộ lắp đặt truyền hình cáp tại địa phương F với độ tin cậy 95% bằng khoảng tin cậy đối xứng. b) Hãy ước lượng khoảng số hộ lắp đặt truyền hình cáp tại địa phương F với độ tin cậy 95% . c) Trong số 720 hộ lắp đặt truyền hình cáp SV đó, có 400 hộ đồng ý nâng cấp chương trình truyền hình. Nếu có hơn 50% khách hàng đồng ý nâng cấp chương trình truyền hình thì công ty sẽ tiến hành nâng cấp. Với mức ý nghĩa α = 0, 025, hỏi công ty SV có nâng cấp chương trình không? Biết rằng mỗi hộ chỉ lắp đặt truyền hình cáp của không quá một công ty. 1.14. Nhà máy A sản xuất 1 loại sản phẩm. Để ước lượng tỉ lệ thành phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm và chia thành 40 nhóm mỗi nhóm 10 sản phẩm để kiểm tra. Kết quả thu được như sau Số thành phẩm trong nhóm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số nhóm 2 1 3 6 8 10 4 5 1 0 Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng tỉ lệ thành phẩm của nhà máy. 1.15. Một khu phố với 10.000 hộ gia đình sinh sống chỉ sử dụng sản phẩm ga của công ty A hoặc B. Điều tra ngẫu nhiên 600 hộ ở khu phố này thì thấy có 400 hộ dùng ga, trong đó có 260 hộ sử dụng ga của công ty A. 3 Đề cương ôn tập môn xác suất và thống kê toán a) Với độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy số lượng hộ sử dụng ga ở khu phố này. b) Có ý kiến cho rằng sản phẩm ga của công ty A được ưa chuộng hơn. Với mức ý nghĩa 5% hãy nhận xét về ý kiến đó. 1.16. Tại thành phố M, mỗi hộ dùng không quá một điện thoại bàn và các điện thoại bàn chỉ sử dụng dịch vụ của một trong 3 công ty viễn thông A, B và C. Điều tra ngẫu nhiên 3600 hộ tại thành phố M thấy có 2500 hộ dùng điện thoại bàn, trong đó có 1300 hộ dùng điện thoại bàn sử dụng dịch vụ viễn thông của công ty A. a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tỉ lệ hộ dùng điện thoại bàn tại thành phố M. b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng số điện thoại bàn sử dụng dịch vụ viễn thông của công ty A nhiều hơn hai công ty còn lại không? 1.17. Để ước lượng khoảng lượng xăng hao phí trung bình cho một ô tô chạy từ A đến B nếu chạy thử 30 lần trên đoạn đường này người ta ghi nhận được lượng xăng hao phí như sau: Lượng xăng hao phí (lít) Tần số [9, 6; 9, 8) 3 [9, 8; 10, 0) 5 [10, 0; 10, 2) 10 [10, 2; 10, 4) 8 [10, 4; 10, 6) 4 Biết rằng lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. 1.18. Để nghiên cứu thời gian (phút) hoàn thành một chi tiết máy của công nhân người ta theo dõi ngẫu nhiên thời gian hoàn thành 25 chi tiết máy và thu được kết quả sau: 25.04 24.74 27.45 24.62 24.77 24.64 25.51 22.68 26.45 26.21 22.76 25.53 26.22 24.91 25.09 23.17 23.99 23.20 24.82 24.01 27.32 24.48 25.63 24.25 24.68 a) Tìm trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu và trung vị. b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng thời gian trung bình hoàn thành một chi tiết máy. 4 . Tần số [9, 6; 9, 8) 3 [9, 8; 10 , 0) 5 [10 , 0; 10 , 2) 10 [10 , 2; 10 , 4) 8 [10 , 4; 10 , 6) 4 Biết rằng lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. 1. 18. Để nghiên cứu thời gian. sau Số thành phẩm trong nhóm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số nhóm 2 1 3 6 8 10 4 5 1 0 Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng tỉ lệ thành phẩm của nhà máy. 1. 15. Một khu phố với 10 .000 hộ gia đình sinh. lùn. 1. 3. Trọng lượng của một gói đường đóng bằng máy tự động có phân bố chuẩn. Trong 10 00 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 10 15g, trọng lượng trung bình của 10 00 gói đường là 10 12g.