Khóa luận tốt nghiệp toán học: Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Mục lục

1.1 Đại số tập hợp 5

1.2 σ- đại số tập hợp 6

1.3 Độ đo trên đại số tập hợp 6

1.3.1 Hàm tập hợp 6

1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp 7

1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo 8

1.4 Mở rộng độ đo 9

1.4.1 Độ đo ngoài 9

1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số 9

1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng 10

1.6 Hàm đo được 11

1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương 11

1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được 12

1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được 13

1.7 Độ đo hữu hạn 14

1.8 Hàm số Borel 14

1.8.1 σ- đại số Borel trong R 14

1.8.2 Hàm số Borel 15

1.9 Tích phân 17

1.9.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm 17

1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm 19

1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức 20

2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 21 2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 21

2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 21

2.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 26

2.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên 33

2.5 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên 35

2.6 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên 40

2.6.1 Hội tụ hầu chắc chắn 40

2.6.2 Hội tụ theo xác suất 43

Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ XVII Một số nhà Toán họcnhư Huygens, Bernoulli, De Moivre là những người có công đầu tiên tạo nên

cơ sở Toán học của Lý thuyết xác suất

Chebyshev(1821 - 1894), Borel(1871 - 1956), Kolmogorov(1903 - 1987),

đã có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của Lý thuyết xác suất.Ngày nay Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn, chiếm

vị trí quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Nó được ứng dụng rộng rãitrong nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Khoa học xã hội và Nhân văn Từ đóGiải tích hiện đại trở thành một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu cácvấn đề của Lý thuyết xác suất

Để tìm hiểu sâu hơn một số vấn đề về xác suất trong Giải tích hiện đại,

em đã chọn đề tài: "Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên vàhàm phân phối xác suất " làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

- Trình bày một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xácsuất, từ đó nhằm cung cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngànhToán trường Đại học Tây Bắc

- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trênđại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đođược, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân Từ đó làm cơ sở hình thànhnên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong xác suất

- Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xácsuất

3 Phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất củabiến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức

- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợpkiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoànthành khóa luận

5 Những đóng góp của khóa luận

Khóa luận đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ một số tính chất củabiến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây:Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức

cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ

đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel,tích phân Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh.Chương 2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên: Trình bày địnhnghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên; tìm hiểu về hàm phân phối xácsuất, kỳ vọng và hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên, nghiên cứu về sự độclập và sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ

đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng,hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân

Nếu {An}n∈N∗ ⊂ C là dãy các tập tùy ý trong đại số C thì tồn tại dãy cáctập rời nhau {Bn}n∈N∗ ⊂ C sao cho Bn ⊂ An, (∀n ∈ N∗) và

Bổ đề 1.4 Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại

số các tập con của X

Cho A là một họ tùy ý các tập con của X Bao giờ cũng tồn tại một đại

số các tập con củaX chứaA, chẳng hạn đại sốP(X) tất cả các tập con của

X Kí hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa A, khi

đó C(A) là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A

Bổ đề 1.7 Giao của một họ tùy ý các σ- đại số các tập con của X là một

σ- đại số các tập con của X

Cho A là một họ tùy ý các tập con của X Kí hiệu F (A) là giao của tất

cả các σ- đại số các tập con của X chứa A, khi đó F (A) là một σ- đại sốgọi là σ- đại số các tập con của X sinh bởi A

1.3 Độ đo trên đại số tập hợp

1.3.1 Hàm tập hợp

Định nghĩa 1.8 Cho X là tập tùy ý và C là họ các tập con của X chứa tập

∅ Ta gọi một hàm µ xác định trên C nhận giá trị trên R = R∪ {−∞; +∞}

là một hàm tập hợp Chúng ta quy ước rằng các phép toán viết ra dưới đâytrên R đối với giá trị của hàm µ luôn có nghĩa.

a) Hàm tập hợp µ gọi là cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∩ B = ∅, A ∪ B ∈ C

1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp

Định nghĩa 1.10 Một hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập concủa tập hợp X được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiệnsau:

a) 06 µ(A) 6 +∞ với mọi A ∈ C,

b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {Xn}n=1,∞ ⊂ C sao cho

1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo

Định lý 1.12 Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X Khiđó

Định lý 1.15 Cho µ là độ đo trên đại số C Khi đó

Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ∗(A) ≤ µ∗(B).

Định lí sau cho phép xây dựng một độ đo qua độ đo ngoài

Định lý 1.18 (Carathéodory) Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X và L là

họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn:

1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số

Định lý 1.19 Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của tập X thìhàm tập hợp µ∗ xác định trên P(X) bởi công thức:

a) µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C;

b) µ là độ đo hữu hạn nếu m hữu hạn, µ là σ- hữu hạn nếu m là σ- hữu hạn;c) µ là độ đo đủ;

d) Tập A thuộc họ L khi và chỉ khi A có thể biểu diễn dưới dạng

A = B\N hoặc A = B ∪ N

với B ∈ F (C), N ⊂ E ∈ F (C), µ∗(E) = µ(E) = 0, µ∗ là độ đo ngoài xácđịnh từ độ đo m trên đại số C bởi công thức (1.1)

1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng

Ta trang bị một độ đo m trên R xác định trên đại số C sinh bởi lớp J cáckhoảng trên R mà độ đo m trên các khoảng hữu hạn trùng với khái niệm độdài đoạn thẳng đã biết, từ đó xây dựng một độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoàixác định từ độ đo m gọi là độ đo Lebesgue trên đường thẳng

Với mỗi khoảng I với các mút trái a và mút phải b (hữu hạn hoặc vô hạn),

Nếu A ∈ C(J ) thì A có thể viết dưới dạng: A =

n

S

i=1

Ii với Ii là các khoảngrời nhau Đặt:

ta gọi tập A ∈ L là tập đo được Lebesgue trên R hay gọn hơn là L- đo được

Vì F (J)là σ- đại số Borel trong R mà F (J) ⊂ F (C) ⊂ L nên mọi tập Borel

là L- đo được

Ta có định lý tiêu chuẩn đo được Lebesgue trên R:

Định lý 1.23 Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏamãn một trong hai điều kiện sau:

a) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G\A) < ε

b) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A\F ) < ε Trong

đó, µ∗ là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ

Định lý 1.24 Mọi tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A saikhác một tập Borel bởi một tập có độ đo không, tức là A có dạng A = B ∪ N,với B là tập Borel và N là tập có độ đo không

1.6 Hàm đo được

1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương

Định nghĩa 1.25 Ta gọi là không gian độ đo một bộ ba (X, F , µ), trong đó

X là tập tùy ý khác rỗng, F là σ- đại số các tập con của X và µ là độ đoxác định trên σ- đại số F Mỗi tập A ∈ F được gọi là tập đo được theo độ

đo µ

Định nghĩa 1.26 Hàm f : A → R được gọi là đo được trên tập A ∈ F đốivới σ- đại số F hay là µ- đo được nếu:

Hệ quả 1.28 1) Nếu f đo được trên A thì f đo được trên mọi tập con đođược của A

2) Nếu f đo được trên A thì với mọi a ∈ R, {x ∈ A | f (x) = a} ∈ F

3) Nếu (∀x ∈ A)f (x) = c (c là hằng số) thì f đo được trên A

4) Nếu f đo được trên A thì với mọi hằng số k ∈ R, hàm kf đo được trên

A

1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được

Định lý 1.29 1) Nếu f đo được trên A thì với mọi α > 0 hàm |f |α cũng

Định lý 1.30 Nếu {fn}n∈N∗ là dãy hàm số đo được và hữu hạn thì các hàm

1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được

Cho không gian độ đo (X, F , µ) và A ⊂ X Ta gọi hàm số χA : X → R cho

dưới đây là hàm đặc trưng của tập A được xác định bởi

Định nghĩa 1.31 Hàm số f : X → R được gọi là hàm đơn giản trên tập

A ⊂ X nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị

Giả sử f là hàm đơn giản trên A và f (A) = {a1; a2; ; an}, (ai ∈ R) Tađặt

Định lý 1.32 Mọi hàm đo được f : A → R là giới hạn điểm của dãy các

hàm đơn giản {fn}n∈N∗ Nếu f bị chặn trên A thì giới hạn này là giới hạnhội tụ đều Hơn nữa, nếu f > 0 trên A thì có thể chọn dãy {fn}n∈N∗ là dãyhàm đơn điệu tăng

với A1, A2, là dãy bất kì các tập rời nhau trong F

Mệnh đề 1.34 Cho µ là độ đo hữu hạn trên F Khi đó ta có

i) µ(∅) = 0;

ii) Nếu A1, , An ∈ F, với Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j thì

µ(A1 + A2 + + An) = µ(A1) + µ(A2) + + µ(An);

iii) Nếu A, B ∈ F với A ⊆ B thì µ(A) ≤ µ(B);

iv) Nếu A1 ⊆ A2 ⊆ với An ∈ F , n = 1, 2, thì µ(An) ↑ µS

E1 ⊇ E2 ⊇ và T

n

En = ∅.

1.8 Hàm số Borel

1.8.1 σ- đại số Borel trong R

Định nghĩa 1.36 Giả sử C là tập hợp các tập con mở trong R Khi đó F (C)

được gọi là σ- đại số Borel trong R, thường được viết tắt là B(R) Các tậpnằm trong B(R) được gọi là các tập Borel Như vậy B(R) là σ- đại số sinhbởi các tập con mở trong R

Mệnh đề 1.37 Các tập con sau đây trong R thuộc B(R):

i) C1 = (a, b)với bất kì a < b;

ii) C2 = (−∞, a) với bất kì a ∈ R;

iii) C3 = (a, ∞) với bất kì a ∈ R;

iv) C4 = [a, b] với bất kì a ≤ b;

v) C5 = (−∞, a] với bất kì a ∈ R;

vi) C6 = [a, ∞) với bất kì a ∈ R;

vii) C7 = (a, b] với bất kì a < b;

viii) C8 = [a, b) với bất kì a < b;

ix) Tập con đóng bất kì trong R

Mệnh đề 1.38 Cho F(đóng) là σ- đại số các tập con trong R sinh bởi cáctập con đóng trong R và F(compact) là σ- đại số các tập con trong R sinhbởi các tập con compact trong R Khi đó ta có

F(đóng) = F(compact) = B(R)

1.8.2 Hàm số Borel

Định nghĩa 1.39 Cho (X, F ) là một không gian đo, f : X → R là một

hàm số Khi đó f được gọi là hàm Borel nếu f−1(G) ∈ F với G là tập mởtrong R

Mệnh đề 1.40 Hàm f : X → R là hàm Borel nếu và chỉ nếu f−1(A) ∈ F

với mỗi A ∈ B(R)

Mệnh đề 1.41 ChoC là tập hợp các tập con trong R thỏa mãn F (C) = B(R)

và hàm f : X → R Khi đó f là hàm Borel nếu và chỉ nếu f−1(A) ∈ F vớimọi A ∈ C

Mệnh đề 1.44 Giả sử f : X → R và g : X → R là các hàm Borel Khi đó

iii) |f |α là hàm Borel với bất kì α ≥ 0;

iv) Nếu f không bị triệt tiêu thì f1 là hàm Borel;

v) f g là hàm Borel;

vi) |f |, max{f, g}, min{f, g} là các hàm Borel

Định lý 1.46 Cho (X, F ) là không gian đo và {fn} là dãy các hàm Boreltrên X Giả sử tồn tại f (x) = lim

n fn(x) với mỗi x ∈ X Khi đó f là hàmBorel

Định nghĩa 1.47 Cho (X, F ) là không gian đo và f : X → C Ta nói rằng

f là hàm Borel nếu Re f và Im f là các hàm Borel

Mệnh đề 1.48 Cho f : X → C là hàm Borel Khi đó |f | là hàm Borel vàtồn tại hàm Borel α : X → C với |α(x)| = 1, ∀x ∈ X thỏa mãn

Như vậy nếu s là hàm đơn giản với các giá trị α1, α2, , αn nào đó và

s là hàm Borel đơn giản nếu và chỉ nếu các Aj đo được

Định lý 1.50 Cho f : X → R là hàm Borel không âm Khi đó tồn tại một

dãy các hàm Borel đơn giản không âm {sn} sao cho

∞

T

i=1

Bi ∈ M.Giao của một họ bất kì các lớp đơn điệu cũng là lớp đơn điệu Cho C là tậphợp các tập con của X, khi đó M(C) là lớp đơn điệu sinh bởi C, và đó lớpđơn điệu "nhỏ nhất" chứa C

Định lý 1.52 Cho A là một đại số các tập con của X Khi đó

αiIAi là một hàm đơn giản Với E ∈ F,

ta định nghĩa tích phân của s trên E theo µ là

Đặc biệt với A ∈ F, tích phân của hàm chỉ tiêu của A trên X chính là độ

thường gọi là tích phân của I[a,b] trên [0, 1]

Nếu X = R và µ là độ đo Lebesgue - Stieltjes trên R sinh bởi hàm

với s là hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀x ∈ X Nếu

vế phải không hữu hạn, ta nói rằng f không khả tích trên E

Mệnh đề 1.55 Giả sử f, g là các hàm đo được và E ∈ F Khi đó

iii) Nếu f (x) = 0 với mọi x ∈ E thì

s dµ Khi đó ϕ là độ đo hữu hạn trên không gian

đo (X, F ) Hơn nữa ta có

1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm

Định lý 1.57 (Định lý Lebesgue về sự hội tụ đơn điệu) Cho fn làmột dãy các hàm đo được trên X và giả sử

i) 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ với x ∈ X,

ii) fn(x) → f (x) khi n → ∞, với x ∈ X

Khi đó f đo được và

1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức

Định nghĩa 1.59 Hàm giá trị phứcf trên X được gọi là khả tích (Lebesgue)theo µ nếu |f | khả tích Tập hợp tất cả các hàm f như thế được kí hiệu là

X

f dµ

≤

i) fn(x) → f (x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X,

ii) Tồn tại g ∈ L1(X, µ) sao cho |fn(x)| ≤ g(x) với mọi n ∈ N và x ∈ X.Khi đó f ∈ L1(X, µ) và

Định lý 1.63 Giả sử f là một hàm đo được bị chặn Khi đó f ∈ L1(X, µ)

(µ là độ đo hữu hạn trên X)

2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1 Cho µ là một độ đo hữu hạn trên không gian độ đo

(X, F , µ) Nếu µ(X) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (X, F , µ)

được gọi là không gian xác suất X được gọi là không gian mẫu, F là σ- đại

số các biến cố

Biến ngẫu nhiên là một hàm Borel trên không gian xác suất

2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Xét không gian xác suất (Ω, S,P) với Ω là không gian mẫu, S là σ- đại sốcác biến cố và P là độ đo xác suất trên (Ω, S),f : Ω → R là biến ngẫu nhiên

(tức f là hàm Borel) Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f là hàm

Ff : R →R được xác định bởi

Ff(x) = P(f ≤ x) = P({ω : f (ω) ≤ x})

Ff được xác định rõ khi {ω : f (ω) ≤ x} ∈ S, với x ∈ R.

Mệnh đề 2.3 Hàm phân phối Ff có các tính chất sau:

Chứng minh i) Ta có Ff(x) =P(f ≤ x) ∈ [0; 1] với mọi x

Do đó ta có lim

x→+∞Ff(x) = 1.iv) Cố định x ∈ R, với n ∈ N ta đặt Bn = {ω : f (ω) ≤ x + n1} Ta có

x<a

Ff(x).NếuFf là hàm tăng thì cận trên đúng của nó không lớn hơn Ff(a) Nói cáchkhác, Ff(a) chặn trên tập {Ff(x) : x < a} và do đó nó lớn hơn hoặc bằngcận trên đúng của tập này Như vậy Ff có giới hạn trái tại mỗi điểm thuộc

R, nhưng giá trị giới hạn này có thể nhỏ hơn giá trị thực của Ff tại điểm đó.Nghĩa là nếu limx↑aFf(x) = Ff(a−) thì Ff(a−) ≤ Ff(a)

Định nghĩa 2.5 Bước nhảy của Ff tại a ∈ R là hiệu Ff(a) − Ff(a−) Tanói rằng a là một điểm liên tục của Ff nếu Ff liên tục tại a, trong trườnghợp Ff(a) = Ff(a−) và do đó bước nhảy bằng 0

Mệnh đề 2.6 Với bất kì a ∈ R, bước nhảy của Ff tại a bằng P(f = a).Chứng minh Theo định nghĩa, ta có

Ff(a) = P(f ≤ a) = P({ω : f (ω) ≤ a})

Đặt An = {ω : f (ω) ≤ a − n1} với n ∈ N Ta có

A1 ⊆ A2 ⊆ và

n

An = {ω : f (ω) < a}.Theo Mệnh đề 1.34 ta có

Ff(a) − Ff(a−) = P(f ≤ a) −P(f < a) =P(f = a)

Ta nói một tập hợp là đếm được nếu nó hữu hạn (bao gồm cả tập rỗng)hoặc vô hạn đếm được (nghĩa là có thể đặt tương ứng 1-1 với tập các số tựnhiên N)

Mệnh đề 2.7 Các bước nhảy khác 0 của hàm phân phối Ff tạo thành mộttập đếm được

Chứng minh Giả sử J là tập các bước nhảy khác 0 của Ff và đặt

Jn = {a ∈ J : "Bước nhảy của Ff tại a" ≥ n1}.Giả sử a1, a2, , ak ∈ Jn với a1 < a2 < < ak Chọn a0 là số thực bất kìsao cho a0 < a1 Khi đó 0 ≤ Ff(a0) ≤ Ff(ak) ≤ 1 (theo tính chất của Ff)

Hệ quả 2.8 Với bất kì biến ngẫu nhiên f nào đều tồn tại tập đếm được

J ⊂ R sao cho P(f = x) = 0 với mọi x ∈ R\J

Chứng minh Vớif là biến ngẫu nhiên, đặt J ⊂ R là tập các bước nhảy khác

0 của Ff Ta có J là một tập đếm được Khi đó ta có P(f = x) 6= 0 với

x ∈ J do đó P(f = x) = 0 với x ∈ R\J

... gian mẫu, F σ- đại

số biến cố

Biến ngẫu nhiên hàm Borel không gian xác suất

2.2 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên

Xét không gian xác suất (Ω, S,P) với... class="page_container" data-page="22">

Định nghĩa 2.2 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên f hàm< /p>

Ff : R →R xác định bởi

Ff(x) = P(f... không gian xác suất biến ngẫu nhiên< /p>

Định nghĩa 2.1 Cho µ độ đo hữu hạn không gian độ đo

(X, F , µ) Nếu µ(X) = µ gọi độ đo xác suất (X, F , µ)

được gọi khơng gian xác suất X gọi