Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Khoa Kinh tế đối ngoại Lớp: K11402B MSSV: K114020317 Họ tên: Võ Thanh Sang Thứ năm ngày 22 tháng 03 năm 2012 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Điểm Lời phê Giảng viên Quy tắc cộng: Ví dụ 1: Một người muốn mua xe máy tay ga xe số Xe tay ga có loại, xe số có loại Hỏi người có cách để mua xe ? Bài làm: - Xe tay ga có lựa chọn - Xe số có lựa chọn Nên số cách để người mua xe + = 10 cách Quy tắc nhân: Ví dụ 2: Một bạn gái có áo có quần Hỏi bạn gái có cách mặc đồ (biết lần mặc áo quần) Bài làm Khi đề hỏi cách mặc đồ ta phải hoàn thành việc mặc áo mặc quần - Quần có cách chọn - Áo có cách chọn Vậy số cách mặc đồ x = 36 cách Ví dụ 3: Một bạn gái muốn diện đồ chơi Tết Bạn có đơi giày, nón, thỏi son mơi Lipice, 10 áo, quần Hỏi bạn có cách diện đồ chơi Tết ? Bài làm Cơng việc diện đồ chơi tết hồn thành chọn xong tất cả: giày, nón, thỏi son, áo, quần Giày: cách Nón: cách Thỏi son: cách Áo: 10 cách Quần: cách Vậy số cách để người diện đồ chơi tết là: 6.5.5.10.8 = 12.000 cách Ví dụ 4: Người ta phát hành vé số, tờ vé số gồm chữ số chọn từ chữ số 0, …., Hỏi có tờ vé số phát hành? Bài làm Gọi abcdef số tờ vé số Ta có: - a có 10 cách chọn - b có 10 cách chọn (vì tờ vé số ta chọn lại số chọn trước) - c có 10 cách chọn - d có 10 cách chọn - e có 10 cách chọn - f có 10 cách chọn Vậy có 106 tờ vé số phát hành theo yêu cầu đề Tổ hợp, chỉnh hợp, hốn vị: Ví dụ 5: Một bàn có học sinh Hỏi có cách xếp chỗ? Bài làm Số cách xếp chỗ ngồi cho 04 học sinh hoán vị phần tử P4 4! 24 cách xếp chỗ Ví dụ 6: Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác từ số 1, , …, ? Bài làm Ta có số, lập nên số tự nhiên gồm 03 chữ số, có nghĩa ta chọn ngẫu nhiên số cho để lập nên số tự nhiên, thứ tự số quan trọng, thứ tự khác tạo thành số khác Vậy, số cách để lập số theo yêu cầu để là: A36 120 (cách) Ví dụ 7: Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác từ số 0, 1, 2, …, 6? Bài làm Gọi số cần tìm ABC Xét vị trí A số khơng thể đứng đầu nên vị trí có lựa chọn, lập luận tương tự ví dụ 6, BC tạo từ 06 số lại có A62 cách Vậy, lập : A62 180 (số) Ví dụ 8: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, ,…., Hỏi có cách chọn thẻ từ thẻ (không phân biệt thứ tự thẻ) Bài làm Chọn thẻ ngẫu nhiên thẻ thứ tự thẻ không quan trọng nên số cách chọn là: C39 84 (cách) Ví dụ 9: Một lớp học có 30 học sinh nam 20 học sinh nữ Hỏi có cách lập đội văn nghệ gồm nam va nữ (giả sử tham gia được)? Bài làm Do khơng có phân biệt thứ tự nên số cách: - Chọn 05 nam 30 HS nam là: C530 cách - Chọn 05 nữ 20 HS nữ là: C520 cách Do đội văn nghệ gồm 05 nam 05 nữ, nên áp dụng quy tắc nhân, ta có:ố cách lập là: C530 C520 2.209.413.024 cách Ví dụ 10: Một lớp học có 20 học sinh nam 30 học sinh nữ Cần lập tam ca nữ đội múa gồm nam, nữ a) Có cách thực việc này? b) Có cách thực tham gia ca khơng tham gia múa? Bài làm a Dựa vào kiện đề cho ta thấy, thứ tự học sinh không quan trọng - Lập tam ca nữ 30 HS nữ, có C330 cách - Lập đội múa gồm nam + nữ + Số cách chọn ngẫu nhiên nam 20 HS nam là: C520 cách + Số cách chọn ngẫu nhiên nữ 30 HS nữ là: C530 cách + Ta áp dụng quy tắc nhân để tìm số cách lập đội múa: C520 C30 cách Yêu cầu đề lập tam ca nữ đội múa gồm nam, nữ Nên ta phải áp dụng quy tắc nhân Vậy số cách cần tìm là: C330 C520 C30 (cách) b Có cách thực tham gia ca khơng tham gia múa? - Số cách lập tam ca nữ : đáp án câu a - Số cách lập đội múa gồm nam nữ: Do tham gia ca khơng tham gia múa nên số nữ lại 30 27 nữ Vậy số cách để lập nên đội múa là: C520 C527 (cách) - Yêu cầu đề lập tam ca nữ đội múa gồm nam, nữ (nếu tham gia ca khơng tham gia múa) Nên ta phải áp dụng quy tắc nhân, tìm đáp số là: C330 C520 C527 cách BÀI TẬP Bài Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ,1 bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a Hỏi có cách chọn bi từ hộp? b Hỏi có cách chọn bi đỏ? c Hỏi có cách chọn bi đỏ bi trắng? d Hỏi có cách chọn bi đỏ bi trắng? Bài làm a Do không phân biệt thứ tự nên hộp có C102 cách chọn, tương tự hộp có C102 cách chọn Vậy có C102 C102 cách chọn bi từ hộp b Chọn 02 bi đỏ xảy trường hợp sau: Hộp Hộp Trường hợp đỏ trắng Trường hợp đỏ + trắng đỏ + trắng Trường hợp 1: - Lấy từ hộp I hai bi đỏ có : C92 cách - Lấy từ hộp II hai bi trắng có : C24 cách - Áp dụng quy tắc nhân (do trường hợp phải lấy 04 bi) ta có số cách chọn bi đỏ là: C92 C42 216 cách Trường hợp 2: - Lấy từ hộp I; bi đỏ + bi trắng có C19 C11 cách - Lấy từ hộp II; bi đỏ + bi trắng có C16 C14 cách - Tương tự trường hợp 1, ta áp dụng quy tắc nhân có số cách chọn TH2 là: C19 C11 C16 C14 216 cách Ta áp dụng quy tắc cộng cho câu b (vì trường hợp hồn thành cơng việc chọn bi mà có bi đỏ), ta có số cách chọn theo yêu cầu đề là: 216 216 432 cách c Câu hỏi câu c chọn bi đỏ bi trắng, trường hợp liệt kê câu b, đáp án 432 cách chọn d Chọn đỏ + trắng Hộp Hộp Trường hợp đỏ đỏ + trắng Trường hợp đỏ + trắng đỏ - Lập luận tương tự câu b, ta có: - Trường hợp 1: Số cách chọn : C92 C16 C14 864 cách - Tường hợp 2: Số cách chọn : C19 C11 C62 135 cách Áp dụng quy tắc cộng ta có, số cách chọn thỏa YCBT là: 864 135 999 cách Bài Một lớp có 50 sinh viên (trong có 30 nam 20 nữ) Chọn ngẫu nhiên sinh viên a Hỏi có cách chọn sinh viên ? b Hỏi có cách chọn sinh viên nam sinh viên nữ ? c Hỏi có cách chọn sinh viên nam ? d Hỏi có cách chọn nhiều sinh viên nam ? e Hỏi có cách chọn sinh viên nữ ? Bài làm a Chọn sinh viên 50 sinh viên không phân biệt thứ tự nên số cách chọn là: C50 230.300 cách chọn b Chọn SV Nam SV nữ - Giai đoạn 1: chọn SV nam, có C30 435 cách chọn - Giai đoạn 2: chọn SV nữ, có C 220 cách chọn Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn câu là: 435 190 82.650 cách c Chọn SV nam, biến cố đối vs biến cố không chọn SV nam nào, tức chọn SV nữ - - Số cách chọn SV nữ là: C420 4845 cách - Số cách chọn ngẫu nhiên SV 50 SV không quan trọng thứ tự là: C50 230.300 cách Vậy số cách chọn SV nam là: 230.300 4.545 225.455 cách d Nhiều SV nam - Trường hợp Trường hợp Nam Nữ 3 Trường hợp 1: số cách chọn là: C30 C20 34.200 cách - 2 Trường hợp 2: số cách chọn là: C30 C20 82.650 cách Áp dụng qui tắc cộng ta có số cách cần tính là: 34.200 82.650 116.850 cách e Số cách chọn 04 SV nữ làm câu c, đáp án 4845 cách - : ỏi có cách tạo thành số tự nhiên gồm chữ số khác số ch n từ số 0,1,2,…,9 Bài làm Ở đạng toán này, lập số có 03 chữ số mà tìm số ch n có mặt số (khơng), ta phải tiến hành xét xem trường hợp số cuối có phải số hay khơng? Gọi số cần tìm ABC , ta có: TH1: C = A: có 09 cách chọn (bỏ số 0) B: có 08 cách (do số phải khác nhau) Vậy số cách để lập TH1 là: 1 72 cách TH2: C C: có cách chọn (gồm 2, 4, 6, 8) A: có cách chọn (lẽ có số khơng đứng đầu) B: có cách chọn (vì trường hợp tính số vào) Vậy số cách lập là: 256 cách Áp dụng qui tắc cộng TH1 TH2 ta có, số cách để lập số có 03 chữ số phù hợp YCBT là: 256 72 328 cách người ó 10 người cần xếp thành hàng ngang : ỏi có cách xếp để hai a Đứng cạnh b Không đứng cạnh c Đứng cách người d Đứng cách người Bài làm a Đứng cạnh - A B hốn vị cho có 2! cách xếp - A B ghép lại xem người chung với người lại thành hàng người có 9! 362.880 cách xếp - Áp dụng qui tắc nhân ta có số cách xếp là: 362.880 725.760 cách xếp b ứ A B không đứng cạnh phần bù đứng cạnh nhau, số cách để không đứng cạnh là: 10! 725.760 2.903.040 cách c Đứ ườ - A B hốn vị cho 2! cách xếp - Có cách chọn người đứng A B - Xem , người đứng 01 người đứng người lại có 8! cách xếp - Áp dụng qui tắc nhân, số cách xếp thỏa YCBT là: 8! 645.120 cách xếp d Đứ ườ - A B hốn vị cho 2! cách xếp - chọn 05 người đứng A B, có phân biệt thứ đổi chỗ cách nên có A85 cách xếp - Ghép , người có 4! cách xếp người đứng với 03 người lại - Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách xếp là: A85 4! 322.560 cách Xếp ngẫu nhiên người vào 10 toa xe lửa ỏi có cách xếp: a người toa b người toa khác c A, B toa đầu d , toa e , toa, ngồi khơng c n khác Bài làm ườ ộ Xếp ngẫu nhiên 08 người (chỉ có 08 người) vào toa xe mà xe lại có 10 toa, có 10 cách xếp b ườ c Khi người lên toa, toa phân biệt hoàn toàn khác nhau, nên số cách a là: A10 1.814.400 cách c A, B toa đầu, có 01 cách chọn n 06 người lại, người có quyền chọn 10 toa, có 10 10 10 10 10 10 106 cách Áp dụng qui tắc nhân ta có: 1106 106 cách xếp d Tương tự câu c, khác chỗ, A B lúc có 10 cách chọn Nên đáp số là: 10 106 107 cách chọn e ộ r A B lên toa nên có 10 cách chọn Do toa khơng có người nên người lại người có 09 cách chọn, nên số cách chọn 06 người là: cách xếp Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách xếp là: 10 96 cách xếp ộp thứ có chai thuốc (trong có chai ph m chất) ộp thứ hai có chai thuốc (trong có chai ph m chất) ngẫu nhiên từ hộp chai ỏi có cách: a) chai thuốc b) chai thuốc tốt c) chai tốt chai ph m chất Bài làm a Số ấ ượ ố Hộp 1: lấy ngẫu nhiên chai thuốc chai không phân biệt thứ tự nên có C18 cách lấy Hộp 2: lấy ngẫu nhiên chai thuốc chai khơng phân biệt thứ tự nên có C15 cách lấy Áp dụng qui tắc nhân, có số cách lấy hai chai thuốc là: C18 C15 40 cách b c X ấ ượ ố ố Có 01 trường hợp: - Hộp 1: tốt có C15 cách lấy - Hộp 2: tốt có C13 cách lấy - áp dụng qui tắc nhân có C15 C13 15 cách ấ ượ ố - Xảy trường hợp sau: Trường hợp Hộp Tốt Hộp Xấu rường hợp 1: ấ Trường hợp Xấu Tốt Số cách lấy là: C15 C12 10 cách X rường hợp 2: Số cách lấy là: C13 C13 cách Áp dụng qui tắc cộng có: 10 19 cách lấy * : ó 12 người có nam nữ xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang ỏi có cách để xếp 12 người cho: a) Thành hàng ngang b) Nữ không đứng cạnh c) hỉ có hai chị đứng cạnh d) hỉ có hai chị đứng cạnh Bài làm a T ộ Sắp xếp thành 01 hàng ngang ngẫu nhiên, bất kì, nên số cách xếp 12! 479.001.600 cách b ữ ứ Do nữ không đứng cạnh nam nên nữ phải đứng xem kẽ với nam (M: male) M M M M M M B A M - nam có 7! cách xếp - Giữa nam có chỗ cho nữ vào + với đầu đầu B Tổng cộng có chỗ cho nữ vào Sự xếp nữ vào chỗ có phân biệt thứ tự bằng: A85 cách c Áp dụng qui tắc nhân, số cách cần tìm là: 7! A85 33.868.800 cách ỉ ị ứ Tương tự câu b, - nam có 7! cách xếp đứng cạnh có 2! cách xếp - Hai chị - A B gộp chung thành 1, vs nữ lại vào chỗ, có A84 cách d - Vậy số cách xếp là: 7! 2! A84 16.934.400 cách xếp - ị ứ Xếp nam trước có 7! - Lấy ngẫu nhiên chị chị có phân biệt thứ tự nên có A52 cách lấy - Gộp chung chị lại, xem có chị xếp vào chỗ trống có A84 cách ỉ xếp - Áp dụng qui tắc nhân có: 7! A52 A84 169.344.000 cách xếp ột ban lãnh đạo gồm 10 thành viên có trách nhiệm đảm bảo tất dự án xây dựng đáp ứng chu n mực đề ột nhà ga có dự tính xây dựng ột ủy ban nhỏ gồm thành viên chọn để xem xét dự án ỏi có cách chọn thành viên này? Bài làm Lập ủy ban gồm người, chọn ngẫu nhiên 10 thành viên TP HCM, không phân biệt chức vụ thứ tự không quan trọng nên số cách lấy là: C104 cách : ột thành viên tổ chức bảo vệ môi trường muốn chọn lựa ngẫu nhiên mẫu gồm 10 bãi rác Trong thành phố có 15 bãi rác mà chọn lựa ỏi có cách chọn lựa? Bài làm Thành viên chọn ngẫu nhiên 10 bãi rác số 15 bãi rác; không phân biệt thứ tự nên số cách để chọn là: C10 15 3003 cách Tờ báo Times chu n bị 15 câu hỏi để vấn tổng thống ọ chọn lựa 10 câu hỏi ỏi có cách chọn khác để chọn lựa 10 câu hỏi biết việc chọn lựa có thứ tự ? Bài làm Tờ báo Times chọn ngẫu nhiên 10 15 câu hỏi có phân biệt thứ tự để hỏi tổng thống, số cách để chọn là: A10 15 cách ột công ty thành lập với người lãnh đạo, nhóm gồm nhà quản l hồn tồn có đủ khả để đảm nhận vai tr ỏi có cách chọn nhà lãnh đạo từ nhà quản l có ? Bài làm Chọn người lãnh đạo người quản lí, khơng phân biệt thứ tự nên số cách chọn là: C 37 cách II PHÉP THỬ (THÍ NGHIỆM) NGẪU NHIÊN BIẾN CỐ 2.1 Phép thử biến cố ngẫu nhiên ụ Một người bắn 03 viên đạn vào mục tiêu Hỏi có trường hợp liệt kê trường hợp ? Bài làm A biến cố bắn trúng mục tiêu = { A1 A2 A3 ; A1A2 A3 ; A1 A2A3 } B biến cố có viên bắn trúng mục tiêu = { B1B2 B3 ; B1 B2B3 ; B1B2 B3 } C biến cố có viên trúng mục tiêu = { C1C C3 } D biến cố có viên trúng mục tiêu = {ABC} E biến cố không viên trúng mục tiêu = { E1 E2 E3 } ụ ột thí nghiệm liên quan đến việc thảy xúc xắc ãy nên r biến cố sơ cấp biến cố sau đây: a : quan sát số b : quan sát số lẻ c : quan sát số nhỏ d D : quan sát e : quan sát hoặc hai f : quan sát Bài làm Biến cố sơ cấp có trường hợp liệt kê là: : Quan sát số Ví dụ 14-1: Một nhà đầu tư sở hữu loại cổ phiếu Mỗi cổ phiếu, độc lập với có khả sau (1) giảm giá trị;(2) tăng giá trị; (3) không thay đổi giá trị Liệt kê tất kết xảy cổ phiếu này? Bài làm Các kết xảy mơ tả bảng sau: Cổ phiếu I Cổ phiếu II Cổ phiếu III 1 1 1 1 2 3 10 1 3 0, 025 10 Do biến cố độc lập đôi nên: ( ) (1 )(2 )(3 ) b Gọi B biến cố khơng có cổ phiếu lên giá 12 3 Do biến cố độc lập đơi nên () (1 )(2 )(3 ) 21 0,15 10 c Gọi C biến cố có cổ phiếu lên giá Theo đề, ta có: C 1 2 3 12 3 1 2 3 Suy ra: (C) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 )( )( 3 ) ( 1 )( )( 3 ) ( 1 )( )( 3 ) 11 23 21 0,542 10 10 10 d Gọi D biến cố có hai cổ phiếu lên giá Vậy: D 12 3 1 2 3 123 Do đó: (D) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) (D) ( 1 )( )( 3 ) ( 1 )( )( ) ( 1 )( )( ) (D) e f 13 11 23 0, 283 10 10 10 Gọi E biến cố có cổ phiếu lên giá Ta thấy điều biến cố E biến cố bù biến cố B Với lập luận trên, ta có: () () 0,85 Gọi F biến cố có hai cổ phiếu lên giá Theo đề, ta có lập luận sau: Có thể có cổ phiếu lên giá cổ phiếu lên giá Vậy P(F) P(A) P(D) 0.025 0.283 0.308 ụ ột siêu thị lắp chuông báo cháy hoạt động độc lập với Xác suất để có cháy chng kêu 0,9 Tìm xác suất để có chng kêu cháy Bài làm - Gọi A biến cố có xảy cháy chng kêu Vậy biến cố khơng có chng kêu cháy biến cố bù với biến cố A Do ( ) ( ) 0,14 0,9999 27 ụ ó lơ hàng, lơ chứa 15 sản ph m, lơ I gồm 10 sản ph m tốt, sản ph m xấu; lô gồm sản ph m tốt sản ph m xấu họn ngẫu nhiên từ lô sản ph m Tính xác suất để sản ph m chọn có sản ph m tốt sản ph m xấu Bài làm Gọi A biến cố sản ph m tốt sản ph m xấu Các trường hợp mô tả bảng sau: Lô I Lô II Số trường hợp thuận lợi Do () Trường hợp tốt xấu Trường hợp 2 xấu tốt C102 C72 C52 C82 Trường hợp tốt + xấu tốt + xấu C110 C15 C18 C17 C10 C72 C52 C82 C110 C15 C17 C18 0,365 2 C15 C15 ụ ột hộp chứa đựng cầu màu xanh, cầu màu đen, cầu màu đỏ ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để: a ả màu đỏ b ả có màu giống Bài làm a Gọi A biến cố ề ỏ - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C72 trường hợp - Số trường hợp đồng khả là: C15 (vì chọn ngẫu nhiên 20 bàn chải) - Vậy xác suất cần tìm là: P(A) C72 136 0.2 C15 190 b Gọi B biến cố hai có màu giống - Các trường hợp xảy màu xanh màu đỏ màu đen - C52 C32 C72 Do đó: () 0,324 C15 ụ hải gieo xúc xắc lần để với xác suất lớn 0.5 hy vọng có lần mặt chấm Bài làm - Gọi n số lần phải gieo xúc xắc Gọi A biến cố cần tìm - Gọi A biến cố bù biến cố A - Xác suất để xuất lần mặt chấm là: ( ) P(A) 6 28 n (*) Theo đề, P(A) > 0.5, thay vào (*) ta giải n n 5 5 0.5 0.5 6 6 Do 0.5 > 0, nên tập nghiệm BPT là: log 0.5; ; cần phải gieo log 0.5 lần ụ Giả sử ( ) 0.4 ( ) 0.3 Tìm xác suất kết hợp ( ) Bài làm Ta có: (.) () ( / A) 0.4 0.3 0.12 ụ Giả sử (X1) 0.75 ( 2/X1) 0.4 Tìm (X1.Y2) Bài làm Ta có: (.) () ( / A) 0.75 0.4 0.3 ụ ột người tham gia đấu thầu dự án Khả trúng thầu dự án thứ 0.6 Nếu trúng thầu dự án thứ khả trúng thầu dự án thứ tăng lên 0.8; c n không trúng thầu dự án thứ khả trúng thầu dự án thứ c n 0.2 Tìm xác suất để người đó: a Trúng thầu dự án b hỉ trúng thầu dự án c Trúng thầu dự án Bài làm Gọi i (i 1, 2) biến cố trúng thầu dự án thứ i a Gọi A biến cố trúng th u hai d án 12 Do biến cố phụ thuộc A1 xảy đến A2 nên: ( ) ( 1 )( / 1 ) 0, 6.0,8 0, 48 b Gọi B biến cố trúng th u d án 1 2 12 Do biến cố phụ thuộc nên: () (1 )(2 / 1 ) (1 )(2 / 1 ) 0,6.0,2 0,4.0,2 0,2 c Gọi C biến cố trúng th u d án - Vì biến cố không xung khắc nên: () (1 ) (2 ) (12 ) 1 (1 )(2 / 1 ) 1 0,4.0,8 0,68 29 ụ ột lơ hàng có 60 ph m 40 sản ph m Tìm xác suất để lấy được: a Lấy ph m b Lấy ph m c Lấy ph m Bài làm phế ph m ngẫu nhiên từ lô hàng Gọi i (i 1, 2) biến cố lần thứ i lấy phẩm a Gọi A biến cố lấ - ược ph m Do biến cố độc lập nên: ( ) ( 1 )( ) 0, 6.0, 0,36 b Gọi B biến cố lấ ược ph m 1 2 12 - Do biến cố xung khắc độc lập nên: () (1 )(2 ) (1 )(2 ) 0,6.0, 0, 4.0,6 0, 48 c Gọi C biến cố lấy ph m - Ở trường hợp này, biến cố không xung khắc nên: (C) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0, 0, 0,36 0,84 ụ ột sinh viên thi hai mơn, lịch sử tốn học Xác suất qua môn lịch sử 0.6, xác suất qua mơn tốn 0.7 Xác suất qua mơn 0.5 a Tính xác suất qua mơn b Tính xác suất qua môn Bài làm - Gọi A1 biến cố vượt qua môn lịch sử - Gọi A2 biến cố vượt qua mơn tốn a Gọi A biến cố ượt qua môn - Do biến cố không xung khắc nên áp dụng cơng thức cộng tổng qt, có: ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0, 0, 0,5 0,8 b Gọi B biến cố ượt qua hai môn - Do biến cố độc lập nên: () ( 1 )( ) 0, 6.0, 0, 42 BÀI TẬP ậ : rmco, công ty sản xuất hệ thống đ n giao thông, sau lần thử nghiệm tuổi thọ bóng đ n nhận thấy 95 hệ thống kéo dài năm trước thay đổi tín hiệu khơng xác 30 a Nếu thành phố mua hệ thống này, xác suất để hoạt động xác năm bao nhiêu? b Điều minh họa cho quy luật xác suất nào? c Sử dụng chữ để đại diện cho hệ thống Viết phương trình biểu di n cách mà bạn chọn câu trả lời phần a Bài làm a Nếu thành phố mua hệ thống này, xác suất để hoạt động xác năm : 0,95 0,81 b Điều minh hoạ cho quy luật xác suất độc lập việc hệ thống hoạt động độc lập với c Gọi A biến cố hệ thống hoạt động xác Gọi i (i 1, 4) biến cố hệ thống thứ i hoạt động tốt năm Ta có: 1 3 Suy ra: ( ) ( )1 ( )( 3 )( ) 0.95 0.95 0.95 0.95 0.81 ậ Trong chương trình thực tập quản lí Claremont Emterprises, 80% học viên nữ, 20% học viên nam Có 90% nữ tốt nghiệp Đ 78 nam tốt nghiệp Đ a Chọn ngẫu nhiên học viên Tính xác suất học viên chọn nữ chưa tốt nghiệp đại học b Giới tính tốt nghiệp đại học có độc lập với không ? Tại ? c Xây dựng sơ đồ hiển thị all xác suất, xác suất có điều kiện, xác suất tích d Tổng xác suất tích có 1.00 khơng ? Tại ? Bài làm a Gọi G biến cố nữ, gọi B biến cố nam Y - ã ốt nghiệ ại học Gọi A biến cố học viên chọn nữ chưa tốt nghiệp đại học - Khi ta có: ( ) (G)(Y / G) 80% (100 90)% 0, 08 b Giới tính tốt nghiệp đại học khơng độc lập với mà phụ thuộc Rõ ràng, ta thấy việc tỉ lệ học đại học cao hay thấp phụ thuộc vào giới tính Nữ tốt nghiệp cao so với nam (90% > 78%) ậ Giả sử xác suất mà chuyến bay nất kì hãng hàng khơng Northwest đến vòng 15 phút so với lịch trình 0.9 Chúng ta chọn chuyến bay đến ngày hơm qua a Tính xác suất để chuyến bay chọn đến vòng 15 phút so với lịch trình ? b Tính xác suất để không chuyến bay chuyến bay chọn đến v ng 15’ so với lịch trình 31 c Tính xác suất để chuyến bay chọn không đến v ng 15’ so với lịch trình ? Bài làm a Gọi A biến cố chuyế ược chọ ến vòng 15 phút - Gọi i (i 1, 4) biến cố chuyến bay thứ i đến vòng 15 phút so với lịch trình - Vì chuyến bay độc lập với nên ta có 1. 3 - Do đó: ( ) ( 1).( 2).( 3).( 4) 0,9 0, 6561 b Gọi B biến cố khơng có chuyến bay chuyến bay chọn đến vòng 15 phút so với lịch trình - Các chuyến bay độc lập với nên ta có: 12 34 - 4 Do đó: () (1 )(2 )(3 )(4 ) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 10 c Gọi C biến cố chuyến chọn khơng đến vòng 15 phút so với lịch trình Khi biến cố bù với biến cố A (C) () 0,6561 0,3439 ậ Công ty quốc tế Kiddie Carts có 100 nhân viên Trong 57 người cơng nhan sản xuất, 40 người giám sát viên, người thư kí, người chủ tịch Giả sử chọn 01 nhân viên: a Tính xác suất chọn 01 nhân viên cơng nhân sản xuất b Tính xác suất chọn 01 nhân viên chọn công nhân sản xuất giám sát viên c Trong câu b, biến cố có xung khắc khơng ? d Tính xác suất để nhân viên chọn khôgn phải công nhân sản xuất, giám sát viên Bài làm a Gọi A bến cố chọn nhân viên công nhân sản xuất - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C157 - Số trường hợp đồng khả là: C1100 C157 - Từ đó, tính được: ( ) 0.57 C100 32 b Gọi B biến cố nhân viên chọn công nhân sản xuất giám sát viên - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C157 C140 - Số trường hợp đồng khả là: C1100 - Từ đó, tính được: (B) C157 C140 0.97 C1100 c Ở câu b biến cố xung khắc với giao chúng với rỗng d Gọi C biến cố nhân viên chọn công nhân sản xuất khơng phải giám sát viên Khi thư kí chủ tịch, số trường hợp thuận lợi (C) 0.03 C1100 ậ Xác suất tên lửa phóng đến đích tình 0.8 Có 04 tên lửa phóng lên với điểm đích Tính xác suất để: a Tất đến đích b Khơng tên lửa đến đích c Ít tên lửa đến đích Bài làm a Gọi A biến cố tất tên lử - ề ế Gọi i (i 1, 4) biến cố tên lửa thứ i đến đích Các biến cố 1, 2, 3, đ hươngộc lập đến đích tên lửa khơng ảnh hưởng tên lửa khác - Khi ta có: 1 3 - Suy ra: ( ) ( )1 ( )( 3 )( ) 0.8 0.8 0.8 0.4096 ế b Gọi B biến cố khơng có tên lử - Ta có 12 34 - Vì tên lửa đến đích độc lập với nên: () (1 )(2 )(3 )(4 ) 0, 24 1,6 103 c Gọi C biến cố có tên lử ế - Rõ ràng, ta thấy C biến cố bù biến cố B - Suy ra: (C) () 1, 103 0,9984 33 ậ ó 04 người xem xét cho vị trí trưởng đại diện cho cơng ty a người số có tuổi 60, hai số phụ nữ, phụ nữ có tuổi 60 a Tính xác suất để chọn 01 người phụ nữ 60 tuổi b Nếu giả sử người chọn khơng phải phụ nữ, tính xác suất để người có tuổi đời 60 c Nếu chọn người 60 tuổi, tính xác suất để người chọn phụ nữ Bài làm ậ Tỷ lệ phế ph m nhà máy 20% Vậy phải cho nhà máy sản xuất sản ph m để với khả lên đến 95% có ph m Bài làm Ví dụ 44: a Gọi A biến cố lấ Ta có: ược viên bi trắng ( ) b Gọi B biến cố lấ l n 7 13 12 26 ược viên bi trắng ã ấ l n l ược viên bi trắng Vì lần lấy viên bi trắng nên số bi trắng lại viên, lấy khơng hồn lại nên ta xem lần lấy độc lập với Khi () 12 Ví dụ 46: a Gọi A biến cố lấ Khi ĩ CD khơng thuộc loại tốt gồm đĩa D sử dụng khơng sử dụng Do đó: () b ượ 112 31 0,143 1000 ã phả ĩ ốt, gọi B biến cố ĩ D dụ Vì biến cố A xảy đến biến cố B nên: ( / ) ( ) 0, 031 0, 217 ( ) 0,143 Ví dụ 47: Gọi A biến cố số khách hàng đọc loại báo Gọi B biến cố số khách hàng đọc nhớ a Gọi C biến cố khách hàng xem nhớ quảng cáo 34 ược Vì A B hai biến cố phụ thuộc, biến cố A xảy trước đến biến cố B (C) () () 0,51 b Gọi D biến cố khách hàng xem khơng nhớ quảng cáo Có (C) ( ) () 0, 0,15 0, 09 Ví dụ 48: Gọi i (i 1, 2) biến cố vượt qua môn thứ i a Gọi A biến cố ượt qua hai môn ( ) ( 1 )( / 1 ) 0.8 0.6 0, 48 b Gọi B biến cố ượt qua mơn thứ hai Vậy có trường hợp sau: đạt môn thứ đạt môn thứ hai, không đạt môn thứ đạt môn thứ hai 12 12 Suy ra: () (12 ) (12 ) (1 )(2 / 1 ) (1 )(2 / 1) 0,8.0,6 0,2.0,3 0,54 c Gọi C biến cố ượt qua mơn - Do biến cố không xung khắc nên: (C) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0.8 0.54 0.48 0.86 d Gọi D biến cố không ạt yêu c u hai mơn Có: (D) (1 )(2 / 1 ) 0.2 0.7 0,14 Ví dụ 49: a Gọi A biến cố số ười hồn tất khố học Gọi B biến cố số người thành người bán hàng có hiệu mà hồn thành khoá học Gọi C biến cố thực tập mà khơng hồn tất khóa học Gọi D biến cố cần tìm Do biến cố phụ thuộc nên, ta có: (D) ( ) () ( ) (C) 0,85.0, 0,15.0,1 0,525 b Gọi E xác xuấ ười hoàn thành khố th c tập vớ bán hàng có hiệu Khi ( ) ều kiện mộ ười (hoan.tat.khoa.hoc)(hieu.qua.tham.du.het.khoa.hoc) P(A)P(B) 0,85.0, 0,97 (tham.du.co.hieu.qua) P(D) 0,525 BÀI TẬP Bài tập a Gọi A biến cố sản ph m tốt sản ph m xấu ác trường hợp mô tả bảng sau: Trường hợp Trường hợp Lô I tốt xấu Lô II xấu tốt 35 Trường hợp tốt + xấu tốt + xấu Số trường hợp thuận lợi Do () C102 C72 C52 C82 C110 C15 C18 C17 C10 C72 C52 C82 C110 C15 C17 C18 0,365 2 C15 C15 b Gọi B biến cố chọ ược sản ph m tốt, sản ph m xấu từ lô I với điều kiện chọn sản ph m tốt sản ph m xấu Khi đó: C1 C1 C1 C71 10 () 102 0,0263 C15 C15 () 105 105 0,365 Bài tập 3: Bài làm a Gọi D biến cố ược Gọi A, B, C biến cố SV , , làm - Ta thấy nhóm biến cố xung khắc độc lập đôi nên: (D) (C) (C) (C) ()()(C) ()()(C) ()()(C) 0,8.0,7.0, 0,8.0,3.0,6 0, 2.0,7.0,6 0, 452 b Gọi E biến cố sinh viên Khi đó: (E) khơng làm có sinh viên làm ( )()(C) 0.2 0.7 0.6 0.186 (D) 0.452 Bài tập 4: Bài làm Gọi A biến cố lấy sản ph m loại B sản ph m ngẫu nhiên từ 40 sản ph m lại Khi A biến cố bù biến cố A chọn sản ph m loại A 40 sản ph m lại Số trường hợp thuận lợi cho A C530 ( ) C305 0, 216 C40 Suy ra: ( ) ( ) 0, 216 0, 784 Bài tập 5: Bài làm - Gọi i (i 1,3) biến cố người thứ i bắn trúng thú - Gọi A biến cố thú bị trúng viên đạn Do nhóm biến cố xung khắc độc lập đôi nên: 36 () (1 2 3 ) (12 3 ) (1 2 3 ) (1 )(2 )(3 ) (1 )(2 )(3 ) (1 )( )(3 ) 0, 4.0,5.0,3 0,6.0,5.0,3 0,6.0,5.0,7 0,36 - Khả người bắn trúng thú: ( 1 / ) ( 1 ) 0.4 0.5 0.3 0.167 ( ) 0.36 ( / ) ( ) 0.6 0.5 0.3 0.25 ( ) 0.36 ( / ) ( 3 ) 0.6 0.5 0.7 0.583 ( ) 0.36 Khi ta chia thịt cho người theo tỉ lệ: 0.167 : 0.25 : 0.583 Ví dụ 51: Gọi A1, A2, A3 biến cố lấy viết PX1, PX2, PX3 A biến cố mua viết xấu: Theo công thức xác suất đầy đủ: ( ) ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 3 )( / 3 ) 0.5 0.01 0.3 0.02 0.2 0.03 0.017 Ví dụ 52: Gọi A1, A2 biến cố lấy phẩm lơ 1, a Gọi A biến cố lấ ược ph m Theo cơng thức xác suất đầy đủ: Tại chia hai lô, nên xác suất lô 50%, vẽ sơ đồ để thấy điều C62 C72 () (1 )( / 1 ) (2 )( / 2 ) 50% 50% 0, C10 C10 b Gọi B biến cố lấ ược ph m Theo công thức xác suất đầy đủ: () (1 )( / 1 ) (2 )( / 2 ) 50% C16C14 C17 C13 50% 0.5 2 C10 C10 Ví dụ 53: Gọi A1 biến cố lấy sản ph m lô Gọi A2 biến cố lấy sản ph m lô Gọi A3 biến cố lấy sản ph m lô sản ph m lô a) Gọi A biến cố lấy ph m Theo công thức xác suất đầy đủ: 37 ( ) ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 3 )( / 3 ) C22 C62 C102 C72 C21C101 0, 4505 C122 C102 C122 C102 C12 10 10 b) Gọi B biến cố lấy ph m Theo công thức xác suất đầy đủ: () ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 3 )( / 3 ) C22 C61C41 C102 C71C31 C21C10 63 47 ( ) 0, 4657 C122 C102 C122 C102 C122 10 10 10 10 Ví dụ 54: VN P(VN/T)=10% Tốt P(T)=70% Xấu TN VN P(TN/T)=90% P(VN/X)=40% P(X)=30% TN P(TN/X)=60% a Xác suấ ười vay thuộc loại tốt trả nợ P TN / T P(T)(TN / T) 0.7 0.1 0.07 - Xác suất người vay thuộc loại tốt vỡ nợ P VN / T P(T)(VN / T) 0.7 0.9 0.63 - Xác suất người vay thuộc loại xấu trả nợ P TN / X P(X)(TN / X) 0.3 0.6 0.18 - Xác suất người vay thuộc loại xấu vỡ nợ P VN / X P(X)(VN / X) 0.3 0.4 0.12 b Gọi A biến cố vỡ nợ c a khách hàng c a quỹ tín dụng P A P(T)(A / T) P(X)P(A / X) 0.7 0.1 0.3 0.4 0.19 - - Khả người đến vay vỡ nợ người tốt P(TVN) P(T)P(VN / T) 0.07 P(T / VN) 37% P(VN) P(VN) 0.19 Khả người đến vay vỡ nợ người tốt P(XVN) P(X)P(VN / X) 0.12 P(T / VN) 63% P(VN) P(VN) 0.19 Ví dụ 55: a ác trường hợp có, lần lấy bi tốt, lần bi xấu lần bi xấu lần bi xấu Vậy: 38 - Gọi A biến cố cần tìm 4 P(A) 0.44444 9 b ác trường hợp có, TTT XTT XXT Gọi B biến cố cần tìm có: 5 4 P(B) 0.33 9 Ví dụ 56: Theo cơng thức xác suất Bayes ta có xác suất viết PX1 sản xuất là: ( 1 )( / 1 ) 0.5 0.01 ( 1 / ) 0.29 ( ) 0.017 Ví dụ 57: Gọi A xác suất để bà tư người vay tốt, vậy: P(A) 0.7 0.9 0.7778 0.7 0.9 0.3 0.6 Ví dụ 58: Theo cơng thức Bayes xác suất để ph m thuộc lơ là: C62 50% C10 ( 1 )( / 1 ) ( 1 / ) 0.42 ( ) 0.4 Ví dụ 59: Theo cơng thức Bayes ta có: 15 ( 1 )( / 1 ) 66 45 ( 1 / ) 0, 01121 ( ) 0, 4505 Bài 7, trang 14 Gọi n số sản ph m mà công ty sản xuất Gọi A biến cố sản xuất 01 ph m, A biến cố đối biến cố A, ph m P(A) P(A) 0.95 P(A) 0.05 0.2n 0.05 Vậy n phải (n = 2) thỏa ycbt BÀI TẬP Bài tập Gọi A1 biến cố lấy chi tiết loại Gọi A2 biến cố lấy chi tiết loại Gọi A3 biến cố lấy chi tiết loại chi tiết loại a) Gọi A biến cố sau năm chi tiết bị hỏng Theo cơng thức đầy đủ ta có: 39 ( ) ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 3 )( / 3 ) C32 C31C21 C22 0,9.0,9 0,8.0,8 0,9.0,8 0, 739 C5 C5 C5 b) Gọi B biến cố sau năm có chi tiết bị hỏng () ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 3 )( / 3 ) C32 C31C21 C22 2.0,1.0,9 2.0, 2.0,8 (0,9.0, 0,1.0,8) 0, 242 C52 C52 C52 Gọi C biến cố chi tiết bị hỏng loại Theo cơng thức Bayes ta có: (C / ) 0,1.2.0,8.0, 0, 6.0,9.0, 0, 4783 0, 242 Bài tập Gọi A1 biến cố mua sản ph m dây chuyền Gọi A2 biến cố mua sản ph m dây chuyền Gọi A3 biến cố mua sản ph m dây chuyền sản ph m dây chuyền a) Gọi A biến cố mua ph m Theo cơng thức đầy đủ ta có: ( ) ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( ) ( / ) 1 0,98.0,98 0,97.0,97 0,98.0,97 0,951 b) Gọi B biến cố mua ph m () ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( )( / ) 1 2.0,98.0, 02 2.0,97.0, 03 (0,98.0, 03 0,97.0, 02) 0, 04875 4 Bài tập Gọi A1 biến cố sản ph m kiểm tra phế ph m Gọi A2 biến cố sản ph m kiểm tra ph m a) Gọi A biến cố sản ph m kết luận ph m Theo công thức xác suất đầy đủ ( ) ( 1 )( / 1 ) ( ) ( / ) 0, 05.0, 01 0,95.0,9 0,8555 Theo công thức Bayes ta có tỉ lệ phế ph m thị trường là: ( 1 / ) ( 1 )( / 1 ) 0, 00058 ( ) c Theo cơng thức Bayes,tỉ lệ ph m bị loại là: (2 / ) ( 2 )( / 1 ) 0,95.0,1 0, 6574 0,8555 ( ) c) Gọi B tỉ lệ sai sót máy Theo công thức xác suất đầy đủ 40 () ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) 0, 05.0, 01 0,95.0,1 0, 0955 Bài tập Gọi A1 biến cố lấy chai rượu loại A Gọi A2 biến cố lấy chai rượu loại B Gọi A biến cố người kết luận chai rượu loại Theo công thức xác suất đầy đủ người kết luận chai rượu loại B ( ) ( 1 )( / 1 ) ( )( / ) ( 1 ) ( 2 ) 0,5 3 Do ( ) 0,5.C4 0,8 0, 0,5.C4 0,8.0, 0, 2176 Theo công thức Bayes tỉ lệ đẻ chai rượu lấy chai rượu A là: ( 1 / ) ( 1 )( / 1 ) 0,5.0, 4096 0,941 ( ) 0, 2176 Bài tập Gọi A1 biến cố lấy sản ph m lô Gọi A2 biến cố lấy sản ph m lô a) Gọi A biến cố lấy phế ph m Theo công thức xác suất đầy đủ: ( ) ( 1 )( / 1 ) ( ) ( / ) 0,5.0, 0,5.0,3 0, 25 Xác suất lấy phế ph m từ lô là: ( 1 )( / 1 ) 0,5.0, ( 1 / ) 0, ( ) 0, 25 b) Gọi B biến cố từ lơ lại lấy phế ph m Theo câu a) xác suất phế ph m từ lô 1-0,4=0,6 41