SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn thực hiện việc sưu tầm, tuyển chọn một số dạng bài bài tập về phương trình vô tỉ và phương pháp giải áp dụng cho từ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Môn toán ở cấp THCS là môn học cung cấp kiến thức nền để các em học tập tốt các bộ môn khác, cũng như làm nền tảng để các em học tốt ở cấp THPT Trong những năm qua nhìn chung chất lượng môn toán của học sinh trường THCS Thiệu Thành được nâng lên qua các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào THPT

Trong chương trình Đại số 9 thì phương trình vô tỉ là dạng toán tương đối khó đối với học sinh

Dạng toán giải phương trình vô tỉ có nhiều cách giải, vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt Có những lời giải xem ra “thiếu

tự nhiên” nhưng thật ra rất độc đáo Với phương trình vô tỉ, các em chỉ được làm quen ở lớp 9 dưới dạng đơn giản Toán giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9, được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó trong việc sưu tầm, tuyển chọn

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn thực hiện việc sưu tầm, tuyển chọn một số dạng bài bài tập về phương trình vô tỉ và phương pháp giải áp dụng cho từng dạng để viết thành đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” giúp cho việc dạy và học đạt kết quả cao

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận.

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về giải phương trình vô tỉ của chương trình đại số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do bộ GD&ĐT ấn hành còn đơn giản, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về phương trình vô tỷ rất đa dạng, phong phú và là một thể loại toán khó của đại số THCS Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm và lựa chọn các dạng bài phù hợp có thể đề cập và khai thác trong các kỳ thi Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa thống nhất

Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khoá” để giải từng dạng cụ thể của phương trình Song không phải dạng phương trình nào cũng có một quy tắc nhất định

Qua quá trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp và tham khảo học hỏi ở thầy cô Tôi mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ và cách giải từng dạng, đồng thời đưa ra một số phương pháp giải phương trình vô tỉ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỉ dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình giải phương trình vô tỉ cho học sinh

II Thực trạng của vấn đề.

1 Về phía giáo viên:

Với kinh nghiệm của bản thân, qua một số năm dạy lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như trực tiếp ôn thi vào THPH, đối với dạng toán giải phương trình vô tỉ ngoài những kiến thức cơ bản mà sách giáo khoa và sách bài tập đã đề cập đến, để xây dựng một phương pháp chung cho giải phương trình nói chung

và phương trình vô tỉ nói riêng là điều không thể Song chúng ta có thể đưa ra một số dạng và phương pháp dựa trên những kiến thức mà các em đã được học, qua đó có thể giúp các em hình thành con đường và cách thức cho việc giải dạng toán này

2 Về phía học sinh:

Thực tế dạy trên lớp cho thấy, học sinh còn lúng túng trong việc nhận dạng và đưa ra cách giải phù hợp cho phương trình vô tỉ trong sách giáo khoa và sách bài tập

Trong quá trình ôn tập, sau khi các em đã được học và nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mà giáo viên dạy thì đa số các em đã nhận được dạng và đưa ra phương pháp giải phù hợp Đối với học sinh đội tuyển toán

dự thi cấp huyện các em đã áp dụng một số phương pháp để giải phương trình

vô tỉ mà đề bài đưa ra

Trong năm học 2012 – 2013 qua quá trình ôn tập một số phương pháp giải phương trình vô tỉ kết hợp với tham khảo nghiên cứu tài liệu của học sinh, qua kết quả khảo sát đánh giá của giáo viên cho thấy các em đã vận dụng được vào giải một số phương trình chứa căn thức bậc hai ở các dạng cơ bản theo sự phân dạng của giáo viên

Kết quả khảo sát với lớp 9B trong năm học 2012 – 2013 như sau:

Sau thời gian vận dụng một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong năm 2012 – 2013, sang năm học này tôi đã và đang tiếp tục vận dụng đề tài

“Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi cấp huyện bằng việc thực hiện một số giải pháp và biện pháp sau

III- Giải pháp và tổ chức thực hiện :

1 Giải pháp thực hiện :

Trong thời lượng của đề tài khi tiến hành “Hướng dẫn học sinh lớp 9 một

số phương pháp giải phương trình vô tỉ” tôi đã tiến hành các nội dung cơ bản:

- Dựa trên cở sở của phép toán khai phương để hướng dẫn học sinh phương pháp nâng lên lũy thừa cùng bậc đối với một số dạng phương trình chứa căn thức bậc hai cơ bản Trong các ví dụ đưa ra khi giải phương trình hệ quả tôi chỉ mới dừng lại ở giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

- Giới thiệu một số phương pháp để học sinh có thể vận dụng trong quá trình giải phương trình vô tỉ ở cấp THCS và là kiến thức nền cơ bản để các em học tốt

ở cấp THPT

- Hướng dẫn cho các em một số ví dụ và bài tập vận dụng từng phương pháp và

có thể vận dụng một số phương pháp trong một bài tập, từ đó thấy được phương pháp thích hợp trong bài tập sau này

- Đưa ra một số sai lầm học sinh có thể mắc phải trong quá trình giải phương trình chứa căn thức bậc hai

2 Tổ chức thực hiện:

2.1 Phương trình vô tỷ:

2.1.1.Định nghĩa:

Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa ẩn số trong căn thức.

2.1.2 Các bước giải phương trình

+ Tìm tập xác định của phương trình

+ Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học

+ Giải phương trình vừa tìm được

+ Đối chiếu kết quả tìm được với tập xác định và kết luận nghiệm

Chú ý: Với những phương trình có TXĐ là x  R (trong quá trình biến đổi không đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại

2.1.3 Các kiến thức cơ bản về căn thức:

+ Số âm không có căn bậc chẵn

+ Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương trình tương đương, phải đặt điều kiện để hai vế không âm

+ Với hai số a, b không âm, ta có: a  b ab

+ Với A là một biểu thức, ta có: A 2 A

2.2 Phương pháp nâng lên lũy thừa giải một số dạng phương trình vô tỉ chứa căn thức bậc hai.

2.2.1 Dạng 1: f(x) g(x) (1)

Cách giải: - Tìm ĐKXĐ của PT: g(x)  0 (2)

- Bình phương hai vế PT (1) ta được: f(x) g(x)2 (3)

- Giải PT (3), chọn nghiệm thỏa mản ĐK (2) Suy ra nghiệm của PT (1)

Chú ý: Trong quá trình giải lưu ý học sinh không cần lấy điều kiện để f(x)  0.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 1  3

HD: Ta có 2x 1  3  2x 1  9  x 5

Vậy PT có một nghiệm duy nhất x = 5

Ví dụ 2: Giải PT: 2x 1  8  x (1)

HD: ĐKXĐ: x  8

Bình phương hai vế rồi rút gọn PT (1), được PT: x2  18x 65  0(2)

Giải PT (2) được x = 5 (nhận) , x = 13 (loại)

Vậy PT (1) có một nghiệm duy nhất x = 5

2.2.2 Dạng 2: f(x)  g(x) (1)

Cách giải: - Tìm ĐKXĐ của PT: f (x)  0 và g(x)  0 (2)

- Bình phương hai vế PT (1) ta được: f(x) g(x) (3)

- Giải PT (3), chọn nghiệm thỏa mản ĐK (2) Suy ra nghiệm của PT (1)

Ví dụ: Giải phương trình 2x 3  4x 7 (1)

HD: ĐKXĐ: x

4

7



Bình phương hai vế PT(1), rút gọn ta được: x = 5 (nhận)

Vậy PT (1) có một nghiệm duy nhất x = 5

2.2.3 Dạng 3: f(x)  g(x) h(x) (1)

Cách giải:

+ Nếu h (x)< 0 thì PT(1) vô nghiêm

+ Nếu h (x)= 0, ta có: f(x)  g(x)  0 







0 ) (

0 ) (

x g x f

(I) Nếu hệ (I) có nghiêm thì PT(1) có nghiệm

+ Nếu h (x)> 0 Tìm ĐKXĐ của PT: f(x)  0 và g(x)  0 (2)

Bình phương hai vế PT(1), biến đổi được PT:

2

) ( ) ( ) ( )

(

).

(

2 f x g x x

h x

g

x

Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 1

Chú ý: Tượng tự, giải phương trình dang f(x)  g(x) h(x)

thêm ĐK: f(x) h(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 2 9





x = 0 (1)

HD: ĐKXĐ: x  3

Với x  3 thì 3 0 , 2 9 0

















0 9 0 3

2

x x

 x  3

(nhận)

Vậy PT(1) có một nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2: Giải phương trình x 1  2x 1  5 (2)

HD: ĐKXĐ: x  1 Bình phương hai vế PT(1), rút gọn được PT:

  2 2

3 27 1 3

2

2 x  x   x  x2  150x 725  0 (với x 9) (3)

Giải PT(3), được x = 5 (nhận) , x = 145 (loại)

Vậy PT(2) có một nghiệm duy nhất: x = 5

2.2.4 Dạng 4: f(x)  g(x)  h(x)

Cách giải như dạng 3 thêm điều kiện h(x)  0

Chú ý: Giải tương tự với dạng f(x)  g(x)  h(x)

Ví dụ: Giải phương trình: x  4 1  x  1 2  x (1)

HD: ĐKXĐ  4 x21

Ta có: (1)  x 4  1 2  x 1  x  2 1 2 2 3 1

















0 7 0 1 2

x x

0



 x (nhận) hoặc x  7 (loại) Vậy PT(1) có một nghiệm x = 0

2.2.5 Dạng 5: f(x)  g(x)  f(x).g(x) c (1)

Cách giải: Tìm ĐKXĐ của PT: f(x)  0 và g(x)  0

Đặt ẩn phụ: y f(x)  g(x) (với y 0) (2)

2

) ( ) ( )

(

).

(

c x

g

x

Thay vào (1) được phương trình bậc hai ẩn y Giải PT bậc hai ẩn y, chọn nghiệm

y thích hợp, thay vào (2) được phương trình dạng 2

Giải phương trình thu được Suy ra nghiêm của PT(1)

Ví dụ: Giải phương trình x  4  3x  1  2 3x2  13x  4  51  4x (1)

HD: ĐKXĐ: 31x514

Đặt y  x  4  3x  1 (với y 0)

 y 2 4x 5 2 3x 2 13x 4









  2 3x 2 13x 4 y 2 4x 5









 Thay vào PT(1) thu gọn, được PT: y2 y 56  0

Suy ra 3x2  13x  4  22  2x (2)

Giải PT (2) với ĐK: x 11 được x = 5 (nhận), x = 96 (loại)

Vậy PT(1) có một nghiệm duy nhất x = 5

2.2.6 Dạng 6: f(x)  g(x)  h(x)  p(x) (1)

Cách giải: Tìm ĐKXĐ của PT:























0 ) (

0 ) (

0 ) (

0 ) (

x p

x h

x g

x f

(2)

Bình phương 2 vế phương trình (1) đưa về dạng: F(x)  G(x) H(x)

Tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để có cách giải phương trình vô tỷ phù hợp

Chú ý: Nếu f(x) – g(x) = a và h(x) – p(x) = b với a,b  R thì ta nhân và chia mỗi vế của PT(1) với biểu thức liên hợp của chúng

Ví dụ: Giải phương trình 2x 1  2x 16  2x 4  2x 9 (1)

HD: ĐKXĐ: x21

Bình phương hai vê PT(1), thu gọn được PT:

36 26 4

2 16

34











Bình phương hai vê PT(2), thu gọn được PT:

4 2 16 34

4 2

























16 16 4 16 34 4 2

2

x x

 x  0 (nhận) Vậy PT(1) có một nghiệm x = 0

Trên đây là các dạng cơ bản nhất của phương trình chứa căn thức bậc hai Trong quá trình giảng dạy, theo từng đối tượng học sinh giáo viên cần cho học khai thác để vận dụng thành thạo cách giải của từng dạng

Song trên thực tế, chúng ta thường gặp những phương trình vô tỉ không chỉ vận dụng đơn thuần một phương pháp, có những phương trình nếu không xác định đúng thì trong quá trình giải sẽ gặp không ít khó khăn

Để hướng dẫn học sinh trong quá trình giải phương trình vô tỉ, ngoài phương pháp mà các em đã biết, để nâng cao và khắc sâu hơn cho học sinh, trong quá trình giảng dạy tôi đã sưu tầm và giới thiệu cho các em một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

2.3 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Dựa vào hằng đẳng thức:



Trong một số phương trình chứa căn thức, chúng ta có thể biến đổi để đưa

về dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, mà trước đó các em đã biết cách giải của một số dạng phương trình dạng này như phương trình dạng:

c

x

f( )  ; f(x) g(x); f(x)  g(x)  0; f(x)  g(x) h(x); v.v…

Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2  4x 4 x 8    (1)

HD: (1)  (x 2)  2   8 x  |x – 2| = 8 – xx – 2|x – 2| = 8 – x = 8 – x

Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 (thoả mãn)

Vậy PT(1) có một nghiệm x = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 x1 x 2 x1 2 (1)

HD: ĐKXĐ:x 1

(1)  x 1 2  x 1 1   x 1 2  x 1 1 2    x 1 1   x 1 1   2 (2) Nếu x 2thì (2)  x 1 1   x 1 1 2    x 2 (Loại)

Nếu x 2 thì (2)  x 1 1 1    x 1 2   0x 0 (Luôn đúng với x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x R |x – 2| = 8 – x 1  x 2

2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ trong giải toán có ý nghĩa rất quan trọng, dựa vào đặc điểm của từng bài toán chúng ta có cách đặt ẩn phụ khác nhau Đối với phương trình vô tỉ cũng vậy, có những bài nếu sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa sẽ khó khăn trong tìm lời giải Nếu như chúng ta phân tích kỹ bài toán để đặt ẩn phụ thì việc giải nó sẽ đơn giản và đỡ khó khăn hơn

Với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh một số cách đăt ẩn phụ sau:

2.4.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 2 21 18 2 2 7 7 2











HD: ĐKXĐ 2 7 7 0





 x

Đặt x2  7x 7 y (với y  0) Suy ra x2  7x 7 y2(**)

Thay vào PT(1), thu gọn được PT: 3 2 2 5 0





 y

Giải PT(2) được: y 35 (loại), y = 1 (nhận)

Với y = 1 thay vào (**) được PT: x2 + 7x + 6 = 0  x = -1; x = -6

Các giá trị x = -1; x = -6 thỏa mản ĐK (*)

Vậy PT(1) có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - 6

Ví dụ 2: Giải phương trình 4 2 2014 2014





 x

2

1 2014 2

2



































0 ) 1 2014 )(

2014











x

 x2  x2  2014  1  0 (2) vìx2  x2  2014  0

Đặt x2  2014 t với t > 0, thì 2 2 2014



t

x Khi đó PT (2) trở thành:

0 2013

2





 t

t (3) Giải PT (3) được:

2

8053

1 



t (nhận) hoặc

2

8053

1 



t

(loại)

2 8053

2









 



x

2

8053

2013 





 x

Vậy PT(1) có hai nghiệm

2

8053

2013 





x

2.4.2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Xuất phát từ một số hệ "đại số" đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan

hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 629  x 4 77 x  8

HD: ĐKXĐ  77  x 629 Đặt

4 4

629

77

u v









706

;

8 4 4



























113

15 0

1695 128

2

t

t t

Vậy PT có hai nghiệm x1 = 4; x2 = 548

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

2x  1  x  3x 2  2x  2x  3 x  x 2 (1)

HD: Ta đặt :

2

2

2

2

3 2

2













, khi đó ta có : a b c d2 2 2 2 x 2

  



 



  



Vậy PT(1) có một nghiệm duy nhất: x = 2

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2

4x  5x  1 2 x  x  1 9x 3

2

2

1

a b







2 4 2 9 3





Từ đó ta có: a2 - 4b2 = a - 2b  (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0 a a1 22b b

 



3

Ta có : VT(*)  0 (1)

VP(*) =

2

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

3

x 

2.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Ví dụ 1: Giải phương trình:x2  3x  1 x 3 x2  1

HD: Đặt t  x2  1;t 1

Phương trình trở thành: t2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0

3

t x t







Nếu t = x 2

1

   (vô nghiệm)

Nếu t = 3 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 2

2.4.4 Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng tính chất của hai số nghịch đảo

Ví dụ 1: Giải phương trình: x x2  1  x x2  1 2  (1)

HD: Điều kiện: x 1 Nhận xét x x2  1. x x2  1 1 

Đặt t  x x2  1 (*) (t > 0) thì phương trình có dạng: t 1 2 t 1

t

Thay vào (*) tìm được x 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm x 1

Ví dụ 2: Giải phương trình 5  2 6x  5  2 6x  10 (1)

HD: ĐKXĐ: x  R Ta thấy: 5  2 6 5  2 6 1

Đặt 5  2 6x u (u 0 ) thì  

u

6 2



























6 2 5 6 2 5 0

1 10 10

u

u u

u u

u

+ Nếu u 5  2 6 thì 5  2 6x  5  2 6

5  2 6  5  2 62   2

+ Nếu u 5  2 6 thì 5  2 6x  5  2 6

5  2 6 5  2 61  5  2 6  5  2 62    2

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x   2

2.4.5 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai hai ẩn dạng:

2 2

0

u uvv 

Cách giải: Xét v 0 phương trình trở thành :

2

0

   

   

   

v 0 thử trực tiếp

Ví dụ 1: Giải phương trình :  2  3

2 x  2  5 x  1(1)

HD: ĐKXĐ: x  R

Dễ thấy: 3    2 

x   x x  x và ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1 )











x

2

phương trình (1) trở thành :  2 2

2

2







 



Tìm được: 5 37

2

x  Vậy PT (1) có hai nghiệm 5 37

2

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :2x2  5x 1 7  x3  1(*)

HD: ĐKXĐ x 1

Nhận xét : Ta viết x 1x2  x 1  7 x 1 x2  x 1

Đồng nhất vế trái với (*) ta được : 3x 1 2x x  1  7 x 1 x2  x 1

u x   v x   x , ta được:

9

4







 



Ta được :x  4 6

2.5 Phương pháp đánh giá.

2.5.1 Chứng tỏ rằng phương trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia.

Ví dụ: Giải phương trình 2 1 2 4 2







x

HD: ĐKXĐ x  R

3 4 1

2 4

; 1 1 0

2





















x x

x x

nª x

:

thÊy

Vế trái lớn hơn hoặc bằng 3 Mà vế phải bằng 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2.5.2 Phương pháp sử dụng tính đối nghịch ở hai vế.

+ Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: (1)

(2)

A m

B m











nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A B

+ Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :  

( )

 







 khi đó :

 

 

A B

 



  





+ Giải phương trình bằng phương pháp này tức là ta so sánh vế trái, vế phải rồi

từ đó nhận xét dấu “=” xảy ra khi nào?

Ví dụ 1: Giải phương trình x 8  x2  9y2  6y 5 (1)

HD: ĐKXĐ  2 2 x 2 2 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki cho hai cặp số (1;1) và ( ; 8 2 )

x

) 8 (

:

c



















dấu “=” xảy ra khi

















2 2 0

8 2

x

x x

 x 2 Suy ra vế trái Max = 4 khi x = 2 Mặt khác 9 2 6 5 3 12 4 4











y Suy ra vế phải Min = 4 khi y  31

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi vế trái bằng vế phải

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 2 và y  31

3x  6x 7   5x  10x 14 4 2x x     (1)

3(x 1)   4  5(x 1)   9 5 (x 1)   

Ta có: Vế trái ≥ 4  9 2 3 5    Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x

HD: ĐKXĐ :x 4 (1)

Ta có:1 1 1 1

Ta có: VP(*) = x 4 0   x 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất

2.5.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.