Tương tự như Định lí (2.3.2 »,ta có thể xây dựng một hàm xác định dương w(x) sao
Hình 2.8: Mối quan hệ giữa a(x*,t*,x*) vàx(t,to,a) cho v(t,x) > w(x). Do đó, v(t,x) là xác định dương.
(3)Ta chứng minh D‘v(t,x)\ị2 3 8) < 0- Từ X = p(t,t0,a) cùng một nghiệm bất kì
của (2.3.81 ta có
v(t) :=v(t,p(t,t0,a))
= {l+e-f) inf \ \ p ( t , t , p ( t , t0, a ) ) \ \
ÍQ^TSỈÍ
= (1 + e ~{) inf II p ( T, t0, a ) II
biểu ứiị rằng v(t) là một hàm tăng không đổi của t như một kết quả, ơ v(t, x) I (2 3
8 ) < 0 là đúng.Định lí (Ị2.3.2 1 được chứng minh. Định lí (Ị2.3.2 1 được chứng minh. Xét Ví dụ 2.3.2. ậ- = -(xi -2X2)(1-X2-3^) 1T = - ( x2+ x i ) ( l - x ị - 3 x % ) Chọn hàm v(t,x\,X 2 ) = x\ + 2xị. Rõ ràng hàm đó là xác định dương. Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là
dv _ dv_ 4*1^ I dỵ_ d*2 dí ÕX\ ■ dí 3x2 ’ dí
= 2*1.(2*2 — *i)(l ~xĩ~ 3^) — 4X2(^1 +*2)(1 — xj — 3*1)
= —2(1 — — 3xị)(xj + 2x%) ^ 0 vớiXI,X 2 đủ bé.
Ta thấy rằng tất cả các điều kiện của định lí trên được thỏa mãn, vì vậy
nghiệm
X\ = 0,JC2 — 0của hệ đã cho Ổn định.
2.3.3. Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ
Định lý 2.3.3. Cho f(t,x ) G C[I X R",R"],/(f,0) = 0 và f thoả mãnđiềukiện
Lipschitz với X . Khi đó nghiệm không của {2.3.7) là Ổn định mũ toàn cục khi và
chỉ khi tồn tại v(t,x) E c1 X M", R[I 1 ] sao cho:
( ỉ ) IIX II< v(t,x) < K(a) II X II,JC G sa : = { x :=|| X II< a } .
dv
(2) - 7 - 1(4 2 lì — —Q-cV(t,x), ở đây 0 < q< l,c > 0,p,c là hằng số. dt
Nhận xét. Điều kiện đủ:Va > 0, khi XO G SA, đặt x(t) := X(t,t0,x0). Với điều kiện
(2 ), ta có:
Đặt u0 = v(t 0 ,x 0 ). Khi đó, ụ,(t,t 0 ,u 0 ) = u0.e cq^ to\
Theo định lí so sánh, ta có
V(í,jc(í)) < M0-e“C9(í“ío) = Vito.XoỴe-^-^,t > t0.
Theo điều kiện (1) ta có
11 x(t) ||< v(t,x(t)) < K(a) II x0 II e_cí(í_í°) = K(a) Ị| x0 II .e~x^~to\X = cq> 0) , tức là
II x(t,t 0 ,x 0 ) ||< K{a) II x 0 II (t > t 0 ).
Vậy nghiệm không của (2.3.71 là ổn định mũ toàn cục.
Điều kiện cần. Cho nghiệm không của (2.3.7 llà ổn định mũ toàn cục, vậy tồn tại hằng số c > 0 sao cho Va > 0,3^r(a) > 0, khi XO G SA-
x(t,t 0 ,x 0 ) ||< K(a) II x 0 ỊỊ ẽ
Với 0 < q < 1, định nghĩa hàm
V(T,X) := SUP II X(T + T,T,X) II ECQX. ECQX.
Khi đó, V x E sa, ta có:
(1)II * ||< v(t,x) < supK(a ) II XII e~cĩecqĩ = K{à) II X II supe~^~ q ^ < K(a ) II X I
(2.3.26 ) Xét phương trình so d u ịịV(t,x(t)) < -cqV(t,x(t)). = — (2.3.28
(2) Đặt X* = X(T + H,T,X). Khi đó ta có
v(t + h,t,x*) = sup II x(t + h + T:,t + h,x*) II ecqx = sup \\x(t + h + r,t,x) II ecqx
< sup I I x(t + h,t,x) | Ị ecqĩ.e~cqh = v(t,x)e~ cqh .
Hơn thế nữa, ta có V(t + h,x*)-V(t,x) < g-^-l /ỉ Do đó, ta có v(t + h,x*) — V(t,x) h e- c q h _ < lim v(t,x)--- /ỉ—>0+ h = lim Й e- c q h = v(t,x) limlim —— cqV(t,x ) tức
Ket luận
Sau khi hoàn thành khóa luận này đã nêu bật được những nội dung dung chính sau đây:
1. Chương 1: Ở chương này, tôi đã trình bày 1 số định nghĩa, ví dụ, các mối quan hệ tương đương cũng như biểu diễn hình học của hàm Lyaponov và lớp hàm K. Sau đó, việc cung cấp đạo hàm Dini của hàm Lyaponov và 1 số bất đẳng thức vi tích phân cũng làm sáng tỏ hơn về mục đích, ý nghĩa của sự ổn định.
2. Chương 2: Chương này giới thiệu về đặc điểm, ý nghĩa của sự ổn định Lyaponov, đặc biệt là phương pháp Lyaponov thứ 2. Tôi đã trình bày rõ 1 số định nghĩa về sự ổn định Lyaponov, đồng thời đưa ra 1 số ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các dạng ổn định. Đối với phương pháp Lyaponov thứ 2 tôi đã đưa ra các minh họa hình học nhằm thể hiện rõ nội dung, ý nghĩa của phương pháp này. Ngoài ra chuơng này còn cung cấp điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều, ổn định mũ và ổn định mũ toàn cục.