Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥; +¥). Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gian biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta có X -1 (B) = { Định lí 1.2. Cho (W, , P) là không gian xác suất. Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với bất kì số thực xÎR, một trong các điều kiện sau được thoả mãn i 1 . {w: X(w) < x} Î ; i 2 . {w: X(w) x} Î ; i 3 . {w: X(w) > x} Î ; i 4 . {w: X(w) x} Î ; Ví dụ 1.3. Giả sử (W, ,P) là không gian xác suất tuỳ ý. Với A Î bất kỳ, định nghĩa hàm I A (w) = Hàm I A (w) được gọi là hàm chỉ tiêu trên tập A. Chứng minh I A (w) là biến ngẫu nhiên. Giải. Theo Định lí 1.2 ta chỉ cần chứng minh với mỗi x ÎR thì {w: I A (w) x} Î . Thật vậy, {w: I A (w) x} = Do Æ, đều là phần tử của nên {w: I A (w) x} Î . Ví dụ 1.4. Gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất. Ký hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp xuất hiện. Chứng minh rằng X là biến ngẫu nhiên. Giải. Đặt W = {w 1 ; w 2 } trong đó w 1 là biến cố “xuất hiện mặt sấp”; w 2 là biến cố “xuất hiện mặt ngửa”. Ta có X(w) = Chứng minh giống như trong Ví dụ 1.3 ta có X là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.5. Hàm f : R n ® R được gọi là hàm Borel nếu với bất kì tập B Î B(R) ta có f -1 (B) Î B n (R), trong đó B n (R) là s-đại số cực tiểu chứa lớp tất cả các hình hộp chữ nhật nửa đóng . Ví dụ 1.6. Các hàm dưới đây đều là hàm Borel: f(x) = ; f(x) = sinx, x Î R f(x) = x 1 + x 2 + … + x n , (x 1 ,…,x n ) Î R n . f(x) = , (x 1 ,…,x n ) Î R n . f(x) = x 1 x 2 …x n , (x 1 ,…,x n ) Î R n . Định lí 1.7. Cho f(x) là hàm Bôrel trên R n và X 1 ,…,X n là những biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất (W, ,P). Khi đó f(X 1 , ,X n ) là biến ngẫu nhiên. Hệ quả 1.8. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên thì aX, X + Y, X – Y, XY, , X + = max(X, 0), X - = min(X, 0), đều là biến ngẫu nhiên. Định lí 1.9. Nếu {X n (w), n³1} là dãy biến ngẫu nhiên thì ; ; ; cũng là những biến ngẫu nhiên. 2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (W, , P) và nhận giá trị trong không gian (R, B(R)). Định nghĩa 2.1. Với B Î B(R), P X (B) = P[w: X(w) Î B(R)] được gọi là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Nếu lấy B = (-¥; x], x Î R thì F X (x) = P X ((-¥; x]) = P[w: X(w) x] được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Ví dụ 2.2. a. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X = I A (w) trong Ví dụ 1.3 là: F(x) = P[w: X(w) x] = b. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X cho trong Ví dụ 1.4 là: F(x) = P[w: X(w) x] = Ví dụ 2.3. Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối, đồng chất. Nếu ta ký hiệu Y là biến ngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện thì Y sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 với các xác suất P(Y = 0) = P({NNN}) = P(Y = 1) = P({NNS}, {NSN}, {SNN}) = P(Y = 2) = P({NSS}, {SNS}, {SSN}, ) = P(Y = 3) = P({SSS}) = Từ đó, hàm phân phối của Y là Tính chất 2.4. Hàm phân phối F(x) là hàm đơn điệu không giảm, nghĩa là nếu x 1 < x 2 thì F(x 1 ) F(x 2 ). Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục phải, nghĩa là . Nói cách khác, nếu {x n } là dãy giảm gồm các số thực hội tụ đến x thì . F(x) = 0 và F(x) = 1 Nếu đã biết hàm phân phối của X thì ta có thể tính được mọi xác suất để X nhận giá trị rơi vào các đoạn, khoảng khác nhau của trục số. Cụ thể, với a, b ta có P(X > a) = 1 – F(a). P(X < a) = P(X = a) = ; ; Ví dụ 2.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi Tính P(X < 2); P(X = 1); P(X > 1,5); P(X = 0,5); ; P(2 < X . Giải. P(X < 2) = . P(X = 1) = P(X > 1,5) = 1 – F(1,5) = P(X = 0,5) = 0 vì hàm F(x) liên tục tại x = 0,5. P( P(2 < X = F(4) – F(2) = 1 - 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. . Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (- ; +¥). Định nghĩa 1. 1. Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo. biến ngẫu nhiên. 2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (W, , P) và nhận giá trị trong không gian (R, B(R)). Định nghĩa 2 .1. Với. là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Nếu lấy B = (- ; x], x Î R thì F X (x) = P X ( (- ; x]) = P[w: X(w) x] được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Ví dụ 2.2. a. Hàm phân