i=11
dt
đúng, ữong đó Gh {(í,jc),í > t0, II XII< H — const}. Chứng minh
Điều kiện đủ. Từ V(t,x) là xác định dương, 3<p(|| XII) G K sao cho
(2.3.10) (2.3.
Ve > 0(0 < £ < H),3ô(t0,e) > 0 sao cho V(to,0) = 0 và v{t0,x) > 0 là liên tục và khi II x0 ỊỊ< ô(t0,e), ta có
V(t 0 ,x 0 )<ẹ{e). (2.3.11)
Các phương trình (Ị2.3.10) và (2.3.111 kéo theo
v(t,x(t,t0,x0)) < v(t0,x0) < ọ(e) (t > t0). Hơn nữa,
9(11 x(t,t0,x0) II) < v(t,x(t0,x0)) < v(t0,x0) < <p(e) (t > t0).
Từ <p € K ta có
II x(t,t0,x0) ||<e(í>ío)
tức là nghiệm không của (2.3.8) là ổn định.
Điều kiện cần: cho x(t,t0,a)là nghiệm của (2.3.8) . Từ duy nhất nghiệm, ta có
A(T0,T,X) = X hình (2.6) Đặt
v(t,x) = (1 + e-í) II a(t0,t,x) \\2 . (2.3.12)
Khi t và X thay đổi trên những đường cong tích phân thì a(t0,t,x) không thay đổi.
Nhưng khi t và X thay đổi trên những đường cong tích phân thì a(t 0,t,x) nhận các
giá trị khác nhau.Theo định lí về sự phụ thuộc vào giá trị ban đầu ta có v(t,x) của (Ị2.3.12Ị) là liên tục.
(1)Chứng minh V(t,x) là xác định dương. Ve > 0,35(t0,e) > 0 khi I I | | < ổ
II
x(t,t 0 ,a) II< e(t > t 0 )
Do đó, với £ < II X II < H, ta có
II a(t0,t,x) 11 = 11 a 11^ ỏ > 0. (2.3.13)
tl
ìĩ ~r 1
Xem hình (2.7) để thấy ý nghĩa hình học của hàm này. Rõ ràng ta có
W(x)>ĩi(n + l) + ri^-^(ĩin-ĩin+l)(-^--^-) = 'n(n+l)>0 (2.3.14)
Hình 2.7: Ý nghĩa hình học của hàm w (X)
= Tj(n+ 1) + v ' ; (r?„ - TỊn+i)/ , TT
n
với ^ <11 X |Ị< — Do đó, v(t,x) >ĩ]n> w(x) > w{x). Từ w(0+) < v(í,0) = 0,
ĩ l 1 ĩ l
ta có thể định nghĩa(2) cùng một nghiệm bất kì của <[2.3.8]) ta có v(t) :=V(t,x(t,to,a)) := (1 +e-í) II a(t0,t,x(t,t0,a)) || 2 .
yí dụ 2.3.1. Nếu sự xác định dương của V(t,x) được thay đổi điều kiện V(t,x) > 0(x Ỷ 0), v(/,0) = 0, thì kết luận của Định lí(2.3.l\ là không đúng.
Xét:
^ = -Xì dí 2M dí 2A2
Nghiệm tổng quát là
*1 = (*-*»>) x2 = 4".C2 (*-«>)
Rõ ràng nghiệm không là không ổn định. Nhưng nếu ta xây dựng một hàm
v(t,x) = {xị +xị)e~2 t.
Khi đó y(í,0) = 0,v(t,x) > O.VỚix 7 ^ 0
dv _ dv dv dx 1 dv dx2 dt dt dti dt dt2 dt
= —2e~2t(xỊ + x ị ) + e~2t(xị +Jt|) = -e~2t(xị +Jt|) < 0.
Đặt V (í, x) = (xị +xị)e~ 2t = c, tức là cị+xị = c.e
nghiệm tương đương (2.3.20) rời khỏi gốc tọa độ với tốc
dv
độ là e2t, nhưng nghiệm (12.3.19'
rời khỏi gốc toa đô với tốc đô e 2 1. Do đó, < 0 ______ ■ ■ dt
vẫn đúng. Điều này thể hiện sự xác định dương của v(t,x) không thể thay thế cho
v(t,x) > 0,jt Ỷ 0- r i n + 1 + T Ì n - V n + 1 = ĩ ] n (2.3.15) (2.3.16 ) Vậ _____ dt 11 ; Định lí (Ị2.3.1Ị) được chứng dv -ỵ- I (4.2.1) = e * II a(t 0 ,t 0 ,x(t,t 0 ,a )) Ị|< 0 . = (1 + e *) II a(t 0 ,t 0 ,a) ỊỊ=|Ị(l + e 011« (2.3.18 (2.3.19 , (2.3.2
Định lý 2.3.2. Nghiệm không của 2.3.1 là Ổn định đều khỉ và chỉ khỉ 3V(t,x) £ C[GH,R1 } với I.u.b sao cho
D+V{t,x) 1 (2 .3 .!) <0. (2.3.21)
Chứng minh. Điều kiện đủ. Từ điều kiện đã cho, 3(Ọi ,(f>2 e K sao cho
<Pi(|| ^ II) < V(í,jc) < <jt>2 (|| II).
Khi đó, Ve > 0(e < H) đặt ỏ = (^(^(g)), tức là e = ta có
<Pl(|| x{t,x 0 ,x 0) II) < v{t,x{t,t 0 ,x 0)) < v(t0,x0 92(11) < xa II) < (Ịh (S).
Khi đó, II x0 II< 8, ta có điều dưới đây
ỊỊ x(t,t0,x0) II< = e(t > ío)- Tuy nhiên, ỏ = (p^1((pi(e)) = ổ(e) là độc
lập của t0. Vậy nghiệm không là ổn định đều.
Điều kiện cần. Chọn
v(t,x) := (1+e r ) inf II p(ĩ,t,x) II .
(1) . Rõ ràng, V(T,X) là liên tục và V(T,X) < 2 II P(T,T,X) ||2= 2 II X \\2. Vậy V(T,X)
là I.u.b.
(2) Chứng minh v(t,x) là xác định dương. Từ nghiệm không của (Ị2.3.8Ị) là ổn định đều Ve > 0,3ỗ(e), khi ỊỊ a II < ơ,Vt > t0 và í > T, ta có
II jc(í,T,fl) ||< e. (2.3.23)
Do đó, khi e <11 X II < H,Vt > T > t0, ta có
II p{x,t,x) Ị|> ỗ > 0 (2.3.24) Trái lại, cho X*, T*, t*, e < II X* II < H, t0 < T* < t*, ta có (nhìn hình 2.9)
II
p(T*,t*,x*) < 8
Đặt A = P(T* ,T* ,x*).Khi đó, ta có X* — p(t* ,T* ,a).
Từ sự ổn định đều,khi II a|| = Ị| p(T*,t*,x*) ||<8, |Ị
p(t,z*,a)||< £ với mọi
t > T*.Đặc biệt, khi t=t* > T*, II p(t,z*,a) || = Ị| X* |Ị< e, điều này mâu thuẫn thuẫn