Hướng dẫn học sinh lớp 9 khắc phục sai lầm khi giải bài toán cực trị đại số

MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 cở sở lí luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực Dạng sai lầm Dạng sai lầm Dạng sai lầm Dạng sai lầm Dạng sai lầm Bài tập vận dụng Kết SKKN 3.Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 1 2 3 12 15 17 18 19 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong trình CNH – HĐH đất nước, với KHCN giáo dục quốc sách hàng đầu chủ trương thể rõ quan điểm đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trò định đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Để đào tạo người lao động đáp ứng yêu cầu xã hội, biết vận dụng kiến thức vào sống trước hết từ ngồi ghế nhà trường học sinh phải trang bị đầy đủ kiến thức bản, có kĩ thực phép tính, biết làm toán, dạng toán cách xác, tránh “không bị sai sót, nhầm lẫn” Trong dạng toán chương trình môn Toán THCS dạng toán tìm cực trị dạng toán có vai trò quan trọng, mang tính ứng dụng thực tế cao Trong nhiều năm trở lại đây, kì thi HSG cấp Huyện, cấp Tỉnh, thi Quốc gia hay thi vào lớp 10 toán tìm cực trị thường ưu tiên đưa vào đề thi Tuy nhiên, tiếp cận với toán tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS gặp nhiều khó khăn cách giải em chưa vận dụng linh hoạt, nhanh nhạy sáng tạo việc vận dụng định nghĩa, tính chất BĐT số BĐT BĐT Côsi BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN Do hay mắc phải sai lầm phổ biến thường vi phạm hai điều kiện tìm GTLN, GTNN Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán THCS, qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy, qua trao đổi với đồng nghiệp nhận thấy rằng, gặp toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường gặp khó khăn hay mắc phải sai lầm Nhằm giúp học giải toán tìm GTLN, GTNN có hiệu tránh sai lầm Tôi nghiên cứu, tập hợp đề xuất đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp khắc phục số sai lầm giải toán cực trị đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích việc nghiên cứu đề tài nhằm phát toán, dạng toán cực trị Đại số mà học sinh hay mắc phải giải dạng toán này, từ GV có biện pháp để giúp HS tránh sai lầm, đồng thời rèn luyện cho HS kĩ phân tích đề bài, kĩ biến đổi, kĩ giải toán cực trị 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dạng toán cực trị Đại số, nghiên cứu phát hiện sai lầm mà học sinh gặp phải giải toán dạng Đồng thời GV dựa kinh nghiệm nghiên cứu cách khắc phục sai lầm mà học sinh gặp phải 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trước hết GV nghiên cứu lý thuyết, dạng toán cực trị Đại số, chọn lọc toán dạng Sau tiến hành dạy lý thuyết cho học sinh thực hành giải toán GV người tổng hợp lại sai lầm mà học sinh gặp phải đề hướng khắc phục bài, dạng Cuối GV cho HS làm khảo sát, GV thống kê, xử lý kết báo cáo NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu M = minf(x), hai điều kiện sau thoả mãn: Điều kiện 1: Với x thuộc D f(x) ≥ M, với M số Điều kiện 2: Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị lớn f(x) D, kí hiệu M = maxf(x), hai điều kiện sau thoả mãn: Điều kiện 1: Với x thuộc D f(x) ≤ M, với M số Điều kiện 2: Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M 3.Một số BĐT thường sử dụng tìm GTLN, GTNN a BĐT Côsi: Cho n số không âm a1 , a2 , a3, , an -1 , an ta có : a1 + a + + a n −1 + a n n ≥ n a1 * a * * a n Dấu “=” Xẩy a1 = a2 = a3= = an -1 = an b, BĐT Bunhiacopxki Cho n số a1 , a2 , a3, , an -1 , an b1 , b2 , b3, , bn -1 , bn ta có: (a1b1 + a2b2+ + anbn)2 ≤ ( a12+a22+ +an2)( b12+b22+ +bn2) a1 a2 an Dấu “=” Xẩy b = b = = b n Chú ý : Nếu có hai điều kiện nêu định nghĩa chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, biểu thức: A = (x- 1)2 + (x- 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận minA = không tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x -2 = ⇔ x = Vậy minA = khi x = 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Toán học môn khoa học đặc biệt quan trọng lĩnh vực Con người hoàn cảnh thiếu kiến thức toán Nghiên cứu toán nghiên cứu phần giới Trong sống thực tế có nhiều toán liên quan đến tìm GTNN, GTLN Do ngồi ghế nhà trường HS phải trang bị số kiến thức nhằm có kiến thức vận dụng vào sống, năm gần dạng toán sử dụng nhiều kì thi HSG cấp Huyện, cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, thi vào lớp 10 Tầm quan trọng dạng Toán vậy, tiếp cận với toán tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS gặp nhiều khó khăn cách giải em chưa vận dụng linh hoạt, nhanh nhạy sáng tạo việc vận dụng định nghĩa, tính chất BĐT số BĐT BĐT Côsi BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN Do hay mắc phải sai lầm phổ biến thường vi phạm hai điều kiện tìm GTLN, GTNN dẫn đến kết toán bị sai thiếu điều kiện Là giáo viên trực tiếp giảng dạy em, cố gắng trang bị cho em phương pháp tìm GTLN, GTNN Ngoài thân phải trăn trở tìm tòi biện pháp để em giải toán cách xác không mắc phải sai lầm Xuất phát từ điều tiến hành nghiên cứu khảo sát 35 HS lớp có kết sau: Kết khảo sát Sĩ số TB trở lên Giỏi Khá TB Yếu, Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng (%) lượng (%) lượng (%) lượng (%) 35 lượng (%) 11,4 14,2 20,0 19 54,4 16 45,6 Qua trình tiến hành khảo sát đánh giá nhận thấy tỉ lệ HS điểm TB cao Nguyên nhân chủ yếu em chưa nắm vững số tính chất, định nghĩa dẫn đến vận dụng mắc phải sai lầm hai điều kiện tìm GTLN, GTNN Xác định việc khắc phục sai lầm cần thiết sau xin đưa số dạng toán mà học sinh hay mắc sai làm cách khắc phục 2.3 Các kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước hết giáo viên cần trang bị cho HS kiến thức tìm GTLN, GTNN, phương pháp tìm GTNN, GTLN Giáo viên tiến hành truyền thụ cho em sai lầm mà em gặp phải trình giải toán Những sai lầm mà HS hay gặp phải cách khắc phục sau: Dạng sai lầm 1: Không xác định điều kiện xảy dấu bất đẳng thức f(x) ≥ M ( f(x) ≤ M) điều kiện xảy dấu không thỏa mãn giả thiết Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 +5y2 + 4xy – 4x – 8y +6 Lời giải có vấn đề 2 P = (x +4y +1 + 4xy – 2x – 4y) + (x2 – 2x +1) + (y2 -4y +4) = (x + 2y - 1)2 + (x-1)2 + (y-2)2 Vì (x + 2y - 1)2 ≥ 0;(x-1)2 ≥ 0; (y-2)2 ≥ nên P ≥ 0.Vậy giá trị nhỏ P Phân tích sai lầm Bài giải mắc sai lầm chứng minh điều kiện 2, không dấu “=” xảy dẫn đến chưa thấy kết sai không tồn x, y x + y =  để xảy đồng thời:  x − = Hệ vô nghiệm y − =  Lời giải P = 2x2 +5y2 + 4xy – 4x – 8y +6 8 = 2(x+y-1)2 +3(y- )2 + 3 2 8 Vì 2(x+y-1)2 ≥ 0; 3(y- )2 ≥ nên P = 2(x+y-1)2 +3(y- )2 + ≥ 3 3  x= x + y −1 =    Vậy giá trị nhỏ P =   y − =  y =  = 2(x2 +y2 +1 +2xy – 2x – 2y) + 3(y2 – 2y + ) + Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ A= x+2 x Lời giải có vấn đề: A= x+2 x = x+2 x +1 – = ( x + 1) − ≥ −1 ( x + 1) ≥ Vậy MinA = -1 Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ -1, chưa trường hợp xảy f(x) = -1 Xảy dấu x = −1 vô lý Lời giải : Để tồn x phải có x ≥ Do A= x+2 x ≥ Dấu “=” xảy x =0 Vậy giá trị nhỏ A = Khi x = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) với x > 0, a, b x số dương Lời giải có vấn đề:  x + a ≥ ax Ta có:   x + b ≥ bx ⇒ ( x + a ) ( x + b ) ≥ ax.2 bx = x ab (x + a)(x + b) 4x ab ≥ = ab x x Vậy giá trị nhỏ A = ab ⇔ x = a = b Do đó: A = Phân tích sai lầm: Qua lời giải ta thấy A = ab x = a =b Nếu a ≠ b không có: A = ab Lời giải : Ta thực phép nhân tách số: (x + a)(x + b) x2 + ax+bx+ab  ab  = =  x + ÷+ (a + b) Ta có A = x x x  ab Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + ≥ ab x nên A ≥ ab + a + b = ( a+ b Dấu “=” xảy chi Vậy giá trị nhỏ A = ( ) ab  x = x ⇔ x = ab  x > a+ b ) chi x = ab Ví dụ 4: Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x+ y + z + xy + yz + zx Lời giải có vấn đề: Với x, y , z ta có: (x-y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy (1) (y-z)2 ≥  y2 + z2 ≥ 2yz (2) (z- x)2 ≥  z2 + x2 ≥ 2zx (3) Từ (1), (2), (3) ta có 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + zx)  27 ≥ xy + yz + zx (4) Mặt khác (x-1)2 ≥ 0; (y-1)2 ≥ 0; (z-1)2 ≥ Suy x2 + ≥ 2x ; y2 + ≥ 2y; z2 + ≥ 2z => x2 + y2 + z2 + ≥ 2(x+y+ z) => 15 ≥ x+ y + z (5) Từ (4) (5) cộng vế với vế ta được: P ≤ 42 Vậy giá trị lớn P = 42 Phân tích sai lầm Bài giải quên bước vô quan trọng toán cực trị, xác định điều kiện xảy đẳng thức x = y = z =  2 Ta thấy P = 42 xảy  x + y + z = 27 x = y = z =  Hệ vô nghiệm P = 42 xảy Lời giải 2 2 Ta xét hiệu 3(x + y + z ) – (x+y+z) = 2(x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx) = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 ≥ (1) Từ (1) suy (x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 3.27 => x+y+z ≤ (2) (đẳng thức xảy  x = y = z =3) Cũng từ (1) ta suy ra: 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x2 + y2 + z2) => xy + yz + zx ≤ 27 (3) Từ (2) (3) ta có: P = x+ y + z + xy + yz + zx ≤ 36 Dấu “=” xảy  x= y = z = Vậy P đạt giá trị lớn 36  x = y =z =3 Ví dụ 5: Với x, y, z số thực dương Tìm GTNN của: x y z P = (1 + y ) (1 + ) (1 + ) 5z 5x Lời giải có vấn đề: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x x (1 + y )2 ≥ y (1) y y ) ≥ 5z 5z z z (1 + ) ≥ 5x 5x (1 + (2) (3) 64 125 Nhân vế (1), (2), (3) ta có: P2 ≥ 25 Do giá trị nhỏ P Phân tích sai lầm Sai lầm chỗ không tồn x, y, z để P = Thật giá trị tồn x, y, z > để P = 25 25 x Thì phải có: y = ⇒ x = 5y y = ⇒ y = 5z 5z z = ⇒ z = 5x 5x ⇒ Ta có: ⇒ = 125 (vô lý) Lời giải x y z = 125xyz x 1 1 y z (2) x + 5y = + + + + + 5y ≥ 5 5 5 Tương tự: 1+ y ≥ 5z 1+ x y z ≥ 5x (1) z (3) x 216 125 x y z Dấu “=” xảy ra: ⇔ = = = hay x = y = z 5y 5z 5x 216 Vậy giá trị nhỏ P = x = y = z 125 Ví dụ 6: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x ≥ 3y Nhân vế (1), (2), (3) ta có: P ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 4x2 + y (Đề thi Học kì II – tỉnh Thanh xy Hóa) Lời giải có vấn đề: Với x, y >0, Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương 4x2; 9y2 ta có: 4x2+ 9y2 ≥ 2.6xy = 12xy  M≥ 12xy = 12 Dấu “=” xảy ⇔ 2x = 3y xy Vậy giá trị nhỏ M 12 2x = 3y hay x = y Phân tích sai lầm Sai lầm lời giải xác định dấu “=” xảy ⇔ x = kiện toán x ≥ 3y y điều Lời giải x Ta có: Vì x ≥ y nên y ≥ Áp dụng BĐT Cô – Si ta có : A = 4x + 9y 4x 9y 3x  x 9y  = + = +  + ÷ ≥ + = 15 xy y x y y x  Dấu “=” xảy  x = 3y Kết luận: GTNN A 15 x = 3y Ví dụ 7: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 10 Tìm giá trị nhỏ 30 biểu thức sau : P = 2x + y + x + y ( Đề thi HSG TP Thái Bình năm học 2016 – 2017) Lời giải có vấn đề: Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương ta có: 5 30 30 ≥ 2 x = 15 ; y + ≥ y = y y x x 30  P = 2x + y + + ≥ 15 + Dấu “=” xảy  x = 15; y = x y 2x + Vậy giá trị nhỏ P 15 + x = 15; y = Phân tích sai lầm Trong lời giải ta thấy dấu “=” xảy  x = 15; y = hay x+ y = 15 + < 10 điều kiện toán x + y ≥ 10 Vì lời giải chưa thỏa mãn điều kiện toán Lời giải 30 y 30 30 y Ta có: P = 2x + y + x + y = x + x + y + + x + y = (x + y)+ ( x + x ) + ( + y ) Vì x, y > nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương 30 y x , y ta có : x y y + ≥2 =2 y y Từ (1), (2) từ giả thiết x + y ≥ 10 => P ≥ + 12 + = 22 30 30 x+ ≥2 x =12 x x (1) (2)  x,y > 6  x = 30 x = x 5 Dấu "=" xảy   y  y =  = 5 y   x + y =10 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 22  x = y = Như dạng sai lầm giáo viên cần lưu ý cho HS tìm GTLN, GTNN cần phải suy nghĩ tìm điều kiện biến để dấu đẳng thức xảy ra, từ để có hướng giải Dạng sai lầm 2: Sai lầm không sử dụng sử dụng không hết điều kiện toán: Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 2 1  1  A =  x+ ÷ +  y + ÷ y  x  Lời giải có vấn đề: 1 Ta có: x+ ≥ x = (1) x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ ≥ y = (2) y y Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x, 2 1  1  Từ (1) (2) => A =  x+ ÷ +  y + ÷ ≥ y  x  Vậy giá trị nhỏ A = x = y= Phân tích sai lầm: Lời giải sai lầm chỗ chưa sử dụng đến điều kiện toán x+ y =1 Dẫn đến hướng giải sai lầm = x ⇔ x2 = x Đẳng thức sảy (2) y = y ⇔ y = Từ suy x = y = ( Loại x Đẳng thức sảy (1) + y = 1) giải theo cách Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ 2 2 1 1 Biến đổi biểu thức A, ta có : A = + x +y +  ÷ +  ÷ x y 1 Mặt khác: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ - = (1) 2 1 + ≥2 2 = ≥ (2) x y x y xy 2 2 25 1 1 Từ (1) (2) ta có: A = + x +y +  ÷ +  ÷ ≥ + +4 = 2 x y 25 Vậy giá trị nhỏ A = x= y (với x+ y =1) hay x=y = 2 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: S = 3x + với x ≥ x 2 Lời giải có vấn đề: Vì x ≥ nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: 3x x x hay S ≥ Dấu xẩy x 3 3x = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ S x = x 3 Ta có: S = 3x + ≥ 3x Phân tích sai lầm Khi kết luận giá trị nhỏ S đạt x = không đối chiếu “điểm rơi” x = chưa 3 với điều kiện toán cho x ≥ Nhận thấy 3 < nên kết luận chưa Lời giải đúng: 12 11 Ta có: S = 3x + = 3x + − x x x Vì x ≥ nên áp dụng BĐT Cauchy cho số 3x 12 ta có: x 12 12 12 12 ≥ x hay 3x + ≥ 12 (1) Dấu “=” xẩy 3x = ⇔ x = x x x x 11 11 11 11 Vì x ≥ ⇒ ≤ ⇒ − ≥ − (2) Dấu “=” xẩy x = x x 12 11 11 13 Từ (1) (2) ta có: S= 3x + − ≥ 12 − hay S ≥ Dấu “=” xẩy x = x x 2 13 Vậy giá trị nhỏ S đạt x = 2 3x + Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức: A = x2 - 5x + với x > Lời giải sai: Ta có: A = x - 5x + 25 25 )+94 11 11 = (x - )2 + > 4 11 Vậy GTNN A x = = (x2 - 5x + Phân tích sai lầm: Ta thấy x = không thoả mãn điều kiện x > Lời giải đúng: A = x - 5x + = (x - 5x + 6) + = (x - 2) (x - 3) + Vì x≥ nên x - > x-3≥ ⇒ (x - 2) (x - 3) ≥ Vậy A ≥ Dấu “=” xảy (x - 2) (x - 3) = với x ≥ hay x = Do GTNN A x = Ví dụ 4: Tìm GTNN biểu thức : 2 1 M = (x2 + y ) (y2 + ) x, y số dương thay đổi thoả mãn x + y = x Lời giải vấn đề: Ta có: (x - y )2 ≥ (y - ) ≥ x ⇒ ⇒ y2 + x2 + y ≥ ≥ x2 x y (1) y (2) x Mặt khác, x > ; y > nên suy ra: 1 x y M = (x2 + y ) (y2 + ) ≥ y = x x Vậy GTNN M = x y = Phân tích sai lầm Lời giải tưởng trừng để ý ta thấy với x + y =1 (1) (2) không đồng thời xảy Dẫn đến kết cuối GTNN M = x + y =  x y = x y = 1, kết hợp với điều kiện x + y = đề Ta có hệ:  ⇒ Hệ vô nghiệm Tức M 4, lời giải sai Lời giải 10 M 1 = (x2 + y ) (y2 + ) = x x2 y2 +1 x2 y2 +1 y2 x2 x2 y2 +1 ) = (xy + xy )2 xy 1 15 Mặt khác ta có:xy + xy = (xy + 16 xy ) + 16 xy (1) 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: xy + 16 xy ≥ xy = (2) 16 xy x+ y Mặt khác: xy ≤ ( ) = ⇒ ≥ (3) xy 1 15 15 17 Từ (1), (2), (3) suy ra: xy + xy = (xy + 16 xy ) + 16 xy ≥ + 4= 16 1 17 289 ⇒ M = (xy + )2 ≥ ( )2 = Dấu “=” xảy  xy = (với x + xy 16 xy 16 y = 1) ⇔ x = y = 289 Vậy GTNN M ⇔ x=y= 16 =( V í dụ 5: Tìm GTNN biểu thức  x2 y2   x y  A =  +  − 8 +  x   y x y Lời giải có vấn đề x y x y Đặt m = y + x + = m − y x  x y x y = nên m2 ≥ suy m ≥ m =  +  ≥ yx  y x 2 4 −3  Khi A = 3(m -2)- 8m = 3m – 8m – = 3 m −  − ≥ 3 4  −3 Vậy giá trị nhỏ A = m = 2 Phân tích sai lầm Ta thấy điều kiện m m ≥ Nhưng biến đổi biểu thức A để A đạt giá 4 −3 mà < điều chứng tỏ A = m không thỏa 3 −3 mãn Đk toán hay không tồn giá trị x, y để A = trị nhỏ m = Lời giải đúng: x y x y Đặt m = y + x + = m − y x 11  x y x y = nên m2 ≥ suy m ≥ Ta có m =  +  ≥ y x  y x Khi A = 3(m2-2)- 8m = 3m2 – 8m – = (m2-4) + 2(m-2)2-10 Do m2 ≥ , (m-2)2 ≥ nên A ≥ −10 Dấu “=” xảy  m = x = y =2 Vậy giá trị nhỏ A = - 10 với m = x = y Như dạng sai lầm này, để khắc phục trước hết học sinh phải đọc kĩ đề bài, xem xét kĩ điều kiện toán, nội dung biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để có hướng giải tránh sai lầm Dạng sai lầm 3: Trong làm có sử dụng nhiều bất đẳng thức tìm điều kiện để biểu thức đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) dấu không đồng thời xảy kết luận biểu thức đạt không đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) Ví dụ 1: Cho x,y hai số dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức M = 32 y + 2007 x Lời giải có vấn đề x y x y Từ x, y > 0, Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương y ; x , ta có: y + x ≥ (1) y  1 ⇒ ≥4 Từ x, y > x + y ≤ ta có ≥  x +  ≥ x (2) x y y  x y  x y y Từ (1), (2), ta có M= 32 y + 2007 x = 32  +  + 1975 ≥ 32.2 + 1975.4 = 7964 x  y x Dấu “=” xảy  x = y Vậy giá trị nhỏ M 7964 x = y Phân tích sai lầm Ta thấy x = y M = 2039, lời giải mắc phải sai lầm Nguyên nhân sai lầm lời giải giải sử dụng nhiều bất đẳng thức dấu ‘=” không đồng thời xảy Thật vậy: x y Trong bất đẳng thức (1): Từ x, y > 0, ta có: y + x ≥ dấu “=” xảy x=y y ≥ Dấu “=” xảy y = 4x x 1 ≤ x = y> x + ≥ Mặt khác x = y mâu thuẫn với x + y y Trong bất đẳng thức (2): Lời giải  1 Từ điều kiện toán ta có: x, y > x + y ≤ => ≥  x +  ≥ x y y  ⇒ y ≥4 x 12 Áp dụng BĐT cosi cho số dương ta có: x x y y y x y M = 32 y + 2007 x =( 32 y + ) + 2005 ≥ 32 + 2005.4 = 8036 x x y x Dấu ‘=” xảy x = ; y = 2 Vậy giá trị nhỏ M 8936 x = ; y = Ví dụ 2: Cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A = x + y Lời giải có vấn đề 4 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1) x+ y = ≥ xy (2 ) 2 4 A= + ≥ ≥ =8 Từ (1) (2) suy : Vậy Min A = x y xy Lại có: Phân tích sai lầm: Bất đẳng thức (1): Dấu “=” xảy x = y ⇔ x = y Bất đẳng thức (2): Dấu “=” xảy x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL giá trị nhỏ KL sai Lời giải đúng: 1 4 4x y Vì x + y = nên A = ( x+y )  + ÷ = + + y x x y 4x y Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có : 4x y 4x y + ≥2 =4 y x y x 1 4 4x y => A = ( x+y )  + ÷ = + + ≥ 5+4 =9 y x x y   4x y x=  =  y = 2x   ⇔ Dấu “=” xẩy  y x ⇔  x + y = x + y =  y =   Vậy giá trị nhỏ A x = ; y = 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 Lời giải có vấn đề 2 Ta có : D = -5x – 2xy – 2y + 14x + 10y -1 13 = -(x2 +2xy +y2) – (4x2 – 14x) – (y2 – 10y) -1 7 145  = -(x+y)2 –  x −  − ( y − 5) +  2 145 7  Vì -(x+y)2 ≤ 0; –  x −  ≤ 0;−( y − 5) ≤ nên D ≤ Dấu “=” xảy 2  x + y = x = − y   7   2 x − = ⇔  x =    y − =  y = Ta thấy hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn Phân tích sai lầm 7 145  Do cách biến đổi để D = -(x+y) –  x −  − ( y − 5) + chưa phù hợp nên 2  dấu không đồng thời xảy dẫn đến kết luận giá trị lớn D không tồn không xác Để học sinh tránh sai lầm dạng ta làm sau: Lời giải 2 Cách 1: ta có D = -5x – 2xy – 2y + 14x + 10y -1 = -(x2 + y2 + -6x – 6y + 2xy) – (4x2 – 8x +4) – (y2 – 4y +4) +16 = -(x+y-3)2 – 4(x-1)2 – (y-2)2 + 16 Vì -(x+y-3)2 ≤ ; – 4(x-1)2 ≤ ; – (y-2)2 ≤ nên D ≤ 16 x + y − = x =  ⇔ Dấu “=” xảy  x − = y = y − =  Vậy giá trị lớn D 16 x = y =2 Tuy nhiên cách giải chưa mang tính tổng quát, sau cách giải tổng quát Cách 2: Ta xét biểu thức tổng quát dạng P(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey +h Cách giải sau; Biến đổi P(x,y) hai dạng sau: Dạng 1: P(x,y) = m.F2(x,y) + n.H2(x) +g (1) 2 Dạng 2: P(x,y) = m.F (x,y) + n.K (y) +g (2) Trong H(x), K(y) biểu thức bậc biến chúng, F(x,y) biểu thức bậc hai biến x y + Nếu m> 0, n >0 ta có Max P(x,y) = g  F ( x, y ) =  H ( x) = Giá trị đạt   F ( x, y ) =  K ( y) = + Nếu m0 Do đó: 3 ≤ (theo qui tắc (2 x − 1) + 4 so sánh hai phân số có tử, tử mẫu dương) Dấu “=” xảy 2x – = hay x = Vậy giá trị lớn P x= Như dạng học sinh cần nắm vững tính chất BĐT, định nghĩa GTLN, GTNN, qui tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải toán Dạng sai lầm 5: Vận dụng sai tính chất bất đẳng thức Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =(x2-1)(x2+1) Ta có x2 ≥ với x, suy x2-1 ≥ -1và x2+1 ≥ => P=(x2-1)(x2+1) ≥ (-1).1=-1 => P ≥ -1  x − = −1 ⇔ x=0 Dấu “=” xảy   x + = Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x =0 Phân tích sai lầm Lời giải sai lầm chỗ vận dụng sai tính chất bất đẳng thức nhân hai bất đẳng thức chiều mà điều kiện hai vế không âm 17 Ta thấy x2 – nhậ giá trị âm, áp dụng tính chất để giải Lời giải Ta có: P =(x -1)(x +1) = x -1 ≥ -1 (vì x4 ≥ 0) => P ≥ -1 Dấu “=” xảy x = Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x =0 2 Giáo viên lưu ý cho học sinh cần nắm vững tính chất bất đẳng thức số điều kiện vận dụng tính chất BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 b Q =(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Bài 3: a)Tìm GTNN A = x2 a B = x −1 x + c E = 1− x x x2 + x + x với x >  1 b D = (1 + x) 1 + ÷ với x > với x >  x d F = + x −1 với < x < Bài 4: Tìm giá trị lớn của: a A= x + x +1 Bài 5: Cho x > , y > thỏa mãn x + x2 b P= x + x +1 c M = với x > 2x + x2 + ≤ y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 6: Tìm GTLN GTNN của: A = x P= x y + y x x2 − x + x2 + x + Bài 7: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Bài 8: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Tôi sử dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp khắc phục số sai lầm giải toán cực trị đại số” trường THCS nơi công tác, tiến hành khảo sát kết sau: Sĩ số 35 Giỏi Số Tỉ lệ lượng (%) 20,0 Kết khảo sát Khá TB Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng (%) lượng (%) 25,7 11 31,4 Yếu, Số Tỉ lệ lượng (%) 22,9 TB trở lên Số lượng 27 Tỉ lệ (%) 77,1 Sau vận dụng sáng kiến thấy rằng: Học sinh có hứng thú học toán khả tư tốt kết đạt cao KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua trình trực tiếp giảng dạy môn toán nhận thấy gặp sai lầm giải toán điều khó tránh khỏi Học sinh mắc sai lầm toán đơn giản toán khó phức tạp Đối với dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ lại dễ mắc sai lầm Tìm sai lầm sửa sai lầm không dễ chút Nhưng em HS có ý thức học tập, nắm kiến thức giải Toán chắn tránh sai lầm tự tin việc giải toán dạng “Một số sai lầm dễ mắc phải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”đã nhiều người nhắc đến Trên điều mà nghiên cứu, đúc kết trình giảng dạy mà thân vận dụng dạy học sinh đem lại kết tốt Tuy nhiên nhiều thiếu sót, nhiều vấn đề cần phải bàn thêm Kính xin đồng nghiệp, thầy cô giáo trước tiếp tục trao đổi bổ sung, sửa đổi để nội dung đề tài thêm hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA TRƯỞNG PHÒNG GIÁO DỤC Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Mai Thành Giáp 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - NGUYỄN THỊ THANH THỦY 2) TOÁN NÂNG CAO VÀ CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ – VŨ DƯƠNG THỤY 3) TOÁN NÂNG CAO VÀ CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ – VŨ DƯƠNG THỤY 4) NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN – VŨ HỮU BÌNH 5) NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN – VŨ HỮU BÌNH 6) BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG – NGUYỄN TẤT THU 20 ... sinh lớp khắc phục số sai lầm giải toán cực trị đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích việc nghiên cứu đề tài nhằm phát toán, dạng toán cực trị Đại số mà học sinh hay mắc phải giải dạng toán này,... tài Hướng dẫn học sinh lớp khắc phục số sai lầm giải toán cực trị đại số trường THCS nơi công tác, tiến hành khảo sát kết sau: Sĩ số 35 Giỏi Số Tỉ lệ lượng (%) 20,0 Kết khảo sát Khá TB Số Tỉ... môn toán nhận thấy gặp sai lầm giải toán điều khó tránh khỏi Học sinh mắc sai lầm toán đơn giản toán khó phức tạp Đối với dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ lại dễ mắc sai lầm Tìm sai lầm