Giáo trình cấu trúc dữ liệu và giải thuật.

Lý thuyết cấu trúc dữ liệu và giải thuật đầy đủ.

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG CU TRÚC D LIU VÀ GII THUT (Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2007 LI NÓI U Cu trúc d liu và gii thut là mt trong nhng môn hc c bn ca sinh viên ngành Công ngh thông tin. Các cu trúc d liu và các gii thut đc xem nh là 2 yu t quan trng nht trong lp trình, đúng nh câu nói ni ting ca Niklaus Wirth: Chng trình = Cu trúc d liu + Gii thut (Programs = Data Structures + Algorithms). Nm vng các cu trúc d liu và các gii thut là c s đ sinh viên tip cn vi vi c thit k và xây dng phn mm cng nh s dng các công c lp trình hin đi. Cu trúc d liu có th đc xem nh là 1 phng pháp lu tr d liu trong máy tính nhm s dng mt cách có hiu qu các d liu này. Và đ s dng các d liu mt cách hiu qu thì cn phi có các thut toán áp dng trên các d liu đó. Do v y, cu trúc d liu và gii thut là 2 yu t không th tách ri và có nhng liên quan cht ch vi nhau. Vic la chn mt cu trúc d liu có th s nh hng ln ti vic la chn áp dng gii thut nào. Tài liu “Cu trúc d liu và gii thut” bao gm 7 chng, trình bày v các cu trúc d liu và các gii thut c bn nh t trong tin hc. Chng 1 trình bày v phân tích và thit k thut toán. u tiên là cách phân tích 1 vn đ, t thc tin cho ti chng trình, cách thit k mt gii pháp cho vn đ theo cách gii quyt bng máy tính. Tip theo, các phng pháp phân tích, đánh giá đ phc tp và thi gian thc hin gii thut cng đc xem xét trong chng. Chng 2 trình bày v đ qui, mt khái nim rt c bn trong toán hc và khoa hc máy tính. Vi c s dng đ qui có th xây dng đc nhng chng trình gii quyt đc các vn đ rt phc tp ch bng mt s ít câu lnh, đc bit là các vn đ mang bn cht đ qui. Chng 3, 4, 5, 6 trình bày v các cu trúc d liu đc s dng rt thông dng nh mng và danh sách liên kt, ngn xp và hàng đi, cây, đ th. ó là các c u trúc d liu cng rt gn gi vi các cu trúc trong thc tin. Chng 7 trình bày v các thut toán sp xp và tìm kim. Các thut toán này cùng vi các k thut đc s dng trong đó đc coi là các k thut c s cho lp trình máy tính. Các thut toán đc xem xét bao gm các lp thut toán đn gin và c các thut toán cài đt phc tp nhng có thi gian thc hin ti u. Cui mi phn đu có các câu hi và bài tp đ sinh viên ôn luyn và t kim tra kin thc ca mình. Cui tài liu có các ph lc hng dn tr li câu hi, mã ngun tham kho và tài liu tham kho. V nguyên tc, các cu trúc d liu và các gii thut có th đc biu din và cài đt bng bt c ngôn ng lp trình hin đi nào. Tuy nhiên, đ có đc các phân tích sâu sc h n và có kt qu thc t hn, tác gi đã s dng ngôn ng lp trình C đ minh ho cho các cu trúc d liu và thut toán. Do vy, ngoài các kin thc c bn v tin hc, ngi đc cn có kin thc v ngôn ng lp trình C. Cui cùng, mc dù đã ht sc c gng nhng chc chn không tránh khi các thiu sót. Tác gi rt mong nhn đc s góp ý ca bn đc và đng nghip đ tài liu đc hoàn thin hn. Hà Ni, tháng 10/2007 3 CHNG 1 PHÂN TÍCH VÀ THIT K GII THUT Chng 1 trình bày các khái nim v gii thut và phng pháp tinh chnh tng bc chng trình đc th hin qua ngôn ng din đt gii thut. Chng này cng nêu phng pháp phân tích và đánh giá mt thut toán, các khái nim liên quan đn vic tính toán thi gian thc hin chng trình. Trong mi phn đu có các minh ho c th. Phn đu đa ra ví d v bài toán nút giao thông và phng pháp gii quyt bài toán t phân tích v n đ cho đn thit k gii thut, tinh chnh tng bc cho ti mc c th hn. Phn 2 đa ra mt ví d v phân tích và tính toán thi gian thc hin gii thut sp xp ni bt.  hc tt chng này, sinh viên cn nm vng phn lý thuyt và tìm các ví d tng t đ thc hành phân tích, thit k, và đánh giá gii thut. 1.1 GII THUT VÀ NGÔN NG DIN T GII THUT 1.1.1 Gii thut Trong thc t, khi gp phi mt vn đ cn phi gii quyt, ta cn phi đa ra 1 phng pháp đ gii quyt vn đ đó. Khi mun gii quyt vn đ bng cách s dng máy tính, ta cn phi đa ra 1 gii pháp phù hp vi vic thc thi bng các ch ng trình máy tính. Thut ng “thut toán” đc dùng đ ch các gii pháp nh vy. Thut toán có th đc đnh ngha nh sau: Thut toán là mt chui hu hn các lnh. Mi lnh có mt ng ngha rõ ràng và có th đc thc hin vi mt lng hu hn tài nguyên trong mt khong hu hn thi gian. Chng hn lnh x = y + z là mt lnh có các tính cht trên. Trong mt thu t toán, mt lnh có th lp đi lp li nhiu ln, tuy nhiên đi vi bt k b d liu đu vào nào, thut toán phi kt thúc sau khi thc thi mt s hu hn lnh. Nh đã nói  trên, mi lnh trong thut toán phi có ng ngha rõ ràng và có th đc thc thi trong mt khong thi gian hu hn. Tuy nhiên, đôi khi mt lnh có ng ngha rõ ràng đi vi ngi này nhng li không rõ ràng đi vi ngi khác. Ngoài ra, thng rt khó đ chng minh mt lnh có th đc thc hin trong 1 khong hu hn thi gian. Thm chí, k c khi bit rõ ng ngha ca các lnh, cng khó đ có th chng minh là vi bt k b d liu đu vào nào, thut toán s dng. Tip theo, chúng ta s xem xét mt ví d v  xây dng thut toán cho bài toán đèn giao thông: Gi s ngi ta cn thit k mt h thng đèn cho mt nút giao thông có nhiu đng giao nhau phc tp.  xây dng tp các trng thái ca các đèn giao thông, ta cn phi xây dng mt chng trình có đu vào là tp các ngã r đc phép ti nút giao thông (li đi thng cng đc xem nh là 1 ngã r) và chia tp này thành 1 s ít nht các nhóm, sao cho tt c các ngã r trong nhóm có th đc đi cùng lúc mà không xy ra tranh chp. Sau đó, chúng ta s gn trng thái ca các đèn giao thông vi mi nhóm va đc phân chia. Vi cách phân chia có s nhóm ít nht, ta s xây dng đc 1 h thng đèn giao thông có ít trng thái nht. 4 Chng hn, ta xem xét bài toán trên vi nút giao thông đc cho nh trong hình 1.1  di. Trong nút giao thông trên, C và E là các đng 1 chiu, các đng còn li là 2 chiu. Có tt c 13 ngã r ti nút giao thông này. Mt s ngã r có th đc đi đng thi, chng hn các ngã r AB (t A r sang B) và EC. Mt s ngã r thì không đc đi đng thi (gây ra các tuyn giao thông xung đt nhau), chng hn AD và EB. H thng đèn ti nút giao thông phi hot đ ng sao cho các ngã r xung đt (chng hn AD và EB) không đc cho phép đi ti cùng mt thi đim, trong khi các ngã r không xung đt thì có th đc đi ti cng 1 thi đim. Hình 1.1 Nút giao thông Chúng ta có th mô hình hóa vn đ này bng mt cu trúc toán hc gi là đ th (s đc trình bày chi tit  chng 5).  th là mt cu trúc bao gm 1 t p các đim gi là đnh và mt tp các đng ni các đim, gi là các cnh. Vn đ nút giao thông có th đc mô hình hóa bng mt đ th, trong đó các ngã r là các đnh, và có mt cnh ni 2 đnh biu th rng 2 ngã r đó không th đi đng thi. Khi đó, đ th ca nút giao thông  hình 1.1 có th đc biu din nh  hình 1.2. Hình 1.2  th ngã r A B C D E ACAB AD BCBA BD DBDA DC EBEA EC ED 5 Ngoài cách biu din trên, đ th còn có th đc biu din thông qua 1 bng, trong đó phn t  hàng i, ct j có giá tr 1 khi và ch khi có 1 cnh ni đnh i và đnh j. AB AC AD BA BC BD DA DB DC EA EB EC ED AB 1 1 1 1 AC 1 1 1 1 1 AD 1 1 1 BA BC 1 1 1 BD 1 1 1 1 1 DA 1 1 1 1 1 DB 1 1 1 DC EA 1 1 1 EB 1 1 1 1 1 EC 1 1 1 1 ED Bng 1.1 Biu din đ th ngã r bng bng Ta có th s dng đ th trên đ gii quyt vn đ thit k h thng đèn cho nút giao thông nh đã nói. Vic tô màu mt đ th là vic gán cho mi đnh ca đ th mt màu sao cho không có hai đnh đc ni bi 1 cnh nào đó li có cùng mt màu. D thy rng v n đ nút giao thông có th đc chuyn thành bài toán tô màu đ th các ngã r  trên sao cho phi s dng s màu ít nht. Bài toàn tô màu đ th là bài toán đã xut hin và đc nghiên cu t rt lâu. Tuy nhiên, đ tô màu mt đ th bt k vi s màu ít nht là bài toán rt phc tp.  gii bài toán này, ngi ta thng s dng phng pháp “vét cn” đ th tt c các kh nng có th . Có ngha, đu tiên th tin hành tô màu đ th bng 1 màu, tip theo dùng 2 màu, 3 màu, v.v. cho ti khi tìm ra phng pháp tô màu tho mãn yêu cu. Phng pháp vét cn có v thích hp vi các đ th nh, tuy nhiên đi vi các đ th phc tp thì s tiêu tn rt nhiu thi gian thc hin cng nh tài nguyên h thng. Ta có th tip cn vn đ theo hng c gng tìm ra mt gii pháp đ tt, không nht thit phi là gii pháp ti u. Chng hn, ta s c gng tìm mt gii pháp tô màu cho đ th ngã r  trên vi mt s màu khá ít, gn vi s màu ít nht, và thi gian thc hin vic tìm gii pháp là khá nhanh. Gii thut tìm các gii pháp đ tt nhng cha phi ti u nh vy gi là các gii thut tìm theo “cm tính”. i vi bài toán tô màu đ th, mt thut toán cm tính thng đc s dng là thut toán “tham n” (greedy). Theo thut toán này, đu tiên ta s dng mt màu đ tô nhiu nht s đnh có th, tho mãn yêu cu bài toán. Tip theo, s dng màu th 2 đ tô các đnh cha đc tô trong bc 1, ri s dng đn màu th 3 đ tô các đnh cha đc tô trong bc 2, v.v. 6  tô màu các đnh vi màu mi, chúng ta thc hin các bc: - La chn 1 đnh cha đc tô màu và tô nó bng màu mi. - Duyt qua các đnh cha đc tô màu. Vi mi đnh dng này, kim tra xem có cnh nào ni nó vi mt đnh va đc tô bi màu mi hay không. Nu không có cnh nào thì ta tô màu đnh này bng màu mi. Thut toán này đc gi là “tham n” vì ti mi bc nó tô màu t t c các đnh có th mà không cn phi xem xét xem vic tô màu đó có đ li nhng đim bt li cho các bc sau hay không. Trong nhiu trng hp, chúng ta có th tô màu đc nhiu đnh hn bng 1 màu nu chúng ta bt “tham n” và b qua mt s đnh có th tô màu đc trong bc trc. Ví d, xem xét đ th  hình 1.3, trong đó đnh 1 đã đc tô màu đ. Ta thy rng hoàn toàn có th tô c 2 đnh 3 và 4 là màu đ, vi điu kin ta không tô đnh s 2 màu đ. Tuy nhiên, nu ta áp dng thut toán tham n theo th t các đnh ln dn thì đnh 1 và đnh 2 s là màu đ, và khi đó đnh 3, 4 s không đc tô màu đ. Hình 1.3  th Bây gi ta s xem xét thut toán tham n đc áp dng trên đ th các ngã r  hình 1.2 nh th nào. Gi s ta bt đu t đnh AB và tô cho đnh này màu xanh. Khi đó, ta có th tô cho đnh AC màu xanh vì không có cnh ni đnh này vi AB. AD cng có th tô màu xanh vì không có cnh ni AD vi AB, AC. nh BA không có cnh ni ti AB, AC, AD nên cng có th đc tô màu xanh. Tuy nhiên, đnh BC không tô đc màu xanh vì tn ti cnh ni BC và AB. Tng t nh vy, BD, DA, DB không th tô màu xanh vì tn ti cnh ni chúng ti mt trong các đnh đã tô màu xanh. Cnh DC thì có th tô màu xanh. Cui cùng, cnh EA, EB, EC cng không th tô màu xanh trong khi ED có th đc tô màu xanh. 1 5 3 4 2 a)  th ban đu 1 5 3 4 2 b) Tô màu theo thut toán tham n 1 5 3 4 2 c) Mt cách tô màu tt hn 7 Hình 1.4 Tô màu xanh cho các đnh ca đ th ngã r Tip theo, ta s dng màu đ đ tô các đnh cha đc tô màu  bc trc. u tiên là BC. BD cng có th tô màu đ, tuy nhiên do tn ti cnh ni DA vi BD nên DA không đc tô màu đ. Tng t nh vy, DB không tô đc màu đ còn EA có th tô màu đ. Các đnh cha đc tô màu còn li đ u có cnh ni ti các đnh đã tô màu đ nên cng không đc tô màu. Hình 1.5 Tô màu đ trong bc 2 Bc 3, các đnh cha đc tô màu còn li là DA, DB, EB, EC. Nu ta tô màu đnh DA là màu lc thì DB cng có th tô màu lc. Khi đó, EB, EC không th tô màu lc và ta chn 1 màu th t là màu vàng cho 2 đnh này. ACAB AD BCBA BD DBDA DC EBEA EC ED ACAB AD BCBA BD DBDA DC EBEA EC ED 8 Hình 1.6 Tô màu lc và màu vàng cho các đnh còn li Nh vy, ta có th dùng 4 màu xanh, đ, lc, vàng đ tô màu cho đ th ngã r  hình 1.2 theo yêu cu nh đã nói  trên. Bng tng hp màu đc mô t nh sau: Màu Ngã r Xanh AB, AC, AD, BA, DC, ED  BC, BD, EA Lc DA, DB Vàng EB, EC Bng 1.2 Bng tng hp màu Thut toán tham n không đm bo cho ra kt qu ti u là s màu ít nht đc dùng. Tuy nhiên, ngi ta có th dùng mt s tính cht ca đ th đ đánh giá kt qu thu đc. Tr li vi vn đ nút giao thông, t kt qu tô màu trên, ta có th thit k h thng đèn giao thông theo bng tng hp màu trên, trong đó m i trng thái ca h thng đèn tng ng vi 1 màu. Ti mi trng thái, các ngã r nm ti hàng tng ng vi màu đó đc cho phép đi, các ngã r còn li b cm. 1.1.2 Ngôn ng din đt gii thut và k thut tinh chnh tng bc Sau khi đã xây dng đc mô hình toán hc cho vn đ cn gii quyt, tip theo, ta có th hình thành mt thu t toán cho mô hình đó. Phiên bn đu tiên ca thut toán thng đc din t di dng các phát biu tng đi tng quát, và sau đó s đc tinh chnh dn tng bc thành chui các lnh c th, rõ ràng hn. Ví d trong thut toán tham n  trên, ta mô t bc thc hin  mc tng quát là “La chn 1 đnh cha đc tô màu”. Vi phát biu nh vy, ta hy vng rng ngi đc có th nm đc ý tng thc hin thao tác. Tuy nhiên, đ chuyn các phát biu đó ACAB AD BCBA BD DBDA DC EBEA EC ED 9 thành chng trình máy tính, cn phi qua 1 s bc tinh chnh cho ti khi đt đn mc các phát biu đu có th đc chuyn đi trc tip sang các lnh ca ngôn ng lp trình. Tr li ví d v bài toán tô màu đ th bng thut toán tham n. Ta s xem xét vic mô t thut toán t mc tng quát cho ti mt s mc c th hn. Ti bc nào đó, gi s ta có đ th G có 1 s đnh đã đc tô màu theo quy tc đã nói  trên. Th tc Tham_an di đây s xác đnh 1 tp các đnh cha đc tô màu thuc G mà có th cùng đc tô bi 1 màu mi. Th tc này s đc gi đi gi li nhiu ln cho ti khi tt c các đnh ca G đã đc tô màu.  mc tng quát, th t c đc mô t nh sau: void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi) { Mau_moi = Tp rng; For mi đnh v cha đc tô màu thuc G If v không đc ni ti đnh nào trong tp Mau_moi { Tô màu mi cho đnh v; a v vào tp Mau_moi; } } Trong th tc trên, ta s dng mt ngôn ng din đt gii thut ta nh ngôn ng lp trình C. Trong ngôn ng này, các lnh đc mô t di dng ngôn ng t nhiên nhng vn tuân theo cú pháp ca ngôn ng lp trình. Ta nhn thy rng các phát biu trong th tc trên còn rt tng quát, và cha tng ng vi các lnh trong ngôn ng lp trình, chng hn các điu kin ki m tra trong câu lnh For và If  mc mô t hin ti là không thc hin đc trong C.  th tc có th thc thi đc, ta cn phi tinh chnh mt s bc đ có th chuyn đi v chng trình trong ngôn ng lp trình C thông thng. u tiên, ta xem xét lnh If  trên.  kim tra xem đnh v có ni ti mt đnh nào đó trong tp Mau_moi hay không, ta xem xét tng đnh w trong Mau_moi và s dng đ th G đ kim tra xem có tn ti cnh ni v à w không.  lu gi kt qu kim tra, ta s dng mt bin ton_tai. Khi đó, th tc đc tinh chnh nh sau: void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi) { int ton_tai; Mau_moi = Tp rng; For mi đnh v cha đc tô màu thuc G { ton_tai = 0; For mi đnh w thuc Mau_moi If tn ti cnh ni v và w trong G ton_tai = 1; If ton_tai = = 1 { 10 Tô màu mi cho đnh v; a v vào tp Mau_moi; } } } Nh vy, ta có th thy rng điu kin kim tra trong phát biu If đã đc mô t c th hn bng các phát nh hn,và các phát biu này có th d dàng chuyn thành các lnh c th trong C. Tip theo, ta s tinh chnh các vòng lp For đ duyt qua các đnh thuc G và thuc Mau_moi.  làm điu này, tt nht là ta thay For bng mt vòng lp While, bin v ban đu đc gán là phn t đu tiên cha tô màu trong tp G, và ti mi bc lp, bin v s đc thay bng phn t cha tô màu tip theo trong G. Vòng lp F bên trong có th thc hin tng t. Void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi) { int ton_tai; int v, w Mau_moi = Tp rng; v = đnh cha tô màu đu tiên trong G ; While v != NULL { ton_tai = 0; w = đnh đu tiên trong Mau_moi; While w != NULL{ If tn ti cnh ni v và w trong G ton_tai = 1; w = đnh tip theo trong Mau_moi ; } If ton_tai = = 1 { Tô màu mi cho đnh v; a v vào tp Mau_moi; } v = đnh cha tô màu tip theo trong G; } } Nh vy, ta thy các phát biu trong th tc đã khá c th, tuy nhiên, đ chuyn đi thành chng trình trong ngôn ng C thì cn ti vài bc tinh chnh na. Bn đc hãy xem nh đó là bài tp và t gii đ hiu rõ v ngôn ng din đt gii thut cng nh k thut tinh chnh tng bc. 1.2 PHÂN TÍCH THUT TOÁN Vi mi vn đ c n gii quyt, ta có th tìm ra nhiu thut toán khác nhau. Có nhng thut toán thit k đn gin, d hiu, d lp trình và sa li, tuy nhiên thi gian thc hin ln và tiêu tn . liu “Cu trúc d liu và gii thut” bao gm 7 chng, trình bày v các cu trúc d liu và các gii thut c bn nh t trong tin hc. Chng 1 trình bày. ca chng trình không ph thuc vào giá tr d liu đu vào mà ph thuc vào kích thc ca d liu đu vào. Do vy thi gian chy ca chng trình nên