Nhóm các nhà Vật lý lý thuyết đứng đầu là Fr¨ohlich đã xét sự ổn định của nguyên tử Hydro trong môi trường từ tính. Còn theo quan điểm toán học vấn đề đó trở thành: trạng thái năng lượng hữu hạn nghĩa là có hữu hạn các giá trị riêng cho toán tử tương ứng.
Cụ thể như sau:
Chúng ta sẽ xét đến toán tử Hamiltonnian trong trường hợp này là: H = (p−A)2 −σ.B − z |x|. Trong đó : +σ = (σ1, σ2, σ3) , σj(j = 1,2,3) là các ma trận Pauli và i là đơn vị ảo, i2 = −1.
+ p = −i5 là toán tử momen động lượng. + p2 = −4, −4 là toán tử Laplace.
+ z là điện tích hạt nhân. + A là thế vị vector. + B = curlA.
H tác động lên hai thành phần của spinor ψ. Trạng thái năng lượng ban đầu E0(B, z) của H luôn hữu hạn nhưng nó phụ thuộc vào sự tương tác spinor electron với từ trường B, E0(B, z) → −∞ khi B → ∞.
Nhìn chung, nó chứng tỏ được rằng có một số tới hạn zc > 0 sao cho E(z) = infB[E0(B, z) + εR B2] là hữu hạn với bất kì z < zc và E(z) =∞ khi z > zc, với ε = (8πα2)−1 và α ' (137.04)−1. (Kết quả vật lí được giải thích ở [11]).
Khi bắt đầu công việc, nhóm nghiên cứu của Fr¨ohlich không biếtzc có hữu hạn hay không. Tuy nhiên, họ còn chứng tỏ được rằng điều kiện cần và đủ để có hữu hạnzc là xem xét có hay không sự tồn tạiψ ∈ H1(R3) nghĩa là ψ,∇ψ ∈ [L2(R3)]2 sao cho DAψ = 0, với A inL6(R3), divA = 0, B = curlA ∈ L2(R3). Quan sát thấy rằng trong khi (0.3) là phương trình đo sự bất biến, (a) (b) áp đặt cả hai bất biến đo lường và đánh giá hạn chế sự phụ thuộc. Các điều kiện đánh giá sự bất biến bao gồm ψ ∈ L2, B ∈ L2, điều kiện đánh giá sự ràng buộc là ∇ψ ∈ L2, A ∈
L6, divA = 0 (không bất biến đo lường).
Giả sử (0.3) có một nghiệm, chi tiết trong [11], B có thể được biểu diễn hoàn toàn trong điều kiện của trường vector U = hψ, σψi và đạo hàm của nó (U bằng hai lần mật độ spinor và h,i là tích vô hướng trong
C2 ).
Do đó vấn đề này trở thành nghiên cứu sự tồn tại của zero mode của toán tử Weyl-Dirac DA = σ·(p−A).