Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHẠM THỊ HUYỀN TRANG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHẠM THỊ HUYỀN TRANG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Phạm Thị Huyền Trang LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị, bạn lớp PPTSCK32 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Tác giả Phạm Thị Huyền Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .3 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .3 1.1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực 1.1.2 Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 1.3 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 12 1.3.1 Hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định thức Kazorati Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính 12 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 12 1.3.3 Đồng thức Abel phương trình sai phân tuyến tính cấp n 16 1.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n hệ số 19 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 HỆ Ô-TÔ-NÔM 22 2.1.1 Thuật toán Putzer hệ rời rạc 23 MỤC LỤC 2.1.2 Sự phát triển thuật toán cho An 25 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.3 CƠNG THỨC JORDAN 28 36 2.3.1 Ma trận chéo hóa 36 2.3.2 Dạng Jordan 41 2.3.3 Khối ma trận chéo 47 2.3.4 Các hệ tuần hồn tuyến tính 48 2.4 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 55 2.4.1 Các chuỗi Markov 55 2.4.2 Chuỗi Markov suy biến 56 2.4.3 Các chuỗi Markov hấp thụ 59 2.4.4 Một mơ hình thương mại tiêu chuẩn 62 2.4.5 Phương trình truyền nhiệt 64 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N N∗ R Z C Z+ ∆, ∆2 , , ∆n Φ I 0k,k Ji Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Tập hợp số phức Tập hợp số nguyên dương Toán tử sai phân Ma trận sở Ma trận đơn vị Ma trận khơng cấp k × k Khối Jordan MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương pháp sai phân phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng để giải gần phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó, lý thuyết sai phân phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác như: tốn tính tổng, tìm số hạng tổng qt dãy số Hệ phương trình sai phân mở rộng từ phương trình sai phân Lý thuyết hệ phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp Hệ phương trình sai phân tuyến tính nghiên cứu đưa nhiều ứng dụng, đặc biệt công thức Jordan ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính, như: chuỗi Markov, phương trình truyền nhiệt Với mong muốn đem lại cơng cụ cho người đọc có quan tâm đến ứng dụng hệ phương trình sai phân, định hướng gợi ý thầy giáo – TS Lê Hải Trung, định chọn nghiên cứu đề tài: “Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống kiến thức - Nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính - Ứng dụng hệ phương trình sai phân cho chuỗi Markov, chuỗi Markov suy biến, Markov hấp thu, phương trình nhiệt Đối tượng nghiên cứu - Phương trình sai phân - Hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng hệ phương trình sai phân Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân Phương pháp nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến việc thực luận văn thuộc lĩnh vực: Đại số tuyến tính, Giải tích, lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết phương trình sai phân Bố cục đề tài Luận văn có cấu trúc sau Mở đầu Chương Phương trình sai phân 1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 2.1 Hệ Ơ-tơ-nơm 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.3 Cơng thức Jordan 2.4 Ứng dụng hệ phương trình sai phân tuy�4 s5 sau n lần bước Phương trình sai phân biểu diễn chuỗi markov hấp thu có dạng p(n + 1) = Sp(n) 61 với ma trận chuyển thái  tiếp trạng 12 | 0  1 | 0  2  | 0 S=    0 | 1 0 |     =    T Q I Đặt u(n) = (p1 (n), p2 (n), p3 (n))T v(n) = (p4 (n), p5 (n))T Khi đó: u(n + 1) T u(n) v(n + 1) = Q I v(n) , tức u(n + 1) = T u(n), (2.57) v(n + 1) = v(n) + Qu(n) (2.58) u(n) = T n u(0) (2.59) Do đó: Thay cơng thức (2.59) vào (2.58) ta v(n + 1) = v(n) + QT n u(0) (2.60) Áp dụng công thức (2.30), ta nghiệm phương trình (2.60) là: n−1 QT r u(0) v(n) = v(0) + (2.61) r=0 Các giá trị riêng ma trận T 1 , 2 Sử dụng hệ (2.3.9) ta lim T n = 0, trường hợp ta có: 0, − ∞ n→∞ n−1 T r = (I − T )−1 T r = lim r=0 n→∞ r=0 Lấy lim hai vế công thức (2.61): lim v(n) = v(0) + Q(I − T )−1 u(0) n→∞ đó: 3 (I − T )−1 1 2 = 1 1 2 ... niệm phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 2.1 Hệ Ơ-tơ-nơm 2.2 Hệ phương trình sai phân. .. Phương trình sai phân 2 - Hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng hệ phương trình sai phân Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân Phương. .. tích tổ hợp Hệ phương trình sai phân tuyến tính nghiên cứu đưa nhiều ứng dụng, đặc biệt công thức Jordan ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính, như: chuỗi Markov, phương trình truyền