Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM, BÀI GIẢNG PPT CÁC MÔN CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT CÓ TẠI “TÀI LIỆU NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT” ;https:123doc.netusershomeuser_home.php?use_id=7046916. TÀI LIỆU 187 BÀI TẬP TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ THEO TỪNG CHƯƠNG (CÓ GIẢI CHI TIẾT TẤT CẢ CÁC BÀI Ở PHẦN SAU TÀI LIỆU) DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC VÀ CÁC TRƯỜNG KHÁC, GIÚP SINH VIÊN HỆ THỐNG, ÔN TẬP VÀ HỌC TỐT KHI HỌC TÀI LIỆU 187 BÀI TẬP TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ THEO TỪNG CHƯƠNG
1 Phần A CÁC ĐỀ TOÁN Chương BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Gieo đồng thời hai xúc xắc Tính xác suất để: a) Tổng số nốt xuất hai b) Tổng số nốt hai c) Số nốt xuất hai 2 Gieo đồng thời ba xúc xắc Tính xác suất để: a) Tổng số nốt xuất ba b) Tổng số nốt xuất ba 11 Một khách sạn có phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, có nam nữ Người quản lý chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để: a) Cả người nam b) Có nam nữ c) Có nữ Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để chọn trắng, đỏ đen Có 30 thẻ đánh số từ tới 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để: a) Tất 10 thẻ đếu mang số chẵn b) Có số chia hết cho c) Chỉ có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có số chia hết cho 10 Một công ty cần tuyển nhân viên Có người nạp đơn có nữ nam Khả tuyển người a) Tính xác suất để hai nữ chọn biết nữ chọn b) Giả sử Hoa nữ Tính xác suất để Hoa chọn biết nữ chọn Một hòm có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để tích hai số hai thẻ số chẵn Phần A Ở nước có 50 tỉnh, tỉnh có hai đại biểu Quốc hội Người ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu số 100 đại biểu để thành lập ủy ban Tính xác suất để: a) Trong ủy ban có đại biểu thủ đô b) Mỗi tỉnh có đại biểu ủy ban Tính xác suất để 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác 10 Trong tuần lễ vừa qua thành phố có tai nạn giao thông Tính xác suất để ngày có tai nạn 11 Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người toa lại 12 Một máy bay có phận A, B, C có tầm quan trọng khác Máy bay rơi có viên đạn trúng vào A, viên đạn trúng vào B, viên đạn trúng vào C Giả sử phận A, B, C chiếm 15%, 30% 55% diện tích máy bay Tính xác suất để máy bay rơi nếu: a) Máy bay bị trúng viên đạn b) Máy bay bị trúng viên đạn 13 Một máy bay có phận A, B, C, D đặt liên tiếp Máy bay rơi có viên đạn trúng vào phận, phận kề trúng đạn Tính xác suất để máy bay rơi nếu: a) phận có diện tích máy bay bị trúng viên đạn b) Các phận B, C, D có diện tích nhau, phận A có diện tích gấp đôi phận B, máy bay bị trúng viên đạn 14 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số Tính xác suất để số vé số số 15 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số Tính xác suất để số vé có chữ số chữ số chẵn 16 Một đoàn tàu gồm toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có hành khách bước lên 17 Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì 18 Xạ thủ A bắn n viên đạn vào mục tiêu, xạ thủ B bắn m viên đạn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng A lần bắn (1 viên) p1, B p2 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng viên đạn 19 Trong thành phố đó, tỷ lệ người thích xem bóng đá 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người Tính xác suất để có người thích xem bóng đá 20 Gieo xúc xắc liên tiếp lần Tính xác suất để có lần “lục” (sáu) Các đề toán 21 Gieo cặp hai xúc xắc 24 lần Tính xác suất để có lần hai “lục” 22 Một sọt cam lớn phân loại theo cách sau Chọn ngẫu nhiên 20 cam làm mẫu đại diện Nếu mẫu cam hỏng sọt cam xếp loại Nếu mẫu có hỏng sọt cam xếp loại Trong trường hợp lại (có từ hỏng trở lên) sọt cam xếp loại Giả sử tỷ lệ cam hỏng sọt cam 3% Hãy tính xác suất để: a) Sọt cam xếp loại b) Sọt cam xếp loại c) Sọt cam xếp loại 23 Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng? 24 Một thi trắc nghiệm (multiple choice test) gồm 12 câu hỏi, câu hỏi cho câu trả lời, có câu Giả sử câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú họa câu trả lời Tính xác suất để: a) Anh ta 13 điểm b) Anh ta bị điểm âm 25 Gieo đồng thời xúc xắc Anh người thắng có xuất “lục” Tính xác suất để ván chơi anh thắng ván 26 Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008, xác suất để viên trúng vòng 0,15, xác suất để viên trúng vòng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm 27 Một máy bay có động cơ, có động cánh phải, động cánh trái động thân đuôi Mỗi động cánh phải đuôi có xác suất bị hỏng 0,1, động cánh trái có xác suất bị hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn trường hợp sau: a) Máy bay bay có động làm việc b) Máy bay bay cánh có động làm việc 28 Một người say rượu bước bước Mỗi bùc tiến lên phía trước mét lùi lại phía sau mét với xác suất Tính xác suất để sau bước: a) Anh ta trở lại điểm xuất phát b) Anh ta cách điểm xuất phát 4m 29 Gieo ba xúc xắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để: Phần A a) Tổng số nốt xuất biết có nốt b) Có lục biết số nốt khác 30 Một gia đình có đứa Tìm xác suất để hai trai biết đứa có đứa trai (giả thiết xác suất sinh trai gái nhau) 31 Một thi có vòng Vòng lấy 90% thí sinh Vòng lấy 80% thí sinh vòng vòng lấy 90% thí sinh vòng a) Tính xác suất để thí sinh lọt qua vòng thi b) Tính xác suất để thí sinh bị loại vòng biết thí sinh bị loại 32 Một cặp trẻ sinh đôi trứng (sinh đôi thật), hay hai trứng khác sinh (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật có giới tính Đối với cặp sinh đôi giả giới tính đứa độc lập với có xác suất 0,5 trai Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai, 30% cặp sinh đôi gái, 36% cặp sinh đôi có giới tính khác a) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật b) Chọn ngẫu nhiên cặp sinh đôi cặp có giới tính Tính xác suất để cặp sinh đôi thật 33 Có hai chuồng thỏ Chuồng thứ có thỏ đen 10 thỏ trắng Chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ đen Từ chuồng thứ hai ta bắt ngẫu nhiên thỏ cho vào chuồng thứ nhất, sau lại bắt ngẫu nhiên thỏ chuồng thứ ra, thỏ trắng Tính xác suất để thỏ trắng chuồng thứ 34 Một chuồng gà có mái trống Chuồng gà có mái trống Từ chuồng ta bắt ngẫu nhiên làm thịt Các gà lại dồn vào chuồng thứ ba Từ chuồng thứ ba lại bắt ngẫu nhiên gà Tính xác suất để ta bắt gà trống 35 Một máy bay xuất vị trí A với xác suất vị trí B với xác suất Có ba phương án bố trí pháo bắn máy bay sau: Phương án 1: đặt A, đặt B Phương án 2: đặt A đặt B Phương án 3: đặt A đặt B Biết xác suất bắn trúng máy bay pháo 0,7 pháo hoạt động độc lập với nhau, chọn phương án tốt 36 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn 80% Trước xuất xưởng thị trường bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra tuyệt đối hoàn hảo, nên bóng đèn tốt có Các đề toán xác suất 0,9 công nhận tốt, bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bị loại bỏ Hãy tính tỷ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau qua khâu kiểm tra chất lượng sản phẩm 37 Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ có người, nhóm thứ hai có người, nhóm thứ ba có người nhóm thứ tư có người Xác suất bắn trúng đích người nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba nhóm thứ tư theo thứ tự 0,8; 0,7; 0,6 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ có khả nhóm 38 Trong số bệnh nhân bệnh viện có 50% điều trị bệnh A; 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi bệnh A, B, C bệnh viện tương ứng 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỷ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh 39 Trong kho rượu số lượng loại A rượu loại B Người ta chọn ngẫu nhiên chai rượu kho đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định xem loại rượu Giả sử người có xác suất đoán 75% Có người kết luận chai rượu loại A người kết luận chai rượu loại B Hỏi xác suất để chai rượu chọn thuộc loại A bao nhiêu? 40 Biết người có nhóm máu AB nhận máu nhóm máu Nếu người có nhóm máu lại (A B O) nhận máu người nhóm với người có nhóm O Cho biết tỷ lệ người có nhóm máu O, A, B AB tương ứng 33,7%; 37,5%; 20,9% 7,9% a) Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực b) Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu hai người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực 41 Một bệnh nhân bị nghi mắc ba bệnh A, B, C với xác suất tương ứng 0,3; 0,4 0,3 Người đến khám bệnh bác só cách độc lập Bác só thứ chẩn đoán bệnh A, bác só thứ hai chẩn đoán bệnh B, bác só thứ ba chẩn đoán bệnh C bác só thứ tư chẩn đoán bệnh A Hỏi sau khám bệnh xong, người bệnh cần đánh giá lại xác suất mắc bệnh A, B, C Biết xác suất chẩn đoán ông bác só 0,6; chẩn đoán nhầm sang hai bệnh lại 0,2 0,2 Chương Phần A ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 42 Một nhóm có 10 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ nhóm Lập bảng phân bố xác suất X tính EX, DX modX 43 Cho ĐLNN X có phân bố xác suất sau: X P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Tìm phân bố xác suất Y = {X, 4} 44 Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên ba thẻ a) Gọi X số thẻ đỏ Tìm phân bố xác suất X b) Giả sử rút thẻ đỏ điểm rút thẻ xanh điểm Gọi Y số điểm tổng cộng ba thẻ rút Tìm phân bố xác suất Y 45 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi X tổng số nốt xuất hai mặt xúc xắc Lập bảng quy luật phân bố xác suất X Tính EX DX 46 Trong hòm có bóng đèn bóng tốt, bóng hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng đem thử (thử xong không trả lại) thu hai bóng tốt Gọi X số lần thử cần thiết Tìm phân bố xác suất X Trung bình cần thử lần? 47 Hai xạ thủ A B tập bắn Mỗi người bắn hai phát Xác suất bắn trúng đích A lần bắn 0,4; B 0,5 a) Gọi X số phát bắn trúng A trừ số phát bắn trúng B Tìm phân bố xác suất X b) Tìm phân bố xác suất Y X 48 Trong hộp có bốn thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X kết Tìm phân bố xác suất X 49 Một người thi lấy lái xe Nếu thi không đạt lại đăng ký thi lại thi đạt Gọi X số lần thi Tìm phân bố xác suất X, biết xác suất thi đạt Giả sử có 243 người dự thi, người có xác suất thi đỗ thi Có khoảng người thi đạt lần đầu? Phải thi tới hai lần? Phải thi lần? 50 Cho hai ĐLNN X Y có phân bố xác suất sau: Các đề toán X P 0,15 0,3 0,25 0,2 0,08 0,02 vaø Y P 0,3 0,2 0,2 0,15 0,1 0,05 a) Tính EX EY b) Tính P {X + Y 3} X Y độc lập 51 Hai đấu thủ A B thi đấu cờ Xác suất thắng A 0,4 ván chơi (không có hòa) Nếu thắng A điểm, thua không điểm Trận đấu kết thúc A giành điểm trước (khi A người thắng) B giành điểm trước (khi B người thắng) a) Tính xác suất thắng A b) Gọi X số ván cần thiết toàn trận đấu Lập bảng phân bố xác suất X 52 Một lô hàng gồm sản phẩm có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Tìm phân bố xác suất X tính EX 53 Trong hòm có 10 thẻ thẻ ghi số 1, thẻ ghi số 2, thẻ ghi số thẻ ghi số Hãy tìm phân bố xác suất X EX 55 Một túi chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi A B rút cầu túi (rút xong không trả lại vào túi) Trò chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua phải trả cho người số tiền số cầu rút nhân với USD Giả sử A người rút trước X số tiền A thu Lập bảng phân bố xác suất X Tính EX Nếu chơi 150 ván trung bình A bao nhiêu? 56 Các ĐLNN X Y có bảng phân bố xác suất đồng thời sau: Y X 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 a) Chứng minh X Y độc lập b) Tìm quy luật phân bố ĐLNN Z = XY c) Tính EZ hai cách kiểm tra EZ = EX.EY 57 Cho X Y hai ĐLNN độc lập có phân bố xác suất sau: X P 0,4 0,3 0,2 0,1 Y P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Phần A a) Tìm phân bố xác suất đồng thời X, Y b) Tính P{X > Y} 58 Cho X, Y hai ĐLNN có phân bố xác suất đồng thời sau: Y –1 X 1 –1 1 1 Hãy tính EX, EY, cov (X, Y) (X, Y) 59 Cho X, Y hai ĐLNN có phân bố xác suất đồng thời sau: Y X –1 1 15 15 15 15 0 15 a) Tìm EX, EY, cov (X, Y) vaø (X, Y) b) X vaø Y có độc lập hay không? 60 Cho ĐLNN X có bảng quy luật phân bố sau: X P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15 Xét ĐLNN Y = X3 – 4X2 + 10 a) Tìm phân bố xác suất Y b) Tính EY hai cách c) Tính DY 61 Cho X, Y, Z ba ĐLNN độc lập có phân bố nhị thức Biết rằng: X B (14; 0,1) Y B (9; 0,1) Z B (7; 0,1) Hãy tính P{X + Y + Z = 4} 62 Giả sử X B (2; 0,4); Y B (2; 0,7) X Y hai ĐLNN độc lập a) Tìm phân bố xác suất X + Y b) Chứng minh X + Y phân bố nhị thức 63 Cho X Y hai ĐLNN độc lập –1 15 15 Các đề toán a) Giả sử X B (1; 0,2) Y B (2; 0,2) Lập bảng phân bố xác suất X, Y X + Y b) Giả sử X B (1; 0,5) Y B (2; 0,2) Lập bảng phân bố xác suất X + Y; X + Y có phân bố nhị thức hay không? 64 Tung đồng xu cân đối 2n lần; gọi f(n) xác suất để số lần mặt sấp số lần mặt ngửa Tính f(n) chứng tỏ f(n) hàm giảm n 65 Hai đấu thủ A B đấu với 2m + ván cờ Xác suất thắng A ván p Tìm xác suất để A thắng nhiều ván B Tính giá trị xác suất với m = p = 0,25 66 (Bài toán Banach) Một nhà toán học mang hai bao diêm, bao túi phải, bao túi trái Khi cần lấy diêm ông ta chọn ngẫu nhiên túi móc bao diêm từ túi lấy que diêm Giả sử lúc đầu bao có n que diêm Xét thời điểm mà nhà toán học phát bao diêm móc hết diêm Tính xác suất để bao k que diêm ( k = 0, 1, 2, , n) 67 Trong moät xổ số người ta phát hành 10 vạn vé có vạn vé trúng giải Cần phải mua vé để với xác suất không nhỏ 0,95 ta trúng vé? 68 Trong thành phố nhỏ, trung bình tuần có người chết Tính xác suất để: a) Không có người chết vòng ngày b) Có ba người chết vòng ngày 69 Tại trạm kiểm soát giao thông trung bình phút có hai xe ôtô qua a) Tính xác suất để có xe qua vòng phút b) Tính xác suất để khoảng thời gian t phút, có xe ôtô qua Xác định t để xác suất 0,99 70 Tại nhà máy trung bình tháng có hai tai nạn lao động a) Tính xác suất để khoảng thời gian ba tháng xảy nhiều ba tai nạn b) Tính xác suất để ba tháng liên tiếp, tháng xảy nhiều tai nạn 71 Một trạm cho thuê xe taxi có xe Hàng ngày trạm phải nộp thuế USD cho xe (dù xe có thuê hay không) Mỗi xe cho thuê với giá 20 USD Giả sử số yêu cầu thuê xe trạm ngày ĐLNN X có phân bố Poátxông với tham số = 2,8 a) Gọi Y số tiền thu ngày trạm Lập bảng phân bố xác suất Y Tính số tiền trung bình trạm thu ngày b) Giải toán trường hợp trạm có xe c) Trạm nên có hay xe? 10 Phần A 72 Số thư mà quan A nhận ngày ĐLNN X có phân bố Poátxông với tham số = 1,5 Tính xác suất để ngày: a) Cơ quan không nhận thư b) Cơ quan nhận thư c) Cơ quan nhận nhiều thư d) Cơ quan nhận thư 73 Một cửa hàng có ôtô cho thuê; số khách có nhu cầu thuê ngày ĐLNN X có phân bố Poátxông a) Biết EX = Hãy tính số ôtô trung bình mà cửa hàng cho thuê ngày b) Cửa hàng cần có ôtô để với xác suất không nhỏ 0,98 cửa hàng đáp ứng nhu cầu khách hàng ngày? 74 Số hoa mọc chậu cảnh ĐLNN X có phân bố Poátxông với tham số = Người ta đem bán chậu với số hoa 2, 3, a) Trong số chậu đem bán có phần trăm có hoa? hoa? hoa hoa? b) Tính số hoa trung bình độ lệch tiêu chuẩn số hoa chậu hoa đem bán 75 Gieo đồng tiền xuất mặt ngửa dừng lại Xác suất xuất mặt ngửa p Gọi X ĐLNN số lần gieo cần thiết a) Tìm phân bố xác suất X b) Tìm phân bố xác suất X với điều kiện n lần gieo lần đồng xu xuất mặt ngửa 76 Cho X ~ Poátxông (1); Y ~ Poátxông (2) X Y hai ĐLNN độc lập Hãy tính P{X = k/X + Y = n}, k n Chương ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 77 Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ: kx (1 x) f ( x) a) Tìm số k b) Tìm mod c) Tính P{0,4 < X < 0,6} neáu0 x neáu trái lại 77 Lời giải hướng dẫn ln u neáu0 u f (u) nếutrái lại 0 Hàm mật độ V = Z dễ thấy là: nếu0 v g(v) v nếutrái lại 0 Từ hàm mật độ đồng thời (U, V) là: ln u nếu0 u f (u, v) v nếutrái lại 0 dv v ln udu v0 P{XY < Z2} = P{U < V} = = 11 v (1 ln v) dv 20 143 Hàm mật độ XY là: ln u nếu0 u f (u) nếutrái lại 0 Hàm mật độ V = Z2 dễ thấy laø: g(v) {h( v ) h( v )} neáu v v g(v) = trái lại Từ hàm mật độ T = XY + Z2 là: (t ) g(v) f (t v) dv t t 1 f (t v)dv f (u)du i) Neáu < t < t (t ) ln udu t (1 ln t ) ii) Nếu < t < (t ) ln udu (t 1) ln( t 1) t t 1 với t < hay t > 2, (t) = 144 Ta coù P{Z z/X = x} = = P{X + Y z/X = x} = P{Y z – x/X = x} = 1 e ( z x) neáuz x = P{Y z – x} = neáuz x 0 78 Phần B Từ đó: f(z/x) = ( z x) dP { Z z / X x } e = dz 0 nếuz x nếuz x Hàm mật độ đồng thời Z, X là: 2ez nếuz x f(z, x) = f(x)f(z/x) = nếutrái lại 0 Vậy hàm mật độ X với điều kiện Z = z là: f ( z, x) f(x/z) = với z > f Z ( z) ñoù: fZ(z) = z z f ( z, x)dx e dx 2 ze z ( z 0) 1 với z Suy ra: f(x/z) = z 0 với z Như phân bố X với điều kiện Z = z phân bố đoạn [0, z] 145 a) Dễ thấy hàm mật độ X fX(x) = < x Từ hàm mật độ Y với điều kiện X = x là: f ( x, y) f(y/x) = neáu y x f X ( x) x tức phân bố Y với điều kiện X = x phân bố [0, x] dxdy b) Ta coù: P{X2 + Y2 1} = x A A = {(x, y) : y x 1, x2 + y2 1} Trên hình A tam giác cong ODC Chuyển sang tọa độ cực ta P{X2 + Y2 1} = 0 rdrd dr r cos = 3 ln tg ln tg ln( ) 8 4 146 Hàm mật độ X là: ln x nếux fX(x) = x 0 neáux d cos Lời giải hướng dẫn 79 Hàm mật độ Y là: neáu1 y y2 fY(y) = neáu0 y [ Thật y dx fY(y) = 2x y y Nếu y dx fY(y) = ] y2 y 2x y Từ hàm mật độ Y với điều kiện X = x(x > 1) là: f ( x, y) f(y/x) = neáu yx x f X ( x) y ln x Hàm mật độ X với điều kiện Y = y(y > 0) là: nếu0 y 1; x y f ( x, y) x y f(x/y) = f Y ( y) y neáuy 1; y x x 147 E(2X – 3Y) = 2EX – 3EY = 10 D(2X – 3Y) = 4DX + 9DY – 12 DXDY ( X , Y ) 57,6 148 Gọi X thời gian học Y thời gian chơi Ta có: E(X + Y) = 4,7 D(X + Y) = DX + DY + 2 X Y ( X , Y ) 0,28 X+Y = D( X Y ) 0,5292 Vaäy P{X + Y > 5} = – (0,567) = 0,2853 b) Ta coù: E(X – Y) = EX – EY = –0,3 D(X – Y) = DX + DY – 2X Y 0,76 X Y 0,8718 X – Y ~ N(–0,3; 0,76) Vaäy: P{X > Y} = P{X – Y > 0} = – (0,344) = 0,3654 149 Gọi X trọng lượng hành khách, Y trọng lượng hành lý mang theo người a) Theo giả thiết: 85 74 85 74 1,282 P{X > 85} = 0,1 P Z 0,1 X X 80 Phần B Tương tự: 24 20 24 20 P{Y > 24} = 0,2 P Z 0,8416 0,2 Y Y Từ tìm được: X = 8,58 kg; Y = 4,753 kg b) Ta coù E(X + Y) = EX + EY = 94 Từ điều kiện: P{X + Y > 108} = 0,1 108 94 108 84 P Z 1,282 0,1 X Y X Y Từ X+Y = 10,92 Từ đẳng thức D(X + Y) = DX + DY + 2X Y , ta tìm ( X , Y ) 0,283 150 a) Ta coù E(X + Y) = EX + EY = 104 D(X + Y) = DX + DY + 2( X , Y ) X Y = = 152 122 0,7 15 12 24,92 Vaäy P{X + Y > 130} = P{Z > 1,043} = 0,1485 P{X + Y < 90} = 0,2870 b) E(X – Y) = –8 D(X – Y) = 152 – 2(0,7)(15)(12) + 122 X Y 10,82 Vaäy P{X > Y} = P{X – Y > 0} = P{Z > 0,740} = 0,2296 1 151 k = 0,25; cov (X, Y) = vaø ( X , Y ) 15 152 E(X + Y) = EX + EY = 12 Vì X Y độc lập neân: D(X + Y) = DX + DY = 1,22 + 0,92 = 2,25 X+Y = 2,25 1,5 Do ñoù: 9,5 12 P{X + Y < 9,5} = P Z P{ Z 1,667} 0,0478 1,5 Ta cần tìm P{X < Y} = P{X – Y < 0} Ta coù: E(X – Y) = EX – EY = D(X – Y) = DX + DY = 2,25 Do đó: 2 P{X – Y < 0} = P Z P{ Z 1,333} 0,0913 1,5 c) E(X – 2Y) = EX – 2EY = –3 D(X – 2Y) = DX + 4DY = 4,68 81 Lời giải hướng dẫn X 2Y 4,68 2,163 Do đó: 0 3 P{X > 2Y} = P{ X 2Y 0} P Z { Z 1,387} 0,0827 2,163 153 Gọi X Y trọng lượng người chồng người vợ Ta có: E(X – Y) = EX – EY = 20 D(X – Y) = DX + DY = 2X Y 81 16 9.4 73 73 8,54 20 Vaäy P{X < Y} = P Z (2,34) (2,34) 0,01 8,54 Chương 154 Ta coù E Z n 2 1 n 1 .0 n 2 1 n n Do lim E Z n 155 Đặt S 2 12 X i Ta coù: i 1 ES = 12 16 = 192 vaø DS = 12 = 12 Theo bất đẳng thức Trêbưsep DS 12 P{ S 192 } Ta choïn cho: 12 12 0,99 0,01 2 1200 34,64 Từ ñoù P{192 34,64 S 192 34,64} 0,99 Như lấy a = 157,36; b = 226,64 156 Đặt S 10 X i Ta coù: i 1 12 Theo bất đẳng thức Trêbưsep DS 104 P{ S } 500 } 300 500 25.12.10 ES = 0; DS = 104 82 Phần B 157 Ta biết S ĐLNN có phân bố nhị thức với P n 5n DS Theo BĐT Trêbưsep: 36 DS 31 P{ S ES n } 1 n 36 36 n n 31 P{ n S n 6 36 Vaäy ES 158 Đặt S 12 X i Ta cần tìm M nhỏ để: i 1 12 P{ X i M } 0,99 i 1 Ta có ES = 192; DS = 12 Giả sử > Khi đó: DS P{ S 192 } 0,99 34,64 Vaäy M = 192 + 34,64 = 226,64 DX 0,16 159 a) P{ X } P{ X } 1 0,96 4 DX 0,16 b) P{ X } P{ X } 1 0,982 9 X X9 0,16 c) Đặt X Khi đó: E X 5; D X 9 Vaäy: DX 0,16 P{ X } P{ X 5| } 1 0,995 36 2 160 EXn = vaø DXn = n n n n D X k DX k k 2 n.n 2 Vaäy: k 12 k 1 k 1 n 2 1 n n n n2 n neáu Theo định lý Markov, dãy tuân theo luật số lớn 161 Ta coù EXn = 0; DXn = n DX k 0 n n n Theo định lý Markov, dãy tuân theo luật số lớn 162 Ta có với k: lim k 1 lim 83 Lời giải hướng dẫn EXk = DXk = 2ak2 (2k 1)3 k i2 i 1 2ak2 k (k 1) ak2 6(2k 1)2 n n DX k 3n ak n k 1 k 1 Áp dụng định lý Marbov ta có (Xn) tuân theo luật số lớn 163 Ta có: EXn = 0; DXn = lnn Vaäy: n n n 1 (n 1) ln( n 1) DX ln k ln xdx 0 k 2 n k 1 n k 1 n n2 n (dùng quy tắc Lôpitan) Vậy dãy tuân theo luật số lớn 164 Gọi X số sản phẩm hỏng Ta có X ~ B (250; 2%) X có xấp xỉ phân bố Poátxông với = 250(0,02) = Từ tra bảng ta được: a) P{X = 2} = 0,0842 b) P{X 2} = 0,1247 165 Gọi X số hạt không nảy mầm Ta có X ~ B (150; 3%) X có xấp xỉ phân bố Poátxông với = 150(0,03) = 4,5 Từ tra bảng ta được: P{X 6} = – P{X 5} = 0,2971 166 Gọi X số gia đình gặp cố điện Ta có X ~ B (160; 2%) X có xấp xỉ phân bố Poátxông với = 160(0,02) = 3,2 Từ tra bảng ta được: a) P{X = 4} = 0,178 b) P{X [2,5]} = P{ X i } 0,724 i 2 167 Gọi X số lần xuất lục ) X có xấp xỉ phân bố chuẩn với: 100 10 4,08 = 20; 6 5 Từ ñoù P{ x 15 } P Z (1,22) 0,1131 4,08 a) X ~ B (120; ) X coù xấp xỉ phân bố chuẩn với = 12; = 3,286 10 Từ P{ X 15 } P Z (0,912) 0,8159 3,286 b) X ~ B (120; 84 Phần B 168 Giả sử X số người chọn ăn đợt Khi 1000 – X số người chọn ăn đợt Gọi k số chỗ ngồi nhà ăn Ta phải chọn k nhỏ để: P{ X k, 1000 X k } 0,99 P{ 1000 k X k } 0,99 Ta xem X có phân bố chuẩn với = 500; 250 Vậy ta phải có: k 500 500 k k 500 0,99 2 1,99 250 250 250 k 500 (2,58) 250 Từ k 500 2,58 250 540,79 Vaäy k = 541 169 Gọi X số cặp vợ chồng chọn ăn đợt Khi 500 – X số cặp chọn ăn đợt Ta phải chọn k nhỏ để: k k P{ X k, 1000 X k } 0,99 P{ 500 X } 0,99 2 X có phân bố nhị thức X ~ B(500, ) Dùng xấp xỉ chuẩn ta có X ~ N(250, 125) Vậy ta phải có: k k 250 250 0,99 125 125 k 250 2,58 125 k 557,69 Vaäy k = 558 170 Gọi X số người thi đỗ Ta có X ~ B(50, ) Dùng xấp xỉ chuẩn ta coù: k 0,5 50 0,95 P{ X k} 50 3 k 0,5 16,667 1,645 k 10,68 10 / Vaäy k = 10 171 Gọi X số câu trả lời sinh viên Lời giải hướng dẫn 85 ) Dùng xấp xỉ chuẩn ta được: ~ 15,5 11,25 a) P{ X 16} P{ X 15,5} P Z 2,904 = (1,463) 0,0717 ~ b) P{ X 10} P{ X 9,5} 0,2737 ~ c) P{8 X 12} P{7,5 X 12,5} 0,5681 Ta có X ~ B(45, ) 365 Dùng xấp xỉ Poátxông ta xem X có phân bố Poátxông với tham số = Ta cần xác định k bé để thỏa mãn bất đẳng thức: P{ X k} 0,99 Tra bảng phân bố Poátxông với = ta tìm k = 173 Gọi X số người 30 tuổi Ta có X ~ B(100, 0,46) Dùng xấp xỉ chuẩn ta có: 50,5 46 ~ 0,1833 P{ X 50} P{ X 50,5} 24 , 84 Nếu mẫu chọn có kích thước n = 225 thì: 112,5 103,5 ~ 0,1144 P{ X 113} P{ X 112,5} 55 , 89 174 Goïi X số nhân viên nghỉ mát Ta có X ~ B(80, ) Dùng xấp xỉ chuẩn ta có: ~ k 0,5 16 P{ X k} P{ X k 0,5} 0,99 (2,326) 3,578 k (3,578)(2,326) 16 0,5 23,82 Vaäy k = 24 X 500 175 Ta coù P 2() 0,95 Suy = 1,96 22,13 172 Gọi X số sinh viên bị ốm ngày Ta có X ~ B(730, Vậy P{500 (1,96)(22,130 X 500 (1,96)(22,13)} 0,95 P{456,62 X 543,37} 0,95 Vaäy a = 457; b = 543 X 176 a) Kyù hiệu Y EY = 0,54 độ lệch tiêu chuẩn Y = 450 0,02349 86 Phần B 0,5 0,54 Từ P{Y 0,5} 0,0443 0,02349 X b) Ta coù P{ 0,5} 0,01 (2,326) n (0,5 0,54) n n (2,326)2 (2,326) (0,54)(0,46) (0,04)2 (0,54)(0,46) n = 840 177 a) 0,686 < < 0,794 b) c = 0,675 178 a) Goïi X số người trúng tuyển Ta có X ~ N(325, 90%) X có phân bố xấp xỉ chuẩn với = 292,5 = 5,4 Vậy: ~ 300,5 0,9n 0,99 (2,33) P{ X 300} P{ X 300,5} 0,3 n 300,5 0,9n (0,3)(2,33) n Đặt n u , ta cần có: 0,9u 0,699u 300,5 u 17,88 n 319,99 Vaäy n = 319 179 a) 0,154 < P < 0,266 180 a) Gọi X số học sinh tốt nghiệp Nếu giả thuyết P = 0,8 X có phân bố xấp xỉ chuẩn với = 57,6 = 3,39 ~ Vaäy P{ X 50} P{ X 50,5} (2,09) 0,02 b) Đây xác suất nhỏ theo nguyên lý xác suất nhỏ, báo cáo tỉnh không tin cậy 181 210,66 kg < < 220,14 kg n 182 a) Theo công thức: P{ X | } 2 1 ta có toán n = 400; = 0,22; = 0,02 (0,02)20 Từ độ tin cậy 2 0,93 0,22 b) Ta phải tìm P{ X 0,01 } (0,01)20 = P{ X 0,01 } (0,909) 0,818 0,22 45 45 183 a) X có phân bố xấp xỉ chuẩn với = 258 36 87 Lời giải hướng dẫn (274 258)6 Vậy: P{ X 274 } (2,133) 0,0165 45 Như khoảng 1,6% trường hợp cho ta X 274 b) Theo nguyên lý xác suất nhỏ, ta phải bác bỏ giả thiết “thuốc A tác dụng tới thời gian sống chuột” 184 Gọi S 30 Xi i 1 Theo định lý giới hạn trung tâm, S có phân bố xấp xỉ chuẩn với = 250 30 = 7500 giờ, độ lệch tiêu chuẩn = 1369,3 8760 7500 Vaäy P{ S 8760 } (0,92) 0,1788 1369,3 b) Giả sử n số linh kiện dự trữ S n Xi i 1 S có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình = 250n độ lệch tiêu chuẩn 250 n Ta cần có: P{S > 8760} 0,99 8760 250n 0,99 (2,33) 250 n 250n 8760 250(2,33) n n 2,33 n 35,04 n 7,195 n 51,76 Vậy n = 52 185 Gọi Xi số phế phẩm lô thứ i Xi ~ B(5, Từ EXi = 0,5 DXi = 0,45; S = ) 10 100 X i Khi S có phân bố xấp xỉ i 1 chuẩn với ES = = 50 độ lệch tiêu chuẩn 45 6,7 10 Vaäy P{40 S 55} 0,7083 6,7 6,7 186 Lượng xăng tiêu thụ X quãng đường 3300 km có phân bố xấp xỉ chuẩn với = EX 3300 (0,9) = 2970 lít độ lệch tiêu chuẩn 0,05 3300 2,87 Ta coù: P{ X } 2() 0,95 1,96 Từ đó: X 2964,37 lít X 2975,62 lít 187 Gọi n số bóng cần dùng Tổng số thắp đèn 150 bóng tháng là: 900 150 = 135000 88 Phần B Ký hiệu Xi thời gian làm việc bóng thứ i Ta cần xác định n để n P{ X i 135000 } 0,05 i 1 Đặt S n X i , ta coù ES = 200n DS = (200)2n i 1 S có phân bố xấp xỉ chuẩn với = 200n = 200 n Vậy ta có: 135000 200n P{ S 135000 } 0,05 200 n 675 n 675 n 1,67 0,05 (1,67) n n n 1,67 n 675 n 26,825 n 719,58 Vaäy n = 720 ... lại phía sau mét với xác suất Tính xác suất để sau bước: a) Anh ta trở lại điểm xuất phát b) Anh ta cách điểm xuất phát 4m 29 Gieo ba xúc xắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để: Phần A a)... A xác suất bắn hạ – (0,3)3 = 0,973 Nếu máy bay xuất B xác suất bắn hạ 0,7 Vậy theo công thức xác suất đầy đủ xác suất bắn hạ máy bay theo phương án là: 0,7 (0,973) 0,882 3 Tương tự xác suất. .. đấu thủ A B đấu với 2m + ván cờ Xác suất thắng A ván p Tìm xác suất để A thắng nhiều ván B Tính giá trị xác suất với m = p = 0,25 66 (Bài toán Banach) Một nhà toán học mang hai bao diêm, bao