Khóa luận tốt nghiệp toán Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ***** ^ ***** NGUYỄN THỊ THÚY TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Th.s.Nguyễn Trung Dũng HÀ NỘI, 5/2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô giáo trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Trung Dũng - người đã giúp em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận. Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Lời cam đoan Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng. Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác. Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Mục lục Phân phối của tích và thương ■ 16 19 19 suất rời rac 23 2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tuc 25 2.4 PHÉP RTẾN ĐổT TUYẾN TÍNH CỦA VECTO NGẪU Nguyễn Thị Thúy 1 MÔT số KIẾN THỨC Cơ SỞ 1 1.1 MÔT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GĂP 1 1 . 1.1 Một số định nghĩa 1 1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngâu nhiên thường găp 1 1.2 HÀM STNH MỒM EN 3 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 3 1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp 4 2 CẮC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỎT CỦA HẰM CẤC BIẾN NGẤU NHIÊN 2.1  PHƯƠNG PHÁP PHẤN PHỐI XẮC SUẤT 2.1.1 Mô tả phương pháp 2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min 9 . . . . 9 . . . . 9 ■ ■ 10 2.1.3 Phân phối của tống và hiệu hai biến ngẫu nhiên 13 2.1.4 2.2.1 Mô tả phương pháp 2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 2 3 2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác NHTẺ N 3 2 Lời nói đầu Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vực toán học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền toán học thế giới. Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng. V ớ i đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháp t ì m p h â n p h ố i x á c s u ấ t c ủ a h à m c á c b i ế n n g ẫ u n h i ê n . K h ó a l u ậ n g ồ m 2 c h ư ơ n g : Chương 1. Một số kiến thức cơ sở Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh mômen của nó. Chương 2. Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên. Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm về phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên. V Chương 1 MỘT số KIẾN THỨC cơ SỞ 1.1MỘT số PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 1.1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số F X (X) = P {tư € : X (cư) < X} : X ẽ M, được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (Xi,X 2 ). Hàm số F XL ,X 2 (X I,X 2 ) xác định bởi F XL ,X 2 {X 1,X 2 ) = P [X 1 < XI,X 2 < X 2 ], V(x i : x 2 ) G K 2 đ ược gọi là h àm phân phối xá c suất đ ồ n g thời c ủa vectơ ngẫu nhiên X. Từ phân phối xác suất đồng thời của XI, X 2 , ta có thể tìm phân phối của XI hoặc X 2 . Khi đó phân phối của XỊ và X2 được gọi là phân phối biên duyên. 1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên thường gặp a. Phân phối nhị thức Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (N,P), N G N*, 0 < P < 1 , nếu P(X = k) = c k n .p k .{ 1 - P Ỵ-\ k = ÕTrâ. Kí hiệu X ~ B(N,P). Đặc biệt, nếu n=l thì ta nói X CÓ phân phối Becnuli. b. Phân phối Poisson Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số À(À > 0 ), nếu P(X = k) = e —^~, k=0, 1, 2, V Kí hiệu X ~ POI(Ằ). c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss) Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tha m số (ịi : ơ 2 ) với —oo < ịi < + o o : ơ 2 > 0 nếu hàm mậ t độ có dạng t (  J (x — ịi) 2 ì Wl)= vè'“T V Kí hiệu X ~ N(FI,Ơ 2 ). Trường hợp đặc biệt, nếu ỊI = 0,cr 2 = 1 thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu X N(0,1). Chú ý Nếu X ~ iV(0,1) thì  ỉ x { x) = - = ^ và $ ( x ) = F x { x )= ị —L= e ^ d t. VZ7r J v27T — 00 d. Phân phối mũ Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số À(À > 0 ) nếu hàm mật độ xác suất có dạng f \ _ Ị     Mx)= \ 0 Kí hiệu là X ~ Exp(X). V e. Phân phối đều Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, 6 ] nếu hàm mật độ xác suất có dạng Kí hiệu là X ~ U(A, B). f. Phân phối Gamma Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các tham số r > 0, A > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng Kí hiệu là X ~ G{r, A). 1.2 HÀM SINH MÔMEN 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X. Hàm sinh mômen của X kí hi ệ u là m x{t) đ ư ợc xác định b ởi MX{T) = E(e t x ) nếu tồn tại h > 0 sao cho MX{T) tồn tại với mọi \T\ < H. Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X, có thể được tính từ MX{T). Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm E X ta có V {  ,x ệ[a,b]. X > 0 \ 0 X < 0. V V Với t=0 ta có mj(0) = 1. Từ điều kiện tồn tại của MỴ{T) ta đạo hàm 2 vế của (1.1) đối với T ta được m' x (t) — E(X) + tE(X 2 ) H ỉ - + ( . ) Cho T — 0 ta được M'X(0) = E(X). Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với T ta được m" x (t) = É{X 2 ) + tE{X 3 ) + Cho T = 0 ta được M" X (0) = E(X 2 ). Tiếp tục quá trình này ta được mỉ>( 0) = E ( X' ) . Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên Xcó hàmsinh mômen là mx ( t).Kh i đó biến ngẫu nhiên Y = aX + b vớ ia, blà hằng số thực có hàm sinh mômen là m Y {t) = e t b mx(at ). Chứng minh. Ta có m Y (t) = E(e tY ) = E(e^ a X + b ^) = e t b E{e atx ) = e t b m x {at) . m Định lý 1.2 Cho Xi, ,X n là cá c biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm sinh mômen tương ứng là rrix {t)i i = 1,2, ,71. Dặt n z = CLịXị vớ i các aị, ,a n là cá c hằng s ố thực. Khi đó i =   n m z (t) = ỊỊ m X i {ait) . 1=1 Chứng minh. Ta có m z {t) = E{e t z ) = Ể(e s ' ) = n Ee t a ị X i = ỊỊ m X i { a it)- u V [...]... (A- l)(A2) l — 0 — Bằng cách tính tích phân từng phần À lần ta thu được — =Grh) • Chương 2 — CÁC PHƯỢNG PHÁP TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN — 2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUAT 2.1.1 Mô tả phương pháp Cho XỊ,XN là các biến ngẫu nhiên và , •), 0 0 ,yy, ,X„>y],... biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất là F x ( ) thì — — — — FrM = l-[l-Fx{v)]’- Chứng minh Nếu XỊ, , XN là các biến ngẫu nhiên độc lâp và có hàm phân phối xác suất tương ứng là FX.(-), YỊ = MIN[XI, , XN] thì — — Fr t (v) = P[Yi < v\ = — í/] = 1 - IỊ P [ X ị > y ] — độc lập) — 71 — 1 - P[Yi > v\ = 1 - F[Í1 > V, > i= 1 = 1 - n [1 i= 1 — (do Xi, .,xn — Nếu X i , X n là các biến ngẫu . khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng. V ớ i đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình. ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ***** ^ ***** NGUYỄN THỊ THÚY TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn. một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh mômen của nó. Chương 2. Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác