Luận văn thạc sĩ toán lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ NGA LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả Bùi Thị Nga Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn định hệ phương trình sai phân” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả Bùi Thị Nga Mục lục Chương Lí thuyết ổn định hệ phương trình sai phân 21 2.1 Khái niệm ổn định 21 2.2 Sự ổn định hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc N 27 2.3 Sự ổn định hệ tuyến tính với hệ số 29 2.4 Phép phân tích khơng gian pha 32 2.5 Phương pháp Liapunov 39 2.6 Phương pháp thứ Liapunov 2.7 On định xấp xỉ tuyến tính 47 49 Chương 3.1 58 Một số ứng dụng 58 Một loài với hai lớp tuổi 60 3.2 Mơ hình chu kì kinh doanh Nghiên cứu trường hợp lồi bọ bột cánh cứng Mơ hình Nicholson-Bailey 3.3 3.4 Kết luận Tài liệu tham khảo 71 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hệ phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học xã hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân vấn đề thời toán học nhiều nhà toán học quan tâm Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình sai phân Nó ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác nhau, kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái mơi trường Vì phát triển mạnh mẽ theo lý thuyết ứng dụng Với lý đó, tơi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân" để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ Mục đích nghiền cứu - Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp - Luận văn nghiên cứu lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Nghiên cứu tài liệu khoa học phương trình hệ phương trình sai phân; - Trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân, phương trình sai phân, ổn định hệ phương trình vi phân Đóng góp luận văn Trình bày ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Chương Phương trình hệ phương trình sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức phương trình hệ phương trình sai phân Các kiến thức chủ yếu dựa vào [ỊỈj từ trang 57 đến trang 153 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa Trong mục ta nghiên cứu hai tốn tử cần thiết cho phương trình sai phân, là: Toán tử sai phân A X ( N ) = X ( N + 1) — X ( N ) Toán tử dịch chuyển E X ( N ) = X ( N + !)—>■ E X ( N ) = E ( E X ( N )) = Ex(n + 1) = x(n + 2) —»• E k x(n) — x(n + k) 1.1.2 Tính chất Cho I toán tử đồng I X = X Ta có, A = E - I ^ E = A + I Do đó, k k k ýCíEk~Ìx(n) A x{n) = (E- I) x{n ) = ơ- 1- ) i =0 k k k E x { n ) = (A + I ) x { n ) = C ị A ^ x i n ) i=0 (1.1.2) A E tốn tử tuyến tính A[ax(n) + byin )] = aAx(n) + bAy(n ) E[ax(n ) + by(n )] = aEx(n ) + bEy(n ) n— yì Aa;(fc) = x(n) - x(n0), 71— x(fc)) = x{n) (1.1.3) (1.1.4) Thật vậy, với P ( N ) = + • • • + ữfc, ta có A0NK + CLINK AP ( N ) = [ A Q ( N + L ) K + ữi(n 4- l)fc_1 + 1- ữfc] — [a0nfe + A I N K ~ L + -h AK\ AỮKNK~L + Q I ( N ) , Qị(n) đa thức có bậc nhỏ K — Tương tự, A P(n) = a k(k — ) n k + Qĩin) Q Ĩ I N ) đa thức có bậc nhỏ K — Tiếp tục trình K lần ta thu A k P{n) = a k\ Do đó, AK + I P ( N ) = 0, Vi > 1.1.3 Đa thức giai thừa Một hàm thú vị tính tốn sai phân đa thức giai thừa X ^ K \ Với iễR ^ = X ( X — 1) X (X —K + 1), K & z+ Nếu X — nElỉ + vkn>k n ^ = n(n) = n\ \n — k)\ Bây ta xác định A E hàm liên tục A/(í) = f ( t + 1) - f ( t ) E f ( t ) = f ( t + 1) Với F ( X ) = X ^ ta có Ax { k ) = (x + l)(fe) - x { k ) Ex { k ) = (x+ l) k Tính chất: cố định K e z+ X E M ta có (i) Ax^ (ii) A n x^ = k(k — 1) (k — n + l)x( k ~ n ì-, (iii) 1.2 A k xW = kỉ Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phẫn tuyến tính khơng cấp k có dạng y(n + k)+ Pi(n)y(n + k - 1) H b p k (n)y(n ) = g(n ) (1-2.1) với Pi(n),g(n ) hàm thực xác định với Vn > n ữ ,Pk(n ) 7^ Nếu g(n ) = phương trình (1.2.1) gọi phương trình Từ (L2J.) ta có Y(N + K ) = -pi(n)?/(n + K - 1) -P K ( N ) Y ( N Chon = ta có y(k) = -p (0)y(k-l)- p {0)y{k-2) -Cho n = ta có y(k+l) = -p (l)y(k)- p {l)y{k-l) -Bằng cách lặp lại trình trên, ta tính giá trị tất > K YIN) với N Ví dụ 1.6.1 Hệ phương trình sai phăn y(n+ 1) = Ay(n) + g(n), A = ^ ^ ,g(n) = Q ,y(0) = ^ ta có nghiệm hệ cho Dùng thuật toán Putzer y ( n ) (r+^-zẠ \ 2n - 1) Chương Lí thuyết ổn định hệ phương trình sai phân Trong chương chúng tơi đưa khái niệm ổn định điều kiện ổn định hệ phương trình sai phân Các kết dựa theo [ỊỈj từ trang 176 đến trang 219 2.1 Khái niệm ổn định Xét hệ phương trình sai phân x(n + 1) = f(n,x(n)) : x(n ) = x ữ , ( 1) với X ( N ) € Mfe, / : Z + X R —» R , K K F(N, X ) liên tục theo X Điểm X* G R K gọi điểm cân hệ fl2.1.ip f(n, X*) = X* với n > nữ X* gọi nghiệm gốc Định nghĩa 2.1.1 Điểm cân X * (2.1.1) gọi là: (Ỉ) ÔN (S) NẾU ||a?0 — X*\\ ĐỊNH SAO CHO Ve > 0,77,0 > 0j 35 = Ỗ ( E , < ổ THÌ N 0) IIX ( N , 77-0J ^o) — Ỉ*|| < >NỮ Ồn định (US) ỗ chọn không phụ thuộc vào n0; (ii) Hút (A) tồn ỊjL = ịi(n ữ ) cho |Ịx0 — X*Ị| < n lim x(n, n0, x0) = X* n—ĩoc Hút (UA) ụ, chọn không phụ thuộc vào 77,0, tức tồn ịi > cho Ve, n , 3N — N(e) không phụ thuộc n để \\x(n,no,Xo) — x*|| < — x*|| < Ị1\ eVn > n ữ + N với IIỈo (Ui) Ôn định tiệm cận (AS) ổn định hút Ơn định tiệm cận (UAS) ổn định hút đều; (ỉv) Ôn định theo cấp độ mũ (ES) 3Ố > 0, M > 77 G (0,1) cho \\x(n,n Q ,x ữ ) - x*\\ < M\\x Q - x*\\rỉ n ~ n °(v) Một nghiệm x(n,no,x ữ) gọi bị chặn tồn số M > cho \\x(n,n ,x )\\ < M,\/n > n Hình 2.1: Hệ thống phân cấp khái niệm ổn định Định lý 2.1.1 Cho hệ phương trình x(n + 1) = f{x{n)) Khi phát biểu sau cho điểm cân X* (i) S UA CHỨNG MINH (i) Cho X ( N , N Ữ , X ) Y ( N , M Ữ , X ữ) hai nghiệm (2.1.2) với m0 = N Ữ + r0,r0 > Ta có nghiệm X ( N , N Ữ , X Ữ ) giao với Y ( N , M Ữ , X ữ) N = N Do tính nghiệm nên y(n, 7 ,0 , ®o) = x ( n - r0, n o , Xo) Do Ỏ khái niệm ổn định khơng phụ thuộc N O , ta có điều phải chứng minh (ii) (iii) chứng minh tương tự (i) □ Ví dụ 2.1.1 x(n) x(n, Xq Nghiệm phương trình x(n+l) = 77-0, Xo) = D O đó, nghiệm gốc ỗn định khơng ổn định tiệm cận Nghiệm phương trình x(n + 1) = a(n)x(n) 71— x(n,n ,x o) = (2.1.3) Ta có kết luận sau: (ỉ) Nghiệm gốc ổn định xữ Lí = n0 n— < M ( N Q) = M, (2.1.4) Ể = n0 với M số dương phụ thuộc n Điều kiện a(i ) = + 77* với < r) < Ta có x(n,n Q ,x ) = $(n)x , $(n) = rf) n— JJ(1 + i=nQ V Ĩ + R F < exp(77*) N Ê N $(n) < exp í R Ị < exp Y * ] \ỉ = n0 / \ỉ=7l / 1^0 n 77 = M(n 0) < exp M = M Cho e > 0, n ữ > ỏ |x0| < ỏ Từ \x(n,n Q ,x ữ ) \ = ộ(n)x Q < e (ii) Nghiệm gốc ổn định 71— (2.1.5) 0,77-0 > ỗ = — 1^01 < ố, từ suy \x(n,n ,x )\ = \ộ(n)\.\x \ < e (Ui) Nghiệm gốc ổn định tiệm cận n 71— lim 71—>0o = 0, i = n0 n_1 „I1 n , _ nQ r (2.1.6) lim ’^±1 = n-> 00 ĩl + “(0 = i = n0 (iv) Nghiệm gốc ỉà ổn định tiệm cận đều, ổn định theo cấp độ mũ n— (2.1.7) < M.ĩ] n ~ n ữ (=n0 VÔI M > 0,0 < Ĩ ] < Ví dụ 2.1.2 Nghiệm phương trình X { N + 1) = (^^(n)]2) cho bởi: T l T l 1.0,77 2.4 x ( r e , n 0, x „ ) = ^(^—) (JLịj—) • • • ( ^ — ) /^0 “I - l\ n_ n _ / \ 75 — (*o) TiQ z(n0) = £()• Nếu |xo| đủ nhỏ lim xin) = Do nghiệm gốc hút Tuy nhiên n—¥00 khơng hút Nếu ố > 0,77-0 chọn cho (n + l)ố2 > với |íEo| = ổ, ta có Ix(n + ĩ,n ,x )\ = ( n ° J~ VoỊ2 > ... trình sai phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân, phương trình sai phân, ổn định hệ phương trình. .. vi phân Đóng góp luận văn Trình bày ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Chương Phương trình hệ phương trình sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức phương trình hệ phương trình. .. cứu luận văn là: - Nghiên cứu tài liệu khoa học phương trình hệ phương trình sai phân; - Trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình