trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 Về tính Ψ Ψ Ψ-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian banach Phạm Ngọc Bội a, Hoàng Văn Thành a Tóm t
Trang 1trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
Về tính Ψ Ψ Ψ-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian banach
Phạm Ngọc Bội (a), Hoàng Văn Thành (a) Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi xây dựng các khái niệm Ψ-ổn định đều, Ψ
-ổn định mũ cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach
và chứng minh một số điều kiện cần và đủ để phương trình này Ψ-ổn định đều, Ψ-ổn
định mũ Bài báo cũng chỉ ra mối quan hệ giữa điều kiện Perron của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với tính Ψ-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
I Giới thiệu
Giả sử B là không gian Banach với chuẩn . , và {A(n), n ≥0} là một dãy toán
tử tuyến tính của không gian Banach B Khi đó ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong B
) ( ) ( ) 1 (n A n x n
x + = (1) Các kết quả cổ điển về sự ổn định của phương trình (1) trong n được trình bày một cách hệ thống trong nhiều tài liệu (chẳng hạn trong [10]) Để tìm các kết quả tổng quát hơn, có hai quan điểm nghiên cứu: một là xét phương trình (1) trong các không gian tổng quát hơn n; hai là đưa ra các khái niệm ổn định tổng quát hơn khái niệm ổn định cổ điển, nhằm mở rộng các kết quả đã có về tính ổn định đối với phương trình sai phân tuyến tính
Đối với phương trình vi phân, Akinnyele ([1]) đã đưa ra khái niệm Ψ-ổn định,
Ψ-bị chặn Có nhiều tác giả quan tâm đến hướng nghiên cứu này như Avamescu, Constantin (xem [2], [4] - [8]) Đối với phương trình sai phân, gần đây Y Han và J Hong ([9]) đã chỉ ra một số tiêu chuẩn về sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính trong n:
x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2) trong đó {f(n), n ≥0} là dãy nhận giá trị trong n
Các tác giả của [1], [2], [4] - [9] chỉ xét bài toán trong n và Ψ(t), t ∈ (hoặc
Ψ(n), n ∈ = {0,1,2 } ) là ma trận đường chéo, mỗi phần tử trên đường chéo lấy giá trị trong (0, +∞)
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng khái niệm Ψ-ổn định đều, Ψ-ổn định
mũ cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach và chỉ ra một số tiêu chuẩn để chúng Ψ-ổn định đều, Ψ-ổn định mũ với {Ψ(n), n ≥0} là dãy toán tử tuyến tính của B khả nghịch với mọi n ∈ Chúng tôi sử dụng toán tử dịch chuyển làm công cụ nghiên cứu điều kiện Perron của phương trình sai phân
Trang 2P.N Bội, H V Thành Về sự Ψ-ổn định của không gian banach, Tr 5-12
1.1 Định nghĩa ([10])
a) Phương trình (1) được gọi là Ψ-ổn định đều trên nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho mỗi một nghiệm bất kỳ {x(n)} của phương trình (1) trên [n0,
∞), với n0 tuỳ ý thuộc nếu thoả mãn Ψ ( n0) x ( n0) < δ thì Ψ ( n ) x ( n ) < ε với mọi n
≥ n0
b) Phương trình (1) được gọi là Ψ-ổn định mũ trên nếu tồn tại các số dương
K và q, q < 1 sao cho nếu {x(n), n∈} là nghiệm bất kỳ của phương trình (1) thì
) ( ) ( )
(
)
Ψ ≤ nưm với mọi n, m thuộc , n ≥ m ≥0
1.2 Chú ý Dễ thấy phương trình (1) Ψ-ổn định mũ trên thì cũng Ψ-ổn
định đều trên Trong trường hợp, các dãy {Ψ(n), n ≥0} và {Ψ -1(n), n ≥0} bị chặn (nói riêng khi {Ψ(n), n ≥0} là dãy toán tử đồng nhất) thì khái niệm Ψ- ổn định đều (tương ứng Ψ-ổn định mũ) của phương trình (1) đồng nhất với khái niệm ổn định đều (tương ứng ổn định mũ) của phương trình (1)
II các kết quả
Trong bài báo này ta giả thiết rằng Ψ(n)A(nư1)Ψư1(n), n=1, 2, là dãy toán
tử tuyến tính bị chặn đều
( ) ( ư1) ư1( ư1) ≤ <∞, =1, 2,
n C
n
Ψ
n A n
Ψ (3)
( , ) ( ) ( ) ( ) ,
,
=
,
trong đó I là toán tử đồng nhất X(n, m) được gọi là toán tử giải của phương trình (1)
2.1 Định lý Phương trình (1) Ψ-ổn định đều nếu và chỉ nếu
∞
<
≤
ư
≥
≥
K m
Ψ
m n X n
0 m n
(4) Chứng minh Dễ thấy nghiệm x = {x(n), n ∈} của phương trình (1) thoả mãn: x(n) = X(n,m)x(m) với mọi n ≥ m≥ 0
Giả sử phương trình (1) Ψ-ổn định đều, khi đó tồn tại δ > 0 sao cho với x(n) là nghiệm bất kỳ của (1) nếu
δ
<
) ( )
Ψ (5) thì
1 ) ( ) ( n x n <
Ψ , n ≥m ≥0 (6)
Đặt Φ(n,m)=Ψ(n)X(n,m)Ψư1(m), ta chứng minh họ toán tử { Φ ( n , m ) , n ≥ m ≥ 0 } bị chặn đều Với n ≥ m≥0, giả sử u ≠ 0, u ∈ B, ta xét dãy {x(n), n
Trang 3trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
=m, m+1, } sao cho x(m) =
u u m
2 ) (
Ψ ư (Ψ(m) khả nghịch với mọi m thuộc ) Khi
đó
2 )
(
)
=
m
x
m
Ψ nên (5) thoả mãn Vậy ta có (6), nghĩa là
( ) ( , ) ư1( ) ( ) ( ) <1
m x m
Ψ
m
Ψ
m n X n
Suy ra
δ
u u m n
Φ( , ) ≤2 (7) Khi u = 0 hiển nhiên bất đẳng thức thức (7) Vậy đẳng thức thức (7) đúng với
mọi u ∈B, suy ra họ toán tử { Φ ( n , m ) , n ≥ m ≥ 0 } bị chặn tại mỗi một u ∈B Theo
nguyên lý bị chặn đều, ta suy ra họ toán tử { Φ ( n , m ) , n ≥ m ≥ 0 }bị chặn đều
Vậy (4) được chứng minh
Ngược lại giả sử có (4) Nếu ε là số dương bất kỳ, ta chọn δ =
K
ε
Khi đó với
nghiệm x(n) tuỳ ý của (1) nếu Ψ ( m ) x(m) <
K
ε
thì
m)x(m)) Ψ(n)X(n,
với mọi n ≥m
Vậy phương trình (1) ổn định đều
Xét tập hợp C gồm tất cả các dãy g: → B sao cho sup (n)g(n)
n
Ψ < ∞ Dễ thấy rằng
Ψ
. = supΨ(n)g(n)
n
là một chuẩn trên C, với chuẩn này C là một không gian Banach CΨ
Lập ánh xạ S: CΨ → CΨ,
≥
ư
ư
=
=
1 nếu
0 nếu
n n
v n A
n n
Sv
) 1 ( ) 1 (
0 ) )(
(
ta gọi S là toán tử dịch chuyển của CΨ Chú ý rằng điều kiện (3) đảm bảo cho Sv ∈
CΨ và S ∈ L[CΨ] (không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của CΨ) Ta ký hiệu
chuẩn của S là SΨ
2.2 Định lý Phương trình (1) Ψ-ổn định đều nếu và chỉ nếu
∞
<
≤
Ψ
≥
M
Sk
k 0
Chứng minh Đặt Φ(n,m)=Ψ(n)X(n, m)Ψư1(m), trước hết ta chứng minh đẳng
thức
) , (
Sk = ư (9)
Trang 4P.N Bội, H V Thành Về sự Ψ-ổn định của không gian banach, Tr 5-12
k) k)v(n (n
k) n Φ(n, v
S
n
k
ư
ư
ư
Ψ sup supΦ(n,n k) supΨ(n k)v(n k)
n n
ư
ư
ư
≤
Ψ
n
v k) n
Φ(n, ư
0
k n n
Φ
S
n
k
ư
≤
≥
Ψ (10) Với x ∈B, ký hiệu vx là dãy {v x(n)=Ψ ư1(n)x, n≥0}
Khi đó Φ n n k Φ n n k x
x
) , ( sup ) , (
1
ư
=
ư
=
= Φ(n, n k) (n k)vx(n k)
x
ư
ư
ư
=
Ψ 1
sup )
( ) , ( )
(
sup
1
k n v k n n X
n
x
ư
ư
=
=
=sup ( ) ( ) 1
n v S n
k
x =
=
Ψ
=
x k x
v S
1
sup
Ψ
=
Ψ
v
v S
sup
Ψ
Kết hợp bất đẳng thức trên với (10) ta có (9)
Từ (9) và Định lý 2.1 suy ra phương trình (1) Ψ-ổn định đều
k n
s r
1 ) , ( sup lim )
≥
∞
→
Điều này suy ra từ công thức (9) và công thức bán kính phổ
k k
k S
S
r
1
lim
)
(
Ψ
σ = →∞
2.4 Định lý Phương trình (1) Ψ-ổn định mũ khi và chỉ khi bán kính phổ của
S thoả mãnrσ(S)<1
Chứng minh Trước hết ta chứng minh đẳng thức
S
x m
)
(
∈≥ ≥ σ
B
(11)
Đặt vế phải của (11) là R Trước hết ta chứng minh
R S
rσ( )≤ (12)
Để chứng minh (12) ta chứng minh q ≥rσ(S ) nếu q ≥R
Ta có Ψ(n)(S v)(n) N q q k Ψ(n k)v(n k)
k
ư
ư
Vậy
Ψ
Ψ ≤ N q v v
q k
q N
=
Ψ
∞
→ σ
1
lim )
Vậy (12) được chứng minh
Ta còn phải chứng minh
R S
rσ( )≥ (13)
Để chứng minh (13) ta chứng minh p ≥R nếu p ≥ rσ(S) Thật vậy từ q
≥rσ(S) nên với k0 đủ lớn ta có
p
S k k ≤
Ψ 0
0
1
(14) Giả sử u là một phần tử của B Ký hiệu ux là dãy
Trang 5trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
=
≠
=
1 nếu
1 nếu
n x
n n
Dễ thấy
=
ư
=
≥
Ψ sup ( ) ( , 0) ( )
0
n x k
x k X k
Ψ ( 0 + 1 ) ( 0 + 1 ) (15) Theo (14) ta có Sk0ux ≤ pk0 ux = pk0 Ψ ( 1 ) x
Ψ
với (15), suy ra
x
Ψ
p x k
X k
0
0 + + ≤ Bất đẳng thức này chứng tỏ p ≥R Vậy (13) được chứng minh Từ các bất đẳng thức (12), (13) ta có (11)
Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.4
Giả sử phương trình (1) Ψ-ổn định mũ Khi đó tồn tại các số K và q : K > 0, 0 < q< 1 sao cho nếu {x(n), n∈N} là nghiệm bất kỳ của phương trình (1) thì
Ψ(m)x(m) Kq
Với phần tử v bất kỳ của B, ký hiệu x(n) là nghiệm của (1) sao cho x(0) = v Từ (16) ta có Ψ(n)X(n, 0 )v ≤ Kqn Ψ( 0 )v Từ (11) ta suy ra rσ(S)<1
Ngược lại, nếu rσ(S)<1 thì từ (11) ta suy ra tồn tại các số 0 < q< 1, Nq sao
ư
≤ với mọi m,n thuộc , n ≥ m≥0, mọi v ∈B Giả sử x(n) là nghiệm tuỳ ý của (1), thay v trong bất đẳng thức trên bởi x(m), ta thu được (16) Vậy phương trình (1) Ψ-ổn định mũ
Sau đây ta chứng minh mối quan hệ giữa tính Ψ-ổn định mũ của phương trình (1) với điều kiện Perron của phương trình (2), trong đó {f(n), n ≥0} là dãy nhận giá trị trong B
2.5 Định nghĩa Nếu với mỗi một f thuộc C bài toán Cauchy
=
+
= + 0 ) 0 (
) ( ) ( ) ( ) 1 (
x
n f n x n A n
x
có nghiệm x(n) thuộc C, ta nói rằng phương trình (2) thoả mãn điều kiện Perron
Sau đây là kết quả về mối liên hệ giữa tính Ψ-ổn định mũ và điều kiện Perron
2.6 Định lý Phương trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi phương trình (1) Ψ-ổn định mũ
Chứng minh Ký hiệu C ~là tập hợp con của C gồm tất cả các dãy {x(n),
n ≥0|x(0) = 0} Dễ thấy rằng tập hợp C~ với chuẩn
Ψ
. nói trên là một không gian Banach, ta ký hiệu không gian này là C~Ψ Ký hiệu S ~ là hạn chế của S trên C ~
Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau (tương tự cách chứng minh Định lý 1
Trang 6P.N Bội, H V Thành Về sự Ψ-ổn định của không gian banach, Tr 5-12
2.7 Bổ đề Nếu λ thuộc giải thức ρ(S~) thì đường tròn z = λ nằm trong
ρ(S~)
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của S ~là một hình tròn xoay tâm
là gốc toạ độ
Chứng minh Để chứng minh Bổ đề 2.7 ta chỉ cần chứng minh rằng phổ
σ(S~)bất biến với mọi phép quay quanh gốc toạ độ:
σ(S~)= ei α
σ(S~), (17) với mọi α ∈
Trước hết ta chứng minh cho α ∈2π, ( là tập hợp các số hữu tỷ) Tức là
α
π
2 = p
q , trong đó p∈, q∈ Xét toán tử: Tα: C ~ → C ~ xác định như sau:
(Tαv)(n) = ei α nv(n)
Ta có (Tα S ~Tưαv)(n) = ei α n(S ~Tưαv)(n) = ei α nA(n-1)(Tưαv)(n-1)
= ei α nA(n-1)e-i α (n-1)v(n-1) = ei αA(n-1)v(n-1) = ei α(S ~v)(n),
với mọi n thuộc
Suy ra Tα S ~Tưα= ei α(S ~) Vì Tα là toán tử tuyến tính liên tục và
1
)
(Tα ư =Tưαnên σ(S~) = σ ( TαS ~ Tưα) =σ(e iαS~)=e iασ(S~)
Nếu α là số thực bất kỳ khi đó tồn tại dãy {αn}⊂ 2π sao cho
αn → α Theo chứng minh trên σ(S~)=e i n (S~)
σ
α , với mọi n ∈ Do σ(S~)đóng trong
nên suy ra e iασ(S~)
⊂σ(S~) Thật vậy giả sử z0 là số phức tuỳ ý thuộc σ(S~) thì dãy {z(n)= i n
σ
α =σ(S~) hội tụ về z = eiα z0 trong C~Ψ nên z ∈ σ(S~) Mặt khác z = eiα z0 ∈ eưiασ(S~) Vậy σ(S~)⊂eưiασ(S~) hay e iασ(S~)
⊂σ(S~) Hoàn toàn tương tự ta có σ(S~)⊂e iασ(S~) Vậy (17) được chứng minh
2.8 Bổ đề Nếu λ∈ρ(S~)thì rσ(S ~ ) < |λ|
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của S ~và phổ của S ~nằm ở hai phần phân biệt của mặt phẳng Phổ của S ~chiếm phần “trong” và giải thức của
S ~chiếm phần “ngoài”
Chứng minh Theo Bổ đề 9, toàn bộ đường tròn z = λ không nằm trong phổ
σ(S~) Ký hiệu R(s, S~)= 1
)
~ (S ư sI ư , với I là toán tử đồng nhất Tích phân =ư ∫
2 1
Trang 7trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
là một phép chiếu trong C~Ψ (P2=P) Hơn nữa P giao hoán với S ~
(PS ~ = S ~P) và
σ(PS ~P) = σ(S ~) ∩ { z | |z| < |λ|} σ((I-P)S ~(I-P)) = σ(S ~) ∩ { z | |z| > |λ|} (18)
Đặt U = (I-P)S ~(I-P), ta chứng minh U = 0 Thật vậy từ định nghĩa của S ~ ta suy ra Ι
∞
=1
)
~ Im(
n
n
S = {0} (19) Vì σ(U) không chứa 0 nên U khả nghịch Từ U =U U n ư +n 1 ta thu được ImU ⊂ ImUn Mặt khác, hiển nhiên ImUn ⊂ ImU vì vậy ImU = ImUn, với mọi số tự nhiên n
Để ý rằng I-P giao hoán được với S ~ và (I-P)n = (I-P) với mọi số tự nhiên n nên
ta có Un = (I-P) n
S ~ (I-P) (20)
Từ công thức (19) và (20) ta nhận được ImU = Ι∞
=
ư
ư 1
) (
~ ) Im(
n
n
P I S P
Tức là (I-P)S ~= U = 0 điều này kéo theo (I-P) = 0, tức là P = I Do (18) nên σ(S ~) ⊂ { z | |z| < |λ|}, nghĩa là rσ(S ~ ) < |λ|
Bổ đề được chứng minh
Ta chứng minh Định lý 2.6
Với mỗi f ∈C, ký hiệu ~f là dãy thuộc C ~ như sau
≥
ư
=
=
1 ), 1 ( ) (
~ 0 ) 0 (
~
n n f n f
f
Dễ thấy phương trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi với mỗi một ~f ∈C ~tồn tại x~∈C ~ sao cho ~xưS x~= ~f Điều đó tương đương với toán tử
Id-S ~khả nghịch hay 1∈ρ(S~) Từ Bổ đề 10 ta suy ra điều kiện Perron thoả mãn cho phương trình (2) khi và chỉ khi rσ(S ~ ) < 1
Với lập luận cho S ~giống hệt như đã là cho S trong Định lý 2.4, ta có
)
~
(S
rσ < 1 khi và chỉ khi phương trình (1) Ψ-ổn định mũ
Vậy phương trình (2) thoả mãn điều kiện Perron tương đương với 1∈ρ(S~)và tương đương với phương trình (1) Ψ-ổn định mũ
Chú ý: Điều kiện Perron cổ điển được chứng minh bởi Ta Li (xem [10]) là
trường hợp riêng của Định lý 2.6 khi các dãy {Ψ(n), n ≥0} và {Ψ-1(n), n ≥0} bị chặn
(nói riêng khi {Ψ(n), n ≥0} là dãy toán tử đồng nhất)
Trang 8P.N Bội, H V Thành Về sự Ψ-ổn định của không gian banach, Tr 5-12
Tài liệu tham khảo
[1] Akinyele O., On partial stability and boundedness of degree k, Atti Acad Naz Lincei Rend Cl Sci Fis Mat Natur., Vol 8, 65, 1978, pp 259-264
[2] Avramescu C., Asupra comportarii asimptotice a solutiilor unor ecuatii functionale, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice, Vol
VI, 1968, 41-55
[3] Aulbach B and Nguyen Van Minh, The concept of spectral dichotomy for linear difference equations II, Journal of Difference Equations and Applications, No 2,
1996, pp 251-162
[4] Constantin A., Asymptotic proporties of solution of differential equation, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice-Fizice, Vol XXX, fasc Vol.2, No.3,1992, pp 183-225
[5] Diamandescu A., On the ψ-stability of a nonlinear Volterra integro-differential system, Electronic Journal of Differential Equation, Vol 2005 (2005), No 56, pp 1-14
[6] Diamandescu A., Note on the ψ-boundedness of the solutions of a system of differential equations, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXIII, 2, 2004, pp 223-233
[7] Pham Ngoc Boi, On the Ψ - dichotomy for homogeneous linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol 2006 (2006), No 40,
pp 1-12
[8] Pham Ngoc Boi, Existence of ψ-bounded solutions on for nonhomogeneous linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol
2007 (2007), No 52, pp 1-10
[9] Y Han, J Hong, Existence of ψ-bounded solutions for linear difference equations, Applied Mathematics Letters, No 20, 2007, pp 301 – 305
[10] Xaлaнaй A., Beкслep.Д., Кaчecтвeнaя тeopия импунсныx cистeм, “Mир”,
Москва, 1971
Summary
on the Ψ-stability of LINEAR difference equations in Banach spaces
In this article we introduce concepts of ψ-uniformly stable, ψ-exponential stable for homogeneouslinear difference equations in Banach spaces and prove some necessary and sufficient conditions for ψ-uniformly stable, ψ-exponential stable of these equations The article show relation between the Perron condition of nonhomogeneouslinear difference equations and the ψ-stable of the corresponding homogeneouslinear difference equations
a) Khoa Toán, trường Đại Học Vinh
b) Cao học 14 - Giải tích, trường Đại Học Vinh