Hướng dẫn học sinh lớp 9 khắc phục sai lầm khi giải bài toán cực trị đại số

Để đào tạo ra được một người lao động mới đáp ứng được các yêu cầu của xã hội, biết vận dụng kiến thức vào cuộc sống thì trước hết ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường học sinh phải được

MỤC LỤC

1 Mở đầu

2 Nội dung

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong quá trình CNH – HĐH đất nước, cùng với KHCN thì giáo dục là quốc sách hàng đầu chủ trương này đã được thể hiện rõ trong quan điểm đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước, bởi

lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH

Để đào tạo ra được một người lao động mới đáp ứng được các yêu cầu của xã hội, biết vận dụng kiến thức vào cuộc sống thì trước hết ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường học sinh phải được trang bị đầy đủ các kiến thức cơ bản, có kĩ năng thực hiện được các phép tính, biết làm các bài toán, các dạng toán một cách chính

xác, tránh “không bị sai sót, nhầm lẫn”

Trong các dạng toán ở chương trình bộ môn Toán THCS thì dạng toán về tìm cực trị là một trong những dạng toán có vai trò quan trọng, mang tính ứng dụng thực tế cao Trong nhiều năm trở lại đây, trong các kì thi HSG cấp Huyện, cấp Tỉnh, thi Quốc gia hay thi vào lớp 10 thì các bài toán về tìm cực trị thường được ưu tiên đưa vào đề thi Tuy nhiên, khi tiếp cận với các bài toán về tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS đang gặp nhiều khó khăn trong cách giải vì các em chưa được vận dụng linh hoạt, nhanh nhạy và sáng tạo trong việc vận dụng định nghĩa, tính chất của BĐT và một số BĐT như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN Do đó hay mắc phải những sai lầm khá phổ biến do thường vi phạm một trong hai điều kiện khi tìm GTLN, GTNN

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán THCS, qua thực tế và kinh nghiệm giảng dạy, qua trao đổi với đồng nghiệp tôi nhận thấy rằng, khi gặp những bài toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường gặp khó khăn và hay mắc phải sai lầm Nhằm giúp học giải những bài toán tìm GTLN, GTNN có hiệu quả và tránh được

những sai lầm Tôi đã nghiên cứu, tập hợp và đề xuất đề tài “Hướng dẫn học sinh

lớp 9 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán cực trị đại số ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của việc nghiên cứu đề tài là nhằm phát hiện ra những bài toán, những dạng toán về cực trị Đại số mà học sinh hay mắc phải khi giải dạng toán này, từ đây GV có những biện pháp để giúp HS tránh được những sai lầm, đồng thời rèn luyện cho HS kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng biến đổi, kĩ năng giải toán cực trị

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các dạng toán về cực trị Đại số, nghiên cứu và phát hiện hiện ra những sai lầm mà học sinh gặp phải khi giải toán dạng này Đồng thời GV dựa trên kinh nghiệm của mình nghiên cứu ra cách khắc phục sai lầm mà học sinh gặp phải

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trước hết GV nghiên cứu lý thuyết, các dạng toán về cực trị Đại số, chọn lọc các bài toán ở mỗi dạng Sau đó tiến hành dạy lý thuyết và cho học sinh thực hành

giải toán GV sẽ là người tổng hợp lại những sai lầm mà học sinh gặp phải và đề ra hướng khắc phục ở mỗi bài, mỗi dạng Cuối cùng GV cho HS làm bài khảo sát, GV thống kê, xử lý kết quả báo cáo

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói M

là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu M = minf(x), nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

Điều kiện 1: Với mọi x thuộc D thì f(x) M, với M là hằng số

Điều kiện 2: Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M

2 Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí hiệu M = maxf(x), nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

Điều kiện 1: Với mọi x thuộc D thì f(x)  M, với M là hằng số

Điều kiện 2: Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M

3.Một số BĐT thường sử dụng khi tìm GTLN, GTNN

a BĐT Côsi: Cho n số không âm a1 , a2 , a3, , an -1 , an ta luôn có :

n

a a a

a1   n1 n

n a a

a1* 2* *

Dấu “=” Xẩy ra khi a1 = a2 = a3= = an -1 = an

b, BĐT Bunhiacopxki

Cho n số a1 , a2 , a3, , an -1 , an và b1 , b2 , b3, , bn -1 , bn ta luôn có:

(a1b1 + a2b2+ + anbn)2

( a12+a22+ +an2)( b12+b22+ +bn2) Dấu “=” Xẩy ra khi

1

1

b

a

=

2

2

b

a

= =

n

n

b a

4 Chú ý : Nếu chỉ có một trong hai điều kiện nêu trong định nghĩa thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, biểu thức: A = (x- 1)2 + (x- 3)2

Mặc dù ta có A  0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2  2

A = 2  x -2 = 0  x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là một môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực Con người chúng ta trong bất kỳ hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán Nghiên cứu về toán cũng chính là nghiên cứu một phần của thế giới Trong cuộc sống thực tế hiện nay có rất nhiều các bài toán liên quan đến tìm GTNN, GTLN

Do vậy khi ngồi trên ghế nhà trường HS phải được trang bị một số kiến thức cơ bản nhằm có kiến thức vận dụng vào cuộc sống, không những vậy trong những năm gần đây dạng toán này được sử dụng rất nhiều trong các kì thi HSG cấp Huyện, cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, thi vào lớp 10 Tầm quan trọng của dạng Toán này là vậy, nhưng khi tiếp cận với các bài toán về tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS đang gặp nhiều khó khăn trong cách giải vì các em chưa được vận dụng linh hoạt, nhanh

nhạy và sáng tạo trong việc vận dụng định nghĩa, tính chất của BĐT và một số BĐT như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN Do đó hay mắc phải những sai lầm khá phổ biến do thường vi phạm một trong hai điều kiện khi tìm GTLN, GTNN dẫn đến kết quả của bài toán bị sai hoặc thiếu điều kiện

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy các em, tôi luôn cố gắng trang bị cho các em các phương pháp tìm GTLN, GTNN Ngoài ra bản thân luôn phải trăn trở tìm tòi biện pháp để các em giải quyết các bài toán một cách chính xác không mắc phải sai lầm Xuất phát từ điều này tôi đã tiến hành nghiên cứu và khảo sát trên 35

HS lớp 9 và có kết quả như sau:

35

Số

lượng

Tỉ lệ (%)

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Qua quá trình tiến hành khảo sát đánh giá tôi nhận thấy rằng tỉ lệ HS dưới điểm TB còn rất cao Nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa nắm vững một số tính chất, định nghĩa dẫn đến khi vận dụng thì mắc phải sai lầm ở hai điều kiện khi tìm GTLN, GTNN Xác định việc khắc phục những sai lầm này là hết sức cần thiết sau đây tôi xin đưa ra một số dạng toán mà học sinh hay mắc sai làm và cách khắc phục

2.3 Các kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Trước hết giáo viên cần trang bị cho HS các kiến thức cơ bản về tìm GTLN, GTNN, các phương pháp tìm GTNN, GTLN Giáo viên tiến hành truyền thụ cho các em những sai lầm mà các em gặp phải trong quá trình giải toán Những sai lầm

mà HS hay gặp phải và cách khắc phục như sau:

Dạng sai lầm 1: Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức f(x) M ( f(x)  M) hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thỏa mãn giả thiết.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x 2 +5y 2 + 4xy – 4x – 8y +6

Lời giải có vấn đề

P = (x2+4y2 +1 + 4xy – 2x – 4y) + (x2 – 2x +1) + (y2 -4y +4)

= (x + 2y - 1)2 + (x-1)2 + (y-2)2

Vì (x + 2y - 1)2 0;(x-1)2 0; (y-2)2 0 nên P 0.Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0

Phân tích sai lầm

Bài giải trên mắc sai lầm trong chứng minh điều kiện 2, không chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào dẫn đến chưa thấy được kết quả trên cũng sai do không tồn tại x, y

để xảy ra đồng thời: 















0 2

0 1

0 2

y

y x

Hệ vô nghiệm

Lời giải đúng

P = 2x2 +5y2 + 4xy – 4x – 8y +6

= 2(x2 +y2 +1 +2xy – 2x – 2y) + 3(y2 – 2y

3

2

+

9

4

) +

3

8

= 2(x+y-1)2 +3(y-

3

2

)2 +

3 8

Vì 2(x+y-1)2

0; 3(y- 32 )2

0 nên P = 2(x+y-1)2 +3(y- 32 )2 +38 

3 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của P =

3

8

khi và chỉ khi 













0 3

0 1

y y x













3 2 3 1

y x

Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x+2 x

Lời giải có vấn đề:

A= x+2 x= x+2 x +1 – 1 = ( 1 ) 2 1 1









x vì ( x 1 ) 2 0 Vậy MinA = -1

Phân tích sai lầm :

Sau khi chứng minh f(x)  -1, chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = -1 Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x   1 vô lý

Lời giải đúng :

Để tồn tại x phải có x 0 Do đó A= x+2 x 0 Dấu “=” xảy ra khi x =0

Vậy giá trị nhỏ nhất A = 0 Khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A (x a)(x b)

x

 với x > 0, a, b là các hằng số dương.

Lời giải có vấn đề:

Ta có: 2 ax     2 ax.2 bx 4 ab

2 bx

x a

x b

  





 



Do đó: A (x a)(x b) 4x ab 4 ab

Vậy giá trị nhỏ nhất A = 4 ab  x a b  

Phân tích sai lầm:

Qua lời giải trên ta thấy A = 4 ab khi và chỉ khi x = a =b

Nếu a b thì không có: A = 4 ab

Lời giải đúng :

Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số:

Ta có

2

Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x ab 2 ab

x

nên A ≥ 2 ab + a + b =  a  b2

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi

ab x

x ab x

x 0







 



 



Vậy giá trị nhỏ nhất của A =  a  b2 khi và chi khi x = ab .

Ví dụ 4: Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2

 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x+ y + z + xy + yz + zx

Lời giải có vấn đề:

Với mọi x, y , z ta có:

(x-y)2 ≥ 0  x2 + y2 ≥ 2xy (1)

(y-z)2 ≥ 0  y2 + z2 ≥ 2yz (2)

(z- x)2 ≥ 0  z2 + x2 ≥ 2zx (3)

Từ (1), (2), (3) ta có 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + zx)

 27 ≥ xy + yz + zx (4)

Mặt khác (x-1)2 ≥ 0; (y-1)2 ≥ 0; (z-1)2 ≥ 0

Suy ra x2 + 1 ≥ 2x ; y2 + 1 ≥ 2y; z2 + 1 ≥ 2z => x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2(x+y+ z) => 15 ≥ x+ y + z (5)

Từ (4) và (5) cộng vế với vế ta được: P  42

Vậy giá trị lớn nhất của P = 42

Phân tích sai lầm

Bài giải trên đã quên một bước vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức

Ta thấy P = 42 xảy ra khi 





















1 27 3

2 2

2

z y

x

z y

x

z y

x

Hệ này vô nghiệm do đó P = 42 không thể xảy ra

Lời giải đúng

Ta xét hiệu 3(x2 + y2 + z2) – (x+y+z)2 = 2(x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx)

= (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 ≥ 0 (1)

Từ (1) suy ra (x+y+z)2

 3(x2 + y2 + z2)  3.27 => x+y+z  9 (2) (đẳng thức xảy ra  x = y = z =3)

Cũng từ (1) ta suy ra: 2(xy + yz + zx)  2(x2 + y2 + z2) => xy + yz + zx  27 (3)

Từ (2) và (3) ta có: P = x+ y + z + xy + yz + zx  36

Dấu “=” xảy ra  x= y = z = 3

Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36  x = y =z =3

Ví dụ 5: Với x, y, z là các số thực dương Tìm GTNN của:

P = (1 + 5x y ) (1 + 5y z ) (1 + 5z x )

Lời giải có vấn đề:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

(1 + 5x y )2  45x y (1)

(1 + 5y z )2  4 5y z (2)

(1 + 5z x )2  4 5z x (3)

Nhân từng vế (1), (2), (3) ta có: P2 

125 64

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

25

5 8

Phân tích sai lầm.

Sai lầm ở chỗ là không tồn tại x, y, z để P =

25

5 8

Thật vậy giá trị tồn tại x, y, z > 0 để P =

25

5 8

Thì phải có: 5x y = 1  x = 5y

z

y

5 = 1  y = 5z

x

z

5 = 1  z = 5x

 x y z = 125xyz  1 = 125 (vô lý)

Lời giải đúng.

Ta có: 1 + 5x y =

5

1

+

5

1

+

5

1

+

5

1

+

5

1

+ 5x y 

5

6

6

y

x

(1) Tương tự: 1 + 5y z  56 6

z

y (2) 1 + 5z x  56 6

x

z (3) Nhân từng vế (1), (2), (3) ta có: P  216

125 Dấu “=” xảy ra:  5x y =

z

y

5 =

x

z

5 =

5

1

hay x = y = z Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 216

125 khi x = y = z

Ví dụ 6 : Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x 3y 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A 4x2 9y2

xy



 (Đề thi Học kì II – tỉnh Thanh Hóa)

Lời giải có vấn đề:

Với x, y >0, Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương 4x2; 9y2 ta có: 4x2+ 9y2 2.6xy = 12xy

 M  12xy

xy = 12 Dấu “=” xảy ra  2x = 3y Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 12 khi 2x = 3y hay x = 3

2y

Phân tích sai lầm

Sai lầm trong lời giải trên là xác định dấu “=” xảy ra  x = 3

2y trong khi điều kiện bài toán x 3y 

Lời giải đúng.

Ta có: Vì x 3y nên x 3

y 

Áp dụng BĐT Cô – Si ta có :



Dấu “=” xảy ra  x = 3y

Kết luận: GTNN của A là 15 khi x = 3y

Ví dụ 7: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y  10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P = 2x + y +30 5+

x y ( Đề thi HSG TP Thái Bình năm học 2016 – 2017)

Lời giải có vấn đề:

Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương ta có:

2x 2 2 x 4 15

P = 2x + y + +

x y 4 15 2 5 Dấu “=” xảy ra x 15;y 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 15 2 5  khi x 15;y 5

Phân tích sai lầm

Trong lời giải trên ta thấy dấu “=” xảy ra x 15;y 5 hay x+ y = 15  5< 10 trong khi điều kiện bài toán là x + y  10 Vì vậy lời giải trên chưa thỏa mãn điều kiện bài toán

Lời giải đúng.

Ta có: P = 2x + y +30 5+

x y

= x + x + y + + +

= (x + y)+( x + +( +

Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương 6x

5 và 30

x , y

5 và 5y ta có :

6 30  6 30

5 x 5 x (1) y 5  y 5

5 y 5 y (2)

Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y  10 => P  8 + 12 + 2 = 22

Dấu "=" xảy ra 



















x,y > 0

x =

y 5

=

5 y

x + y =10





x = 5

y = 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22  x = y = 5

Như vậy đối với dạng sai lầm này giáo viên cần lưu ý cho HS khi tìm GTLN, GTNN cần phải suy nghĩ và tìm điều kiện của biến để dấu đẳng thức xảy

ra, từ đó để có hướng giải đúng

Dạng sai lầm 2: Sai lầm khi không sử dụng hoặc sử dụng không hết điều kiện của bài toán:

Ví dụ 1: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1 Tìm GTNN của BT :

2 2

A = x+

  

Lời giải có vấn đề:

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x, 1

x Ta có: x+1 2 x.1 2

x  x  (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, 1

y Ta có: y+1 2 y.1 2

y y  (2)

Từ (1) và (2) =>

2 2

A = x+

  

 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 8 khi và chỉ khi x = y= 1

Phân tích sai lầm:

Lời giải trên sai lầm ở chỗ chưa sử dụng đến điều kiện của bài toán là x+ y =1 Dẫn đến hướng giải sai lầm

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 2

1

x  x x  Đẳng thức sảy ra ở (2) khi 1 2

1

y  y y  Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) như vậy không thể giải theo cách này

Lời giải đúng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :

2  xy  xy 2 xy4

Biến đổi biểu thức A, ta có :

2 2

A = 4 + x +y +

 

 

   

    Mặt khác: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 - 1

2= 1

2 (1)

12 12 2 21 2 2 8

x  y  x y xy  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

2 2

A = 4 + x +y +

 

 

   

   

 8 +1

2+4 =25

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 25

2 khi và chỉ khi x= y (với x+ y =1) hay x=y =1

2

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: S 3x 1

x

  vớix 2

Lời giải có vấn đề :

Vì x 2 nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: 3x và 1

x

Ta có: S 3x 1 2 3 x 1

   hay S 2 3 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

3

3

x

   Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 khi 3

3

x 

Phân tích sai lầm.

Khi kết luận giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 đạt được khi 3

3

x  là chưa đúng do

không đối chiếu “điểm rơi” 3

3

x  với điều kiện bài toán cho là x 2.Nhận thấy 3

2

3  nên kết luận trên chưa đúng

Lời giải đúng:

Ta có: S = 3x 1 3x 12 11

x x x

Vì x 2 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số 3x và 12

x ta có:

3x 2 3 x

  hay 3x 12 12

x

  (1) Dấu “=” xẩy ra khi 3x 12 x 2

x

Vì x 2 11 11 11 11

     (2) Dấu “=” xẩy ra khi x 2

Từ (1) và (2) ta có: S=3 12 11 12 11

2

x

x x

2

S  Dấu “=” xẩy ra khi x 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 13

2 đạt được khi x 2

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 - 5x + 9 với x > 3.

Lời giải sai :

Ta có: A = x2 - 5x + 9

= (x2 - 5x + 254 ) + 9 - 254

= (x - 25 )2 + 114 > 114

Vậy GTNN của A là 114 khi x = 25

Phân tích sai lầm :

Ta thấy ngay x = 25 không thoả mãn điều kiện x > 3

Lời giải đúng :