Khóa luận tốt nghiệp toán học: Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 σ- đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số . . 9 1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương . . . . . . . 11 1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được . . . . . . . . . . 12 1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Độ đo hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8.1 σ- đại số Borel trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8.2 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . 17 1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm . . . . . . . . 19 1 1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức . . . . . . . 20 2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 21 2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . 21 2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 21 2.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.1 Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.2 Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích là một trong những ngành quan trọng nhất của Toán học và mang nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Trong hoạt động thực tiễn, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các hiện tượng ngẫu nhiên mà không thể dự đoán trước được. Tuy nhiên con người có thể nghiên cứu và hệ thống hóa các hiện tượng ngẫu nhiên để rút ra các quy luật ngẫu nhiên và biểu diễn chúng bằng các mô hình Toán học. Từ đó một lĩnh vực của Toán học mang tên là "Lý thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ XVII. Một số nhà Toán học như Huygens, Bernoulli, De Moivre là những người có công đầu tiên tạo nên cơ sở Toán học của Lý thuyết xác suất. Chebyshev(1821 - 1894), Borel(1871 - 1956), Kolmogorov(1903 - 1987), đã có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của Lý thuyết xác suất. Ngày nay Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng. Nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Khoa học xã hội và Nhân văn. Từ đó Giải tích hiện đại trở thành một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các vấn đề của Lý thuyết xác suất. Để tìm hiểu sâu hơn một số vấn đề về xác suất trong Giải tích hiện đại, em đã chọn đề tài: "Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất" làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu - Trình bày một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất, từ đó nhằm cung cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại học Tây Bắc. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân. Từ đó làm cơ sở hình thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong xác suất. - Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất. 3. Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất. 4. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 5. Những đóng góp của khóa luận Khóa luận đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh. Chương 2. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên: Trình bày định nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên; tìm hiểu về hàm phân phối xác suất, kỳ vọng và hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên, nghiên cứu về sự độc lập và sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân. 1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Ta gọi một họ C các tập con của X là một đại số trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: a) X ∈ C, b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C, c) Nếu A, B ∈ C thì A ∪B ∈ C. Bổ đề 1.2. C là một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu C thỏa mãn các điều kiện sau: a) X ∈ C, b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C, c’) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C. Nhận xét 1.3. Nếu C là một đại số thì C chứa X và đóng kín đối với các phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp và giao hữu hạn, phép lấy hiệu, hiệu đối xứng). Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C là dãy các tập tùy ý trong đại số C thì tồn tại dãy các tập rời nhau {B n } n∈N ∗ ⊂ C sao cho B n ⊂ A n , (∀n ∈ N ∗ ) và ∞  n=1 B n = ∞  n=1 A n . 5 Bổ đề 1.4. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại số các tập con của X. Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Bao giờ cũng tồn tại một đại số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất cả các tập con của X. Kí hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa A, khi đó C(A) là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A. 1.2 σ- đại số tập hợp Định nghĩa 1.5. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Một họ F các tập con của X được gọi là một σ- đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: a) X ∈ F, b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F, c) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ F thì ∞  n=1 A n ∈ F. Bổ đề 1.6. F là một σ- đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F thỏa mãn các điều kiện sau: a) X ∈ F, b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F, c) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ F thì ∞  n=1 A n ∈ F. Bổ đề 1.7. Giao của một họ tùy ý các σ- đại số các tập con của X là một σ- đại số các tập con của X. Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Kí hiệu F(A) là giao của tất cả các σ- đại số các tập con của X chứa A, khi đó F(A) là một σ- đại số gọi là σ- đại số các tập con của X sinh bởi A. 1.3 Độ đo trên đại số tập hợp 1.3.1 Hàm tập hợp Định nghĩa 1.8. Cho X là tập tùy ý và C là họ các tập con của X chứa tập ∅. Ta gọi một hàm µ xác định trên C nhận giá trị trên R = R ∪{−∞; +∞} 6 là một hàm tập hợp. Chúng ta quy ước rằng các phép toán viết ra dưới đây trên R đối với giá trị của hàm µ luôn có nghĩa. a) Hàm tập hợp µ gọi là cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∩B = ∅, A ∪B ∈ C thì µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B). b) Hàm tập hợp µ được gọi là σ- cộng tính nếu với mọi dãy tập {A n } n=1,∞ ⊂ C mà A i ∩ A j = ∅, (i = j), ∞  n=1 A n ∈ C thì µ  ∞  n=1 A n  = ∞  n=1 µ(A n ). Nhận xét 1.9. 1) Nếu µ cộng tính thì µ hữu hạn cộng tính, nghĩa là nếu A 1 , , A m ∈ C, A i ∩ A j = ∅, (i = j), m  i=1 A i ∈ C thì µ  m  i=1 A i  = m  i=1 µ(A i ). 2) Nếu hàm µ là σ- cộng tính và µ(∅) = 0 thì µ hữu hạn cộng tính. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. 1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp Định nghĩa 1.10. Một hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con của tập hợp X được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện sau: a) 0  µ(A)  +∞ với mọi A ∈ C, b) µ(∅) = 0, c) µ là σ- cộng tính . Định nghĩa 1.11. Cho µ là một độ đo trên đại số các tập con của X. Ta nói: a) Độ đo µ là hữu hạn nếu µ(X) < +∞; 7 b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {X n } n=1,∞ ⊂ C sao cho X = ∞  n=1 X n và µ(X n ) < +∞ với mọi n ∈ N ∗ . 1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo Định lý 1.12. Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X. Khi đó a) Nếu A, B ∈ C, A ⊂ B thì µ(A)  µ(B); b) Nếu A, B ∈ C, B ⊂ A, µ(B) < +∞ thì µ(A\B) = µ(A) − µ(B); c) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A ∈ C, A ⊂ ∞  n=1 A n thì µ(A)  +∞  n=1 µ(A n ); d) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A i ∩ A j = ∅, (i = j), A ∈ C, ∞  n=1 A n ⊂ A thì +∞  n=1 µ(A n )  µ(A). Hệ quả 1.13. Nếu µ là độ đo σ- hữu hạn trên X thì mọi tập A ∈ C đều biểu diễn được dưới dạng hợp đếm được các tập thuộc C có độ đo hữu hạn. Định lý 1.14. Giả sử µ là độ đo trên đại số C. Khi đó a) Nếu {A n } ⊂ C, µ(A n ) = 0, (∀n ∈ N ∗ ), ∞  n=1 A n ∈ C thì µ  ∞  n=1 A n  = 0; b) Nếu A, B ∈ C, µ(B) = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A). Định lý 1.15. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó a) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ , ∞  n=1 A n ∈ C thì µ  lim n→∞ A n  = µ  ∞  n=1 A n  = lim n→∞ µ(A n ). b) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ , ∞  n=1 A n ∈ C và µ(A 1 ) < +∞ thì µ  lim n→∞ A n  = µ  ∞  n=1 A n  = lim n→∞ µ(A n ). Định lý 1.16. Cho µ là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ là một độ đo nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 8 a) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ , ∞  n=1 A n ∈ C thì µ  lim n→∞ A n  = µ  ∞  n=1 A n  = lim n→∞ µ(A n ). b) Nếu {A n } n∈N ∗ ⊂ C, A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ , ∞  n=1 A n = ∅ thì lim n→∞ µ(A n ) = 0. 1.4 Mở rộng độ đo 1.4.1 Độ đo ngoài Định nghĩa 1.17. Hàm tập hợp µ ∗ xác định trên σ- đại số P(X) tất cả các tập con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ ∗ thỏa mãn các điều kiện: a) µ ∗ (A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X; b) µ ∗ (∅) = 0; c) µ ∗ là σ- cộng tính dưới, nghĩa là nếu A ⊂ ∞  n=1 A n thì µ ∗ (A) ≤ ∞  n=1 µ ∗ (A n ). Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B). Định lí sau cho phép xây dựng một độ đo qua độ đo ngoài. Định lý 1.18. (Carathéodory) Cho µ ∗ là một độ đo ngoài trên X và L là họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn: µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X. Khi đó: a) L là một σ- đại số; b) µ = µ ∗ | L là một độ đo trên L. Độ đo µ = µ ∗ | L tức là µ(A) = µ ∗ (A) với mọi A ∈ L, được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ ∗ và các tập A ∈ L được gọi là các tập µ ∗ - đo được. 1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số Định lý 1.19. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của tập X thì hàm tập hợp µ ∗ xác định trên P(X) bởi công thức: 9 µ ∗ (A) = inf  ∞  n=1 m(A n )|{A n } n∈N ∗ ⊂ C, ∞  n=1 A n ⊃ A  (1.1) là một độ đo ngoài trên X và µ ∗ (A) = m(A), ∀A ∈ C. Hơn nữa, mọi tập thuộc σ- đại số F(C) sinh bởi C đều là µ ∗ - đo được. Định nghĩa 1.20. Ta nói một độ đo µ trên σ- đại số F là độ đo đủ nếu mọi tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo không đều thuộc F và do đó có độ đo không. Định lý 1.21. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của X thì tồn tại một độ đo µ trên σ- đại số L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho: a) µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C; b) µ là độ đo hữu hạn nếu m hữu hạn, µ là σ- hữu hạn nếu m là σ- hữu hạn; c) µ là độ đo đủ; d) Tập A thuộc họ L khi và chỉ khi A có thể biểu diễn dưới dạng A = B\N hoặc A = B ∪ N với B ∈ F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ ∗ (E) = µ(E) = 0, µ ∗ là độ đo ngoài xác định từ độ đo m trên đại số C bởi công thức (1.1). 1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng Ta trang bị một độ đo m trên R xác định trên đại số C sinh bởi lớp J các khoảng trên R mà độ đo m trên các khoảng hữu hạn trùng với khái niệm độ dài đoạn thẳng đã biết, từ đó xây dựng một độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài xác định từ độ đo m gọi là độ đo Lebesgue trên đường thẳng. Với mỗi khoảng I với các mút trái a và mút phải b (hữu hạn hoặc vô hạn), ta đặt m(I) =            0 nếu I = ∅, b − a nếu a, b ∈ R, +∞ nếu a hoặc b vô hạn . 10 [...]... biến ngẫu nhiên Chương này trình bày định nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, tìm hiểu về đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên là hàm phân phối xác suất, trình bày về hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên và một đặc trưng số quan trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng, nghiên cứu sự độc lập của các biến ngẫu nhiên cùng với hai dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên: hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất. .. trong Luật số lớn 2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1 Cho µ là một độ đo hữu hạn trên không gian độ đo (X, F, µ) Nếu µ(X) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (X, F, µ) được gọi là không gian xác suất X được gọi là không gian mẫu, F là σ - đại số các biến cố Biến ngẫu nhiên là một hàm Borel trên không gian xác suất 2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xét... gian xác suất (Ω, S, P) với Ω là không gian mẫu, S là σ - đại số các biến cố và P là độ đo xác suất trên (Ω, S),f : Ω → R là biến ngẫu nhiên (tức f là hàm Borel) Ta có định nghĩa sau: 21 Định nghĩa 2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f là hàm Ff : R → R được xác định bởi Ff (x) = P(f ≤ x) = P({ω : f (ω) ≤ x}) Ff được xác định rõ khi {ω : f (ω) ≤ x} ∈ S , với x ∈ R Mệnh đề 2.3 Hàm phân phối. .. Borel và ta có Ff (a) = P(f ≤ a) = P({x ∈ R : f (x) ≤ a}) = P({x ∈ R : x ≤ a}) = P((−∞, a]) = F (a) Như vậy ta có F = Ff Nhận xét 2.11 Với bất cứ hàm phân phối F nào cho trước luôn tồn tại một biến ngẫu nhiên nào đó nhận F là hàm phân phối Chẳng hạn như cho hàm x 2 F (x) = e − t2 −∞ dt √ 2π thì tồn tại một biến ngẫu nhiên nhận F là hàm phân phối Trong trường hợp này ta nói biến ngẫu nhiên có phân phối. .. toàn là một độ dài Định lý 2.10 Giả sử ta có hàm F thỏa mãn các tính chất trong Mệnh đề 2.3 Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên f sao cho F = Ff Chứng minh Trước tiên ta sẽ chỉ ra một không gian xác suất nơi mà f được xác định Đặt Ω = R, S = B(R) và P là độ đo xác suất Lebesgue - Stieltjes trên (R, B(R)) sinh bởi F 25 Ta xác định một biến ngẫu nhiên f trên (R, B(R), P) bởi f (x) = x Khi đó f là hàm Borel... mặt khác FX là hàm phân phối nên FX liên tục phải, từ đó ta kết luận rằng FX liên tục trên R 2.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.20 Cho X là biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, S, P) Khi đó hàm đặc trưng của X là hàm ϕX : R → C được xác định bởi eitX dP = E(eitX ) = E(cos(tX)) + iE(sin(tX)), t ∈ R ϕX (t) = Ω cos(tX) và sin(tX) là các hàm Borel bị chặn trên Ω và do đó khả tích... là hàm Borel tùy ý, ta viết g dưới dạng g = g+ − g− và ta cũng có E(g(X)) = g(x)ϕ(x) dx R Ví dụ 2.18 Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng N (a, σ 2 ) (σ là độ lệch chuẩn) nếu hàm phân phối FX của nó có dạng a e FX (a) = −(x−µ)2 2σ 2 −∞ Khi đó ta có dx √ σ 2π +∞ E(g(X)) = g(x)e dx √ σ 2π −(x−µ)2 2σ 2 −∞ Định nghĩa 2.19 Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối FX của. .. phân phối chuẩn 2.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Cho (Ω, S, P) là không gian xác suất, f : Ω → R là biến ngẫu nhiên Trên L2 (Ω, P) ta xác định tập {f : |f |2 ∈ L1 (Ω, P)} là tập các hàm số bình phương khả tích trên (Ω, P) Định nghĩa 2.12 Ta nói biến ngẫu nhiên f có kỳ vọng hữu hạn nếu như f ∈ L1 (Ω, P) và ta gọi Ef = f dP Ω là kỳ vọng của f Nếu f ∈ L2 (Ω, P) thì phương sai của f là (f − Ef )2 dP = E(f... con của X , khi đó M(C) là lớp đơn điệu sinh bởi C , và đó lớp đơn điệu "nhỏ nhất" chứa C Định lý 1.52 Cho A là một đại số các tập con của X Khi đó M(A) = F(A) 1.9 1.9.1 Tích phân Tích phân của hàm đơn giản không âm n αi IAi là một hàm đơn giản Với E ∈ F , Định nghĩa 1.53 Giả sử s = i=1 ta định nghĩa tích phân của s trên E theo µ là n αi µ(Ai ∩ E) s dµ = E i=1 17 Đặc biệt với A ∈ F , tích phân của hàm. .. ứng 1-1 với tập các số tự nhiên N) Mệnh đề 2.7 Các bước nhảy khác 0 của hàm phân phối Ff tạo thành một tập đếm được Chứng minh Giả sử J là tập các bước nhảy khác 0 của Ff và đặt 1 Jn = {a ∈ J : "Bước nhảy của Ff tại a" ≥ n } Giả sử a1 , a2 , , ak ∈ Jn với a1 < a2 < < ak Chọn a0 là số thực bất kì sao cho a0 < a1 Khi đó 0 ≤ Ff (a0 ) ≤ Ff (ak ) ≤ 1 (theo tính chất của Ff ) 1 và khi đó ta có Ff