Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HỌC PHẠM THỊ HIỀN BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG KHOÁ LUẬ N TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học T.S PHAN HỒNG TRƯỜNG Hà nội, Tháng năm 2010 Lời cảm ơn Do chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học , em khơng khỏi bỡ ngỡ nhiều lúng túng Nhưng giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG thầy giáo tổ hình học , em hồn thành tốt khố luận , đảm bảo thời gian , kiến thức xác tốn học Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn khố luận tốt nghiệp em khơng tránh khỏi thiếu sót.Em mong nhận bảo thầy cô giáo ý kiến bạn đồng mơn để khố luận hồn thiện Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ hình học , thầy giáo khoa toán đặc biệt thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG hướng dẫn em hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn! Ngày 15 tháng năm 2010 Sinh viên : PHẠM THỊ HIỀN Lời cam đoan Khoá luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu,cùng với tạo điều kiện thầy giáo khoa tốn, đặc biệt hướng dẫntận tình thầy giáo Phan Hồng Trường Em xin khẳng định kết đề tài “Bài tốn cực trị hình học mặt phẳng” khơng có trùng hợp với kết đề tài khác Mục lục Trang Lời nói đầu ……………………………………………………………… Chương : Phương pháp giải toán cực trị hình học A) Bài tốn cực trị hình học …………………………………… B) Phương pháp chung để giải tốn cực trị hình học Bài tập đề nghị chương 1……………………………………………… 14 Chương : Cách vận dụng bất đẳng thức hình học A) Bất đẳng thức tam giác………………………………………… B) Đường vng góc đường xiên…………………………… C) Độ dài đường gấp khúc ………………………………………… D) Các bất đẳng thức đường tròn…………………………… Bài tập đề nghị chương …………………………………………… 15 16 17 19 21 Chương : Cách vận dụng bất đẳng thức đại sốvào tốn cực trị hình học mặt phẳng A) Các bất đẳng thức đại số thường dùng…………………………… 22 B) Các ví dụ áp dụng ……………………………………… ………… 23 Bài tập đề nghị chương 3…………………………………………… 25 Chương : Toạ độ vectơ mặt phẳng với tốn cực trị hình học A)Toạ độ mặt phẳng với tốn cực trị hình học mặt phẳng …………………………………….… 26 B) Vecto mặt phẳng với tốn cực trị hình học mặt phẳng ……………………………………………… Kết luận………………………………………………………………… 28 31 LỜI NÓI ĐẦU 1) Lý chọn đề t ài Trong nhà trường phổ thơng , hình học mơn học khó học sinh.Bởi hình học mơn học yêu cầu người học phải có tư logic , chặt chẽ có khả trừu tượng hố cao môn học khác Học sinh tiếp cận với hình học từ năm học tiểu học học cách hệ thông từ lớp Học sinh học cách giải nhiều dạng tốn tốn tìm giá trị cực trị đại lượng hình học mặt phẳng ln tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh Với gợi ý hướng dẫn thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG ,cùng với mục đích tìm hiểu đưa phương pháp chung để giải tốn cực trị hình học mặt phẳng tìm hiểu cách vận dụng số bất đẳng thức hình học ,bất đẳng thức đại số để giải tốn cực trị hình học mặt phẳng , em lựa chọn đề tài “ Bài tốn cực trị hình học mặt phẳng ” 2) Nhiệm vụ nghiên cứu : + Trình bày sở lí thuyết + Đề xuất phương pháp +Xây dựng hệ thống ví dụ tập luyện tập 3)Phƣơng pháp nghiên cứu + Thống kê + Khái quát hoá , trừu tượng hoá + Nghiên cứu sách giáo khoa , tài liệu tham khảo , báo toán học tuổi trẻ CHƢƠNG :PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG A, Bài tốn cực trị hình học Xét đại lượng hình học y (độ dài đoạn thẳng,tổng nhiều đoạn thẳng,chu vi ,diện tích hình, độ lớn góc,v.v…) 1, Bài tốn tìm cực tiểu hình học Nếu có giá trị khơng đổi y1 cho ln có y≥ y1 , đồng thời tồn vị trí hình học y (hoặc hình chứa y) y đạt giá trị y1 ,thì ta nói y1 giá trị nhỏ (cực tiểu ) y 2, Bài tốn tìm cực đại hình học Tương tự,nếu có giá trị khơng đổi y2 cho ln có y≤ y2 , đồng thời tồn vị trí hình học y (hoặc hình chứa y) y đạt giá trị y2 ,thì ta nói y2 giá trị lớn (cực đại ) y Bài tốn tìm cực tiểu hay cực đại y gọi chung toán cực trị hình học Người ta thường kí hiệu y = y1 (hay ymin = y1) ; Max y = y2 (hay ymax =y2 ) ; B,Phƣơng pháp chung đ ể giải m ột toán cực trị hình học mặt phẳng Căn vào đầu bài,người ta thường giải toán cực trị hình học theo ba cách sau: 1,Cách 1: Vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị , thay điều kiện đại lượng điều kiện tương đuơng.Có phải chọn đại lượng hình làm ẩn số,dựa vào mối quan hệ ẩn số với đại lượng khác hình, đại lượng đầu cho sẵn,nhưng ta làm xuất trình tìm lời giải toán.Biểu thị ẩn số theo đại lượng biết, đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối xác định giá trị đại lượng cần tìm, từ suy vị trí hình để đạt cực trị Người ta thường dùng cách đầu dược cho dạng : “ Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị cho trứơc ‟‟ Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích , tìm tam giác có chu vi nhỏ Giải : Xét tam giác có chung đáy BC = a có điện tích S Gọi AH đuờng cao tương ứng với cạnh đáy BC ta có: S = AH.BC ⇒ ( không đổi ) 2S AH = a Suy A di động đường thẳng xy 2S Song song với BC cách BC khoảng a B’ Ta cần xác định vị trí A xy để tam giác ABC Có chu vi nhỏ Chu vi ∆ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a khơng đổi nên chu vi ∆ABC nhỏ AB + AC nhỏ Ao A x Gọi B‟ điểm đối xứng B qua xy , B‟C cắt XY A0 Xét ∆AB‟C ta có: AB‟ + AC ≥ B‟C = B‟A0 + A0 C (1) Thay AB‟ = AB ; A0B‟ = A0B vào (1) ta : B C AB + AC ≥ A0B + A0C (2) (2) có dấu “=” B‟, A, C thẳng hàng Khi A ≡ A0 Vì A0B = A0B‟ = A0C nên ∆A0BC cân A0 Vậy tam giác có chung đáy có diện tích tam giác cân có chu vi nhỏ Ví dụ : Cho ∆ABC có góc B C nhọn; BC =a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M ∈ AB; N ∈ AC; P Q ∈ BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn Giải : Vị trí hình chữ nhật MNPQ hồn tồn xác định ta xác định vị trí MN A Đặt MQ = x; MN= y ⇒ AK = h - x M Ky N ∆AMN ∽ ∆ABC MN ⇒ BC AH = AK y ⇔ a h y = h-x B Q H P C a(h-x) h y= Gọi S diện tích hình chữ nhật a MNPQ : S = xy = x h - x) h ⇔ S= a( (*) 2 h h hx - x ) = hx - x + - ) a 4 ( h h h 2 a ( x + )] = [ h h 42 h a h - (x- ] = h[ 2) ah a h 2 ah (x= 4h h 2) ≤ dấu “=” xảy rahkhi x - = K trung điểm AH hay MN ⇔ x= 2 đường trung bình ∆ABC ah Vậy max S = ⇔ x=h Chú Ý : Ta giải tốn cách áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy Từ (*) ta nhận thấy : a, h số dương nên S lớn x(h -x) lớn Do x >0; x < h nên h - x > 0, hai số dương x (h - x) có tổng khơng đổi x + (h - x) = h nên tích x(h - x) lớn chúng : h x = h - x hay x = 2,Cách Đưa hình (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố ( mà ta phải tìm cực trị ) lớn bé yếu tố tương ứng hình đưa Ví dụ : Trong tam giác có đáy diện tích, chứng minh tam giác cân có chu vi nhỏ Đây tốn ta đề cập ví dụ 1,nhưng đầu nói rõ hình ta cần phải chứng minh tam giác cân, nên ta đưa tam giác cân A0BC (h.1.1).Rồi xét tam giác khơng cân ABC có đáy BC, đỉnh A chạy Đường thẳng xy ∥ BC ta việc chứng minh chu vi ∆ABC≥ chu vi ∆A0BC tức AB + AC ≥ A0B + A0C trình bày cách giải ví dụ AM dây ; AO1 bán kính đường tròn (O1) : AM ≤ AO1 ⇒ AM AO≤ Dấu “=” xảy AM đường kính đường tròn (O1) , AN đường kính đường tròn (O2) ,do O1O2 đường trung bình tam giác AMN ⇒ MN ∥ O1O2 Vậy tam giác AMN có chu vi lớn MN qua B song song với đường nối tâm O1O2 Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn ( M không trùng với O ) 1) Qua M dựng dây Ab cho độ dài : a) Lớn b) Nhỏ ∃ 2) Dựng điểm P đường tròn cho góc OPM lớn GIẢI 1) a) Dây AB lớn qua M phải dựng dây qua tâm O ( hay dựng đường kính đường tròn qua M ) b) Giả sử AB dây qua M OH khoảng cách từ tâm O tới dây Dây AB ngắn OH dài Xét tam giác OHM ta ln có OH ≤ OM max OH = OM ⇔ H≡ M Vậy dây AB nhỏ phải dựng AoBo vuông góc với OM M 2) Giả sử PQ dây qua M.Tam giác cân OPQ có cạnh bên OP =OQ khơng đổi ( bán kính đường tròn (O) ) nên ∃ góc đáy OPM lớn góc ∃ đỉnh POQ nhỏ góc tâm đường tròn (O) 26 ∃ nên POQ nhỏ cung PQ nhỏ Dây PQ nhỏ khoảng cách từ tâm O đến dây lớn , suy PQ vng góc với OM M Vậy điểm P phải dựng điểm P1 ,P2 đường tròn (O) cho P1P2 qua M vng góc với OM BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHƢƠNG BÀI 2.1 : Cho hai điểm A B nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy cho trứơc Tìm xy điểm M cho chu vi tam giác ABM nhỏ BÀI 2.2 : Trong hình bình hành có diện tích đường chéo khơng đổi, hình có chu vi nhỏ ? BÀI : Cho tam giác ABC cân A điểm D cố định đáy BC.Dựng đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên E F cho DE + DF có giá trị nhỏ BÀI 2.4 : ∃ Cho góc xOy điểm M nằm góc cho M khơng thuộc Ox Oy.Hãy xác định điểm B Ox điểm C Oy cho OB = OC MB + MC đạt giá trị nhỏ BÀI 2.5 : Cho tam giác ABC Qua trọng tâm O tam giác dựng đường thẳng cho tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác tới đường thẳng lớn ? nhỏ ? BÀI 2.6 : Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B C tới đường thẳng nhỏ ? BÀI 2.7: Cho góc vng xOy , điểm A thuộc miền góc , điểm M,N theo thứ ∃ o tự chuyển động tia Ox ,Oy cho MAN = 90 Xác định vị trí M ,N để tổng AM + AN có độ dài : a) Nhỏ b) lớn BÀI 2.8 : Trong cá hình thoi có chu vi , hình có diện tích lớn nhât ? BÀI 2.9 : Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác nhỏ BÀI 2.10 : Trong hình chữ nhật có đường chéo d khơng đổi, hình có diện tích lớn ? Tính diện tích BÀI 2.11 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB ; M điểm di động nửa đường tròn.Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D C theo thứ tự hình chiếu A B tiếp tuyến Xác định vị trí M cho tứ giác ABCD có diện tích lớn Tính diện tích theo bán kính R đường tròn CHƢƠNG 3: CÁCH VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨCTRONG ĐẠI SỐ VÀO BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A, CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG DÙNG 1, Cho f(x) có miền xác định D ⊂ R Ta có : [f(x)] ≥ ,∀x ∈ D Từ suy : a) [f(x)] + m ≥ m Nếu tồn x = xo ∈ D cho [f(xo)] + m = m tức [f(xo)] = Thì m gọi giá trị nhỏ f(x) ta kí hiệu : Min f(x) = m ⇔ x = xo b) M - [f(x)] ≤ M Nếu tồn x = xo ∈ D cho 2 M - [f(x)] = M tức [f(xo)] = Thì M gọi giá trị lớn f(x) ta kí hiệu : Max f(x) = M ⇔ x = xo , Bất đẳng thức Cơsi ( Cauchy ) Có dạng sau : a) ( a + b ) ≥ ab , dấu “=” xảy a = b a b b + a≥ ( với ab >0) dấu “=” xảy a = b c) a + b ≥ ab ( với a ≥ ; b ≥ ) dấu “=” xảy a = b CÁC HỆ QUẢ : d) a≥ 0; b≥ a + b = k (khơng đổi) (ab)max ⇔ a = b b) • Hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số • Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn e) a≥ 0; b≥ ab = k (không đổi) (a +b)min ⇔ a = b • Hai số khơng âm có tích khơng đổi tổng nhở hai số • Trong hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ B, CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm; BC = 8cm Trên cạnh AB,BC,CD, lấy điểm E,F,G,H cho AE = CF = CG = AH Xác định vị trí điểm E,F,G,H để tứ giác EFGH có diện tích lớn tính diện tích GIẢI Đặt AE = CF = CG = AH = x ⇒ BE = DG = 12 - x BF = DH = -x Gọi S tổng diện tích bốn tam giác vng AEH; CGF; EBF GDH; diện tích tứ giác EFGH lớn S nhỏ S1 = .x.x + 1(12 - x)(8 - x) 2 2 = x + 96 - 20x + x = 2( x -10x + 48) = 2(x - 5) + 46 ≥ 46 Min S = 46 ⇔ x = Vậy max SEFGH = 12.8 - 46 = 50 (cm) ⇔ x =5(cm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M Tam giác tới cạnh BC, CA, AB Xác định vị a b c trí điểm M để tổng + + có giá trị nhỏ x y z Giải Gọi S diện tích tam giác ABC, ta có: S = SBMC + SCMA + SAMB = (ax + by + cz) ⇒ ax + by + cz = 2S Xét tích: (ax + by + cz)( a x + b c + )= y z x y y z x z 2 = a + b + c + ab( + ) + bc( + ) + ac( + ) y xx y z y z x Vì x > 0, y > 0, nên ta có + ≥ 2, … y x Do : a b c 2 (ax + by + cz)( + + ) ≥ a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc x y z Hay : a b c 2 S( + + ) ≥ (a + b + c) x y z a b c (a+b+c) ⇒ ≥ + + 2S x y z a (a+b+c) ⇒ b c + +( ) = 2S x y z Khi : x = y ⇒ M ∈ phân giác góc C (1) y =z ⇒ M ∈ phân giác góc A (2) từ (1) (2) ⇒ M tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC a b Vậy biểu thức + + đạt giá trị nhỏ M c (a+b+c) x y z tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC 2S BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHƢƠNG BÀI 3.1: Cho tam giác ABC có diện tích S.Các điểm D, E ,F thứ tự thuộc cá cạnh AB ,BC ,CA cho AD = kAB ; BE = k BC ; CF = k CA a) Tính diện tích tam giác DEF theo S k b) Với giá trị k diện tích tam giác DÈ đạt giác trị nhỏ ? BÀI : Trong tam giác vng có tổng hai cạnh góc vng khơng đổi , tam giác có chu vi nhỏ ? BÀI 3.3: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh 20 cm 30 cm Hãy xác định vị trí đỉnh hình bình hành EFGH nội tiếp hình chữ nhật cho ( E , F , G , H thuộc cạnh BC , BA , AD , DC ) cho BE = BH = DF = DG để diện tích hình bình hành EFGH có giá trị lớn Tìm giá trị lớn BÀI 3.4 : Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên tam giác đó, vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác , chia tam giác làm ba hình bình hành ba tam giác nhỏ a) Biết diện tích tam giác ABC 81cm ; hai ba tam giác nhỏ có diện tích 2 cm 16 cm Tính diện tích tam giác lại b) Chứng minh tổng diện tích ba tam giác nhỏ lớn diện tích tam giác ABC Điểm O vị trí xảy dấu bằng? BÀI 3.5 : Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ gác ABCD Biết SAOB = ; SCOD = Hãy tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD BÀI 3.6 : Đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng kẻ qua O cắt hai cạnh CA CB tam giác M N Đường thẳng MN vị trí ∆CMN có diện tích nhỏ ? BÀI 3.7 : Cho điểm M nằm đường tròn (O,R) Qua M dựng hai dây AB CD vng góc với cho AB + CD lớn ? BÀI 3.8 : Cho tam giác ABC cân A Các điểm M ,N theo thứ tự chuyển động cạnh AB , AC cho AM = CN Xác định vị trí M ,N để : a) MN có giá trị nhỏ b) Diện tích ∆ AMN có giá trị lớn CHƢƠNG : TOẠ ĐỘ VÀ VECƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A) TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG: • Sử dụng cơng thức toạ độ véctơ, phép tốn tích vơ hướng, cơng thức góc, khoảng cách • Chọn hệ trục toạ độ thích hợp để giải số tốn hình học cổ điển • Cho tam giác ABC với đỉnh có toạ độ xácYđịnh XA+X +YBthì: B A + Trung đỉêm đoạn AB : I( ; ) XA+XB+XC YA2+YB+YC2 + Trọng tâm G: G( ; ) 3 → →  HA.BC=0  + Trực tâm H:  → → HB.CA=0 + Tâm đường tròn ngoại tiếp2 E : EA = EB = EC AE =BE ⇔ 2  AE =CE → + Khoảng cách: AB =| AB| = 2 (XB-XA) +(YA-YB) VÍ DỤ 1: Cho ∆ABC cạnh a, vẽ tia Aa , Bb , Cc lấy điểm A1 , B1 cho AA1 = BB1 = 2a Xác định toạ độ đỉnh C1 Cc cho ∆A1B1C1 có diện tích nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ GI ẢI a Cho hệ trục toạ độ Axyz với B∈ Ax Khi H(0;0;0), B(a;0;0), C( ;0); a ; A 2 1 (0; a 0;2 a); B (a; 0;a ) giả sử CC = m, m >0 CC a ( ; Gọi S, S1 theo thứ tự diện tích ∆A BC, ; m ) ∆A1B1C1 gọi α góc mặt phẳng (ABC) (A1B1C1) | n a2 S = Cosα= 4Cos Từ ta thấy S1 đạt giá trị nhỏ ⇔ Cosα đạt giá trị S1 | | n → → g n1 n2 theo thứ tự vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) ọi , (A1B1C1) ta có → |  n ⊥ A B  → → , Khi Cosα đạt giá trị nhỏ ⇔ n1 (0;0;1), → →   a -2m =0 ⇔ m 3a = n ⊥ ⇒ ⇒ A C α o s= C → ⇒ απ = a a2 n2 (a 3; 3a - 2m; a 3) V ậ y m in S = → → → → đạt đư ợc CC |n1 n2 | a ⇒ Cosα = 6a2+(3a-2m)2 = = Ví Dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a vẽ hai tia Aa , Bb phương vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi A1 , B1 hai điểm di động Aa , Bb cho AA1 + BB1 = l ( l độ dài cho trước) xác định vị trí A1 , B1 cho ∆ABC diện tích nhỏ nhất? tìm giá trị đó? GIẢI Chọn hệ trục toạ độ Axyz với điểm B ∈ Ax , A1 ∈ Az a A(0;0;0), B(a;0;0), C( ; a ;0) 2 giả sử AA1 = x, BB1 = y ta đựơc A1 (0;0;x), B1(a;0;y) x + y =l S∆ABC a2 S∆ A B C = = Cosα 4Cos 1 Ta có : a Cosα = 4(x2+y)2+3a2 = a 4l2+3a2-8xy ⇔ Cosα max ⇔ tích x.y = max Ta có S∆A B C 1 l Mặt khác l = x + y ≥ xy dấu “=” sảy x = y = l ⇔ xy ≤ l ⇔ AA = BB = Vậy S∆A B C =a 2l2+3a2 1 l Đạt AA1 = BB1 = B) VECTO TR ONG M ẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Sử dụng phương pháp vectơ ta giải nhiều tốn mặt phẳng khơng gian , tốn cực trị hình học phẳng phương pháp vectơ có nhiều ứng dụng → → *) Tích vơ hướng vectơ a , b : →→ → → 0≤a b → = → → → b) |a |.|b | ≤ |a |.|b |.cos( a , Ví dụ 1: Cho ta giác ABC với trọng tâm G a)Chứng minh với điểm M ta có : 2 2 2 MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC 2 b)Với vị trí điểm M tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ ? Và giá trị ? GIẢI 2 → a) ta có: MA + MB + MC = MA + → → 2 MB + MC → → → → =( MG + GA ) 2 2 + ( MG + GB ) + ( MG + GC ) → → → = MG + GA + → → → → → → → GB + GC + 2MG ( GA + GB + GC ) 2 = 3MG + GA + GB + GC 2 b) Vì GA + GB + GC không đổi nên theo câu a) suy tổng 2 MA + MB + MC bé MG = hay điểm M trùng với trọng tâm G.Giá trị 2 bé GA + GB + GC Ví dụ : 2 Cho đoạn AB = 4a Với điểm M tuỳ ý, tìm giá trị bé tổng 3MA + MB Nếu điểm M tuỳ ý thuộc đường thẳng d kết nào? → → → GI ẢI Gọi I điểm cho 3IA + IB = → → → → ⇔ -3 AI + ( AB - AI ) = → → → → ⇔ AI = AB AB = AI ⇔ Do I cố định AI =a , IB =3a ta có : 2 → → → →2 2 → → 3MA + MB = MA + MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) 2 → → = MI + 3IA + IB + MI ( IA + IB ) → → → 2 = MI + 3a + 9a + MI = MI + 12 a ≥ 12a 2 Do 3MA + MB bé M trùng với I 2 Nếu điểm M thuộc đường thẳng d tổng 3MA + MB nhỏ M hình chiếu cuả I d 2 Ví dụ : Cho tam giác ABC có cạnh BC = a , CA = b, AB = c ,điểm M tuỳ ý, tìm giá trị nhỏ : → → →→ → → f(M) = MA MB + MB MC + MC MA GIẢI Ta có : →→ MA MB = →→ MB MC = 2 2 2 (MB + MC -BC ) →→ MC MA = ( MA + MB - AB ) 2 ( MC + MA - CA ) 2 Cộng lại f(M) = MA + MB + MC - 2 2 (a + b + c ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,ta có : 2 2 2 MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC 2 2 2 Nên f(M) = 3MG + GA + GB + GC (a + b + c ) 2 2 ≥ GA + GB + GC - (a2 + b2 + c2 ) Vậy f(M) nhỏ M ≡ G KẾT LUẬN Với tốn ta sử dụng nhiều phương pháp giải khác Với dạng toán tím cực trị đại lượng hình học mặt phẳng ta sử dụng số phương pháp sau : + Sử dụng phuơng pháp chung để giải tốn hình học (ở chương 1) + Cách giải toán cực trị hình học mặt phẳng cách vận dụng bất đẳng thức hình học bất đẳng thức tam giác, đường vng góc đường xiên, độ dài đường gấp khúc,các bất đẳng thức đuờng tròn….) +Cách vận dụng bất đẳng thức đại số vào tốn cực trị hình học mặt phẳng +Sử dụng phương pháp toạ độ vectơ mặt phẳng giải toán cực trị hình học mặt phẳng Mặc dù cố gắng thực nội dung khoá luận Nhưng chương 4, em chưa đưa hệ thống tập đề nghị để giúp ngưòi đọc hiểu sâu nội dung chương.Em mong thầy cô bạn thông cảm Một lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình thầy khoa toán Đặc biệt giúp đỡ thầy giáo PHAN HỒNG TRUỜNG giúp đỡ em hoàn thành khoá luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Huy Điển ; “Những phƣơng pháp điển hình giải tốn phổ thơng”, NXB giáo dục,2001 2) “Tuyển tập 30 năm toán học tuổi trẻ”, NXB giáo dục,1997 3) Nguyễn Đức Tấn ,“ Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng ”,NXB giáo dục,2001 4) Hoàng Chúng (chủ biên), “ Tài liệu bồi dƣỡng học sinh giỏi hình học 9”,NXB giáo dục,2002 5) Lê Hồnh Phò ,“ Bồi dƣỡng học sinh giỏi tốn hình học 10”, NXB Quốc gia Hà Nội, 2009 ... Chương : Toạ độ vectơ mặt phẳng với tốn cực trị hình học A)Toạ độ mặt phẳng với tốn cực trị hình học mặt phẳng …………………………………….… 26 B) Vecto mặt phẳng với tốn cực trị hình học mặt phẳng ………………………………………………... tốn cực trị hình học mặt phẳng tìm hiểu cách vận dụng số bất đẳng thức hình học ,bất đẳng thức đại số để giải tốn cực trị hình học mặt phẳng , em lựa chọn đề tài “ Bài tốn cực trị hình học mặt phẳng. .. tài liệu tham khảo , báo toán học tuổi trẻ CHƢƠNG :PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG A, Bài tốn cực trị hình học Xét đại lượng hình học y (độ dài đoạn thẳng,tổng