Khóa luận tốt nghiệp toán Tìm hiểu về phương pháp lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁNKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ KHIEN Người hướng dẫn: ThS.. Đề tài nghiên cứu của em là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ

KHIEN

Người hướng dẫn: ThS NGUYẼN TRUNG DŨNG Cơ

quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2

Họ và tên sinh viên: PHẠM HồNG DIỆU HUYEN Khoa:

Toán Ngành: Sư Phạm Toán Lốp: K36B

Xuân Hòa - 2014

Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin đượcgửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo-Thạc sĩNguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em hoànthành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoa toán Đại Học

Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá ữình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên

em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên

Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán Đề tài nghiên cứu của em

là "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển"

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Em xin camđoan nội dung khóa luận được thực hiện hoàn toàn do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thânkhông ừùng lặp bất cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác

Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chi tiết ữong nội dung khóa luận và đã được giáo viênhướng dẫn thông qua

Em xỉn chân thành cảm ơn!

Chương 1.

1.1

3 3 5 9

1 1

1 5 1 8 1 8

2 0 2 1 2 1 23 29

3 1 3 1

Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng và phổ biến mộtcách rộng rãi Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bố trên rất nhiều tạp chíkhoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặc biệt đốivới những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ổn định để ápdụng trong những lĩnh vực khác Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhà nghiêncứu và các học viên ừong lĩnh vực khác nhau Do đó, tôi đã chọn đề tài "Tìm hiểu

về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển"nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ điều khiển.Khóa luận của tôi gồm hai chương

• Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường,hàm Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân

• Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mốiquan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp Lya-punov thứ 2, điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn địnhmũ

Dù rất cố gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó

có thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô vàcác bạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 Mục đích, nhiệm yụ

• ' • •

Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov Đặc biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov thứ hai là nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

^= 8 i{t,x í ,X 2 , ,x n )i=l,n,

(1.1.2)

d g j { t , x 1,

được thỏa mãn.

^ Kịj = const, j = 1, n, trên /xíl thì điều kiện

Định lý 1.1.1 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) Nếu g(t,x) = g n (t,x)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, khi đó V(ío,*o) £ / X £2,3í* > 0, sao cho 3 1 nghiệm

Chương 1

Một số khái niệm và công cụ

toán học

1.1 Một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường

_ 0v< A 02 ) < ỗ

thì

d A'

—x^(t,to,xo) < e Tức là tính liên tuc của §^( 1 ,i = 1 ,n) kéo theo

duy nhất x(t,to,Xo) thỏa mãn phương trình vi phân (ịi.i 2 |) vói điều kiện ban đầu

x(t,to,xo)=xo, (1.1.3)

dx(t,to,xo)

= g(t,x(t,t 0 ,xo)),

dt

trên khoảng [to — t*,to +1*].

Định lý 1.1.2 (Định lí về sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban

đầu) Giả sử rằng điều kiện của định lý (Ịi.i.iỊ) được thỏa mãn

x^(t) := x(t,to,x ữ ), x^ 2 \t) x(t,to,XQ ) là 2 nghiệm của (1.1.2 1 xác

định trên

[t 0 ,h] Khi x

đó, Ve > 0, 3Ỗ > 0 sao cho

-x^(t,t 0 ,xo) < tính liên tục của đx ‘ịj’ to ?°) (i ; j = l,n).

Dưới đây, chúng ta xét phương ữình vi phân phụ thuộc tham số

‘%=g{t,X,ỊÌ),

trong đó, X G ũ., t £ / và jU £ [jU-i, /i2] là một vector tham số

Định lý 1.1.3 (Định lý về sự liên tục và khả vỉ của nghiệm theo tham số).

Giả sử g(t,x,ịì) ẽCỊ/xílx [jUi ,/ 12 ] ,R n ] ,g thỏa mãn điều kiện Lỉpschỉtz với mọi giá trị jU e [jUi, H 2 ] ■Khi đó:

(1) Vío e /, Xo € n,jUo € [jUi, /X 2 ] thì 3 hằng số p> 0 ,a > 0 sao cho khi 1/1 — /lo I ^ p, nghiệm của phương trình (Ị/.7.2Ị) x(t) = x(t,to,Xo,n) xác định trên [ío — a;to + a\ phụ thuộc liên tục vào ịII.

(2) , g i được giải tích đối với các biến, kéo theo x(t) := x(t,to,xo,Ịi) cũng giải tích đối với ịII.

(3) Sự khả vi liên tục của gi đối với các biến X ị , x n và Ịl, kéo theo sự khả vi liên tục của x(t) := x(t,to,xo,ịi) đối với ịi.

Ví dụ 1.1.1 : xét hệ tuyến tính bậc 2

d 2 x „ áx

àx 2 dt

Khi Ẳ = 0 phương trình ịl.l.5\) có họ nghiệm tuần hoàn:

( 1 1 6 )

x(t) =Asin(í + a)

X (t) = A cos (t 4- a),

trong đó, A và a là hằng số, khử t trong ịl.1.6 ) thu được phương

trình quỹ đạo X 2 +x 2 = A 2 , mô tả 1 họ các đường tròn khi A thay đổi Khỉ 0 <

Ầ < 1, theo Định lý ịl.l.2\ , quỹ đạo nghiệm của hệ ịl.l.óị ) xấp xỉ nghiệm

của ịl.1.5 1 ) như mô tả hình 1.1

Hình 1.1: Minh họa sự phụ thuộc liên tục vào tham số

• w (x) được gọi ỉà nửa xác định dương nếu w{x)'^ồ với X E £1.

• w (x) được gọi là xác định ăm nếu —W (X) là xác định dương.

• w (x) được gọi là nửa xác định âm nếu w (x) ^ 0

• Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xấc định dấu.

• Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dấu

Ví dụ 1.2.3 w(jci ,.* 2 ) = xỊ+xị — ЗХ 1 Х 2 là hàm thay đổi dấu.

Ví dụ 1.2.4 V ( t , X i ,* 2 ) = xỊ sint + xị cost là hàm thay đổi dấu.

Đinh nghĩa 1.2.3 Hàm V(t,x) được gọi là xác định dương nếu 3 1 hàm xác định dương w (X) sao cho

v(t,x) ^W(x) vàV(t,0) = 0.

Hàm v(t,x) được gọi là xác định âm nếu —V(t,x) là xác định dương Hàm v(t,x) ễC[/x HjR 1 ] được gọi là nửa xác định dương nếu v(t,x) ^ 0 v(t,x) là nửa xác định âm nếu v(t,x) ^ 0

Ý nghĩa của Định nghĩa (|l.2.3|)được mô tả ở hình (1.2)

Ví dụ 1.2.5 V(t,x 1 ,* 2 ) = (2 + е~ г )(х\ 2 +X 2 2 +X\X 2 ) là xác định dương vì

v(t,x 1 ,X 2 ) = (2 + e -í )(xi 2 +X 2 2 +X 1 X 2 ) ^x 1 +x 2 +x 1 x 2 := W(xix 2 ) ỏ đây,

w(x\,X 2 ) là xác định dương, và V(í, 0 ) = 0

Ví dụ 1 2 6 v(t,x 1 ,* 2 ) = (е~ г )(х\ 2 + ịx\X 2 +X 2 2 ) là nửa xác định dương, vì không

3 1 hàm xác định dương w(x) sao cho V(t,xi, JC 2 ) ^ w(x).

Định nghĩa 1.2.4 Hàm w(л) ) G с [м л) , ж 1 ] được gọi là xác định dương và R.u không

bị chặn nếu w (л) ) xác định dương và w(л) ) —> + 0 O khỉ X —> 00

Hiĩin Lyaponov

Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian

Định nghĩa 1.2.5 Hàm V(t,x) e c [ì X M", M 1 ] được gọi là xác định dương và không

bị chặn nếu 31 hàm xác định dương và không bị chặn W 2 (*) sao cho V (t,x) ^ Hàm v(t,x) được gọi là I.u.b nếu 3 hàm Wị (x) xác định dương sao cho \V(t,x)\

không đóng Thật vậy khi c ^ 1

X 2

w (x\ , 0) = -^2 = c không có nghiêm hữu han đối với X ị

1 ~r

W ( 0 , x 2 ) = j4 = c không có nghiệm hữu hạn đối với X 2

Vậy theo hướng Xị(X 2 = 0) hoặc X\(X 2 = 0) , W(X\,X 2 ) = c không đóng Tuy nhiên, khi 0 < c < 1, X 2 = kxi, k / 0 là một số thực bất kỳ thì phương trình Vậy theo hướng Jti (jC 2 = 0) hoặc X] (jC 2 = 0), w (jci ,* 2 ) = c không đóng Tuy nhiên, khi 0 <

c < 1, X 2 = kx\ ,k ^ 0 là một số thực bất kỳ thì phương trình

k x ị ! x ị

l+PxỊ + 14*2

Có nghiệm hữu hạn X í , do đó đường cong W(XI,X 2 ) = c và đường thẳng X i — kxi có hữu hạn giao điểm Tương tự, w(x\ ,* 2 ) = c và X\ = kx 2 (k / 0) có hữu hạn giao điểm Do đó, W (*1 ,^ 2 ) = c(0 < c < 1) là một đường đóng( nhìn hình 1.3)

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm K và mối liên hệ giữa lớp hàm K và hàm xác định dương

Hình 1.4: v=c là 1 dường đóng gồm nhiều họ lân cận

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm (Ọ e [/? + ,/? + ], R + [0;+°o) hoặc (Ọ G c[[0,/ỉ] ,R + ]khi đó (Ọ được gọi là w_ hàm hoặc K- hàm nếu thỏa mãn:

(1) ọ là hàm tăng

(2) Kí hiệu ọ G K, <p(0) = 0.

Định nghĩa 1.3.2 Cho (Ọ E [i? ,i? + + ] và (Ọ e K, khỉ đó nếu lim (p(r) = +00 thì ọ(r)

được gọi là lớp hàm K, kí hiệu là (Ọ G KR.

Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương và hàmthuộc lớp K

Định lý 1.3.1 Cho ũ := { X , || J C || ^ h}, cho w(x) € [íì,/?1],là một hàm xác định

c>ì

dương bất kỳ Khi đó 3 2 hàm <Pi , <P 2 € K sao cho

9L(IMI)<W(*)<ẹfc(||x||) (1.3.7)

Chứng minh:Với h > 0 bất kì, ta CMR (|l.3.71 đúng với 11*11 < h Đặt

(p{r) = inf w(;t).

r^ị\x\\^h

RÕ ràng, ta có <p(0) = 0, ọ(r) > 0 với r > 0 và <p(r) là một hàm đơn điệu không giảm trên

đoạn [О, А] ] Bây giờ ta chứng minh <p(r) là liên tục Vì w(x) liên tục, Ve > 0,3ỗ(e) > 0sao cho

ọ{rì) — <p{ri) = inf W(jc)— inf w(;t)

r 2 < 11*11 <A T\ < ||л:||

= inf iy(x) —W(xo)

11*11

^W(jci)-W(jtü)

< £ khi 11*1 — XoII < r 2 -r\ < ỗ(e).

Trong đó, ta lấy X\ = *0 khi *0 e z>2 := {x\ĩ 2 ^ 11*11 < h}.

Khi *0 £ D\ {x\r\ < ||jc|| < h} ta lấy giao điểm của đường Ох 0 và ||jc|| = Г 2 như ở hình(1.5) Đặt <Pi (r) := r< ^p- ^ <p(r) Rõ ràng, ta có <Pi (0) = 0 và nếu о < Г\ < Г 2 < h, ta có

4>1 (r,) = r -đM aihủ = ,pl(r2)

Do đó, <p 1 (r) là hàm đơn điệu tăng và vì vậy <Pi G к Đặt

'î'(r) := max w(;t)

11*11

Khi đó ta có Ỹ(0) = 0 Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh rằng Ỹ(r) là hàm

đơn điệu không giảm và liên tục Đặt Ọ 2 (r) 'Р(г) + kr(k > 0),

Ta có

< 02 (n) = lự{ri)+kri < wi r 2 )+kri < \Ịf(r 2 )+kr 2 = <P 2 (r 2 ).

Do đó, Ọ 2 (r) là hàm đơn điệu tăng và Ọ 2 (r) G K.Từ các kết quả trên ta có

Bằng phương pháp tương tự ta có định lý dưới đây.

Định lý 1.3.2 Cho VK(x) e С Ị/?",./? 1 ] ỉà một hàm xác định dương và R.u bất kì, khỉ đó tồn tại hai hàm <Pi (r), Ỷi{r) e KR sao cho:

9i ( \ \ x \ \ ) < W ( x ) ^ Ọ 2( \ \ x \ \ )

1.4 Đạo hàm Dinỉ

Đặt I := [to,+°°),f(t) G С [/, IR1] Với tel bất kì thì 4 đạo hàm dưới đây:

D + f ( t ) : = lim ị ( f { t + h ) - f ( t ) ) = lim sup\ { f { t + h ) - f ( t ) ) , (1.4.8)

tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo hàm Dini được xác định như sau.

Định lý 1.4.1 Điều kiện cần và đủ đểf(t) ễCỊ/ịR 1 ], đơn điệu không giảm trên I là D

+ f(t ) ^ 0, với t G I

Chứng minh:

Điều kiện cần là rõ ràng vì Í 2 ^ h kéo theo f(t 2 ) ^

f(h)-Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.Trước tiên giả sử D + f(t) > 0 trên I Nếu có 2 điểma,j 8

£/vàa< ß sao cho/(a) >/(/3),khiđózljU thỏa mãn/(a) > ịi > f{ß) và điểm t G [a, Ị.3] sao cho

f(t) > ịi Đặt ệ = Supịt : f(t) ^ jii} khi đó Ẹ G [a, ß] và sự liên tục của f(t) ta có f(Ẹ ) = Д.

theo chứng minh trên thì /(í) + ặt là hàm đơn điệu không giảm Với ệ tùy ý vì vậy f(t) là

hàm đơn điệu không giảm ữên I Định lý được chứng minh

Chú ý 1.4.1 Nếu ta thay thế D + f(t ) ^ 0 bởi D + f(t ) ^ 0, khi đo đi€u ki€ĩi đu CUŨ định lý ịỉ.4.1) vẫn đúng Tương tự nếu ta thay D + f(t) ^ 0 bởi D~f(t ) ^ 0 hoặc D_/(í) ^ 0 và

do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dỉnỉ không âm thì f(t) là hàm không giảm.

Dưới đây , ta xét đạo hàm Dini của 1 hàm dọc theo nghiệm của 1 phương trình vỉ

\v(t,x)-v{t,y) \ < L||jc-y|| ,Vx,y e € I.

Khỉ đó đạo hàm phải trên và đạo hàm phải dưới của v(t,x) dọc theo nghiệm x(t) của (1.4.141 có dạng dưới đây

hf(t,x)) E u,(t + h,x(t + h)) e u Gọi L là hằng số Lipschitz của v(t,x) ữong / xíl Sử dụng

khai ữiển Taylor và điều kiện Lipschitz, ta được

Định lý 1.5.1 Giả sử hàm ẹ(t) là liền tục |t ^ t ^ b và đạo hàm phải dưới Dini D +

(p(t) tồn tại thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

(1.5.26)

trong đó, F(t,x ) ẼC[/x ^,-R 1 ] , ( t, <p(t)) ẽ/xíl nếu x<ĩ>(f) là nghiệm lớn nhất

I[t, b) của hệ phương trình

(1.5.27)

Khi đó (p(t) ^ 0(í)(t ^ í ^ b).

Định lý 1.5.2 Giả sử hàm f(t,x ) liên tục |/? = {(í, Jt) |í — t| ^ a — |jc — ệ I ^ b} và không giảm đối với x,x = (ọ{t) là liên tục, và khỉ |f — f| ^ a, (t, <p(t)) £ R, (p{t) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

t , x £ R

Hệ quả 1.5.1 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử rằng g(t) và u(t) là các hàm thực không âm liên tục, vàclà 1 hằng số không âm Khi đó nếu

(1.5.31)

Nếu trong khoảng tồn tại

chung, tồn tại t > X sao cho

ẹ(t)

^<D(í).(1.5.37)

{ t )

>

<D(í

Do

đó,

Nếut

lại,

trên [a,b] Khi đó, các

khẳng định sau đúng:

(1) ẹ(t) ^ <í>(f) khi T b;

(2) (Ị>{t) ^ 4>(í) khi a<t ^ T.

Chương 2

mô tả bởi phương trình

vi phân thường dưới đây

^=*(»o

-1)trong đó,£2 c R n,0 E £1, G

=g (t, x+

<p (t) )- g(t ,< p(t )) :

=f( t,x ) ( 2

1 2

)

Do đó, nghiệm Y = (p(t) của

phương trình (Ị2.1.1Ị) tươngứng với nghiệm X = 0 của

([2.1.2' I Vì vậy, ta chỉnghiên cứu tính ổn định củanghiệm X = 0 của (|2.1.l|)

Giả sử / e c [IX £2,/?"] và

nghiệm của bài toán Cauchy

là xác định duy nhất f(t,x)

— 0 nếu X = 0, x(t, to,Xo) lànghiệm thỏa mãn điều kiệnban đầu jc(*o) = *oỉ x(t,to,xo) là

1 hàm của các biến

t,to,Xũ-Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm không X = 0 của (2.1.21 được gọi là ổn định nếu

Ve >

1, V*o € > 0 sao cho

V(*o), ||jco|| < S(e,£o) thì ||

jc(í,ío,*o)|| < £ với t ^

to-Nghiệm không X = 0 của (2.1.2) được gọi là không

ổn định, nếu 3 £ o ,3 ío , V Ỗ >

với to , nếu Ve > 0,3ỗ(e)

ổn định mũ nếu

Ve > 0,3Ằ > 0,3ỗ(e),Vío £

I, 11*0 II < 5 thì || jc(í,ío,jco)|| < e.e~ Ằ ^~ tữ \t ^

* 0

Định nghĩa 2.1.4 Nghiệm không X = 0 được gọi là

ổn định mũ toàn cục nếu:

X n

hệ giữa sự ổn định và hấp dẫn, điều này sẽ được thảo luận ở phần tới.

(2.2.5)

<

Nghiệm tổng quát của (2.2.3 ) là

Xỉ (t) = Xỉ (t 0 )cos{t — t ữ )sỉn{t — to), x 2 (t) = X\ (t Q )sin(t - to) +x 2 (to)cos(t - to).

Suy ra xị(t) +xị(t) = x^(ío) +x|(ío).Ve > 0 đặt s = ổ(e) = e Khi 0 < x^(ío) +

< 8, ta có

xỊ(t) +xị{t ) < s = e.

Do đó, nghiệm không của (2.2.3 Ị) là hệ Ổn định đều

Ví du 2.2.2 (Ổn định mũ nhưng không ổn định mũ toàn cục) Xét

dt dt

trong đó /i, /2 € C[I, R 2 ] tìioả mãn /1 (0,0) = /2 (0,0) = 0, và giả sử rằng nghiệm của (2.3.7|> là duy nhất

Cho v(;c) = V(XI,X 2 ) £ K và v(x) e c1^2,/?1] Nghiệm x(t) = (xi(t),X2(t)) T là

chưa biết hoặc tìm nghiệm là rất khó, nhưng giả sử rằng đạo hàm x(t) nó thoả mãn

(xiịt),x 2 (t)) = (fl(xi,x 2 ),f 2 (xi,x 2 )).

Nếu ta thay thế nghiệm x(t) vào hàm V(í), ta có V(í) := V(x(í)) Khi đó sự ổn định và

không ổn định được mô tả như sau:

"Dao động xung quanh vị trí ban đầu",

"Rời khỏi vị trí ban đầu",

tương đương với V (x(í)) là không giảm và tăng tức là ^ ^ 0, >0,

điều này thể hiện ở hình (2.4)

Hình 2.4: Minh họa hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2

f = ỉ, = ỉ = Ỉ^adv.ỉ

* 2