Bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan t¾n tình cna TS Ta Ngoc Trí, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln đ®ng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân cám ơn Ban giám hi¾u, thay giáo, ban bè ong nghiắp trũng Dn b% hoc dõn tđc Trung ng Viắt Trỡ, Phỳ Tho ó quan tõm, đng viờn tao đieu ki¾n đe tác giá hồn thành khóa hoc Thac sĩ hồn thành lu¾n văn Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giá Lê Th% Ngoc Phưong i LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giá Lê Th% Ngoc Phưong ii Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m bán 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Lóp Schwartz 1.1.4 Trưòng vector 1.2 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n Pho cna tốn tú tuyen tính b% ch¾n 1.2.1 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n 1.2.2 Pho cna toán tú tuyen tính b% ch¾n 13 1.3 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n Pho cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 19 1.3.1 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 19 1.3.2 Pho cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 22 1.4 Đ%nh lý Kato - Rellic 22 Ví dn ve zero mode bang phương pháp thN nhat cúa M Loss H T Yau 24 iii 2.1 Ma tr¾n Pauli 24 2.2 Toán tú Weyl - Dirac .25 2.3 Zero mode cna toán tú Weyl-Dirac 33 2.4 Bài toán ve zero mode 34 2.5 Phương pháp thú nhat xây dnng zero mode cna M Loss H.T Yau 35 2.6 Ví du ve zero mode cna M Loss H T Yau 36 2.7 M®t so ket cna C Adam, B Muratori C Nash 38 2.8 Tư tưóng cna L Erdos, J P Solovej nghiên cúu ve zero mode 44 2.8.1 Lóp tù trưòng 45 2.8.2 Cách xây dnng 46 2.9 M®t so ket khác 49 Ví dn ve zero mode bang phương pháp thN hai cúa M Loss H T Yau 52 3.1 Phương pháp thú hai xây dnng zero mode cna M Loss H.T Yau 53 3.2 Các ví du cna D M Elton 55 Ket lu¾n 78 Tài li¾u tham kháo 78 iv BÁNG KÍ HIfiU R3 khơng gian Euclid 3-chieu C T¾p so phúc i đơn v% áo C∞ ∞ C t¾p hàm trơn có giá compact t¾p hàm trơn L2(R3) khơng gian hàm bình phương tích R3 H2(R) khơng gian Sobolev "x" chuan cna véc tơ x S2 hình cau đơn v% R3 S3 hình cau đơn v% R4 kerA nhân cna toán tú A DimX so chieu cna khơng gian vec tơ X SpecA cna tốn tú A DomA Mien xác đ%nh cna toán tú A RanA Mien giá tr% cna toán tú A p = −i5 tốn tú momen đ®ng lưong p2 = −6 tốn tú Laplace x = (x1, x2, x3) điem R3 u×v tích có hưóng cna hai vector u, v Q ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Khái ni¾m “zero mode cía tốn tÚ Weyl-Dirac” thnc te đưoc xuat phát tù V¾t lý Nó xuat hi¾n đau tiên vào năm 1986 m®t nhóm nhà Vắt lý lý thuyet ỳng au l Frăohlich ó xột sn on đ %nh cna nguyên tú Hydro môi trưòng tù tính Ho xét đen phương trình Hamilton: H = (p − A)2 − σ.B − z (0.1) |x| có trang thái lưong ban đau đưoc ký hi¾u E0(B, z) H tác đ®ng lên hai thành phan spinor ψ Nhìn chung nhà nghiên cúu chí rang ton tai m®t so tói han zc > cho ¸ E(z) = inf(E0(B, z) +ε B2 ) (0.2) B huu han vói z < zc E(z) = −∞ z > zc vói ε = (8πα2)−1 c hang so cau trúc c (137.04)−1 Ho chí rang đieu ki¾n can đn đe có huu han zc phương trình σ · (p − A)ψ = (0.3) có nghi¾m vói A, ψ thóa mãn: ψ ∈ H1(R3), nghĩa ψ, ∇ψ ∈ L2(R3)(a), A ∈ L6(R3), divA = 0, B = CurlA ∈ L2(R3)(b) Hàm ψ đưoc goi zero mode cna toán tú Weyl-Dirac σ · (p − A) Ta có (0.3) phương trình đo sn bat bien Giá sú (0.3) có nghi¾m, B có the đưoc bieu dien hồn tồn đieu ki¾n cna trưòng vector U = (ψ, σψ) (0.4) đao hàm cna M®t câu hói đưoc đ¾t là: giá sú trưòng U thóa mãn U ∈ L1, U trơn divU = ta có the tìm đưoc ψ A thóa mãn (0.3), (0.4), (a), (b) Năm 1986, Loss-Yau đưa đưoc hai phương pháp ve m¾t lý thuyet đe tìm zero mode cna tốn tú Weyl - Dirac m®t so ví du cu the ve toán dna phương pháp thú nhat Sau ví du đưoc C Adam, B Muratori, C Nash, Y Aharonov, A Casher, L Erdăos, J P Solovej liên tiep phát trien chn yeu dna phương pháp thú nhat Năm 2000, D M Elton nghiên cúu đưa ví du cu the cho phương pháp thú hai Vói mong muon hieu biet sâu sac ve tốn tìm zero modes cna tốn tú Weyl-Dirac vói sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta Ngoc Trí tơi chon đe tài "Bài tốn ve zero mode cía tốn tÚ Weyl- Dirac" Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve tốn zero mode cna tốn tú Weyl-Dirac, ví du cu the cna zero mode m®t so ket liên quan đen sn phát trien cna toán nhung năm gan Nhi¾m nghiên cNu + Trình bày ví du cu the ve zero mode cna tốn tú WeylDirac bang hai phương pháp cna Loss Yau Đ¾c bi¾t ví du cna D M Elton thơng qua báo New Examples of Zero Modes, J Phys A, 33(2000), 7297-7303 + Nghiên cúu cách phát trien ket có Đoi tưang pham vi nghiên cNu + Đoi tưong: Toán tú Weyl-Dirac, zero mode cna toán tú Weyl- Dirac + Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo liên quan đen tốn zero mode cna toán tú Weyl-Dirac Phương pháp nghiên cNu + Sú dung ky thu¾t cna giái tích hàm + Lý thuyet toán tú, lý thuyet toán tú khơng b% ch¾n, lý thuyet + Thu th¾p nghiên cúu tài li¾u liên quan, đ¾c bi¾t nhung báo mói ve tốn zero mode cna tốn tú Weyl-Dirac DN kien đóng góp mái + Nghiên cúu làm rõ đưoc bưóc chúng minh tìm zero mode cna tốn tú Weyl-Dirac bang phương phỏp thỳ hai + Tong hop, hắ thong mđt so ket mà nhà khoa hoc đat đưoc nghiên cúu toán ve zero mode cna toán tú Weyl-Dirac Chương Kien thNc chuan b% Trong chng ny chỳng tụi e cắp en mđt so kien thúc bán nhat ve không gian Hilbert, không gian Sobolev, lóp Schwartz, trưòng vector, tốn tú tuyen tính b% ch¾n cna tốn tú tuyen tính b% ch¾n, tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n cna chúng Nhung kien thúc đưoc viet chi tiet [1], [2], [13], [14], [15], [16] 1.1 1.1.1 Các khái ni¾m bán Khơng gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Khơng gian tuyen tính) Cho khơng gian tuyen tính X (trên trưòng so thnc ho¾c phúc) Giá sú úng vói moi cắp phan tỳ xỏc %nh mđt so thnc (hoắc phỳc) thóa mãn đieu ki¾n sau đây: i) (∀x, y ∈ X), (x, y) = (y, x); (trong trưòng so phúc (x, y) = (y, x)); ii) (∀x, y, z ∈ X), (x + y, z) = (x, z) + (y, z); iii) (∀x, y ∈ X, λ ∈ R(C))(λx, y) = λ(x, y); iv) (∀x ∈ X), (x, x) ≥ 0, (x, x) = chí x =θ (kí hi¾u phan tú khơng) So (x, y) v¾y đưoc goi tích vơ hưóng cna hai phan tú x, y − 1)u     x2   = −8(q − 5q + 4)u −x  1   Ta có:   ∂((q − 1)u(−h + ig))   ∂ψ(2)  ∂x  = ix )  ∂x1 ∂2u(x1 + ∂x1  ∂u ∂(q2 − 1) (q2 − 1)(−h + + u(−h + ∂x ig) ig)  ∂u = ∂x1   2u + 2(x1 +   ix ∂x1 2) (q2 − 1)(−h + ig)(−x 1u) + u(−h + = ig)2x1 2u + 2(x1 + ix2)(−x1u) (q2 − 1)(−h + ig)(−x1u) + u(−h + = ig)2x1 2u + 2(x1 + ix2)(−x1u) = −x1u ( h + ig)2x1 (q2 − 1)(−h + +u − ig) 2(x1 + ix2) (2) ∂ψ(2) = −x1ψ + u ∂x1 V¾y Suy ra: ψ(2)T (2) ∂ψ = −x u ( ig)2 (q ( h+ ig)2x1 − 1) 2(x ix ) (−h + ig)(q2 − 1) h ∂x1 − − − − 2( + ix2) x1 (−h + ig)2x1 + u (−h − ig)(q2 − 1) 2(x − ix2) = −x1[u (q − 1) (h + g ) + 2u (x + x2)] 2 2 2 2 + [u22x1(q2 − 1)2(h2 + g2) + 4u2(x1 − ix2)] Suy Imψ ∂ψ (2)T (2) ∂x1 = −4u2x2 (3.51) Tương tn:   ∂((q − 1)u(−h + ig))   ∂ψ(2)  ∂x  = ix )  ∂x2 ∂2u(x1 + ∂x2  ∂u ∂(q2 − 1) (q2 − 1)(−h + + u(−h + ∂x ig) ig)  ∂u = ∂x2   2ui + 2(x1 +   ix ∂x2 2) (q2 − 1)(−h + ig)(−x 2u) + u(−h + = ig)2x2 2ui + 2(x1 + ix2)(−x2u) = −x2u ( h + ig)2x2 (q2 − 1)(−h + +u − 2i ig) 2(x1 + ix2) = −x2ψ(2) + ( h+ u ig)2x1 − 2i Suy ra: ψ(2)T ∂ψ (2) ∂x2 u ( ix ) (−h + ig)(q2 − h 1) − − − 2( + ix2) − x1 + u2 (−h − ig)(q2 − 1) (−h + 2(x − ix2) ig)2x1 = −x 1) 2(x ig)2 (q 2i = −x2[u (q − 1) (h + g ) + 2u (x + x2)] 2 2 2 2 + [u22x2(q2 − 1)2(h2 + g2 ) + 4iu2(x1 − Suy ix2)] Imψ ∂ψ (2)T (2) = ∂x1 4u2x (3.52) Tính tốn tương tn ta có   ∂((q − 1)u(−h + ig))  (2)  ∂ψ  ∂x3  = ix )  ∂2u(x1 + ∂x3 ∂x3  ∂u ∂(−h + ig) (q2 − 1)(−h + + u(q2 − ∂x ig) 1)  ∂u =  + 2(x1 +   ∂x3  ix ∂x3 2) (q2 − 1)(−h + ig)(−hu) + u(−hr + igr) = (q2 − 1) 2(x1 + ix2 )(−hu) r r = −h ( h + ig )(q 1) (q2 − 1)(−h + − + u ig) 2(x1 + ix2) = −hψ(2) + u (−hr + igr)(q2 − 1) Suy ra: ψ(2)T ∂ψ (2) ∂x3 = −hu2 ( ix ) (−h + ig)(q2 − h 1) − − − 2( + ix2) − x1 + u2 (−h − ig)(q2 − 1) (−hr + igr)(q2 − 2(x − ix2) 1) 1) 2(x ig)2 (q = −h[u (q − 1) (h + g ) + 2u (x + x )] 2 2 2 2 Suy + u2(q2 − 1)2[hhr + ggr + (hrg − grh)i] Imψ ∂ψ (2)T (2) = u2(q2 − 1)2(hrg − grh) ∂x3 Tù (3.51), (3.52), (3.53) ta đưoc: Im(ψ (2) , ∇ψ (2)   )=u   −4x2 4x1 (q2 − 1)2(hrg − grh)     (3.53) (3.54) Suy (ψ(2), ψ(2))A(2) = Curl(ψ (2) , σψ(2)) + Im(ψ(2), 5ψ(2))  x2   = 2u2(q2 − 1)(hr − 2h2) −x 1   x1 + 2u   (q − 1)(g − 2hg) x2 +     2 r    2 u     8(q4 − 3q2 + 1)g  −4x2   x2   4x1 − 4(q − 5q + 4)u −x1 + u       (q2 − 1)2(ghr − hgr) 2 x1  = 2u (q − 1)(g − 2hg)  x2   2 r  x2    + u [2(q − 1)(h − 2h ) − 4(q − 5q + 5)] −x1     2 r     + u2   4(q4 − 3q2 + 1)g + (q2 − 1)2(ghr − hgr) (3.55) Do h2 + g2 = nên 2(q2 − 1)(hr − 2h2) − 4(q4 − 5q2 + 5) = 2(q2 − 1)(hr − 2(4 − g2)) − 4(q4 − 5q2 + 5) = (q2 − 1)(hr + 2g2) − 4(q4 − 5q2 + + 4(q2 − 1)) Suy 2(q2 − 1)(hr − 2h2) − 4(q4 − 5q2 + 5) = (q2 − 1)(hr + 2g2) (3.56) − 4(q4 − q2 + 1) = (q2 − 1)(hr + 2g2) − 4((q2 − 1) + q2) The (3.56) vào (3.55) ta đưoc x1  (ψ(2), ψ(2))A(2) = 2u2(q2 − 1)(gr − 2hg)   x2   + u2[2(q2 − 1)(hr + 2g2)  x2   − 4((q − 1) + q)] −x 1    2      + u2 4(q − 3q + 1)g + (q2 − 1)2(ghr − hgr) Khi x1  (ψ(2), ψ(2))A(2) = 2u2(q2 − 1)(gr − 2hg)   x2    x2   + 2u (q − 1)(h + 2g  ) −x1   2 r (3.57)  x2    2 2 − 4u ((q − 1) + q ) −x 1    +u Đ¾ t 2 4((q − 1) + q2 )A˜   2  (2)    4(q4 − 3q2 + 1)g + (q2 − 1)2(ghr − hgr) = 2(q x1  − 1) − 2hg) x2 (g   r  x2    + 2(q − 1)(h + 2g −x1  )      +  Khi r     4(q4 − 3q2 + 1)g + (q2 − 1)2(ghr − hgr)  x2   (ψ2(2), ψ (2))A(2) = 4((q2 − 1)2 +(2 − − +2 ) −x1 (3.58) q q )A˜ ) 4((q 1)     Suy 4((q2 −1)2 +q2 )A(2) = 4((q2 −1)2 +q2 )A˜ Suy +4(( −1) +q ) 2 q −x + −x x T (2 ) A(2) = A˜ (2 ) T x (3.59) (3.60) Theo tính chat (A3)và (∗) g, h’ có: supp(g) ⊆ {|x3| ≤ 1} ˜ ) ⊆ {|x3| ≤ 1} b% ch¾n supp(hr) ⊆ {|x3| ≤ 1} nên supp(A(2) A(2) ˜ Đ¾t B (2) := CurlA(2) supp(B˜(2) ) ⊆ {|x3 | ≤ 1}, B B˜(2) = curlA˜ B (2) (2 ) (2) (2) 0   (2) =0  + ˜B  (3.61) ), = =˜ = ) Khi q → +∞ ˜ (2 B , O(q−1 B 3) O(q−2 h®i tu đeu |x| ≤ B˜(2) ti¾t tiêu tai ∞ (2 ) B ˜ KET LUắN Nđi dung chớnh cna Luắn Luắn ó trình bày tong quan ve: • Bài tốn tìm zero mode cna tốn tú Weyl-Dirac Nêu hai phương pháp tìm zero mode hai nhà nghiên cúu Loss Yau xây dnng dna tốn tìm sn on đ%nh cna ngun tú Hydro mơi trưòng tù tính • Tác giá nghiên cúu, h¾ thong đưa đưoc m®t so ket quan mà nhà nghiên cúu tìm hieu ve tốn tìm zero mode cna tốn tú Weyl-Dirac • Tác giá làm rõ đưoc bưóc tính tốn chúng minh cna Elton sú dung phương pháp thú hai đe tìm zero mode M®t so van đe can đưoc tiep tuc nghiên cúu như: Tìm lóp hàm zero mode mói cna toán tú Weyl-Dirac dna hai phương pháp ve m¾t lý thuyet mà Loss Yau đưa ra, nhat theo phương pháp thú hai Xét lóp tốn tú Weyl-Dirac r®ng có nhieu zero mode Tìm thêm the v% tù vói tốn tú Weyl-Dirac tương úng đe có zero mode thóa mãn tốn Vói lnc han che thòi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban hoc đóng góp ý kien đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thu¾t [2] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] C Adam, B Muratori and C Nash(1999), "Zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D 60, 125001 1-8 [4] C Adam, B Muratori and C Nash(2000), "Zero modes in finite range magnetic fields", Modern Physics Letters A Vol 15 25, 1577 – 1581 [5] C Adam, B Muratori and C Nash(2000), "Degeneracy of zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Physics Letters B 485, 314-318 [6] C Adam, B Muratori and C Nash(2000),"Multiple zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D, 62, 085026 1-9 [7] C Adam, B Muratori and C Nash(2003), "Chern-Simens action for zero mode supporting gauge fields in three dimensions", Phys Rev D 67, 087703 1-3 80 [8] A A Balinsky and W D Evans(2002), "On the zero modes of Weyl-Dirac operators and their multiplicity", Bull London Math Soc , 34, 236-242 [9] D M Elton(2000), "New Examples of Zero Modes", J Phys A, 33, 7297-7303 [10] D M Elton(2002), "The Local Structure of Zero Mode Producing Magnetic potentials", Commun Math Phys., 229, 121-139 [11] L Erdos and J P Solovej(2001), "The kernel of Dirac operators on S3 and R3", Rev in Math Phys., Vol 13, 10, 1247-1280 [12] T Kato(1972), "Schrodinger operators with singular potentials", Israel J Math 13, 135-148 [13] J M Loss and H T Yau(1986), "Stability of Coulomb systems with magnetic fields III Zero energy bound states of the Pauli operator", Commun Math Phys., 104, 283-290 [14] M Reed and B Simon(1972), Methods of modern Mathematical Physics, I: Funtional Analysis, Academic Press, New York [15] M Reed and B Simon(1975), Methods of modern Mathematical Physics, II: Fourier Analysis, Self-adjointness, Academic Press, New York [16] M Reed and B Simon(1979), Methods of modern Mathematical Physics, III: Scattering Theory, Academic Press, New York [17] M Reed and B Simon(1978), Methods of modern Mathematical Physics, IV: Analysis of Operators, Academic Press, New York [18] T N Tri(2009)Resulfs on the number of the zero mode of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University ... zero mode bang phương pháp thN nhat cúa M Loss H T Yau 24 iii 2.1 Ma tr¾n Pauli 24 2.2 Toán tú Weyl - Dirac .25 2.3 Zero mode cna toán tú Weyl-Dirac 33 2.4 Bài toán ve zero. .. tìm zero modes cna tốn tú Weyl-Dirac vói sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta Ngoc Trí tơi chon đe tài "Bài tốn ve zero mode cía tốn tÚ Weyl- Dirac" Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve toán zero mode. .. quan, đ¾c bi¾t nhung báo mói ve toán zero mode cna toán tú Weyl-Dirac DN kien đóng góp mái + Nghiên cúu làm rõ đưoc bưóc chúng minh tìm zero mode cna toán tú Weyl-Dirac bang phương pháp thú hai