Giáo trình và 60 câu hỏi trắc nghiệm xác suất thống kê

Giáo trình bài giảng lý thuyết và 60 câu hỏi xác suất thống kê có đáp án.

ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SU T & TH NG KÊ Đ IH C PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH S ti t: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thông dụng Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn Xác suất Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên so n: ThS Đoàn Vương Nguyên ThS Đoà Download Slide gi ng XSTK_ĐH t i XSTK_ dvntailieu.wordpress.com Chương Xác su t c a Bi n c • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác su t - Th ng kê Đ i h c Saturday, October 01, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài toán Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác su t c a Bi n c 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử Ký hiệu ĐH Cơng nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác su t c a Bi n c Mỗi phần tử ω ∈ gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt không gian mẫu Các phần tử: ω1 = ∈ , ω2 = 0, ∈ ,…, ω21 = 10 ∈ biến cố sơ cấp Các tập : Chương Xác su t c a Bi n c 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A Ký hiệu A = B VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, A: “có gà mái đẻ trứng ngày” B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A A = B Chương Xác su t c a Bi n c Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: = {K1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N Xác su t - Th ng kê Đ i h c Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… biến cố Các biến cố A, B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt môn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Biến cố xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng Chương Xác su t c a Bi n c b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử Ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Chương Xác su t c a Bi n c c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A không xảy A xảy Vậy ta có: A = \ A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9,10,11,12 Ta có khơng gian mẫu là: = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , A10 = \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc với phép thử A B không xảy b) Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n VD Hai sinh viên A B thi môn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = gọi hệ đầy đủ có biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2; ; n } họ xảy Nghĩa là: Khi đó, A B xung khắc; B C không xung khắc Chú ý Trong VD 7, A B xung khắc không đối lập VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với A tùy ý …………………………………………………………………………………… Chương Xác su t c a Bi n c §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Quan sát biến cố phép thử, khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đoán khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P (A), định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học Chương Xác su t c a Bi n c VD Từ hộp chứa sản phẩm tốt phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có: 1) sản phẩm tốt; 2) phế phẩm VD Tại bệnh viện có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác su t - Th ng kê Đ i h c Chương Xác su t c a Bi n c 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với không gian mẫu = {ω1; ; ωn } biến cố A ⊂ có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa là: P (A) = Số trường hợp A xảy k = Số trường hợp xảy n VD Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển người nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Chương Xác su t c a Bi n c 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Nếu thực phép thử n lần, thấy có k k lần biến cố A xuất tỉ số gọi tần n suất biến cố A • Khi n thay đổi, tần suất thay đổi theo k dao động quanh số cố định p = lim n →∞ n • Số p cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê k Trong thực tế, n đủ lớn P (A) ≈ n ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác su t c a Bi n c VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 Chương Xác su t c a Bi n c VD Tìm xác suất điểm M rơi vào hình trịn nội tiếp tam giác có cạnh cm Giải Gọi A: “điểm M rơi vào hình trịn nội tiếp” Diện tích tam giác là: 22 dt( ) = = cm Bán kính hình trịn là: 3 r= = cm 3  2 π π   ⇒ dt(S ) = π   = ⇒ P (A) = = 0, 6046      3   Chương Xác su t c a Bi n c Từ điều kiện, ta có: x − y ≤ 0, x − y − 0, ≤   x − y ≤ 0, ⇔  ⇔   x − y ≥ −0, x − y + 0, ≥     Suy ra, miền gặp gặp hai người S : {0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, x − y − 0, ≤ 0, x − y + 0, ≥ 0} dt (S ) Vậy p = = = 75% dt( ) 2.4 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P(A) ≤ ; 3) P( ) = 1; 2) P(∅) = ; 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c 2.3 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) Cho miền Gọi độ đo độ dài, diện tích, thể tích (ứng với đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền Gọi A: “điểm M rơi vào miền S ⊂ P (A) = ”, ta có: độ đo S độ đo Chương Xác su t c a Bi n c VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi x, y (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Suy hình vng có cạnh đơn vị Chương Xác su t c a Bi n c §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) • Nếu A B hai biến cố xung khắc thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) • Nếu họ {Ai } (i = 1, , n ) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+ +P (An ) …………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Đ i h c ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khoán? Chú ý Đặc biệt VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh tim không mắc bệnh huyết áp? P (A) = − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ) VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN • Xét phép thử: người A , B C thi tuyển vào công ty Gọi A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, C : “người C thi đỗ”, H : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC } Ta có: A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ có A ” là: AH = {ABC , ABC } P (AH ) = • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào công ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành H A trở thành AH Gọi A H : “A thi đỗ biết có người thi đỗ” ta ( ) được: P A H = P (AH ) = P (H ) Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố A B với P (B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa là: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) Nhận xét Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta ( ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính P A B , P B A ? ( ) ( ) Xác su t - Th ng kê Đ i h c ( ) hạn chế không gian mẫu A xuống A ∩ B xuống B hạn chế Tính chất 1) ≤ P A B ≤ 1, ∀A ⊂ ; ( ) ( ) 3) P (A B ) = − P (A B ) ( ) 2) A ⊂ C P A B ≤ P C B ; ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) 3.2.2 Công thức nhân xác suất a) Sự độc lập hai biến cố Trong phép thử, hai biến cố A B gọi độc lập B có xảy hay không không ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố: A B , A B , A B độc lập với b) Công thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A ( ) ( ) • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n không độc lập thì: ( ) ( ) P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? VD Trong dịp tết, ông A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ông A bán mai, xác suất để ơng A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu công ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 12 40 10 A ; B ; C ; D 47 19 47 19 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3.2.3 Công thức xác suất đầy đủ Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: n ( P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai i =1 ( ) ) ( ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Xác su t - Th ng kê Đ i h c VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai luân phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy không trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh sau: Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99 Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98 Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất nhánh = 0,987 VD 11 Chuồng thỏ có thỏ trắng thỏ đen; chuồng có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng sang chuồng 2, sau có thỏ chạy từ chuồng Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng thỏ trắng ? ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c b) Công thức Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy là: ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai ) n ∑ P(Ai )P (B Ai ) = ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 Phân bi t toán áp d ng cơng th c Nhân – Đ y đ – Bayes A1, A2 , B 1) N u tốn u c u tìm xác su t c a A1 ∩ B, A2 ∩ B tốn cơng th c nhân Trong tốn, ta xét bi n c Xác su t xác su t tích c a t ng nhánh 2) N u tốn u c u tìm xác su t c a B {A1, A2 } ñ y ñ tốn áp d ng VD 12 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? cơng th c ñ y ñ Xác su t b ng t ng nhánh Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c A1, A2 cho bi t B ñã x y ra, ñ ng th i h {A1, A2 } 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng A sản xuất ? đ y đ tốn áp d ng cơng th c Bayes Xác su t t s gi a nhánh c n tìm v i t ng c a hai nhánh VD 14 Tỉ lệ ôtô tải, ôtô xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ôtô tải, ôtô xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? 11 10 ; B ; C ; D A 57 57 57 57 3) N u tốn u c u tìm xác su t c a VD 13 Nhà máy X có phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 1%, 2% 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy X sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất ? Chương Bi n ng u nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét phép thử với khơng gian mẫu Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp ω ∈ , ta liên kết với số thực X (ω) ∈ ℝ , X gọi biến ngẫu nhiên Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X phép thử với không gian mẫu ánh xạ X: →ℝ ω ֏ X (ω) = x Giá trị x gọi giá trị biến ngẫu nhiên X Xác su t - Th ng kê Đ i h c ……………………………………………………………………………………… Chương Bi n ng u nhiên VD Người A mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi X số tiền người A có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố T : “người A bị tai nạn” Không gian mẫu = {T , T } Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = −0, 07 (triệu) • Nếu X ( ) tập hữu hạn {x 1, x 2, , x n } hay vơ hạn đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết X = {x1, x , , x n , } ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bi n ng u nhiên • Nếu X ( ) khoảng ℝ (hay ℝ ) X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chú ý Trong thực nghiệm, biến ngẫu nhiên thường rời rạc Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị đủ nhiều khoảng ℝ , ta xem X biến ngẫu nhiên liên tục Thực chất là, biến ngẫu nhiên liên tục dùng làm xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn • Cho biến ngẫu nhiên X hàm số y = ϕ(x ) Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) gọi hàm biến ngẫu nhiên X Chương Bi n ng u nhiên Chú ý pi ≥ ; ∑ pi = 1, i = 1, 2, Nếu x ∉ {x 1, x , , x n , } P (X = x ) = P (a < X ≤ b ) = ∑ a tα ta bác bỏ H , nghĩa µ ≠ µ Xác su t - Th ng kê Đ i h c Trong thực tế, hai loại sai lầm này, loại tác hại ta nên tránh Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê • Nếu hàm mật độ T đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng đối xứng [−tα ; tα ], với: α P (T ≤ −tα ) = P (T ≥ tα ) = Vậy, xét nửa bên phải trục Oy ta được: t ≤ tα ta chấp nhận giả thuyết H ; t > tα ta bác bỏ giả thuyết H • Nếu hàm mật độ T không đối xứng qua trục Oy ta chọn khoảng tin cậy [0; C ], với P (T ≥ C ) = α Nếu t ≤ C ta chấp nhận giả thuyết H , t > C ta bác bỏ giả thuyết H ………………………………………………………………………… Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê b) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta làm trường hợp thay σ s c) Trường hợp Với n < 30, σ2 biết X có phân phối chuẩn, ta làm trường hợp d) Trường hợp Với n < 30, σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn tra bả • Từ cỡ mẫu n mức ý nghĩa α  ng C tα −1  → n • Tính giá trị thống kê t = n • Nếu t ≤ tα −1 x − µ0 n s ta chấp nhận giả thuyết H ; n t > tα −1 ta bác bỏ giả thuyết H 33 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Chú ý Trong tất trường hợp bác bỏ, ta so sánh x µ : Nếu x > µ ta kết luận µ > µ Nếu x < µ ta kết luận µ < µ VD Sở Điện lực A báo cáo rằng: trung bình hộ hàng tháng phải trả 250 ngàn đồng tiền điện, với độ lệch chuẩn 20 ngàn Người ta khảo sát ngẫu nhiên 500 hộ tính trung bình hàng tháng hộ trả 252 ngàn đồng tiền điện Trong kiểm định giả thuyết H : “trung bình hộ phải trả hàng tháng 250 ngàn đồng tiền điện” với mức ý nghĩa α = 1% , cho biết giá trị thống kê t kết luận ? Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê A t = 1, 7205 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 6% B t = 1, 7205 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 6% C t = 1, 9732 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 4% D t = 1, 9732 ; bác bỏ H , trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 4% VD Một công ty cho biết mức lương trung bình kỹ sư cơng ty 5,7 triệu đồng/tháng với độ lệch chuẩn 0,5 triệu đồng/tháng Kỹ sư A dự định xin vào làm cơng ty thăm dị 18 kỹ sư thấy lương trung bình 5,45 triệu đồng/tháng Kỹ sư A định rằng: mức lương trung bình với mức cơng ty đưa nộp đơn xin làm Với mức ý nghĩa 2%, cho biết kết luận kỹ sư A ? Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Kiểm định giả thuyết H : “điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm năm trước”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 13,94%; B 13,62%; C 11,74%; D 11,86% VD Thời gian X (phút) hai chuyến xe bus thành phố biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cơng ty xe bus nói rằng: trung bình phút lại có chuyến xe bus Người ta chọn ngẫu nhiên thời điểm ghi lại thời gian (phút) hai chuyến xe bus là: 5,3; 4,5; 4,8; 5,1; 4,3; 4,8; 4,9; 4,7 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lời nói ? Xác su t - Th ng kê Đ i h c Saturday, October 01, 2011 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Nhà Giáo dục học B muốn nghiên cứu xem số tự học trung bình hàng ngày sinh viên có thay đổi khơng so với mức giờ/ngày cách 10 năm Ông B khảo sát ngẫu nhiên 120 sinh viên tính ˆ trung bình 0,82 giờ/ngày với s = 0, 75 giờ/ngày Với mức ý nghĩa 3%, cho biết kết luận ông B ? VD Trong nhà máy gạo, trọng lượng đóng bao theo quy định bao gạo 50 kg độ lệch chuẩn 0,3 kg Cân thử 296 bao gạo nhà máy thấy trọng lượng trung bình 49,97 kg Kiểm định giả thuyết H : “trọng lượng bao gạo nhà máy 50 kg” có giá trị thống kê t kết luận là: Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 38 cửa hàng cơng ty A có bảng doanh thu tháng là: X (triệu đồng/tháng) 200 220 240 260 Số cửa hàng 16 12 Kiểm định giả thuyết H : “doanh thu trung bình hàng tháng cửa hàng công ty 230 triệu đồng”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận là: A 3,4%; B 4,2%; C 5,6%; D 7,8% VD Điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm trước 5,72 Năm nay, theo dõi 100 SV số liệu: Điểm Số sinh viên 27 43 12 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Chiều cao giống X (m) vườm ươm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số Theo quy định vườn ươm, cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H : “cây giống vườn ươm cao m” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 7984 , không nên đem trồng B t = 2, 7984 , nên đem trồng C t = 1, 9984 , không nên đem trồng D t = 1, 9984 , nên đem trồng 34 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê 2.2 Kiểm định so sánh tỉ lệ với số • Với số p0 cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p0 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → tα m • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 n , q = − p0 giá trị thống kê t = p0q Nếu t ≤ tα chấp nhận H , nghĩa p = p0 Nếu t > tα bác bỏ H , nghĩa p ≠ p0 Khi đó: f > p0 ⇒ p > p0 ; f < p0 ⇒ p < p0 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ bắn trúng súng thể thao 70%”, với mức ý nghĩa 3% có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật tốt B t = 2, 0702 cải tiến kỹ thuật chưa tốt C t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật tốt D t = 2, 0176 cải tiến kỹ thuật chưa tốt VD 12 Công ty A tuyên bố có 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm Khảo sát 400 người tiêu dùng thấy có 179 người ưa thích sản phẩm công ty A Trong kiểm định giả thuyết H : “có 40% người tiêu dùng thích sản phẩm công ty A”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 7,86%; B 6,48%; C 5,24%; D 4,32% Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê α   α 2 • Nếu χn −1   ≤ χ2 ≤ χn −1 1 −  ta chấp nhận H ,      2   2     ngược lại ta bác bỏ H Trong trường hợp bác bỏ: 2 s > σ0 ta kết luận σ > σ0 ; 2 s < σ0 ta kết luận σ < σ0 VD 13 Tiến hành 25 quan sát tiêu X loại sản phẩm (phân phối chuẩn), tính s = 416, 667 Có tài liệu nói phương sai tiêu X 400 Với mức ý nghĩa 3%, cho nhận xét tài liệu ? …………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Đ i h c Saturday, October 01, 2011 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Một báo cáo cho biết có 58% người tiêu dùng Việt Nam quan tâm đến hàng Việt Khảo sát ngẫu nhiên 1.000 người dân Việt Nam thấy có 536 người hỏi có quan tâm đến hàng Việt Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định lại báo cáo ? VD 10 Khảo sát ngẫu nhiên 400 sinh viên mức độ nghiêm túc học thấy 13 sinh viên thừa nhận có ngủ học Trong kiểm định giả thuyết H : “có 2% sinh viên ngủ học”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận ? VD 11 Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1.000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, người ta cải tiến kỹ thuật kiểm tra lại thấy tỉ lệ trúng súng lúc 70% Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê 2.3 Kiểm định so sánh phương sai với số (tham khảo) Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn Với số σ0 cho trước, ta thực bước sau: • Đặt giả thuyết H : σ = σ0 (n − 1)s σ0 α   α α tra • Từ α ⇒   bảng χn −1  , χn −1 1 −   D→           2 2  • Từ mẫu ta tính thống kê χ2 = Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH HAI ĐẶC TRƯNG CỦA HAI TỔNG THỂ 3.1 So sánh hai trung bình hai tổng thể X, Y Ta có trường hợp việc chấp nhận hay bác bỏ H ta làm kiểm định so sánh trung bình với số (cả trường hợp ta đặt giả thuyết H : µ x = µ y ) a) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2 , σy biết x Ta tính thống kê t = x −y σ2 σ2 x + y nx ny so sánh với tα 35 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê b) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2 , x σy Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê chưa biết • Tính giá trị thống kê t = 2 Ta thay σ2 , σy sx , sy trường hợp x c) Trường hợp nx , ny < 30 σ2 , σy biết x đồng thời X , Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp d) Trường hợp nx , ny < 30 σ2 , σy chưa biết x đồng thời X , Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai chung mẫu: 2 (nx − 1)sx + (ny − 1)sy s2 = n x + ny − Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định giả thuyết H : “mức lương trung bình nữ nam công ty nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 4, 0957 , mức lương nữ nam B t = 4, 0957 , mức lương nữ thấp nam C t = 3, 0819 , mức lương nữ nam D t = 3, 0819 , mức lương nữ thấp nam Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê 3.2 So sánh hai tỉ lệ hai tổng thể X, Y Ta thực bước sau: • Từ mẫu ta tính fx = nx , fy = Xác su t - Th ng kê Đ i h c my ny , p0 = n +ny −2 tra bả • Từ α  ng C tα x  → so sánh với t VD Người ta tiến hành bón hai loại phân X , Y cho cà chua Với 60 bón phân X thu trung bình 32,2 độ lệch chuẩn 8,5 quả; 72 bón phân Y thu trung bình 28,4 độ lệch chuẩn 9,3 Với mức ý nghĩa 5%, cho biết kết luận hai loại phân bón ? VD Tuổi thọ (năm) pin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một công ty sản xuất thử nghiệm 10 pin loại X 12 pin loại Y có kết quả: x = 4, , sx = 1,1 y = 4, , sy = 0, Với mức ý nghĩa 1%, ta kết luận tuổi thọ loại pin X cao loại pin Y không ? VD Tuổi thọ (tháng) thiết bị biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta kiểm tra ngẫu nhiên tuổi thọ 15 thiết bị loại A, có kết quả: 114; 78; 96; 137; 78; 103; 126; 86; 99; 114; 72; 104; 73; 86; 117 Kiểm tra tuổi thọ 17 thiết bị loại B thấy có trung bình 84 tháng độ lệch chuẩn 19 tháng Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Kiểm định giả thuyết H : “tuổi thọ thiết bị loại A B với mức ý nghĩa 3%” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2,1616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị B t = 2,1616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn C t = 2, 4616 ; tuổi thọ hai loại thiết bị D t = 2, 4616 ; tuổi thọ loại thiết bị A lớn mx 1 s + nx ny Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Để so sánh mức lương trung bình nhân viên nữ X (USD/giờ) nam Y (USD/giờ) công ty đa quốc gia, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 100 nữ 75 nam có kết quả: x = 7,23 , sx = 1, 64 y = 8, 06 , sy = 1, 85 • Đặt giả thuyết H : px = py x −y • Tính giá trị thống kê t = fx − fy 1 1   p0q  +   n   x ny    • Kết luận: Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H ⇒ px = py Nếu t > tα fx < fy ta bác bỏ H ⇒ px < py Nếu t > tα fx > fy ta bác bỏ H ⇒ px > py m x + my n x + ny VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, 36 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Với mức ý nghĩa 9%, so sánh tỉ lệ tổng thể ? VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: 1) mức ý nghĩa 5%; 2) mức ý nghĩa 1% VD Một công ty điện tử tiến hành điều tra thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 400 người quận X thấy có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Trong kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê 3.3 So sánh hai phương sai hai tổng thể X, Y (Tham khảo) 2 • Đặt giả thuyết H : σx = σy • Tính giá trị kiểm định g = sx sy α tra   baûng f = f α (nx − 1, ny − 1)  E→ 2 • Nếu g ≤ f ta chấp nhận H , g > f ta bác bỏ H Trong trường hợp bác bỏ H : 2 2 sx > sy kết luận σx > σy ; • Từ α ⇒ 2 2 sx < sy kết luận σx < σy Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê 3.4 So sánh hai trung bình dạng vector (X, Y) (Tham khảo) • Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = • Tính thống kê t = d n (n số cặp có mẫu) sd • Tùy vào n phương sai biết hay chưa biết, ta xét trường hợp giống so sánh trung bình với số VD 11 Giả sử người ta dùng thuốc A cho 10 người Đo nhịp tim/phút trước sau dùng thuốc người, có bảng kết quả: Trước: X 70 77 78 72 81 78 73 74 79 80 Sau: Y 76 75 78 77 85 81 76 74 85 80 Xác su t - Th ng kê Đ i h c Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Trước bầu cử, người ta thăm dị 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ông A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ông A Kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cử tri ủng hộ ông A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 1% có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 6356 ; cử tri ngày ủng hộ ông A B t = 2, 6356 ; cử tri ủng hộ ông A không thay đổi C t = 2,1349 ; cử tri ngày ủng hộ ông A D t = 2,1349 ; cử tri ủng hộ ông A không thay đổi Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê VD Giá cổ phiếu biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Điều tra ngẫu nhiên giá cổ phiếu công ty X 25 ngày người ta tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh 7,5 ngàn đồng; công ty Y 22 ngày 6,2 ngàn đồng Với mức ý nghĩa 5%, so sánh độ rủi ro cổ phiểu hai công ty ? VD 10 Doanh số bán hàng (đơn vị: triệu đồng) cơng ty A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Công ty A cho người theo dõi doanh số bán hàng ngày vùng X tính phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh 82,1; vùng Y ngày tính 25,3 Với mức ý nghĩa 3%, so sánh độ rủi ro đầu tư công ty A hai vùng ? Chương Ki m đ nh Gi thuy t Th ng kê Với mức ý nghĩa 5%, thuốc A có làm thay đổi nhịp tim trước dùng so với sau dùng hay không ? Giải Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = Do n = 10, phương sai chưa biết nên toán TH4 Từ bảng số liệu, ta tính được: d = 2, ; sd = 2, 8382 C Mức ý nghĩa α = 0, 05 → t0,05 = 2, 262 Thống kê t = d sd n = 2, 10 = 2, 7855 2, 8382 > t0,05 Vì t nên ta bác bỏ H Vậy thuốc A làm thay đổi nhịp tim …………………………………………………………………………… 37 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài toán tương quan & H i quy toá HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 1.1 Định nghĩa • Hệ số tương quan mẫu r số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai mẫu ngẫu nhiên cỡ X Y • Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n vector ngẫu nhiên (X , Y ) (xi , yi ); i = 1; 2; ; n Khi đó, hệ số tương quan mẫu r tính theo cơng thức: r= xy − x y n ; xy = ∑ x i yi ˆ ˆ sx sy n i =1 Chương Bài toán tương quan & H i quy tố 1.2 Tính chất 1) −1 ≤ r ≤ 2) Nếu r = X , Y khơng có quan hệ tuyến tính; Nếu r = ±1 X , Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối 3) Nếu r < quan hệ X , Y giảm biến 4) Nếu r > quan hệ X , Y đồng biến VD Kết đo lường độ cholesterol (Y) có máu 10 đối tượng nam độ tuổi (X) sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính hệ số tương quan mẫu X Y Chương Bài toán tương quan & H i quy toá Giải Từ số liệu bảng trên, ta tính được: 20 × 1, + + 49 × 4, xy = = 167, 26 ; 10 n ˆ x = ∑ xi = 43, ; sx = 13, 5385 ; n i =1 y= Chương Bài toán tương quan & H i quy toá Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm • Từ mẫu thực nghiệm vector ngẫu nhiên (X , Y ), ta biễu diễn cặp điểm (xi , yi ) lên mpOxy Khi đó, đường cong nối điểm đường cong phụ thuộc Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)) n ˆ ∑ y = 3, 56; sy = 0, 8333 n i =1 i Vậy r = xy − x y = 0, 9729 ˆ ˆ sx sy Hình a Chương Bài toán tương quan & H i quy tố • Đường thẳng đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt điểm mẫu cho, xấp xỉ đường cong cần tìm Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ khơng tốt 2.1 Phương pháp bình phương bé • Khi có phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt hai biến ngẫu nhiên X Y ta cần tìm biểu thức a + bX xấp xỉ Y tốt theo nghĩa cực tiểu sai số bình phương trung bình E (Y − a − bX )2 , phương pháp gọi bình phương bé • Với cặp điểm (x i , yi ) sai số xấp xỉ là: εi = yi − (a + bx i ) (xem hình c)) Xác su t - Th ng kê Đ i h c Hình b Chương Bài tốn tương quan & H i quy tố Ta tìm ước lượng a, b n cho ∑ εi2 đạt cực tiểu i=1 n Đặt Q = ∑ εi2 i =1 n Hình c = ∑ yi − (a + bxi ) , ta có:   i =1 n n   na + b x = (1)  Q / = ∑ i ∑ yi    a ⇔  n i =1 n i =1 n  /  Q =   b a x + b x =    ∑ i ∑ i ∑ xiyi (2)   i =1 i =1  i =1 38 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài toán tương quan & H i quy toá (1) ⇔ a = n Chương Bài toán tương quan & H i quy toá n 1 ∑ y − b n ∑ xi = y − b.x n i =1 i i =1 • Vậy b = Thay a vào (2), ta được: n n i =1 i =1 (y − b.x ) ∑ xi + b ∑ x i2 = ∑ x i yi y = a + bx • Tương tự: b = ˆ ˆ Giải 1) x = 1, 55; sx = 0, 0707; y = 53; sy = 5, 099 ; 82, 45 − 1, 55 × 53 = 0, 8322 0, 0707 × 5, 099 Chương Bài tốn tương quan & H i quy tố 1) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 2) Dự đốn muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu đồng cần đầu tư bao nhiêu? ˆ Giải 1) Ta có x = 2; sx = 0, 7746; y = 0, 71; ˆ sy = 0, 2427 ; xy = 1, 56 ˆ2 sy = 1, 56 − 0, 71 × 2 (0, 2427) = 2, 3768 ; a = x − by = − 2, 3768 × 0, 71 = 0, 3125 Vậy x = 0, 3125 + 2, 3768y 2) Nếu muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu cần đầu tư khoảng: x = 0, 3125 + 2, 3768 × 0, = 1, 5009 triệu đồng Xác su t - Th ng kê Đ i h c xy − x y ˆ2 sy , a = x − b.y Đường hồi quy tuyến tính X theo Y là: x = a + by Chương Bài toán tương quan & H i quy toá VD Đo chiều cao (X: m) khối lượng (Y: kg) học sinh nam, ta có kết quả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y 50 55 45 60 55 1) Tìm hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X 3) Dự đốn học sinh cao 1,62m nặng khoảng kg? xy − x y , a = y − b.x i =1 xy − x y   ⇔ b x − x  = xy − x y ⇔ b =     ˆ2 sx ⇒b = ˆ2 sx Đường hồi quy tuyến tính Y theo X là: n 1 n  n  1 n n     ⇔ b  ∑ x i2 − x ∑ x i  =  ∑ x iyi − y ∑ x i     n   n i =1  n i =1 n i =1   i =1   xy = 82, 45 ⇒ r = xy − x y Chương Bài toán tương quan & H i quy toá 2) b = xy − x y = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 60, 0181 ; (0, 0707)2 a = y − bx = 53 − 60, 0181 × 1, 55 = −40, 0281 Vậy y = −40, 0281 + 60, 0181x ˆ2 sx 3) Học sinh cao 1,62m nặng khoảng: y = −40, 0281 + 60, 0181 × 1, 62 = 57, 2012 kg VD Số vốn đầu tư (X: triệu đồng) lợi nhuận thu (Y: triệu đồng) đơn vị thời gian 100 quan sát là: Y X 0,3 0,7 1,0 20 10 30 10 10 20 Chương Bài toán tương quan & H i quy toá VD Số thùng bia (Y: thùng) bán phụ thuộc vào giá bán (X: triệu đồng/ thùng) Điều tra 100 đại lý loại bia đơn vị thời gian có bảng số liệu: Y X 0,150 0,160 0,165 100 110 120 15 30 10 25 15 1) Tính hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 3) Dự đốn muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng cỡ bao nhiêu? 39 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 01, 2011 Chương Bài toán tương quan & H i quy toá ˆ ˆ Giải 1) x = 0,1558; sx = 0, 006; y = 110; sy = 7, 746 ; xy = 17,1 ⇒ r = 2) b = xy − x y ˆ2 sy = 17,1 − 0,1558 × 110 = −0, 8176 0, 006 × 7, 746 17,1 − 0,1558 × 110 (7, 746)2 = −0, 0006 ; a = x − by = 0,1558 + 0, 0006 × 110 = 0, 2218 Vậy x = 0, 2218 − 0, 0006y 3) Nếu muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng khoảng: x = 0, 2218 − 0, 0006 × 115 = 0,1528 triệu đồng S d ng máy tính b túi tìm đư ng h i quy Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ không tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y vào cột) S d ng máy tính b túi tìm đư ng h i quy X Y 21 23 25 11 Nhập số liệu: MODE → REG → LIN X, Y; n → M+ 21, 3; → M+ 21, 4; → M+ … … 25 , 5; → M+ Xuất kết quả: làm 1a) Đáp số: r = 0, 7326 ; y = −2, 6694 + 0, 3145x Xác su t - Th ng kê Đ i h c S d ng máy tính b túi tìm đư ng h i quy Số liệu khơng có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Bài toán cho dạng cặp (x i , yi )như sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,02,6 4,5 2,9 3,84,1 4,6 3,2 4,0 Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y = a + bx Nhập số liệu: MODE → REG → LIN X, Y → M+ 20, 1.9 → M+ 52, 4.0 → M+ … …… … 49 , 4.0 → M+ S d ng máy tính b túi tìm đư ng h i quy X Y 20 1.9 52 4.0 … … 49 4.0 Xuất kết quả: SHIFT → →7 → 1(A a phương trình) SHIFT → →7 → 2(B b phương trình) SHIFT → →7 → 3(r r phương trình) Số liệu có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Tìm hệ số r , đường hồi quy thực nghiệm Y theo X : y = a + bx với toán cho dạng bảng sau: S d ng máy tính b túi tìm đư ng h i quy b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn Mục Stat → (chế độ có tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y, tần số vào cột) X Y FREQ 21 21 … … 25 Xuất kết quả: làm 1b) ……………… H t……………… 40 ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM XÁC SUẤT I XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố AC là: A Sinh viên C thi đỗ; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên C thi đỗ; D Sinh viên C thi khơng đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); A : “sinh viên A thi đỗ” Biến cố A2A là: A Sinh viên A thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên A thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A1B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Chỉ có sinh viên thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố A0C là: A Sinh viên C thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viênC thi hỏng; D Cả sinh viên thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A0B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Có sinh viên thi đỗ; D Sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Hãy chọn đáp án ? A A0B ⊂ A1B ; B A1B ⊂ A2 ; C A0B = A1B ; D A3B ⊂ A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; B A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Trang ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “2 sinh viên thi hỏng có A1 ” Hãy chọn đáp án ? B H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; A A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; C H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; B P A1A2 H = P A1A2A3 H ; ( ) ( ) C P (A A H ) ≥ P (A A A H ) ; 2 ( ) ( ) D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu 10 Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? B A2A3 ⊂ H ; C A1A2A3 ⊂ H ; D A1A2A3 = H A A1 = H ; Câu 11 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu đỏ, vàng xanh là: A 0,2857 ; B 0,1793 ; C 0,1097 ; D 0, 0973 Câu 12 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu xanh là: A 0,2894 ; B 0, 4762 ; C 0, 0952 ; D 0, 0476 Câu 13 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 50% ; C 60% ; D 80% Câu 14 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 70% ; C 26% ; D 28% Câu 15 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết có bóng vào rỗ Xác suất để bóng thứ vào rỗ là: A 0, 5437 ; B 0, 5473 ; C 0, 4753 ; D 0, 4573 Câu 16 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết bóng thứ vào rỗ Xác suất để có bóng vào rỗ là: A 20% ; B 24% ; C 26% ; D 28% Câu 17 Một xạ thủ bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng thú 0,8 Nếu viên thứ trúng thú xác suất trúng viên thứ hai 0,7 trượt xác suất trúng viên thứ hai 0,1 Biết thú sống Xác suất để viên thứ hai trúng thú là: B 0, 0741 ; C 0, 0455 ; D 0, 0271 A 0, 0714 ; Trang ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu 18 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân bị bịnh Mũi phải mổ từ trung tâm là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 Câu 19 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân phải mổ từ trung tâm là: B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 A 0, 008 ; Câu 20 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bịnh nhân từ trung tâm người bị mổ Xác suất để người chọn bị bịnh Mũi là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 II BIẾN NGẪU NHIÊN Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X –1 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 P Giá trị P [(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: A 0,9; B 0,8; C 0,7; D 0,6 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng X là: A 2,6; B 2,8; C 2,65; D 1,97 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 0,15 0,25 0,40 0,20 P Giá trị phương sai X là: A 5,3; B 7,0225; C 7,95 ; D 0,9275 Câu Một kiện hàng có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm chọn Bảng phân phối xác suất X là: A) B) X X 1 P 15 P 15 3 15 15 C) D) 2 X X P P 15 15 15 Câu Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất: 0  x ≤1   F (x ) = 0,19 < x ≤   1 < x    Bảng phân phối xác suất X là: Trang ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất B) A) 0 X P 0,19 0,81 X P C) 0,19 0,51 0,3 D) X P 0,29 0,71 X P 0,19 0,81 Câu Lơ hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, lơ hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I sản phẩm bỏ vào lơ hàng II, sau từ lơ hàng II chọn ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt chọn từ lô hàng II Bảng phân phối xác suất X là: A) B) 2 X X 11 30 11 30 P 50 P 50 50 50 50 50 D) C) X X 11 30 30 11 P 50 P 50 50 50 50 50 Câu Kiện hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, kiện hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I sản phẩm từ kiện hàng II sản phẩm Gọi X số phế phẩm chọn Hàm phân phối xác suất F (x ) = P (X < x ) X là: 0, 0,   x