Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 1 pptx

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1.. Khi đó Xw là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với bất kì số thực xÎR, một trong các điều kiện sau được thoả mãn i1.. Giả sử

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

1 Biến ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥; +¥)

Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gian

biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta có

X-1(B) = {

Định lí 1.2 Cho (W, , P) là không gian xác suất Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với bất kì số thực xÎR, một trong các điều kiện sau được thoả mãn

i1 {w: X(w) < x} Î ; i2 {w: X(w) x} Î ;

i3 {w: X(w) > x} Î ; i4 {w: X(w) x} Î ;

Ví dụ 1.3 Giả sử (W, ,P) là không gian xác suất tuỳ ý Với A Î bất kỳ, định nghĩa hàm

IA(w) =

Hàm IA(w) được gọi là hàm chỉ tiêu trên tập A Chứng minh IA(w) là biến ngẫu nhiên

Giải Theo Định lí 1.2 ta chỉ cần chứng minh với mỗi x ÎR thì {w: IA(w) x} Î

Thật vậy,

{w: IA(w) x} =

Do Æ, đều là phần tử của nên {w: I A (w) x} Î

Ví dụ 1.4 Gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất Ký hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp xuất hiện Chứng minh rằng X là biến ngẫu nhiên

Giải Đặt W = {w1; w2} trong đó w1 là biến cố “xuất hiện mặt sấp”; w2 là biến cố

“xuất hiện mặt ngửa” Ta có

X(w) =

Chứng minh giống như trong Ví dụ 1.3 ta có X là biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5 Hàm f : R n ® R được gọi là hàm Borel nếu với bất kì tập B Î B(R)

ta có f -1 (B) Î B n (R), trong đó B n (R) là s-đại số cực tiểu chứa lớp tất cả các hình

Ví dụ 1.6 Các hàm dưới đây đều là hàm Borel:

f(x) = ; f(x) = sinx, x Î R

f(x) = x 1 + x 2 + … + x n , (x 1 ,…,x n ) Î R n

f(x) = , (x 1 ,…,x n ) Î R n

f(x) = x 1 x 2 …x n , (x 1 ,…,x n ) Î R n

Định lí 1.7 Cho f(x) là hàm Bôrel trên R n và X 1 ,…,X n là những biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất (W, ,P) Khi đó f(X1 , ,X n ) là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.8 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên thì aX, X + Y, X – Y, XY, , X + = max(X, 0), X - = min(X, 0), đều là biến ngẫu nhiên

2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (W, , P) và nhận giá trị trong không gian (R, B(R))

Định nghĩa 2.1 Với B Î B(R),

P X (B) = P[w: X(w) Î B(R)]

được gọi là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Nếu lấy B = (-¥; x], x Î R thì

FX(x) = PX((-¥; x]) = P[w: X(w) x]

được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Ví dụ 2.2

a Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X = I A (w) trong Ví dụ 1.3 là:

F(x) = P[w: X(w) x] =

b Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X cho trong Ví dụ 1.4 là:

F(x) = P[w: X(w) x] =

Ví dụ 2.3 Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối, đồng chất Nếu ta ký hiệu Y là biến ngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện thì Y sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 với các xác suất

P(Y = 0) = P({NNN}) =

P(Y = 1) = P({NNS}, {NSN}, {SNN}) =

P(Y = 2) = P({NSS}, {SNS}, {SSN}, ) =

P(Y = 3) = P({SSS}) =

Từ đó, hàm phân phối của Y là

Tính chất 2.4

 Hàm phân phối F(x) là hàm đơn điệu không giảm, nghĩa là nếu x1 < x2 thì F(x1) F(x2)

 Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục phải, nghĩa là Nói cách khác, nếu {xn} là dãy giảm gồm các số thực hội tụ đến x thì

 F(x) = 0 và F(x) = 1

Nếu đã biết hàm phân phối của X thì ta có thể tính được mọi xác suất để X nhận giá trị rơi vào các đoạn, khoảng khác nhau của trục số Cụ thể, với a, b ta có

 P(X > a) = 1 – F(a)

 P(X < a) =

 P(X = a) =

Ví dụ 2.5 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi

Tính P(X < 2); P(X = 1); P(X > 1,5); P(X = 0,5); ; P(2 <

Giải P(X < 2) =

P(X = 1) =

P(X > 1,5) = 1 – F(1,5) =

P(X = 0,5) = 0 vì hàm F(x) liên tục tại x = 0,5

P(

P(2 < X = F(4) – F(2) = 1 -

3 Biến ngẫu nhiên rời rạc