Bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả Lê Thị Ngọc Phượng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả Lê Thị Ngọc Phượng ii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Lớp Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Trường vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . 13 1.3. Toán tử tuyến tính không bị chặn. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . 19 1.3.2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . 22 1.4. Định lý Kato - Rellic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Ví dụ về zero mode bằng phương pháp thứ nhất của M. Loss và H. T. Yau 24 iii 2.1. Ma trận Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Toán tử Weyl - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Zero mode của toán tử Weyl-Dirac . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Bài toán về zero mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Phương pháp thứ nhất xây dựng zero mode của M. Loss và H.T. Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6. Ví dụ về zero mode của M. Loss và H. T. Yau . . . . . . 36 2.7. Một số kết quả của C. Adam, B. Muratori và C. Nash . . 38 2.8. Tư tưởng của L. Erd¨os, J. P. Solovej khi nghiên cứu về zero mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.8.1. Lớp các từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8.2. Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9. Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Ví dụ về zero mode bằng phương pháp thứ hai của M. Loss và H. T. Yau 52 3.1. Phương pháp thứ hai xây dựng zero mode của M. Loss và H.T. Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Các ví dụ của D. M. Elton . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 78 iv BẢNG KÍ HIỆU R 3 không gian Euclid 3-chiều C Tập các số phức i đơn vị ảo C ∞ 0 tập các hàm trơn có giá compact C ∞ tập các hàm trơn L 2 (R 3 ) không gian các hàm bình phương khả tích trên R 3 H 2 (R) không gian Sobolev x chuẩn của véc tơ x S 2 hình cầu đơn vị trong R 3 S 3 hình cầu đơn vị trong R 4 kerA nhân của toán tử A DimX số chiều của không gian vec tơ X SpecA phổ của toán tử A DomA Miền xác định của toán tử A RanA Miền giá trị của toán tử A p = −i toán tử momen động lượng p 2 = − toán tử Laplace x = (x 1 , x 2 , x 3 ) điểm trong R 3 u ×v tích có hướng của hai vector u, v  kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm “zero mode của toán tử Weyl-Dirac” thực tế được xuất phát từ Vật lý. Nó xuất hiện đầu tiên vào năm 1986 khi một nhóm các nhà Vật lý lý thuyết đứng đầu là Fr¨ohlich đã xét sự ổn định của nguyên tử Hydro trong môi trường từ tính. Họ xét đến phương trình Hamilton: H = (p − A) 2 − σ.B − z |x| (0.1) có trạng thái năng lượng ban đầu được ký hiệu là E 0 (B, z). H tác động lên hai thành phần spinor ψ. Nhìn chung các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng tồn tại một số tới hạn z c > 0 sao cho E(z) = inf B (E 0 (B, z) + ε  B 2 ) (0.2) là hữu hạn với z < z c và E(z) = −∞ khi z > z c với ε = (8πα 2 ) −1 và c là hằng số cấu trúc  (137.04) −1 . Họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để có hữu hạn z c là phương trình σ · (p −A)ψ = 0 (0.3) có nghiệm với A, ψ thỏa mãn: ψ ∈ H 1 (R 3 ), nghĩa là ψ, ∇ψ ∈ L 2 (R 3 )(a), A ∈ L 6 (R 3 ), divA = 0, B = CurlA ∈ L 2 (R 3 )(b). Hàm ψ được gọi là zero mode của toán tử Weyl-Dirac σ ·(p − A). Ta có (0.3) là phương trình đo sự bất biến. Giả sử (0.3) có nghiệm, B có thể được biểu diễn hoàn toàn trong điều kiện của trường vector U = ψ, σψ (0.4) và đạo hàm của nó. Một câu hỏi được đặt ra là: giả sử trường U thỏa mãn U ∈ L 1 , U 2 trơn và divU = 0 thì ta có thể tìm được bao nhiêu ψ và A thỏa mãn (0.3), (0.4), (a), (b). Năm 1986, Loss-Yau đã đưa ra được hai phương pháp về mặt lý thuyết để tìm zero mode của toán tử Weyl - Dirac và một số ví dụ cụ thể về bài toán này dựa trên phương pháp thứ nhất. Sau đó các ví dụ này được C. Adam, B. Muratori, C. Nash, Y. Aharonov, A. Casher, L. Erd¨os, J. P. Solovej liên tiếp phát triển nhưng chủ yếu dựa trên phương pháp thứ nhất. Năm 2000, D. M. Elton nghiên cứu và đưa ra ví dụ cụ thể cho phương pháp thứ hai. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán tìm zero modes của toán tử Weyl-Dirac với sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn đề tài "Bài toán về zero mode của toán tử Weyl- Dirac". 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac, các ví dụ cụ thể của zero mode và một số kết quả liên quan đến sự phát triển của bài toán trong những năm gần đây. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày các ví dụ cụ thể về zero mode của toán tử Weyl- Dirac bằng hai phương pháp của Loss và Yau. Đặc biệt ví dụ của D. M. Elton thông qua bài báo New Examples of Zero Modes, J. Phys. A, 33(2000), 7297-7303. + Nghiên cứu cách phát triển các kết quả đã có. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Toán tử Weyl-Dirac, zero mode của toán tử Weyl- Dirac. + Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan đến bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm. + Lý thuyết toán tử, lý thuyết toán tử không bị chặn, lý thuyết phổ. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là những bài báo mới về bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac. 6.Dự kiến đóng góp mới + Nghiên cứu và làm rõ được các bước chứng minh tìm ra zero mode của toán tử Weyl-Dirac bằng phương pháp thứ hai. + Tổng hợp, hệ thống một số kết quả mà các nhà khoa học đã đạt được khi nghiên cứu bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi đề cập đến một số kiến thức cơ bản nhất về không gian Hilbert, không gian Sobolev, lớp Schwartz, trường vector, toán tử tuyến tính bị chặn và phổ của toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử tuyến tính không bị chặn và phổ của chúng. Những kiến thức đó được viết chi tiết trong [1], [2], [13], [14], [15], [16]. 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính). Cho không gian tuyến tính X (trên trường số thực hoặc phức). Giả sử ứng với mỗi cặp phần tử xác định một số thực (hoặc phức) thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) (∀x, y ∈ X), x, y = y, x; (trong trường số phức thì x, y = y, x); ii) (∀x, y, z ∈ X), x + y, z = x, z + y, z; iii) (∀x, y ∈ X, λ ∈ R(C))λx, y = λx, y; iv) (∀x ∈ X), x, x ≥ 0, trong đó x, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (kí hiệu phần tử không). Số x, y như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y. 5 Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Ơclit). Không gian tuyến tính mà trong đó có xác định tích vô hướng được gọi là không gian Ơclit. Trong không gian Ơclit ta có thể đưa vào chuẩn x =  x, x. Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Hilbert). Không gian Ơclit đủ được gọi là không gian Hilbert. Ta thường ký hiệu H không gian Hilbert. Ví dụ 1.1.1. Không gian L 2 (R 3 ) là không gian các các hàm số với bình phương khả tích trên R 3 . ∀f(x), g(x) ∈ L 2 (R 3 ) ta đặt: f, g =  R 3 f(x)g(x) dx. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trên là: f =  f, f = (  R 3 f 2 (x)dx) 1 2 . Khi đó không gian L 2 (R 3 ) cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.4 (Giá của một hàm). Giá của hàm f (thực hay phức) trên không gian topo X là bao đóng của tập: L = {x ∈ X|f(x) = 0}. 1.1.2. Không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.5. Cho Ω là một tập mở trong R n , 1 ≤ p ≤ ∞, m ∈ Z + . Không gian Sobolev W m,p (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u ∈ L p (Ω), sao cho với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m, đạo hàm suy rộng D α u ∈ L p (Ω). Nghĩa là: W m,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω) : D α u ∈ L p (Ω) ∀|α| ≤ m}. m được gọi là bậc của không gian Sobolev W m,p (Ω). W m,p (Ω) có chuẩn được xác định bởi công thức [...]... chặn A : DomA → H Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp A∗ là mở rộng của toán tử A Toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và DomA∗ = DomA 21 ¯ Nếu bao đóng A tự liên hợp thì toán tử đối xứng A gọi là toán tử tự liên hợp cốt yếu Do DomA ⊂ DomA∗ là trù mật trong H nên toán tử đối xứng luông là toán tử đóng Nếu A là toán tử đối xứng thì A∗ là mở rộng đóng của A, nên mở rộng... trong DomA Theo hệ quả của Định lí X.19 (trong [14]) thì ta có A + B là tự liên hợp cốt yếu trong bất kì lõi nào của A Chương 2 Ví dụ về zero mode bằng phương pháp thứ nhất của M Loss và H T Yau Trong chương này, chúng tôi đưa ra bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac, phương pháp thức nhất về mặt lý thuyết để giải quyết bài toán này của Loss và Yau, kết quả về các zero mode và các thế vị từ... sở trực chuẩn của không gian L2 (R)) Vậy T là toán tử không bị chặn Định nghĩa 1.3.2 Cho toán tử không bị chặn A : DomA → H Toán tử A gọi là toán tử đóng nếu với mỗi dãy {xj } ⊂ DomA, xj → x và Axj → y thì x ∈ DomA và Ax = y Toán tử A gọi là toán tử mở rộng của toán tử A nếu DomA ⊆ DomA và Ax = A x, ∀x ∈ DomA Toán tử A gọi là đóng được nếu A là mở rộng đóng Mở rộng đóng nhỏ nhất của toán tử đóng A gọi... compact) Toán tử tuyến tính A trên không gian Hilbert H gọi là toán tử compact (hay toán tử hoàn toàn bị chặn) nếu, với mỗi dãy bị chặn (xn ) trong H, dãy (Axn ) chứa một dãy con hội tụ 13 Định lý 1.2.5 (Các tính chất của toán tử compact) 1 Toán tử compact là hoàn toàn bị chặn 2 Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert H và B là toán tử bị chặn trong H thì AB và BA là toán tử compact 3 Toán tử. .. Ax1 = Ax2 Do đó A có toán tử ngược A−1 Theo chứng minh trên, toán tử A−1 tuyến tính nên (∀y ∈ Y ) ta có: y = A A−1 y A−1 ≥ α A−1 y ⇒ A−1 y ≤ 1 y α Suy ra, A−1 là toán tử tuyến tính bị chặn Vậy A−1 liên tục và 1 ≤ α 12 Định nghĩa 1.2.6 (Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H Toán tử A∗ : H → H gọi là toán tử liên hợp của A, nếu (Ax, y) =... Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là chuẩn tắc nếu A∗ A = AA∗ Định nghĩa 1.2.8 (Toán tử dương) Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trên không gian Hilbert H nếu (Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ H Định nghĩa 1.2.9 (Toán tử xác định dương) Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương trên không gian Hilbert H nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ x , ∀x ∈ H Định nghĩa 1.2.10 (Toán tử. .. đóng của A là tập con của DomA sao cho bao đóng của A bị thu hẹp trên tập hợp này trùng với A Định nghĩa 1.3.3 (Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính không bị chặn) Cho toán tử không bị chặn A : DomA → H Ký hiệu DomA∗ là tập hợp các phần tử y ∈ H, với mỗi z ∈ H ta có (Ax, y) = (x, z) , ∀x ∈ DomA Với mỗi y ∈ DomA∗ ta đặt A∗ y = z và gọi A∗ là toán tử liên hợp của A Định nghĩa 1.3.4 Cho toán tử không... tra được A là toán tử tuyến tính bị chặn, tất cả các số λj (j = 1, 2, , n) đều là giá trị riêng 15 của toán tử A và tất cả các số λ = λj (j = 1, 2, , n) đếu là giá trị chính quy của toán tử A Vì vậy toán tử A chỉ có phổ điểm Định lý 1.2.7 Mọi giá trị riêng của toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert H đều là số thực Chứng minh Giả sử x ∈ H, x = θ là vectơ riêng của toán tử A tương ứng... trường hợp toán tử tuyến tính không bị chặn Lý thuyết phổ rất quan trọng đối với Toán- Lý Ví dụ như trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton là toán tử tuyến tính tự liên hợp không bị chặn trong không gian Hilbert Phổ điểm của toán tử Hamilton tương ứng với mức năng lượng bị chặn của hệ thống 1.4 Định lý Kato - Rellic Định lý 1.4.1 (Định lý Kato - Rellic) Giả sử A là toán tử tự liên hợp và B là toán tử đối... thay ≤ bởi < trong (1.2) ta suy ra điều phải chứng minh 1.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn 1.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn Cho H là không gian Hilbert, DomA là miền xác định của toán tử A, DomA ⊆ H Định nghĩa 1.3.1 (Toán tử tuyến tính không bị chặn) Toán tử tuyến tính A : DomA → H gọi là toán tử không bị chặn nếu tồn tại dãy số {xn } , xn ∈ DomA, xn = . hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán tìm zero modes của toán tử Weyl-Dirac với sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn đề tài " ;Bài toán về zero mode của toán tử Weyl- Dirac". 2 nghiên cứu + Đối tượng: Toán tử Weyl-Dirac, zero mode của toán tử Weyl- Dirac. + Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan đến bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac. 5. Phương. Weyl- Dirac". 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán zero mode của toán tử Weyl-Dirac, các ví dụ cụ thể của zero mode và một số kết quả liên quan đến sự phát triển của bài toán trong những năm gần đây. 3.