Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ HOÀNG YẾN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ HOÀNG YẾN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Hà Nội – Năm 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Vũ Thị Hoàng Yến Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Vũ Thị Hoàng Yến Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiến thức giải tích hàm độ đo 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 13 1.1.4 Độ đo hàm đo 16 Một số kiến thức lý thuyết điều khiển 21 1.2.1 Định lý tồn nghiệm suy rộng phương trình vi phân 21 1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Rn 23 1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển không gian hữu hạn chiều 28 1.2.4 Nửa nhóm toán tử định lý Phillips 33 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian hữu hạn chiều 2.1 38 Bài toán điều khiển tuyến tính phương trình toán tử Riccati 38 2.1.1 Hàm giá phương trình Bellman 38 2.1.2 Bài toán điều khiển hệ tuyến tính phương trình toán tử Riccati 40 2.2 2.3 Điều khiển tuyến tính ổn định hóa 45 2.2.1 Nghiệm cực tiểu 45 2.2.2 Ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính 49 Phương trình Liapunov 55 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert 3.1 60 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert 60 3.2 Phương trình toán tử Riccati 65 3.3 Trường hợp khoảng thời gian hữu hạn 68 3.4 Trường hợp khoảng thời gian vô hạn 73 Kết luận Tài liệu tham khảo 78 79 Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân không gian hữu hạn chiều nghiên cứu cách khoảng 50 năm (xem, thí dụ, [4]) Nhiều toán thực tế dẫn tới phải nghiên cứu toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân không gian Hilbert Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường không gian Hilbert nghiên cứu trình bày số tài liệu (xem, thí dụ, [5]) Với mong muốn tìm hiểu sâu hướng nghiên cứu tương đối thời toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân không gian Hilbert, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày sơ lược hệ phương trình vi phân thường không gian Hilbert Tìm hiểu trình bày toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu hệ phương trình vi phân thường không gian Hilbert Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert Giả thuyết khoa học Luận văn trình bày nghiên cứu lớp toán lý thuyết tối ưu Trình bày chi tiết phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert khoảng thời gian hữu hạn vô hạn Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình thường không gian Hilbert Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường tuyến tính không gian Hilbert Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức giải tích hàm độ đo Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1, trang 1] Ta gọi không gian metric tập hợp X = ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: (1) ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); (2) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); (3) ∀x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X , số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric xác định tập X ký hiệu (X, d) Định nghĩa 1.1.2 [1, trang 2] Cho không gian metric (X, d) Một tập X0 = ∅ tập X với metric d X lập thành không gian metric Không gian metric (X0 , d) gọi không gian metric không gian metric cho Tính chất Giả sử (X, d) không gian metric Khi ta có tính chất sau ∗ n−1 1) ∀xj ∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N : d (x1 , xn ) ≤ d(xj , xj+1 ), j=1 2) ∀x, y, u, v ∈ X : |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v) , (bất đẳng thức tứ giác), 3) ∀x, y, u ∈ X : |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u) , (bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 1.1.3 [1, trang 8] Cho không gian metric (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X , điểm x ¯ ∈ X Dãy điểm (xn ) gọi hội tụ tới điểm x ¯ không gian (X, d) n → ∞ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n0 : d(xn , x¯) < ε Ký hiệu: lim xn = x ¯ xn → x¯ (n → ∞) n→∞ Điểm x ¯ gọi giới hạn dãy (xn ) không gian (X, d) Định nghĩa 1.1.4 [1, trang 11] Cho không gian metric (X, d), a ∈ X , số r > Khi • Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} gọi hình cầu mở tâm a, bán kính r ¯ r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm • Tập S(a, a, bán kính r Định nghĩa 1.1.5 [1, trang 12] Cho không gian metric (X, d) Mọi tập chứa hình cầu mở tâm x, bán kính r > gọi lân cận điểm x ∈ X không gian (X, d) Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ), ánh xạ f : X → Y Định nghĩa 1.1.6 [1, trang 20] 65 3.2 Phương trình toán tử Riccati Để giải toán điều khiển tuyến tính không gian Hilbert ta tiến hành tương tự trường hợp hữu hạn chiều (xem Chương 2, 2.1.2) phân tích dạng vô hạn chiều toán tử Riccati P˙ = A∗ P + P A + Q − P BR−1 B ∗ P, P (0) = P0 (3.8) Vì toán tử A A∗ không thiết xác định khắp nơi nên ta phải xây dựng khái niệm nghiệm (3.8) Chúng ta nói hàm P (t), t ≥ 0, lấy giá trị L(H, H), P (0) = P0 , nghiệm (3.8) nếu, với g, h ∈ D(A) tùy ý, hàm P (t)h, g , t ≥ 0, liên tục tuyệt đối d P (t)h, g = dt = d d P (t)h, g + P (t)h, g dt dt ∗ A P (t) + P (t)A + Q(t) − P BR−1 B ∗ P h, g = P (t)h, Ag + P (t)Ah, g + Q(t)h, g − P BR−1 B ∗ P h, g , (3.9) với hầu hết t ≥ Định lý 3.2.1 [5, trang 234] Hàm giá trị toán tử liên tục mạnh P (t), t ≥ 0, nghiệm (3.8) với h ∈ H , P (t), t ≥ 0, nghiệm phương trình tích phân sau: P (t)h = S ∗ (t)P0 S(t)h t S ∗ (t − s)[Q − P (s)BR−1 B ∗ P (s)]S(t − s)hds, s, t ≥ + (3.10) 66 Việc chứng minh định lý suy từ Bổ đề 3.2.1 liên quan đến phương trình toán tử tuyến tính P˙ (t) = A∗ P + P A + Q(t), t ≥ 0, P (0) = P0 (3.11) Trong phương trình (3.11), hàm giá trị Q(t), t ≥ 0, toán tử tự liên hợp liên tục Một hàm giá trị toán tử P (t), t ≥ 0, P (0) = P0 , nghiệm (3.11) có g, h ∈ D(A) tùy ý, hàm P (t)h, g , t ≥ 0, liên tục tuyệt đối d P (t)h, g = P (t)h, Ag + P (t)Ah, g + Q(t)h, g , (3.12) dt với hầu hết t ≥ Bổ đề 3.2.1 [5, trang 235] Nếu hàm Q(t), t ≥ 0, liên tục mạnh tồn nghiệm (3.11) cho công thức t S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)hds, t ≥ 0, h ∈ H P (t)h = S ∗ (t)P0 S(t)h + (3.13) Chứng minh Hàm P (.) cho (3.13) xác định liên tục mạnh Ngoài t Q(s)S(t − s)h, S(t − s)g ds, t ≥ P (t)h, g = P0 S(t)h, S(t)g + Do h, g ∈ D(A) nên theo Định lý 1.2.7, hàm S(t), t ≥ 0, khả vi Ta có d d d P0 S(t)h, S(t)g = P0 S(t)h, S(t)g + P0 S(t)h, S(t)g dt dt dt = P0 S(t)Ah, S(t)g + P0 S(t)h, S(t)Ag , t ≥ 0, d Q(s)S(t − s)h, S(t − s)g = Q(s)S(t − s)Ah, S(t − s)g dt + Q(s)S(t − s)h, S(t − s)Ag , t ≥ s ≥ 67 Vì d P (t)h, g = S ∗ (t)P0 S(t)Ah, g + S ∗ (t)P0 S(t)h, Ag + Q(t)h, g dt t ( S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)Ah, g + S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)h, Ag )ds + t   =  S ∗ (t)P0 S(t)Ah, g + S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)Ah, g ds t  +  S ∗ (t)P0 S(t)h, Ag +  S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)h, Ag ds + Q(t)h, g = P (t)h, Ag + P (t)Ah, g + Q(t)h, g Ngược lại, giả sử (3.12) Cho s ∈ [0, t], d P (s)S(t − s)h, S(t − s)g ds d d = P (s)S(t − s)h, S(t − s)g + P (s)S(t − s)h, S(t − s)g ds ds = P (s)S(t − s)h, S(t − s)Ag + P (s)S(t − s)Ah, S(t − s)g + Q(s)S(t − s)h, S(t − s)g − P (s)S(t − s)Ah, S(t − s)g − P (s)S(t − s)h, S(t − s)Ag = Q(s)S(t − s)h, S(t − s)g Lấy tích phân đồng thức trên đoạn [0, t], ta t P (t)h, g − S ∗ (t)P0 S(t)h, g = S ∗ (t − s)Q(s)S(t − s)h, g ds (3.14) Do D(A) trù mật H , nên (3.14) với h, g ∈ H tùy ý 68 3.3 Trường hợp khoảng thời gian hữu hạn Định lý sau mà mở rộng kết Chương 2, mục 2.1.2 cho không gian Hilbert Định lý 3.3.1 [5, trang 236] (i) Phương trình (3.8) có nghiệm toàn cục P (s), s ≥ Với s ≥ tùy ý, P (s) toán tử tự liên hợp xác định không âm (ii) Giá trị cực tiểu hàm (3.4) P (T )x, x điều khiển tối ưu u ˆ(.) cho dạng liên hệ ngược ˆ y (t) uˆ(t) = K(t)ˆ ˆ K(t) = −R−1 B ∗ P (T − t), t ∈ [0, T ] Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn nghiệm địa phương (3.10) Kí hiệu CT không gian Banach gồm hàm liên tục mạnh P (t), t ∈ [0, T ], có giá trị toán tử tự liên hợp H , với chuẩn P (.) T = sup { P (t) ; t ∈ [0, T ]} Cho P (.) ∈ CT , ta định nghĩa t S ∗ (t − s)P (s)BR−1 B ∗ P (s)S(t − s)hds, AT (P )(t)h = − t v(t)h = S ∗ (t)P0 S(t)h + S ∗ (t − s)QS(t − s)hds, h ∈ H, t ∈ [0, T ] Phương trình (3.10) tương đương P = v + AT (P ) (3.15) 69 Ta kiểm tra AT ánh xạ từ CT vào CT v(.) ∈ CT Nếu P1 T ≤ α, P2 T ≤ α P1 (s)BR−1 B ∗ P1 (s) − P2 (s)BR−1 B ∗ P2 (s) ≤ P1 (s)BR−1 B ∗ P1 (s) − P2 (s)BR−1 B ∗ P1 (s) + P2 (s)BR−1 B ∗ P1 (s) − P2 (s)BR−1 B ∗ P2 (s) ≤ (P1 (s) − P2 (s)) BR−1 B ∗ P1 (s) + P2 (s)BR−1 B ∗ (P2 (s) − P1 (s) ≤ P1 (s) − P2 (s) ≤ 2α BR−1 B ∗ BR−1 B ∗ P1 (s) − P2 (s) P1 (s) − P2 (s) ≤ 2α BR−1 B ∗ sup { P1 (s) − P2 (s) ; ≤ 2α BR−1 B ∗ BR−1 B ∗ P1 (s) + P2 (s) P1 − P2 T, s ∈ [0, T ]} s ∈ [0, T ] Do đó, T AT (P1 ) − AT (P2 ) T ≤ 2α BR−1 B ∗ M e2ωs ds P1 − P2 T ≤ β(α, T ) P1 − P2 T, đây, β(α, T ) = αω −1 M BR−1 B ∗ (e2ωT − 1) (3.16) Lại có T v T ≤ M e2ωT P0 + M e2ωT ds Q ≤ M e2ωT P0 M (e2ωT − 1) Q + 2ω Do đó, với α > T > mà αω −1 M BR−1 B ∗ (e2ωT − 1) < , (3.17) 70 M e2ωT P0 + M (e2ωT − 1) α Q < , 2ω (3.18) theo Bổ đề 1.1.1, (3.10) có nghiệm tập P (.) ∈ CT , sup P (t) ≤ α t≤T Cho toán tử P0 , Q cho số ω > 0, M > 0, ta cần tìm α > cho M P0 α M2 + Q < 2ω Do đó, ta tìm T = T (α) > cho (3.17) (3.18) thỏa mãn Theo Bổ đề 1.1.1, (3.10) có nghiệm đoạn [0, T (α)] Để tiếp tục cần phải giải thích nghiệm địa phương Bổ đề 3.3.1 [5, trang 238] Giả sử hàm P (t), t ∈ [0, T0 ], nghiệm (3.10) Khi đó, với điều khiển u(.) đầu tương ứng y(.), ta có T0 1 R u(s) + R− B ∗ P (T0 − s)y(s) ds JT0 (x, u) = P (T0 )x, x + (3.19) Chứng minh Giả sử x ∈ D(A) u(.) ∈ C Khi y(.) nghiệm phương trình d y(t) = Ay(t) + Bu(t), dt y(0) = x Từ (3.9) suy với z ∈ D(A) tùy ý, hàm P (T0 − t)z, z , t ∈ [0, T0 ], thuộc lớp C đạo hàm cho d P (T0 − t)z, z = − P (T0 − t)z, Az − P (T0 − t)Az, z − Qz, z dt + P (T0 − t)BR−1 B ∗ P (T0 − t)z, z , t ∈ [0, T0 ] 71 Vì d P (T0 − t)y(t), y(t) dt = − P (T0 − t)y(t), Ay(t) − P (T0 − t)Ay(t), y(t) − Qy(t), y(t) + P (T0 − t)BR−1 B ∗ P (T0 − t)y(t), y(t) + P (T0 − t)y(t), ˙ y(t) + P (T0 − t)y(t), y(t) ˙ = − Qy(t), y(t) + P (T0 − t)BR−1 B ∗ P (T0 − t)y(t), y(t) + P (T0 − t)Bu(t), y(t) + P (T0 − t)y(t), Bu(t) , 1 = − Qy(t), y(t) + R u(t) + R− B ∗ P (T0 − t)y(t) − Ru(t), u(t) , t ∈ [0, T0 ] t ∈ [0, T0 ] Lấy tích phân đẳng thức [0, T0 ] ta được: T0 1 R u(t) + R− B ∗ P (T0 − t)y(t) dt, − P (T0 )x, x = −JT0 (x, u) + (3.19) Do nghiệm y(.) phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu x điều khiển u(.), nên đẳng thức (3.19) với x ∈ H u ∈ L2 (0, T0 ; U ) Bổ đề chứng minh Từ Bổ đề 3.3.1 ta suy ra, cho u(.) ∈ L2 (0, T0 ; U ) P (T0 x, x ≤ JT0 (x, u) Theo Bổ đề 3.1.1, phương trình t S(t − s)BR−1 B ∗ P (T0 − s)ˆ y (s)ds, yˆ(t) = S(t)x − t ∈ [0, T0 ] , có nghiệm yˆ(t), t ∈ [0, T ] Điều khiển u ˆ(.) xác định công thức uˆ(t) = −R−1 B ∗ P (T0 − t)ˆ y (t), t ∈ [0, T0 ] 72 Khi yˆ(.) nghiệm tương ứng với u ˆ(.) theo (3.19), ta có JT0 (x, uˆ(.)) = P (T0 )x, x (3.20) Vì u ˆ(.) điểu khiển tối ưu Từ (3.20) suy P (T0 ) ≥ Đặt u(.) = (3.19) ta T0 ≤ P (T0 )x, x ≤ QS(t)x, S(t)x dt, T0 S ∗ (t)QS(t)dtx, x ≤ P (T0 )x, x ≤ Do T0 S ∗ (t)QS(t) dt với T ≤ T0 P (T ) ≤ Bây giờ, ta lấy số α cho T˜ M α M2 |Q| < , S (t)QS(t) dt + 2ω ∗ T˜ số dương cho trước Chúng ta giả thiết T1 < T (α) Từ chứng minh tồn nghiệm địa phương (3.10) ta suy nghiệm (3.10) tồn [0, T1 ] Lặp lại chứng minh khoảng liên tiếp [T1 , 2T1 ] , [2T1 , 3T1 ], , ta suy tồn nghiệm toàn cục (3.8) 73 3.4 Trường hợp khoảng thời gian vô hạn Xét toán điều khiển khoảng [0, +∞) Phương trình toán tử đại số Riccati có dạng: P Ax, x − P BR−1 B ∗ P x, x + Qx, x = 0, x ∈ D(A), (3.21) toán tử không âm P ∈ L(H, H) chưa biết Định lý 3.4.1 [5, trang 240] Giả sử rằng, cho tùy ý x ∈ H , tồn điều khiển ux (t), t ≥ 0, cho J(x, ux (.)) < +∞, (3.22) tồn toán tử không âm P˜ ∈ L(H, H) thỏa mãn (3.21) cho P˜ ≤ P với P nghiệm không âm (3.21) Hơn nữa, điều khiển u˜(.) cho dạng u˜(t) = −R−1 B ∗ P˜ y(t), t ≥ 0, cực tiểu hóa hàm (3.5) Giá trị nhỏ hàm P˜ x, x Chứng minh Cho P (t), t ≥ 0, nghiệm phương trình Riccati (3.9) với điều kiện ban đầu P0 = Từ định lý 3.3.1(ii) suy ra, cho x ∈ H tùy ý, hàm P (t)x, x , t ≥ 0, không giảm Hơn nữa, P (t)x, x ≤ J(x, ux (.)) < +∞, x ∈ H Vì vậy, tồn giới hạn hữu hạn lim P (t)x, x , x ∈ H Mặt khác, t↑+∞ P (t)x, y = [ P (t)(x + y), x + y − P (t)(x − y), x − y ] , với x, y ∈ H tùy ý (3.23) 74 Áp dụng Định lý Banach- Steinhaus (Định lý 1.1.6), cho họ hàm P (t)x, , t ≥ 0, x ∈ H tùy ý sau đến họ toán tử P (t), t ≥ 0, ta sup P (t) = c < +∞ Do đó, với x, y ∈ H tùy ý, t≥0 tồn giới hạn hữu hạn a(x, y) = lim P (t)x, y t→+∞ a(x, y) ≤ sup P (t) x y ≤c x y , x, y ∈ H t≥0 Vì vậy, tồn P˜ ∈ L(H, H) cho a(x, y) = P˜ x, y , x, y ∈ H Toán tử P˜ toán tử tự liên hợp, xác định không âm a(x, y) = a(y, x), a(x, x) ≥ 0, x, y ∈ H Để P˜ thỏa mãn (3.21) ta cố định x ∈ D(A) xét (3.9) với h = y = x Khi d P (t)x, x = P (t)x, Ax + P (t)Ax, x + Qx, x dt − P BR−1 B ∗ P x, x (3.24) Cho t → +∞ (3.24) ta d P (t)x, x = P˜ (t)x, Ax + P˜ (t)Ax, x + Qx, x t→+∞ dt − P˜ BR−1 B ∗ P˜ x, x lim Lập luận chứng minh Định lý 2.2.1 ta d P (t)x, x = t→+∞ dt lim Vậy P˜ nghiệm (3.21) Chứng minh phần cuối định lý tương tự với Định lý 2.2.1 Cho A toán tử sinh C0 - nửa nhóm S(t), t ≥ 0, B ∈ L(U, H) Cặp (A, B) gọi ổn định mũ hoàn toàn tồn K ∈ L(H, U ) 75 cho toán tử AK = A + BK, D(AK ) = D(A), sinh nửa nhóm ổn định mũ Chú ý trường hợp cặp (A, B) điều khiển ổn định mũ hoàn toàn Cho C ∈ L(H, V ), V không gian Hilbert tách khác H Cặp (A, C) gọi nhận biết mũ (exponentially detectable) cặp (A∗ , C ∗ ) ổn định mũ hoàn toàn Định lý 3.4.2 [5, trang 241] (i) Nếu cặp (A, B) ổn định mũ phương trình (3.21) có nghiệm không âm P ∈ L(H, H) (ii) Nếu Q = C ∗ C cặp (A, C) exponentially detectable phương trình (3.21) có nhiều nghiệm P nghiệm (3.21) toán tử A − BR−1 B ∗ P ổn định mũ ngược lại K = −R−1 B ∗ P ổn định mũ Chứng minh (i) Nếu cặp (A, B) ổn định mũ giả thiết Định lý 3.4.1 thỏa mãn (3.21) có nghiệm (ii) Để chứng minh (ii) ta phát biểu Bổ đề 3.4.1 Bổ đề 3.4.1 [5, trang 242] Giả sử rằng, cho toán tử M ∈ L(H, H) K ∈ L(H, U ) M (A + BK)x, x + C ∗ Cx, x + K ∗ RKx, x = 0, x ∈ D(A) (3.25) (i) Nếu cặp (A, B) exponentially detectable toán tử AK = A + BK ổn định mũ (ii) Nếu P ∈ L(H, H), P ≥ nghiệm (3.21) với Q = C ∗ C P ≥ M (3.26) 76 Chứng minh (i) Cho S1 (.) nửa nhóm sinh AK Vì cặp (A, C) exponentially detectable, tồn toán tử L(V, H) cho toán tử A∗L∗ = A∗ + C ∗ L∗ , D(A∗ ∗ ) = D(A∗ ), ổn định mũ Do đó, toán tử A˜ = (A∗ + C ∗ L∗ )∗ = L ˜ = D(A), sinh nửa nhóm ổn định mũ S2 (.) A + CL, D(A) Đặt y(t) = S1 (t)x, t ≥ Vì A + BK = (A + LC) + (LC + BK), thế, theo Mệnh đề 3.1.1 t S2 (t − s)(LC + BK)y(s)ds y(t) = S2 (t)x + (3.27) Ta chứng tỏ +∞ +∞ Ky(s) ds < +∞ Cy(s) ds < +∞ (3.28) 0 Trước tiên, giả sử x ∈ D(A) Khi ấy, y(t) ˙ = (A + BK)y d M y(t), y(t) = M y(t), ˙ y(t) , t ≥ dt Từ (3.25) suy d M y(t), y(t) + C ∗ y(t), Cy(t) + RKy(t), Ky(t) = dt Do t t Cy(s) ds + M y(t), y(t) + RKy(s), Ky(s) ds = − M x, x (3.29) Do D(A) trù mật H , cách lấy giới hạn ta (3.29) với x ∈ H Áp dụng Bất đẳng thức Young (Định lý 1.1.2), tương tự chứng minh Bổ đề 2.2.1, ta 77 +∞ S1 (t)x dt = +∞ y(t) dt < +∞ Theo Định lý 3.1.1(i), nửa nhóm S1 (.) ổn định mũ Vậy (i) chứng minh (ii) Kí hiệu M − P = W Khi đó, cho x ∈ D(A) W(A + BK)x, x = − C ∗ Cx, x − K ∗ RKx, x − P Ax, x − P BKx, x Vì P thỏa mãn (3.21) với Q = C ∗ C , W(A + BK)x, x = − K ∗ RKx, x − P BR−1 B ∗ P x, x (3.30) − P BKx, x Đặt K0 = −R−1 B ∗ P , RK0 = −B ∗ P, P B = −K0∗ R từ (3.30) ta có: W(A + BK)x, x = − (K − K0 )∗ R(K − K0 )x, x , x ∈ D(A) Do A + BK toán tử ổn định mũ nên theo Định lý 3.1.2, toán tử W không âm Bây ta trở lại với chứng minh phần (ii) định lý 3.4.2 giả sử toán tử P ≥ P1 ≥ nghiệm (3.21) Đặt K = −R−1 B ∗ P , P (A + BK)x, x + K ∗ RKx, x + C ∗ Cx, x (3.31) = P Ax, x − P BR−1 B ∗ P x, x + C ∗ Cx, x = Do đó, theo Bổ đề 3.4.1(ii), P1 ≤ P Tương tự, P ≤ P1 Vì vậy, P = P1 Hơn nữa, theo Bổ đề 3.4.1(i) (3.31) toán tử A + BK toán tử ổn định mũ 78 Kết luận Luận văn trình bày toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường tuyến tính không gian Hilbert Để làm rõ vấn đề trên, luận văn đưa số kiến thức phương trình vi phân lý thuyết điều khiển; trình bày toán điều khiển tuyến tính ổn định Vai trò cốt yếu phương trình toán tử Riccati Từ ta đưa công thức nghiệm tối ưu khoảng thời giann hữu hạn tồn nghiệm khoảng thời gian vô hạn Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Vũ Thị Hoàng Yến 79 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] E Hille, R.S Phillips (1957), Functional analysis and semi-groups, Amer Math Soc [4] E B Lee, L Markus (1986), Foundations of Optimal Control Theory, Robert E Krieger Publishing Company, Florida [5] J Zabczyk (1995), Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkh¨auser, Boston [6] S.G Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, Transl Math Monogr., 29, Amer Math Soc (Translated from Russian) [...]... −A∗ (t)S ∗ (t), dt hay d ∗ (S (t))−1 = −A∗ (t)S ∗ (t) dt 1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển trong không gian hữu hạn chiều Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển là nghiên cứu hệ tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân dy = Ay(t) + Bu(t), dt y(0) = x ∈ Rn , t ≥ 0, (1.10) (1.11) và một mối quan hệ đầu ra w(t) = Cy(t), t ≥ 0 (1.12) Ở đây A, B, C là các ma trận... không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H Định nghĩa 1.1.23 [1, trang 144] Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X được gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu Ax, y = x, By , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Toán tử liên hợp B được kí hiệu là A∗ Định lý 1.1.8 [1, trang 144] Cho A là toán tử tuyến tính. .. chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Hơn nữa, A∗ là cũng toán tử tuyến tính bị chặn và A∗ = A Định nghĩa 1.1.24 [1, trang 146] 16 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó được gọi là tự liên hợp nếu Ax, y = x, Ay , ∀x, y ∈ H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối... ) = y0 23 1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Rn Xét phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất dạng dy = A(t)y(t) + a(t), dt t ∈ [0, T ], (1.6) với điều kiện ban đầu y(0) = x ∈ Rn (1.7) ở đây A(t) ∈ M (n, n) và a(t) là một hàm vectơ n chiều có các phần tử là các hàm khả tích địa phương theo t trên [0, T ] Nghiệm của phương trình (1.6) thỏa mãn điều kiện (1.7) là... cùng với hai phép toán đã cho được gọi là không gian tuyến tính (không gian vectơ) trên trường K Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô hướng Khi K = R (K = C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (không gian vectơ phức) Định nghĩa 1.1.15 [1, trang 57] Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường... tục tuyệt đối và y(t) ˙ = ξ(t) hầu khắp nơi τ 21 1.2 Một số kiến thức về lý thuyết điều khiển Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại lý thuyết về phương trình vi phân tuyến tính và một số khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển 1.2.1 Định lý tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình vi phân Xét phương trình vi phân y˙ = u, trong đó u(t) = 0, 1, t < 0; t ≥ 0 Khi ấy, y(t) ˙ = 0, 1, t < 0; t ≥ 0 ⇔ y(t) = C1... đến không Hay, lim xn , yn = x, y Hệ quả đã được chứng minh n→∞ Định nghĩa 1.1.22 [1, trang 125] Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: (1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; (2) H được trang bị một tích vô hướng , ; (3) H là không gian Banach với chuẩn x = x, x , x ∈ H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không. .. có thể trở thành không gian metric với metric (1.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.16 [1, trang 58] 11 Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim m,n→∞ xn − xm = 0 Định nghĩa 1.1.17 [1, trang 58] Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội... nghiệm liên tục y(t) = C, t < 0; t + C, t ≥ 0 Nghiệm này không khả vi tại t = 0 Điều này dẫn tới phải mở rộng khái niệm nghiệm của phương trình vi phân Cho hệ phương trình vi phân thường dy = f (t, y), dt t ∈ (a, b) , (1.4) với điều kiện ban đầu y(t0 ) = y0 , t0 ∈ (a, b) , (1.5) trong đó (a, b) ⊆ R; tập D := (a, b) × G ⊆ R × Rn , trong đó G là tập mở trong Rn Hàm f : D → Rn xác định và liên tục trên D... minh Định lý 1.1.5 [1, trang 71] 13 Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y có toán tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho Ax ≥ α x , Khi đó A−1 = ∀x ∈ X 1 α Định nghĩa 1.1.19 [1, trang 81] Cho họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính At ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là tập chỉ số nào đó Họ (At