Tài liệu Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document1 of 66 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học tự nhiên, đời phát triển gắn liền với phát triển xã hội loài người Từ xa xưa người biết đến Toán học khoa học khẳng định Toán học tảng nhiều mơn khoa học khác, ứng dụng tốn học đưa lại hiệu to lớn đời sống xã hội tảng tư tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức cho người Do việc dạy học mơn Tốn khơng dừng lại việc học thuộc toán mà phải phát huy lực tư sáng tạo cho học sinh, trang bị cho học sinh kỹ cần thiết để học sinh vận dụng cách linh hoạt vào thực tiễn sống Hơn việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông phải hướng đến đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu xã hội thời kỳ hội nhập quốc tế Nó địi hỏi người giáo viên phải trọng đến việc thiết kế hướng dẫn học sinh thực dạng tập phát triển tư rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo hội điều kiện cho học sinh tham gia cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào trình khám phá lĩnh hội nội dung học, ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm kĩ có học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động thái độ tự tin học tập học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm thân Tốn học mang tính xác cao, tốn có nhiều cách giải song có đáp số Do q trình dạy học tốn, giáo viên cần phân tích, tìm tịi giúp học sinh phát tập cho thuộc dạng toán để vận dụng phương pháp giải cho phù hợp Trong q trình giải tốn, học sinh thường mắc phải sai lầm mà học sinh không phát nên nghĩ cách giải Trong nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, thân tơi nhận thấy dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (gọi toán cực trị đại số) học sinh thường mắc phải nhiều sai lầm Từ lý nên tơi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị đại số” để nghiên cứu nhằm tìm sai lầm bản, tìm hiểu nguyên nhân hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, xác giải dạng toán Đổi phương pháp dạy học diễn cách mạnh mẽ tất trường với người giáo viên Đã có nhiều nhà khoa học, nhiều nhà quản lý giáo dục nhiều giáo viên nghiên cứu, đưa sáng kiến hay việc đổi phương pháp dạy học để nâng cao hiệu giáo dục Điểm đề tài muốn đề cập đến nghiên cứu tìm sai lầm việc trình bày giải tốn cực trị, từ tìm ngun nhân phương pháp khắc phục cụ thể cho sai lầm Giúp học sinh nắm tự sửa chữa cho q trình giải tốn, nhằm gây hứng thú học tập, tạo niềm say mê môn học học sinh Đồng thời giúp tất đối tượng học sinh nắm phương pháp học tập để luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document2 of 66 nắm thật chắn kiến thức môn học, đặc biệt bồi dưỡng, đào tạo nên học sinh giỏi thực sự, tạo nguồn nhân lực tương lai cho đất nước II Phạm vi áp dụng: Sáng kiến áp dụng việc dạy học phân môn Đại số cấp THCS, việc ôn luyện cho học sinh dự thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Đặc biệt áp dụng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng đội tuyển dự thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh PHẦN NỘI DUNG I Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khố vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, quân sống Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trị vơ quan trọng Dạy tốn chiếm vị trí số môn học nhà trường, giáo viên, dạy tốn niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để dạy tốn học tốn tốt thầy trị khơng ngừng rèn luyện đầu tư trí lực vào nghiên cứu học hỏi Học dạy tốn với chương trình khó, xong dạy học tốn đào tạo mũi nhọn lại vô gian truân, việc học dạy không dừng việc người học người dạy phải có trí tuệ định mà thầy trị phải dày cơng đầu tư vào nghiên cứu dạng tốn, thuật tốn vận dụng hợp lý tính chất toán học nhà toán học nghiên cứu vào giải tốn, ngồi người dạy học tốn phải tự rèn luyện nghiên cứu để có cơng trình tốn riêng góp sức để đưa mơn tốn ngày phát triển Qua q trình giảng dạy nhiều năm thân tơi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho tốn dạng tốn cơng việc khó Đứng trước tốn người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải ta hướng dẫn học sinh nào, thật khó tình người thầy vai trò chủ đạo việc dạy học sinh, cịn học sinh khơng giải tốn lại niềm tin thầy cảm thấy việc học tốn cực hình, khó vơ khơng thể học Tốn học mơn khoa học nhân loại, môn khoa học đa dạng thể loại Khơng phải dạy tốn học toán biết hết, đến đỉnh cao trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tơi tự thấy kiến thức tốn thân cịn hạn chế, tốn cực trị đại số Đây dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải thường hay xuất nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, nhiều học sinh khơng biết giải nào? Có phương pháp nào? Trong luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document3 of 66 tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định, gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, dẫn đến học sinh dễ mắc phải sai lầm Vì việc nghiên cứu sai lầm học sinh giải toán cực trị đại số thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Tôi tiến hành khảo sát chất lượng làm thi em thuộc đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp cấp tỉnh, kết thu sau: Bảng 1: Kết học sinh làm tập cực trị đại số đề thi HSG cấp tỉnh Năm học Số HS tham gia Chưa làm Đã làm Làm Làm định hướng cách giải sai chưa xong 2014-2015 20 05 06 05 04 2015-2016 20 06 06 04 03 Bước vào đầu năm học tiến hành khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi mà trực tiếp giảng dạy, với tốn có kiến thức mức độ đề tuyển sinh chưa đến mức độ đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thang điểm 1,5 Kết thu sau: Bảng 2: Kết khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng Chưa làm Đã làm định hướng cách giải sai Làm chưa xong Làm SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 25,0% 10,0% Qua công tác chấm chữa tìm hiểu học sinh tơi nhận thấy có số nguyên nhân sau: - Học sinh chưa có đường lối rõ ràng giải tốn tìm cực trị Đại số - Học sinh chưa nắm tính chất bất đẳng thức tốn cực trị liên quan chặt chẽ với toán chứng minh bất đẳng thức - Chưa hệ thống, phân loại dạng tập phương pháp giải - Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ toán đã vội vào giải toán - Khơng biết đề cập tốn theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết toán, khơng sử dụng hết giả thiết tốn, khơng biết linh hoạt vận dụng kiến thức có luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document4 of 66 - Không tự tư lại tốn làm sau giải xong xem chưa Qua tơi rút số vấn đề cần khắc phục việc đổi phương pháp dạy học sau: - Phải trang bị cho học sinh nắm chắn kiến thức tốn tìm cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức - Phải phân loại dạng toán xây dựng phương pháp giải phù hợp cho dạng tốn cực trị - Tìm sai lầm hướng khắc phục cho sai lầm - Yêu cầu học sinh thực hành tư tìm hướng giải trình bày giải Với đặc trưng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tơi nhận thấy có nhiều thuận lợi để triển khai nghiên cứu, áp dụng sáng kiến: “Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị đại số” Sau xin đưa số giải pháp: II Các giải pháp: 1, Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh kiến thức cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức: 1.1, Kiến thức cực trị đại số: 1.1.1, Định nghĩa a, Định nghĩa GTNN (Min): Cho biểu thức biến A(x) xác định tập D Nếu giá trị x  D mà A(x)  m (với m  R) (1), dấu đẳng thức xảy x = x0 x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị nhỏ k, x = x0 Ký hiệu: Min A(x) = m, x = x0 b, Định nghĩa GTLN (Max): Cho biểu thức biến A(x) xác định tập D Nếu giá trị x  D mà A(x) ≤ n ( với n  R) (1), dấu đẳng thức xảy x = x0 x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị lớn n, x = x0 Ký hiệu: MaxA(x) = n, x = x0 c, Chú ý: - Hai định nghĩa với biểu thức hai biến A(x; y) trở lên - Để tồn cực trị điều kiện (1) (2) đồng thời thỏa mãn Ví dụ minh họa: Ta xét biểu thức A = (x - 1)2 + (x - 3)2 Rõ ràng A  0, dấu x - = x =  (điều vô lý) x - = x = xảy khi:  Nên ta kết luận MinA = * Cách giải đúng: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 = 2x2 - 8x + 10 = 2(x - 2)2 +  Dấu xảy x = Vậy MinA = 2, x = luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document5 of 66 1.1.2, Một số tính chất giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Tính chất 1: Giả sử A  B ta có: f ( x)  f ( x) b, Min xB xA f ( x)  max f ( x) a, Max xA xB Tính chất 2: Nếu f ( x, y)  với x thuộc D , ta có: a, Max f ( x)  max f ( x) xD b, Min f ( x)  f ( x) xD xD xD Tính chất 3:a, Max  f ( x)  g ( x)   Max f ( x)  Max f ( x) (1) xD xD1 xD2 b, Min  f ( x)  g ( x)   Min f ( x)  Min f ( x) xD xD1 xD2 (2) Dấu (1) xẩy có điểm x0 mà f (x) g (x) đạt giá trị lớn Tương tự tồn x0 thuộc D mà f , g đạt giá trị nhỏ (2) có dấu Tính chất 4: Max f(x) = - (-f(x)) xD xD f ( x) Max f ( x)  MaxM , m  Tính chất 5: Nếu đặt M  Max f (x) , m  xD xD xD xD Tính chất 6: Giả sử D1  x  D; f ( x)  0 D2  x  D; f ( x)  0 Min f ( x)  Min max f ( x); f ( x) xD xD xD1 Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f (x) xét hai TXĐ khác nói chung giá trị lớn tương ứng khác Để cho phù hợp với chương trình lớp phổ thơng sở, ta giả thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp 1.2, Kiến thức bất đẳng thức: 1.2.1, Định nghĩa: Hệ thức có dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b) gọi bất đẳng thức 1.2.2, Tính chất: - Tính chất phản xạ: a>bb>a - Tính chất bắc cầu: a > b b > c  a > c - Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a>ba+c>b+c - Nhân hai vế bất đẳng thức với số: + Nếu a > b c > a.c > b.c + Nếu a > b c < a.c < b.c luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document6 of 66 - Cộng vế theo vế hai bắt đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều: a > b c > d  a + c > b + d Chú ý: Không trừ vế theo vế hai bất đẳng thức chiều - Trừ vế theo vế hai bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b c < d  a – c > b – d - Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm a > b ≥ c > d ≥  a.c > b.d - Nâng lên lũy thừa bậc n nguyên dương hai vế bất đẳng thức a > b >  an > bn (n  N) a > b  an > bn với n lẻ; a > b  an > bn với n chẵn - So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương a >  am > an Nếu m > n > thì: a =  a m = an < a <  a m < an - Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu: a > b ab >  1 < a b Lưu ý bất đẳng thức a < b, a ≥ b, a ≤ b tính chất tương tự 1.2.3, Các bất đẳng thức: - Với a ta có: a2 ≥ ; -a2 ≤ Dấu ‘‘=’’ xảy  a = - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a ≥ Dấu ‘‘=’’ xảy  a = a ≥ a Dấu ‘‘=’’ xảy  a ≥ a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ a - b  a - b Dấu ‘‘=’’ xảy  a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ - Bất đẳng thức tam giác: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a – b < c < a + b - Bất đẳng thức Côsi: Augustin Louis Cauchy Nhà Toán học Pháp (1789-1857) + Với hai số a, b khơng âm ta có: a+b  ab Dấu “=” xảy  a = b 2 a+b Một vài dạng thường gặp: a + b ≥ 2ab; (a + b) ≥ 4ab;    ab   luan van, khoa luan of 66 2 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document7 of 66 + Dạng đầy đủ: Với n số không âm a1, a2, , an (n  N*), ta có: a1 + a + + a n  n n a1a a n a + a + + a n  hay   n   n  a1a a n Dấu “=” xảy  a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức Bunhiakopsky: Victor Yakovlevich Bunyakovsky Nhà Toán học Nga (1804 – 1889) + Với số a, b, x, y ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu “=” xảy  ay = bx (nếu a ≠ 0, b ≠ ta viết x y = ) a b + Dạng đầy đủ: Với hai n số (a1, a2, , an) (b1, b2, , bn) ta có  a1b1 + a 2b2 + + a n bn  Dấu “=” xảy     a12 + a 22 + + a n2 b12 + b 22 + + bn2  a1 a a = = = n b1 b2 bn - Bất đẳng thức Trê-bư-sép ta có: a1  a   a n a +a + +a n b1 +b2 + +bn a1b1 +a b2 + +a n bn  n n n b1  b   bn a, Nếu  a = a = = a n Dấu ‘=’ xảy   b1 = b = = b n a1  a   a n a +a + +a n b1 +b2 + +bn a1b1 +a b2 + +a n bn  n n n b1  b   bn b, Nếu  a = a = = a n Dấu ‘=’ xảy   b1 = b = = b n Giải pháp 2: Phân tích sai lầm nêu hướng khắc phục 2.1, Sai lầm chứng minh điều kiện (1): Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 4x - 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: 4x - 4x + = (2x - 1)2 +  4, x  3  , x  MaxA =  x = 4x - 4x + 4 2 Phân tích sai lầm: Tuy đáp số khơng sai khẳng định “A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ta đưa ví dụ: Xét biểu thức B = luan van, khoa luan of 66 x -4 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document8 of 66 Với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ -4 x = 0, ta đến: Max B = phải giá trị lớn B, chẳng hạn với x = B = khơng 1  Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x - 4x + = (2x - 1)2 +  nên tử mẫu A số dương Hoặc từ nhận xét suy A > 0, A lớn nhỏ  4x - 4x + nhỏ A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + y2 biết x + y = Lời giải sai: Ta có: A = x + y2  2xy Do A nhỏ  x2 + y2 = 2xy  x = y = Khi Min A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f(x, y)  g(x, y) , chưa chứng minh f(x, y)  m với m số Ta đưa ví dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức x ≥ 4x - suy ra: x2 nhỏ  x = 4x -  (x - 2)2 =  x =  Minx =  x = Dễ thấy kết phải là: Minx =  x = Lời giải đúng: Ta có:  x + y  = 42  x + 2xy + y2 = 16  x - y Ta lại có:   x - 2xy + y2  (1) (2) Từ (1) (2) :  x + y   16  x + y2  Vậy Min A =  x = y = 2 2.2, Sai lầm chứng minh điều kiện (2): Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + x 1 1 Lời giải sai: A = x + x =  x + x +  - =  x +  - Vậy Min A = 4  2 4  chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Nếu xảy dấu đẳng thức x  - vơ lý Phân tích sai lầm: Sau chứng minh A  - Lời giải đúng: Để tồn x phải có x ≥ 0, Do A = x + x  , Min A =  x = luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document9 of 66 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn của: A = xyz  x + y  y + z  z + x  với x, y, z ≥ x + y + z = Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: ab   x + y  ta có  x + y z   x + y + z = 4 y + z x   x + y + z = 4z + x  y   x + y + z = Nhân vế ta có 64xyz  x + y  y + z  z + x    Max A = 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Điều kiện để là: x + y = z y + z = x    z + x = y x + y + z =    x, y, z  x = y = z =  x + y + z =  x, y, z   mâu thuẩn Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = x + y + z  3 xyz (1) =  x + y  +  y + z  +  z + x   3  x + y  y + z  z + x  (2) Nhân vế (1) với (2) (do vế không âm) 2  xyz  x + y  y + z  z + x    A  A    9 3 3 Vậy MaxA     x = y = z = 9 2.3, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau: Ví dụ 5: Cho x, y số dương thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + ? x y Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có A= 4 + 2 = x y x y Mặt khác xy  nên A  , xy Dấu "=" xảy  =  y = 4x x y x+y 1 =   , Dấu "=" xảy  x = y 2 xy   4.2 = Vậy giá trị nhỏ A = xy xy luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document10 of 66 Phân tích sai lầm: Ta thấy áp dụng hai bất đẳng thức trên, dấu "=" không đồng thời xảy Lời giải đúng: 1 4 y 4x + =  x + y  +  = + + x y y x y x Vì x + y = nên ta có A = Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có y 4x y 4x + 2 = 4, x y x y Do A = + Dấu "=" xảy  y 4x =  y = 2x x y y 4x +  5+4=9 x y Vậy A đạt giá trị nhỏ y = 2x x + y =  x = ; y = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy dấu khơng Có hướng giải tốn 2.4, Sai lầm khơng sử dụng hết điều kiện tốn: Ví dụ 6: Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ  1 biểu thức: B =  x +  +  y +  ? x y   Lời giải sai: Áp dụng bđt côsi cho hai số không âm x, 1 Ta có: x +  x  x x x (1) Áp dụng bđ t côsi cho hai số khơng âm y, 1 Ta có: y +  y  y y y (2) Từ (1) (2) =>A  => Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy (1)  x  x2 = x Đẳng thức sảy (2)  y  y2 = y Từ đẳng thức xảy x = y = khơng thỏa mãn x + y = Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: x+y 1  xy  xy   xy  2 1 Ta có : A = + x +y    +   x y 2 luan van, khoa luan 10 of 66 10 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document11 of 66 Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 Từ (1) (2) =>A  + +4 = 1 1 = (1);   2   (2) x y x y xy 2 25 25 =>Min A = x=y = 2 Lưu ý: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải tốn 2.5, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức với biểu thức bị hạn chế: Ví dụ 7: Cho x, y số thực thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức C = + x + y ? Lời giải sai: Với hai số thực a, b ta có:  a + b2  =  a + b  +  a - b    a + b  Áp dụng với a = + x2 ; b = y ta có C2 =  + x + y2 2   1 + x + y  = 2 Do C2 =  -2  C  Vậy MinC = -2 MaxC = Phân tích sai lầm: Ta thấy + x  nên C2 = + x2  y  + x2 = y2 với y ≥ Mà theo giả thiết x2 + y2 = nên x = 0, y = 1, C = 2, MinC = -2 không thỏa mãn Vậy sai lầm xảy đâu? Ta thấy bất đẳng thức  a + b    a + b2   -  a + b2    a + b    a + b2  2 dấu thứ xảy a = b ≤ 0; dấu “=” thứ hai xảy a = b ≥ Nếu a, b có giá trị bị hạn chế dấu bất đẳng thức khơng xảy Lời giải đúng: Vì x2 + y2 = nên y ≥ -1, mặt khác + x  nên C = + x + y  Do MinC = x = y = -1 2.6, Sai lầm sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x - + x - + x - + x - ? Lời giải sai: Áp dụng a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ ta có x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy   x  x - + x - = x - + - x  x - + - x = 1, Dấu “=” xảy   x  Do D = x - + x - + x - + x -  + = luan van, khoa luan 11 of 66 11 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document12 of 66 Phân tích sai lầm: Ta thấy khơng có giá trị x để MinD = Lưu ý rằng: Nếu a ≤ b x - a + x - b  b - a , Dấu “=” xảy  a  x  b Lời giải đúng: Áp dụng a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ ta có x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy   x  x - + x - = x - + - x  x - + - x = 1, Dấu “=” xảy   x  Do D = x - + x - + x - + x -  + = , Dấu “=” xảy   x  2.7, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức ngược chiều nhau: Ví dụ 9: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = x + 1-x Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = y ? 1-y Lời giải sai: Từ giả thiết ta suy < x, y < Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x x + - x  x , Dấu “=” xảy  = 1-x x= 1-x 1-x y y + - y  y , Dấu “=” xảy  = 1-y y= 1-y 1-y x y + 2 x +2 y - 1-x - 1-y Do E = 1-x 1-y 2 Mặt khác x + y = nên y = – x, thay vào ta có x +2 y - 1-x - 1-y =2 x +2 1-y - 1-x - 1-1+y = x + 1-x x y +  x + 1-x E = 1-x 1-y Ta có  x + 1-x  = + x 1 - x  = + 2  1 -  x -  1 + =2  2  x + - x  Do E  Phân tích sai lầm: Sai lầm ta dúng hai bất đẳng thức ngược chiều E  x + - x x + - x  để kết luận E  Lời giải đúng: Ta có E= x y x2 y2 x + y2 + = +  = 1-x 1-y x y y x x y +y x  x + y xy  x+ y  = xy  x+ y x+y = x + y  2 2 x+ y  2=   = 2 2 xy x + y Vì x + y = nên ta có xy  Do xy   Vậy Min E =  x = y = luan van, khoa luan 12 of 66   12  Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document13 of 66 2.8, Sai lầm làm việc với biều thức quy tam thức bậc hai: Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = -x + 2x + -   x+1+ 3-x ? Lời giải sai: Điều kiện -1 ≤ x ≤ Đặt t = x + + - x ta có t = +  x + 1 - x    x + 1 - x  = Ta có F =  x + 1 - x  Vậy MinF =  t2 -  t - 1 -  -5 t2 - t - 2t - x+1+ 3-x = -t= = 2 2  -5 Dấu “=” xảy ra t = Phân tích sai lầm: Ta thấy t = + x + 3 - x  4 mà t ≥ nên t ≥ Do khơng thể có dấu “=” xảy t = Lời giải đúng: Ta xét (x + 1)(3 – x) = -x2 + 2x + = – (x – 1)2 Vì -1 ≤ x ≤ nên -2 ≤ x - 1≤  (x – 1)2 ≤ hay (x + 1)(3 – x) ≤ Do t = +  x + 13 - x   + =   t  2 Vậy F =  x + 1 - x  -   x+1+ 3-x = t2 - t - 2t - -t=  2 2 Dâu “=” xảy t =  x = -1 x = 2.9, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức Côsi khắc phục kỹ thuật tách số: Ví dụ 11: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + ? x2 Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: P = 2x + 1 1 , dấu “=” xảy  2x =  x =  x =  2x = 2 x x x x Vậy MinP = 2 = 16 đạt x = x 3 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy cách giải áp dụng bất đẳng thức Cơsi vế phải cịn biến x chưa phải số nên kết luận giá trị nhỏ P Lời giải đúng: Để giải toán ta phải sử dụng đến kỹ thuật tách số áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương Ta có P = x + x + 1  3 x.x = dấu “=” xảy  x =  x = x x x Vậy MinP = x = luan van, khoa luan 13 of 66 13 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document14 of 66 Ví dụ 12: Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = xy + ? xy Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có: Q = xy + 9  xy = 2.3 = xy xy Dấu “=” xảy  xy =   xy  = 32  xy =  x > 0, y >  xy Phân tích sai lầm: Trong lời giải khơng sử dụng giả thiết x + y ≤ nên để dấu “=” xảy xy = x + y ≤ Ta thấy với x > 0, y > khơng có giá trị x, y để thỏa mãn xy = x + y ≤ Lời giải đúng: Ta có  x + y  xy  < xy  1 Do xy   x = y = 4 Áp dụng kỹ thuật tách số để sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương Q = xy + 143 143 143 145 = xy + +  xy +  + = xy 16xy 16xy 16xy 16xy 4 Dấu “=” xảy x = y = Ví dụ 13: Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y + 1 + ? x y Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: M=x+y+ 1  1  1 1 + =  x +  +  y +   x + y = x y  x  y x y Dấu “=” xảy x = y = Phân tích sai lầm: Ta thấy lời giải dấu “=” xảy  x = y = x + y = không thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Lời giải đúng: Sử dụng kỹ thuật tách số 4 5 ta có: = + ; = + x 9x 9x y 9x 9x    5 1 4  M = x + + y +  +  +   x +  y + 9x   9y   x y 9x 9y x + y  (áp dụng bất đẳng thức luan van, khoa luan 14 of 66 1 4 12 x + y   +     = 3) x y x+y x+y x+y 14 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document15 of 66 Do M  x 4 4 13 + y +  + + = 9x 9y x + y 3 Dấu “=” xảy x = y = Ví dụ 14: Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức N = Lời giải sai: Đặt t = Do N = t +  x + y + 1 xy + x + y   x + y + 1 xy + x + y + xy + x + y  x + y + 1 ? xy + x + y = t  x + y + 1 1  t = Dấu “=” xảy  t =  t =  t >  t t t  x + y + 1 Phân tích sai lầm: Ta thấy t = xy + x + y  x + y + 1 =1 xy + x + y =  x + y2 + + 2xy + 2x + 2y = xy + x + y  x + y2 + + xy + x + y = Coi phương trình ẩn x, tham số y ta có: x +  y + 1 x + y2 + y + = 1 Ta có  =  y + 1 -  y + y + 1 = -3y - 2y - = -3  y +  -  3  2 Nên phương trình (1) vơ nghiệm nên tồn giá trị x, y để N đạt giá trị nhỏ  x + y + 1 ta chứng minh t ≥ Lời giải đúng: Đặt t = xy + x + y Thậy với t ≥  x + y + 1 xy + x + y    x + y + 1   xy + x + y    x + y + 1   xy + x + y  2 2x + 2y2 + + 4xy + 4x + 4y  6xy + 6x + 6y   x - y  +  x - 1 +  y - 1  2 Dấu “=” xảy x = y = Do N = 8t + t 8t  t  8.3 t 10 + = +  +  +2 = t t  9 t 9 Vậy giá trị nhỏ N luan van, khoa luan 15 of 66 10 x = y = 15 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document16 of 66 Ví dụ 15: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 3x + 2y + + ? x y  8 Lời giải sai: Ta có S =  3x +  +  2y +   3x + 2y = + x  y x y   3x + Dấu “= xảy  2y +   =0 3x = x   2y = =0 y  x  x =   y = y Phân tích sai lầm: Ta thấy cách giải dấu đẳng thức xảy x = 2; y = nên x + y < 6, điều mâu thuẫn với giả thiết x + y ≥ Lời giải đúng: Dùng kỹ thuật tách số 3x = 3x 3x y 3y ta có: + ; 2y = + 2 2 6 y 8 3x y  3x S=  +  +  +  + x + y  + + = + + = 19 x 2 y 2 x y   3x 2 = x x = x =   y    y = 16   y = Dấu đẳng thức xảy  = y 2 x + y =  x + y =  x + y =   Vậy giá trị nhỏ S 19 x = 2, y = Ví dụ 16: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn b2 + c2 ≤ a2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Ta có T = 1  b + c2  + a  +  ?  a c  b 1 1 +   +  2 x y x+y a b a +b 2 1  b + c  + a  +    b2 + c2  + a 2  a c  a b +c b Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có T 2 4 b + c  + a 2  2  b + c2  a 2 =   a b +c a b +c Dấu đẳng thức xảy luan van, khoa luan 16 of 66 2 b + c  = a 2  b2 + c2 = 2a 2  a b +c 16 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document17 of 66 Phân tích sai lầm: Ta thấy lời giải dấu đẳng thức xảy b2 + c2 = 2a , điều mâu thuẫn với giải thiết b2 + c2 ≤ a2 Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức 1 1 +   +  2 x y x+y b c b +c Dấu đẳng thức xảy b2 = c2 Ta có T = 2 1  b + c  + a  +    b2 + c2  + a 2  a c  a b +c b 4a a2 3a Áp dụng kỹ thuật tách số: a 2 = 2 = 2 + 2 b +c b +c b +c b +c Khi T  T2  b2 + c2 2 a2  3a 2 b + c + a = + +     a2 b2 + c2 b2 + c2  b2 + c2  a b2 + c2 a2 a2 + =2+3=5 a2 b2 + c2 b2 + c2  b2 + c2 a2  a = b2 + c2  b + c2 = a a Dấu “=” xảy b2 + c2 = a  2 b=c= b = c b = c2   2.10, Một số sai lầm khác: Ví dụ 17: Cho phương trình bậc hai với tham m: x + 2 m - 2 x –  2m - 7 = (1) có nghiệm x1, x2 Tìm GTNN biểu thức A = x12 + x 22 Lời giải sai: Vì x1, x2 hai nghiệm phương trình (1)  x + x = -2  m -  Theo định lý Vi-et tacó:    x1.x = -2m + Ta có A = x12 + x 22 =  x1 + x  – 2x1x =  2m - 3 -  -7 Vậy MinA = - m  Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ không tồn x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN - Thật vậy: Min x12 + x 22 = -7 m = luan van, khoa luan 17 of 66 phương trình (1) vơ nghiệm 17 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document18 of 66 Lời giải đúng: Ta có: Δ = m2 - 2m -  m  -1 Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Δ    m   x + x = -2  m -  Theo định lý Vi-et tacó:    x1.x = -2m + Ta có A = x12 + x 22 =  x1 + x  – 2x1x =  2m - 3 - 2 Với m  A   2.3  3   2 Với m  1 A  2. 1  3   18 Do MinA = với m = Ví dụ 18: Cho hai số thực x, y thoả mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức B = x + y2 ? x-y x + y  x - y  + 2xy Lời giải sai: Ta có B = Do x > y xy = = x-y x-y nên B =  x - y + x-y 2xy x-y x-y x-y =x-y+ = + + 2+ x-y x-y 2 x-y Vậy A có GTNN x-y = x-y Giải phương trình x – y = mà xy = nên (x; y) (  2; 1  ) (1  2; 1  2) Do MinA = x-y +2=3 Phân tích sai lầm: Sai lầm toán biến đổi đến (*) + x-y khơng phải số mà phụ thuộc vào biến x, y Lời giải đúng: B=x-y+ x-y 2  =  +   2 x-y x y    2  2 6  2  2 6 ; ;    2 2     Vậy MinA = 2 (x, y) =  luan van, khoa luan 18 of 66 18 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document19 of 66 Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - Lời giải sai: Ta có D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y -       D = - x + 2xy + y2 - 4x - 14x - y2 - 10y -1 2  7 145 = -  x + y  -  2x -  -  y - 5 + 2  x + y =  x = -y   7 145  Suy D  Dấu “=” xảy 2x - =  x = 4    y - =  y = Phân tích sai lầm: Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn 145 Từ biến đổi suy D  , việc kết luận giá trị lớn D không tồn chưa xác, khơng có xác đáng Lời giải đúng: Cách 1: Ta có       D = - x + y2 - 6x - 6y + 2xy + - 4x - 8x + - y2 - 4y + + 16 = -  x + y - 3 -  x - 1 -  y -  + 16 2 x + y - = x =  Suy D  16 Dấu “=” xảy  x - =   y - =  y =  Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = Lời giải song thiếu “tự nhiên”, cách sau mang tính thuyết phục Cách 2: Ta có D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 2  x x      + D = -2  y2 +  x - 5 y + - 5x + 14x -      x -   x - 1 = -2  y + + 16  16    x-5 x = =0 y +   Suy D  16 Dấu “=” xảy  x - =  y =  Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = luan van, khoa luan 19 of 66 19 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document20 of 66 Ví dụ 20: Cho a, b, c số dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức  P = 1 +  a  b  c   1 +  1 + 5b   5c   5a  Lời giải sai: Do a, b, c số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1+ a a 2 1 5b 5b 1+ b b 2 2  5c 5c 1+ c c 2 5a 5a 3 Nhân vế ba bất đẳng thức chiều vế dương ta  P = 1 +  a  b  c  a b c =  1 +  1 + 8 5b   5c   5a  5b 5c 5a 25 Do P nhỏ 25 Đây sai lầm thường 25 mắc dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Một nguyên nhân sâu xa nhiều bạn đọc không hiểu nghĩa dấu “≥” dấu “≤” Khơng phải viết “≥” xảy dấu “=” Ví dụ ta viết 10 ≥ khơng thể có 10 = Phân tích sai lầm: Để ý khơng tồn a, b, c để P = Lời giải đúng: Biến đổi  a  b  c  1 a b c  a b c P = 1 + (1)  1 +  + + +  1 +  =1+  + +  + 5b   5c   5a   b c a  25  c a b  125  Do a, b, c số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có a b c a b c + + 3 = b c a b c a (2) ; a b c a b c + + 3 = c a b c a b (3) 1 216 Từ (1), (2), (3) ta có P  + + + = 25 125 125 Dấu đẳng thức xảy dấu đẳng thức (2) (3) đồng thời xảy ra, tức a = b = c Vậy Min P = 216 , giá trị đạt a = b = c > 125 luan van, khoa luan 20 of 66 20 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document21 of 66 PHẦN KẾT LUẬN I Ý nghĩa đề tài: Trong thực tiễn dạy học, muốn đạt chất lượng cao người giáo viên phải không ngừng đổi phương pháp dạy học Việc đổi phải thực cách đồng tất hoạt động dạy học, từ việc nghiên cứu, chuẩn bị bài, thực hoạt động dạy học lớp giao nhiệm vụ nhà Đồng thời người giáo viên phải đánh giá, nắm bắt mức độ hiểu, áp dụng học sinh kiến thức vừa học Trong năm học vừa qua, thực áp dụng giải pháp nêu việc dạy học, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh Sau áp dụng đề tài, tiến hành khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng mơn Tốn với đề hai tìm cực trị (lớn nhỏ nhất) có kiến thức ngang tầm với đề thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, thang điểm 2,5/bài Kết thu sau: Bảng 3: Kết khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng Chưa làm Đã làm định hướng cách giải sai Làm chưa xong Làm SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 25,0% 10,0% Qua việc chấm chữa, sửa lỗi cho học sinh kết khảo sát trên, nhận thấy rằng, học sinh có tiến việc giải tập cực trị Đại số Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh vào ngày 23/3/2017 vừa qua, đề thi có tìm cự trị (giá trị nhỏ nhất) chiếm 1,5 điểm Trong tổng số 20 học sinh dự thi 20 em đạt điểm, cụ thể: Bảng 4: Kết làm tập Hình học kỳ thi HSG tỉnh lớp Năm học Số HS tham gia Chưa làm 2016-2017 20 03 Đã làm Làm Làm định hướng cách giải sai chưa xong 02 02 13 Kết cho thấy giải pháp mà áp dụng giảng dạy đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh tích cực, giúp cho học sinh phát triển tư tìm tịi, sáng tạo tìm cách giải, phát sai lầm hướng khắc phục cho sai lầm Qua q trình áp dụng giải pháp nêu với kết đạt rút số học sau: - Trong trình dạy học, người giáo viên cần phải không ngừng học hỏi, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề, nâng cao chất lượng dạy ln có ý thức đổi phương pháp dạy học luan van, khoa luan 21 of 66 21 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document22 of 66 - Khơi dậy tạo nguồn cảm hứng, u thích mơn học học sinh, tạo cho học sinh niềm đam mê, hứng thú tiết học, dạy Nắm đối tượng học sinh để có phương pháp phù hợp, giúp em khơng bị chống ngợp trước tốn khó - Phải cung cấp, trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức liên quan đến môn học Để học sinh thực nắm kiến thức người giáo viên phải có phương pháp truyền đạt phù hợp, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Cần giúp học sinh nắm nội dung chất định nghĩa, tính chất, bất đẳng thức áp dụng học sinh nhớ lâu Đồng thời phải phân tích, mổ xẻ kiến thức theo nhiều hướng phát triển khác để học sinh có nhìn bao quát, rèn luyện tư khái quát, trừu tượng II Kiến nghị, đề xuất: Để áp dụng giải pháp nêu có tính hiệu cao, tơi xin có số kiến nghị, đề xuất sau: - Đối với người giáo viên: Phải không ngừng học tập nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, đổi phương pháp dạy học Nghiên cứu tìm giải pháp, sáng kiến hay, để áp dụng vào thực tiễn dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục - Đối với học sinh: Phải tạo cho động cơ, thái độ học tập nghiêm túc, không ngại khó, ngại khổ, có tính kiên trì, nhẫn nại việc học tập Phải nhỏ đến lớn, từ dễ đến khó Với kiến thức cần tìm hiểu chất nhằm giúp nhớ lâu xem xét khả áp dụng vào việc giải tập Với tập cần tìm nhiều cách giải tốt, đồng thời cần phân tích, tổng hợp, khái quát tốn tạo tốn - Đối với nhà trường: Cần phân công phần hành hợp lý, tạo điều kiện tốt để người giáo viên phát huy tối đa lực trình giảng dạy Trên giải pháp mà rút thực tiễn trình dạy học áp dụng vào thực tế giảng dạy có hiệu cao Hy vọng áp dụng cách rộng rãi nhằm nâng cao chất lượng học sinh, phát triến tư tìm tịi, sáng tạo cho học sinh việc giải tập Những sai lầm giải tốn khó tránh khỏi, vấn đề phải biết nhìn nhận, phát sai lầm đó, để tìm hướng khắc phục cách phù hợp Với chủ quan thân chắn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong bạn đồng nghiệp, q thầy giáo đóng góp ý kiến hay, giải pháp tốt nhằm hoàn thiện đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn! luan van, khoa luan 22 of 66 22 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document23 of 66 MỤC LỤC Nội dung Trang Phần mở đầu: I Lý chọn đề tài: II Phạm vi áp dụng: Phần nội dung: I Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: II Các giải pháp: Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh kiến thức cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức: Giải pháp 2: Phân tích sai lầm nêu hướng khắc phục: 2.1 Sai lầm chứng minh điều kiện (1) 2.2 Sai lầm chứng minh điều kiện (2) 2.3 Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác 2.4 Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán 10 2.5 Sai lầm khi sử dụng bất đt với điều kiện bị hạn chế 11 2.6 Sai lầm sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối 11 2.7 Sai lầm sử dụng bất đẳng thức ngược chiều 12 2.8 Sai lầm sử dụng biểu thức quy tam thức bậc hai 13 2.9 Sai lầm sử dụng bất đẳng thức Côsi khắc phục kỹ thuật tách số 13 2.10 Một số sai lầm khác 17 Phần kết luận: 21 I Ý nghĩa đề tài: 21 II Kiến nghị đề xuất: 22 luan van, khoa luan 23 of 66 23 ... 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu, document4 of 66 - Không tự tư lại tốn làm sau giải xong xem chưa Qua tơi rút số vấn đề cần khắc phục việc đổi phương pháp. .. giải toán cực trị đại số? ?? Sau xin đưa số giải pháp: II Các giải pháp: 1, Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh kiến thức cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức: 1.1, Kiến thức cực trị đại số: 1.1.1,... cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, nhiều học sinh khơng biết giải nào? Có phương pháp nào? Trong luan van, khoa luan of 66 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số tai lieu,