Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trang 1

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt măi nghiín cứu cùng sự giúp đỡ của câc thầy cô giâo

vă câc bạn sinh viín đến nay khóa luận đê được hoăn thănh

Em xin băy tỏ lòng biết ơn sđu sắc của mình đến Thạc Sỹ Phùng Đức Thắng đê hướng dẫn vă giúp đỡ em tận tình trong quâ trình chuẩn bị vă

hoăn thănh khóa luận

Em xin chđn thănh cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toân đê tạo điều kiện cho

em có cơ hội để tập dượt với việc nghiín cứu khoa học Đồng thời em xin

chđn thănh câm ơn sự giúp đỡ quý bâu của câc thầy cô trong tổ giải tích, sư động viín giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bỉ đê dănh cho em trong quâ

trình học tập vă hoăn thănh khóa luận

Vì đđy lă lần đầu tiín em được lăm quen với công việc nghiín cứu vă kiến thức của bản thđn còn hạn chế nín không thể trânh khỏi những thiếu sói Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của câc thầy cô vă câc bạn sinh viín

để khóa luận của em được hoăn thiện hơn

Em xin chđn thănh cẩm ơn ! Hă Nội, thâng 5 năm 2013

Sinh viín

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận lă công trình nghiín cứu của riíng em

Trong khi nghiín cứu, em đê kế thừa những thănh quả nghiín cứu của câc

nhă khoa học, nhă nghiín cứu với sự trđn trọng vă biết ơn

Những kết quả níu trong khóa luận chưa được công bố trín bất kì công trình

năo khâc

Hă Nội, thâng 5 năm 2013

Sinh viín

Trang 3

MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Nội dung Chương 1: Giải tích ma trận -c << c>ssseses 3 1.1 4.02: 0<ooctaaaaaiiiai 3 1.1.1 Định nghĩa không gian veCtƠ .-.-. -cccccccccccccccee 3 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính vă hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 4 1.1.2.1 Câc định nghĩa - ch ket 4 1.1.2.2 Một số tính chất - ch KH vs 5 1.1.3 Cơ sở vă số chiều của không gian veCtƠ .-. .-‹ -cc++<+++ 5 1.2 Ma trận, định thức của trận vă toân tử tuyến tính - - 6

In 44 6

1.2.2 Dinh thức ma trận -<-<<<ssssssseseeeseeexeee LÍ

1.2.3 Tôn tử tuyến tính -. - SH SY ng rey 13

1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận 13

1.3 Không gian định chuẩn -cS SE shhk He se 16 1.3.1 Định nghĩa chuẩn vă không gian định chuẩn 16

1.3.2 Không gian định chuẩn của câc ma trận vuông cấp n 17

1.3.3 Câc tính chất về chuẩn của ma trận A_ -cc-ccsSs 19 1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn - - coe 20

Trang 4

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn Mz(ø*n,K) 22 1.5 Ma trận mũ .-. SH SH nh nh ch nen vế 23

1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ .-.-. << << <<<<c<<<<xeees 23

1.5.2 Một số tính chất ma trận mũ -ccc<c<c<<++ss++ 28

IS /L-8¡v): 8v 3;::ìì* H ÍÍiiaaaiiiiii 30

Chương 2 : Giải tích ma trận vă ứng dụng trong lý thuyết hệ phương

trình vi phđn tuyến (ính - - Săn ksereirssrrereeeske 34

2.1 Lý thuyết tổng quât về hệ phương trình vi phđn tuyến tính 34

2.1.1 Hệ phương trình vi phđn tuyến tính thuần nhất

2.1.2 Hệ phương trình vi phđn tuyến tính không thuần nhất 37 2.2 Hệ phương trình vi phđn tuyến tính với hệ số hằng 4Ö 2.2.1 Cấu trúc của ma trận cơ bản . « -.-« -e-e-e.- 40

2.2.2 Công thức biến thiín hằng sỐ - ccScccccscsscsseersse re 42

2.2.3 Công thức biến thiín hằng số

Trang 5

1 Lý do chọn đề tăi

Lý thuyết hệ phương trình vi phđn lă một trong những công cụ của toân học Vă hệ phương trình vi phđn tuyến tính lă một lý thuyết quan trọng

trong lý thuyết phương trình vi phđn Bởi lẽ câc phương trình vi phđn bậc cao đều có thể đưa về một hệ câc phương trình vi phđn tuyến tính Việc thể sử dụng ma trận ma trận mũ để trình băy lý thuyết hệ phương trình vi phan

tuyến tính cho ta những công thức biểu diễn nghiệm của hệ, những kết quả rất gọn, rất đẹp

Với mong muốn lă hiểu hơn về lý thuyết phương trình vi phđn nói chung vă lý thuyết hệ phương trình vi phđn tuyến tính nói riíng vă để tiếp cận vấn đề năy, được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phùng Đúc Thắng em đê chọn đề tăi năy

2 Mục đích nghiín cứu

- Tìm hiểu câc kiến thức về :

+ Không gian vectơ, ma trận vă định thức của ma trận, khơng gian

định chuẩn, tôn tử tuyến tính

+ Giải tích ma trận

- Lăm rõ giải tích ma trận vă ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phđn tuyến tính

3 Đối tượng vă phạm vi nghiín cứu

Trang 6

vi phđn tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất, hệ phương trình vi phđn

tuyến tính với hệ số hằng, với hệ số tuần hoăn, câc hệ khả quy

4 Nhiệm vụ nghiín cứu

Trình băy lý thuyết về cơ bản về giải tích ma trđn vă hệ phương trình vi phđn tuyến tính

5 Phương phâp nghiín cứu

Nghiín cứu sử dụng câc lý luận, câc cơng cụ tôn học

Nghiín cứu câc sâch tham khảo, câc tăi liệu liín quan

Nghiín cứu lý luận tổng hợp đânh giâ

Trang 7

CHUONG 1 GIAI TICH MA TRAN 1.1 Khong gian vecto

1.1.1 Dinh nghia khong gian vecto

Dinh nghĩa 1.1.1 Cho V lă một tập khâc rỗng mă câc phần tử của nó ta ký

hiệu lă z,,7 vă K lă một trường Giả sử V được trang bị hai phĩp toân gồm: a) Phĩp cộng + : V*V-—›V (a,B)>at+B b) Phĩpnhan *: K*V>V (1,ø) >> Đø Thỏa mên những điều kiện (hoặc câc tiín đề ) sau đđy : T) (a+B)+7=a+(B+7) 0eV:0+a=a+0 zeV,3 aĩeV:ataz=at+a=0 + +a, Va, BEV SI dD! I Dd!

(A+ u)a=Aa+ ya, Vu,2eK

đ+8)= +ĐƯ, VĂ eK,Vơ, ÖeV uz)=(Đ.u)ø., VÊ.ue K,Vø eV

Trang 8

Câc phần tử của K gọi lă câc vô hướng, câc phần tử của V gọi lă câc vecto

Phĩp cộng "+" gọi lă phĩp cộng vectơ, phĩp nhan "*" gọi lă phĩp nhđn vectơ với vô hướng

Khi K=_ thì V được gọi lă không gian vectơ thực, kh K= thì V

được gọi lă một không gian vectơ phức

1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính vă hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.2.1 Câc định nghĩa

Định nghĩa 1.1.2 Cho K lă không gian vectơ V

a) Một tổ hợp tuyến tính của câc vectơ_ø,,đ, ,ư, e V lă một biểu thức dạng: YAai=A,a, +a, + +4,@, trong đó Đ„&.Ê„ Đ, <K

ml

b) Vĩi moi V a eV, nĩu a@=/,0,+4,0,+ +/4,a,, thitandi vecto a

được biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (a, 1, "¬ a, ) vă đẳng thức ởđ=Đ,0 +Đ„ở, + +Đ,œ„ được gọi lă một biểu thị tuyến tính của qua câc vecto a, ,đ, yr nhăn ,Ø

Định nghĩa 1.1.3 ( Độc lập tuyến tính vă phụ thuộc tuyến tính )

Trong không gian vectơ V

a) Hệ vectơ (a, ,đ, "¬- ,đ,) (ne *) được gọi lă độc lập tuyến tính

nếu hệ thức Đ¡ø, +Đ„ø, + +Đ,œ, =0 chi xdy ra khi A, =A, = =4, =0

Trang 9

1.1.2.2 Một số tính chất

Tính chất 1 Hệ vectơ (a, vỐ, » „,)(ne_ *) được gọi lă phụ thuộc tuyến tính khi vă chỉ khi câc vô hướng 2,,2,,4,, 4 không đồng thời bằng 0 sao cho

Ad, +A,0, + +4,a,, =0

Tính chất 2 Hệ gồm mot vecto (a) phu thu6c tuyĩn tinh khi va chi khi a=0

Tính chất 3 Với n >I, hệ vectơ (z,,đ, ,đ„)(n< *, n>1) duge goi

lă phụ thuộc tuyến tính khi vă chỉ khi một vectơ năo đó của hệ biểu thị tuyến tính qua câc vectơ còn lại của hệ

Tính chất 4 Mỗi hệ vectơ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng lă một hệ vectơ độc lập tuyến tính

Tính chất 5 Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng lă một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Nói riíng, mỗi hệ vectơ chứa vectơ 0_ đều phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 6 Giả sử hệ vectơ (ø,,ø, ,#„ ) (me *) được gọi lă độc lập tuyến tính Lúc đó,hệ vetơ (a, 1, "¬ › a, „/ ) phụ thuộc tuyến tính khi vă chỉ khi vectơ 8 biểu thị tuyến tính qua hệ (a, 1, ¬ a, ) Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính lă duy nhất

1.1.3 Cơ sở vă số chiíu của không gian vecto

Trang 10

Định nghĩa 1.1.5 Một hệ vectơ của V được gọi lă cơ sở củaV nếu mọi vectơ củaV đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ năy

Định nghĩa 1.1.6 Không gian vectơ V_ được gọi lă hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

Định nghĩa 1.1.7

a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V z {0} được gọi lă số chiều của V trín trườngK_ vă kí hiệu lă dimV hay rõ hơn

dim, V

Nĩu V ={0} ta quy ước dimV =0

b) Nếu V không có cơ sở năo gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi lă không gian vectơ vô hạn chiều

1.2 Ma trận ,định thức của ma trận vă toân tử tuyến tinh 1.2.1 Ma trận

Định nghĩa 1.2.1 Cho K lă một trường tùy ý Một bảng gồm m.n phần tử a„ thuộc trường K có dạng an đo 3 đụ 4, Ann đ; a>, ¬ (1) đợi đạn; an3 Ann được gọi lă ma trận kiểu (m.n) Mỗi ø i (i =l,m, j=l, n) được gọi lă một

Trang 11

'Vectơ cột

được gọi lă cột thứ j của ma trận

Ta thường kí hiệu ma trận bởi câc chữ A,B, Ma trận (1.1) có thể được

ký hiệu đơn giản bởi A= (2;)„„„ Ta cũng nói A lă ma trận có zø dong, n

cột

Khi m=n thì ma trận A=(ø,)„.„ được gọi la ma trận vuông cấp ø vă ký hiệu đơn giản lă A=(a,)„„

Trang 12

dị=Đ.d; (¡=1 m, j=1, n) vă kí hiệu lă D=AA

Như vậy A + B=(a, +b,) „4= (Ă4) „ụ -

Mệnh đề 1.2.1 Tập hợp Mz/(m *n,K) với với phĩp cộng hai ma trận vă

phĩp nhđn một ma trận với một vô hướng lập thănh không gian vectơ trín

trường K có số chiều lă dim Mat(m * 1K) =m*n

Phần tử trung lập của phĩp cong trong Mat(m* n,K) 1a ma tran NF 0 | _|° 0 0 a | Ộ “hy 0 0 " Định nghĩa 1.2.3 Cho ma tran A=(a,)¢ Mat(m*n,K) va ma tran B= (5) E Mat(n *p,K) Ta gọi lă tích của ma trận 44 với ma trận 8 một ma trận C =(c, Je Mat(n * p.K) mă phần tử được xâc định bởi a= Lae jk (i=1 Lm k k=Lp) vă kí hiệu lă C= 4.8

Mệnh đề 1.2.2 Với mọi ma trận 44,8,C vă với Đ e K, câc đẳng thức sau lă đúng theo nghĩa: nếu một vế được xâc định vế kia cũng vậy vă hai vế bằng

Trang 13

(AB)C = A(BC); C(A+ B)=CA+CB

(A+B)C=AC+BC; A(AB)= A(AB)

Mệnh đề 1.2.3 Tập hợp Mat(m * n,K) câc ma trận vuông cấp z cùng với

hai phĩp toân cộng vă nhđn ma trận lập thănh một vănh có đơn vị Vănh năy

khơng giao hôn khi ø >1

Phần tử đơn vị của vănh Mat(m *n,K ) lă ma trận

0 01 0 E, =

0001

Ta goi E, 14 ma tran don vi cap n

Định nghĩa 1.2.4 Ta gọi ma trận vuông  e Mat(m *n,K ) lă một ma trận

khả nghịch( hay lă một ma trận không suy biến ) nếu có ma trận vuông

Be Mat(m * n,K) sao cho 4.B = B.A=E,.Khid6 B duoc goi la ma tran nghịch đảo của ma trận 4 vă kí hiệu lă = 4" Nếu 4 lă ma trận khả

nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó lă duy nhất

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai ma trận vuông 4 vă 4” cùng thuộc

Mat(m*n,K) Ta bao hai ma trận 4 vă 4” đồng dạng nếu có một ma trận

kha nghich Ce Mat(m*n,K) sao cho 4’=C'AC

Dễ thấy rằng quan hệ đồng dạng trong Mat(m *nK ) 1a quan hĩ tuong duong

Trang 14

tựa ve Ann ( ue Am | Ma tran (a;) = | ụ TC | lc, a>, oe a Được gọi lă ma trận chuyển vị của ma tran 4 , hiĩu la A‘ RO rang, A‘ nhận được bằng câch đổi câc dòng ma trận 4 thănh cột Ta có : (A'Ï =A:(A+B} =A' + B':(AB) =B A' Định nghĩa 1.2.7 ( Về phĩp thế) Ta gọi mỗi song ânh từ tập {L 2 ,} lín chính nó lă một phĩp thế bậc ø Tập hợp tất cả câc phĩp thế bậc ø với phĩp lấy tích ânh xạ lập thănh một nhóm kí hiệu lă S,„ Ta gọi nhóm năy lă nhóm đối xứng bậc ø Nó có ø! phần tử Với mọi ở e ở, ta thường viết 1 2 n ổ= ; Hl) 2) ôn)

Định nghĩa 1.2.8 ( Dấu của phĩp thế)

Với ø >1, ta gọi cặp số {¡, 7} < {1,2, ,n} lă một nghịch thế của phĩp thế ở

5-8) 9

nếu d(i)-6(j) trai d&u vĩi i- 7 , nghĩa lă —~—

Trang 15

Ta bảo phĩp thế ö lă phĩp thế chắn hay lẻ tùy theo số nghịch thế của nó lă chắn hay lẻ Ta gọi lă dấu của phĩp nghịch thế ở, một số, kí hiệu lă søn(ö) cho bởi 1 nếu lă phĩp thế chan sng(ở) = s2) | —l nếu Š lă phâp thế lể Mệnh đề 1.2.4 Với mọi ơ,zeS, ta đều có sgn(Ø.//) = sgn(Ø) = sgn(/!) 1.2.2 Định thức của ma trận Định nghĩa 1.2.9 ( Định thức của ma trận)

Cho 4=(ø,)„.„ Ta gọi lă định thức của ma trận 4 một phần tử thuộc

trường K, kí hiệu lă det 4, cho bởi

Trang 16

Định nghĩa 1.2.10 ( Định thức con vă phần bù đại số)

Cho 4 =(a,)¢ Mat(m*n,K).Nĩu chọn k dòng vă k cot cla A (1<k<n)

thi định thức #⁄ của ma trận vuông cấp k gồm câc thănh phần nằm ở giao của k dòng vă & cột năy được gọi lă một định thức con cấp & của ma trận A Định thức w' của ma trận vuông cấp z-k nhận được sau khi xóa đi k dòng

vă k cột đó được gọi lă định thức con bù của định thức con ⁄⁄

Nếu # dòng đê chọn lă ¡,, ,/, vă # cột đê chọn lă 7,„ /, thì ta gọi

(ĐỀ 2)

lă phần bù đại số của định thức con 4

Định lý 1.2.2 Cho 4 =(z,)e Ma(m *n,K) Gọi 4, lă phần bù đại số của phđn tử đ; Khi đó det A =4,,A,,+4,,A,) + +4,,A,, (1.2) vă ta cũng có det A=a,,4,,+.4,,4,,+ +4,,4,, (1.3)

Công thức (1.2) goi 1a cong thitc khai triĩn det 4 theo dong i Cong thttc (1.3) gọi lă công thức khai triển det 4 theo cột j

Định lý 1.2.3 ( Định lý Laplace )

Cho 4=(ø,)„„„ Giả sử trong A đê chọn ra & dòng (cột) cố định với

1<k<n—1 Gọi M,,M,, M, lă tất cả câc định thức con cấp & thiết lập được từ k dòng (cột) vă 4, 4, 4 lă phần bù đại số tương ứng của chúng thì ta có

det 4=M,4,+ M,A,

Trang 17

a) det(A.B)=detA.det B b) A khả nghịch khi vă chỉ khi detA + 0 Hơn nữa, ta còn có _ 1 det(4 } det A 1.2.3 Toân tử tuyến tính

Định nghĩa 1.2.11 ( Định nghĩa toân tử tuyến tính)

Cho hai không gian tuyến tính X vă Y trín trường P(P= ,P=_ ).Ânh xạ A từ không gian X văo không Y gian gọi lă tuyến tính nếu ânh xạ A thỏa mên câc điều kiện :

1) (Vx,x'eX) A(x+x)= Ax+ Ax'

2) (Vxe X)(VaeP)Aax=aAx

Ta thường gọi ânh xạ tuyến tính lă toân tử tuyến tính Khi toân tử chỉ thỏa mên điều kiện 1) thì A gọi lă toân tử thuần nhất Khi Y = P thì toân tử tuyến tính A thường gọi lă phiếm hăm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.12 Cho không gian định chuẩn X vă Y Toân tử tuyến tính A từ không gian X văo không gian Y gọi lă bi chặn, nếu tồn tại hằng số C

sao cho || Ax| < CỈx ,VxeX (*)

Định nghĩa 1.2.13 Cho X lă một toân tử tuyến tính bị chặn từ không gian

định chuẩn X văo không gian định chuẩn Y Hằng số C_>0 nhỏ nhất thỏa

mên (*) gọi lă chuẩn của toân tử A vă kí hiệu lă ||4|| 1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận

Giả sử cho ƒ lă một phĩp biến đổi tuyến tính của không gian nø chiều R”

trín trường văo chính nó

Trang 18

Lấy h={hị,h, h,} lă một cơ sở của không gian R”

Khi đó f(A) => 4; (k =1,2, ,2) ta goi ma tran A=(a,,) 1a ma tran

j=l

của phĩp biến đổi ƒ ( đối v6i co sĩ đê cho)

Như vậy z„ e(ƒ(,)) j

Nếu x= Ð_ĩ,j, lă một vectơ tùy ý thuộc R” thi ta c6

k=l

»=ƒ@)=Ð 1h, với n,=Ð duố k=l k=l =l/2, ,n)

Định lý 1.2.5 Đối với bất kỳ phĩp biến đổi f trong ®&” tồn tại một cơ sở sao cho ma trận A của phĩp biến đổi ƒ có dạng K0 0 0 K, 0 A= ve 0 0 0 K A 1 0 0 04 1 K,=Ì os 0 1 0 A

( tức lă câc phần tử thuộc đường chĩo chính đều bằng 2, vă kể trín đều bằng 1, câc phần tử khâc đều bằng 0 Cấp của ma trận năy ta kí hiệu lă ø,)

Trang 19

+ Chú ý

1 Với bất kỳ ma trận vng Ư năo cũng tồn tại ma trận vuông S không suy biến sao cho $8$”' = 4 trong đó A lă ma trận dạng chính tắc Jordan 2 Ma trận A đồng dạng với ma tran J dang fy, 0 01 "MU J-| | | | c2] lo 0 J, Trong đó A, 0 0 [Ae 1 0 0 | 0 A 0 1 0 Jy= i,| ™ | 0 0 0 A, |0 0 0 Aha |

Œ=l,2, ,s) ở đđy 2,(j =1,2, ,q +s) lă câc số riíng của ma trận A không nhất thiết phải khâc nhau

Nếu 4,(7 = L,2, ,g + s) lă câc số riíng đơn thì chỉ gặp nó trong J,

Trang 20

Trong đó 7, lă ma trận vuông cấp z, vă [0 0 1 0 0 | 0 1 0 0 | | jo 9 0 1 9 | 0 0 1 0 | TT +% |0 0 bee ae 1 | | 00 0 1 10 0 ee ae 0 | 0 0 O 0 0 0 wo 0

Tức so với Z, đường chĩo đơn vị trong Z” bị dịch về bín phải một đơn vị, còn câc phần tử còn lại đều bằng không

Suy ra Z = Ø vă ta nói Z, lă ma trận lũy linh Nghĩa lă một lũy thừa năo đó của ma trận năy lă ma trận không

1.3 Không gian định chuẩn

1.3.1 Định nghĩa chuẩn vă không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn ) mọi không gian tuyến tính X trín trườngP(P= ,P= ) cùng với một ânh xạ từ X văo tập số thực _., kí hiệu || ( đọc lă chuẩn), thỏa mên câc tiín đề sau :

1) (vxe X)||x||> 0, xÌ|=0 ©x=Ø ( kí hiệu phần tử không lă Ø)

Trang 21

Định lý 1.3.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vecto bat ky x, y

ta đặt

d(x,y) = d(x, y) = |x~ 3Ì

Khi đó d lă một metric trín X

1.3.2 Không gian định chuẩn của ma trận vuông cấp ø

Định nghĩa ( Không gian định chuẩn câc ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.3.2 ( Chuẩn của ma trận A)

Trong Ô⁄4f(n*n,K)(K =_ ,K=_ ) Ta xâc định chuẩn của ma trận

4=(4,)„„ € Maf(n *n,K) bởi công thức IIN ij=l (1.4) nen Nếu x = (x,,x; x„) lă một vectơ của không gian ø chiều thi ta có thể xem như một ma trận z hăng, I cột vă do đó [l= 2 j=l + Ta chứng minh được công thức (1.4) cho ta một chuẩn trín không gian Mat(n an,K ) That vay | : Mat(n*n,K)—> n Ap |4l=> ij a,

Với mọi ma trận 4= (a,) e Mat(n * n,K) thì la, € (ĩ=l1,n,j=1,n)

Suy ra y la, € hay||4l= Ya, c Vậy ânh xạ l được hoăn toăn xâc

i,j=l i,j=l

Trang 22

+ Kiểm tra câc tiín đề chuẩn Tiín đề 1 ( V4 ceMai(n * n,K)

* [A= diJa)|20 i,j=l

*|Al-0e Dla ijl ij|

o Ja,|=0(vi=1n,7=1n)

© a,=0(Vi=Ln,j=Ln)

© A=6 (@, : phan ti khong cua Mat(n*n,K))

Tiĩn dĩ 2.( VAe Mat(n*n,K), VaeK

\aa|= > aa,|= > alla = øIŠ-ls|=lsilal ij=l ijl ¡=1

Tiín đề 3 ( V4A,B ceMait(n *n,K),A =(a,),B= (b;))

a; ;+bị|<) `›(la,|+ il) = Dolal+ Do |= Ll + |

x= i,j=l i,j=l i,j=l

|4+s|=3

Vậy (1.4) xâc định cho ta một chuẩn trín không gian tuyến tính

Mat(n*n,K)

Trang 23

1.3.3 Câc tính chất về chuẩn của ma trận 4 Với VA,Be Mat(n*n,K)., A= (a,),B=(b,):x =(x),, tạ có: 1 2 |4#|<|4|+ |s| 3 |4x|<|4|.|x] Chứng minh + Tính chất (1) đê chứng minh như ở trín + Tính chất (2)

Dat C= AB=(c) , Trong đó c, = Lav „ (i=1 = k=1n)

Trang 24

Vậy

n n

Dax,

al-Sadr l=(Zlal][S i,j=l ?,/=l j ]-I4tl:

I+l=$|Šs»|<$Š i=l | j= i=l j= = x

Vậy ta có

I4x|<|4ll|xl

® Nhận xĩt

Nếu ta định nghĩa đ(4, 8) =||4— BỈ| với mọi 4,8 thudc Mat(n*n,K) thi d 1a mot metric trong khong gian Mat(n*n,K)

1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 1.3.4.1 Sự hội tụ của một dêy điểm

Định ý 1.3.2 Dêy điểm (x„) của không gian định chuẩn X gọi lă hội tụ tới

điểm xe X, nếu Iim|lx,— x||=0 Kí hiệu limx,=x hay x, —> xŒi => ») 1.3.4.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Trang 25

Nếu tồn tại limS, =,Š trong không gian định chuẩn X, thì chuỗi (1.5) gọi lă

k-»œ

hội tụ vă Š gọi lă tổng của chuỗi năy

Khi đó ta viết

Nếu chuỗi (1.5) hội tụ vă có tổng lă Š, thì biểu thức r, =S-S, goila tĩng

dư thứ k của chuỗi (1.5)

Chuỗi (1.5) gọi lă hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi sau hội tụ

+ +

lx||+ X; Xx, +

1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat(n *n,K)

1.4.1 Sự hội tụ của dêy ma trận

Định nghĩa 1.4.1 ( Sự hội tụ của dấy ma trận)

Dêy ma trận{4„} được gọi lă hội tụ nếu với mọi số đương £ nhỏ tùy ý, tồn

tại số Me 'saochoVp,g> ' thì

|4, - 4, |< £

Định nghĩa 1.4.2 ( Giới hạn của dêy ma trận)

Cho dêy ma trận {4,„} C Ma/(n *n,K) Ta nói dấy ma trận có giới hạn lă ma trận 4 nếu ( WVe>0 ) (aN, € ‘) sao cho Vm = N, thif | A„—A|<e

Kí hiệu lim 4„ = 4 hay A„ —> 4 khi zm—>œ

mo

Trang 26

Dêy {4„} hội tụ khi vă chỉ khi mỗi dêy câc phần tử của nó hội tụ Thật vậy

+ Nếu mỗi dêy câc phần tử của {4,} hội tụ thì hiển nhiín dêy ma trận đó

hội tụ

+ Ngược lại, giả sử ta có lim 4„= 4= (a;)

Thĩ thi (Ve> 0)(3N, € ‘) sao cho Vm>N, dĩ |4, - Al<e n hay 5 lay” —đ/|<£ ij la” -a,|<e(Vi,j= Ln) ij i,j=l hay lim|at” -a,| = 0(Y¡, j =1n) ụ mal 1

c© lim a” = 4; (vi = Ln)

Vậy mỗi day câc phần tử của {4,} hoi tu

Suy ra dêy {4,} hội tụ trong vă chỉ trong trường hợp dêy đó có ma trận giới

hạn

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn A⁄2/(n *n,K)

Định nghĩa 1.4.3 ( Chuỗi trong không gian định chuẩn Mat(n*n,K))

Trong không gian định chuẩn Mz/(n *n,K)vă dêy câc ma trận

Trang 27

k + (vk € N) sao cho S, = »A, gọi lă tổng riíng thứ & của chuỗi (1.6) m=l k Định nghĩa 1.4.4 Chuỗi ma tran v4, được gọi lă hội tụ nếu dêy câc tổng m=l riíng {S,} của chuỗi đó hội tụ, tức lă tồn tại limS, = S trong Mat(n*n,K) kon Ma trận giới hạn của dêy câc dêy câc tổng riíng đó ta gọi lă tổng của chuỗi vă fa viết Ss=» A„ m=I 1.5 Ma trận mũ 1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ Ta gọi ma trận E+y— (1.7) Lă ma trận mũ của ma trận 4 vă kí hiệu lă ef ® Nhận xĩt

Trước hết ta khẳng định rằng định nghĩa trín lă hoăn toăn hợp lý Bởi vì

Trang 28

"| I lă tong riĩng thir k của chuỗi sl k Do đó nếu kí hiệu S, =)" m=l Suy ra S,-S,= x Iz] m=p+l m !

Vậy tổng vế phải (**) lă hiệu câc tổng riíng của chuỗi “Ì hội tụ tuyệt đối

với mọi ma trận hữu hạn 4 "Ta có I4I,Ll, ,Lr1, si Do đó (vz>0)(3N, e ‘) sao cho Vp,q>N, :|S,-Si|<e Suy ra P+” go ei" | SiS = De 1 <e Vay 4 4” 4 A” l,-sI-|Š 2 SI + Chú ý

Đối với ma trận nói chung đẳng thức :e `” =ef.e? không đúng

Mă e ” =e?e°khi vă chỉ khi 4 vă 8 giao hoân

Trang 29

1 2 ett = E+ (A+ B)+ (A+ BY + =E+(1+B)+ (A + AB + BA+B’) 4đ B? e“e? [= Tỉ“ 2! 2! 1 =E+(A+B)+(A' +24B+B")+

Nĩu 4B = BA thì câc chuỗi đó trùng nhau

Trang 34

(PBP ")=(PBP ')(PBP-')= PBP'.PBP' = PB’P' (Do PP'=E) Tượng tựtacó (PBP"]Ï=PB”P" Vậy e°= Pe°P"', Tính chất 5 Thật vậy ta có det tN _ ot e“—E\e" “—=lim^ “—=lim ) dx 4x0 Ax Ax>0 Ax 1 2 = lim —(AxA + A?xA? + je = Ae“ Ax30 Ax Vậy tính chất 5 đê được chứng minh 1.6 Ma trận logarit

1.6.1 Định nghĩa ( Ma trận logarit của ma trận B)

Mệnh đề 1.6.1 Giả sử ø lă một ma trận không suy biến, khi đó tồn tại ma

trận 4 sao cho e4=B

Chứng minh

Thật vậy

+ Nếu Ö có dạng chính tac Jordan

Trang 37

4, =(In4,.,)E, ch, 2724

ati

+ Nếu ø không lă dạng chính tắc Jordan thì t6n tai ma tran P không suy biĩn sao cho B= PJP™' Trong đó 7 lă ma trận dạng chính tac Jordan Nhưng với M⁄ lă ma trận vuông cấp? bất kỳ ta có (PwP" ) = PMTP` Do đó

Pe“ Pp! = eh?"

(**#)

Theo kết quả vừa chứng minh thì mọi ma trận có dạng chính tắc Jordan J

đều tồn tại ma trận 4 sao cho J =ĩ” Âp dụng đẳng thức (***) ta có

B= PJP' = Pe'P' =e" =e", voi A= PAP

Vậy ta đê chứng minh được nếu B lă ma trận không suy biến thì bao giờ

cũng tìm được một ma trận 4 sao cho e“= Ö

Trang 38

CHƯƠNG 2

GIẢI TÍCH MA TRẬN VĂ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHĐN TUYẾN TÍNH

2.1 Lý thuyết tổng quât về hệ phương trình vi phđn tuyến tính 2.1.1 Hệ phương trình vi phđn tuyến tính thuần nhất

Trang 39

Trong đó x lă vectơ nghiệm phải tìm * Sự tồn tại nghiệm của hệ (2.2)

0 n

Với mỗi /„e (a,b) ; (x'.x? x ) e " (hoặc ” ), tổn tại duy nhất

nghiệm ø(/) = (ø (?).Ø;(0) Ø, (:)) của hệ (2.2) xâc định trín khoảng (a,b) vă thỏa mên điều kiện ban đầu ¢, (t)) = xị.Ø; (íy)= x; Ø, (fy}= x; - n 2 Không gian nghiệm vă hệ nghiệm cơ bản Hệ hăm four) (sứ fat a()=| A0) : ø.()=| ml) | 0,(x)=| #0) le, () leat) (ø.(0) Định nghĩa 2.1.1

Tập hợp tất cả câc nghiệm cia hĩ (2.2) trĩn (a,b) lập nín một không gian

vectơ n chiều trín

Định nghĩa 2.1.2 (Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất) Một tập hợp bất kỳ ø,,Ø; ø,„ câc nghiệm độc lập tuyến tính của hệ phương trình (2.2) được gọi lă hệ nghiệm cơ bản của nó

Nếu ø lă một ma trận vuông cấp n mă n cột của nó lă z nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (2.2) trín (ø,b) thì ¢ được gọi lă ma trận cơ bản của hệ (2.2)

Khi đó ta có Ø sẽ thỏa mên phương trình ma trận

Trang 40

Hệ (2.3) được gọi lă phương trình vi phđn ma trận ứng với hệ (2.2) trín (a,b) Định nghĩa 2.1.2 ( Định thức Vronski ) 0) 0s) Ø„(f) Định thức W (:)= W [ø,.ø Ø,](t)= P(t) Øs() - Ø„() Pri(t) Ø„¿(f) - Ø„(f)

được gọi lă định thức Vronski của hệ vectơ hăm ø,(/), Ø; (f) Ø, (f)

Định lý 2.1.2 Nếu n vecto ham ø (†) Ø,(£) Ø, (t) phụ thuộc tuyến tính trín khoảng (a,b) thì định thức Vronski của chúng đông nhất bằng không