SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng

dạy toán lớp 9 hiệu quả

A PHẦN MỞ ĐẦU

I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:

1 Lý do chọn đề tài

Xu thế đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học tập của học sinh Học sinh là chủ thể, người quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng Do đó, quá trình giảng dạy giáo viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá

bở ngỡ

Dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học 9 ”

là một vấn đề phức tạp và khó đối với mọi đối tượng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về tư duy Toán học Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh lúng túng, không biết nên bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào Đây là những vấn

đề khó khăn mà các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh rất trăn trở

Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có được một cách nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phương pháp giải loại toán này trên nền tảng kiến thức cơ bản đã được trang bị trong chương trình toán THCS (Đường thẳng song song và Định lý Talet, tam giác đồng dạng, các hệ thức trong tam giác, tính chất đường phân giác trong tam giác) qua đó giúp các em nâng cao chất lượng học toán, phát triển các phẩm chất trí tuệ như: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán

Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng” nhằm nâng cao kỹ năng giải

toán hình học nói chung và giải toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học lớp 9” nói riêng Qua đó giúp các em cho học sinh có điều kiện học toán tốt hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn nhận, xây dựng một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học lớp 9” Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của trường THCS Tam Thanh

3 Thời gian nghiên cứu

Thực hiện trong năm học 2011 – 2012

4 Phạm vi nghiên cứu và giới hạn của đề tài

Các kiến thức liên quan đến môn Toán 8 và Toán 9

5 Đối tượng nghiên cứu

Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Lấy ý kiến đồng nghiệp

-Thông qua kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy

- Tham khảo tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học, SGK,SBT Toán 8 và Toán 9

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

1.1 Cơ sở kiến thức:

Kiến thức cơ bản phục vụ cho việc chứng minh loại toán này là:

1.1 Đường thẳng song song và định lý Talet

1.2.Tam giác đồng dạng

1.3 Hệ thức trong tam giác vuông

1.4 Tính chất đường phân giác trong tam giác

1.2 Cơ sở phương pháp

2.1 Trong Số học và Đại số (chương trình Toán THCS) việc chứng minh đẳng thức A = B hay a.b = c.d trong Số học và Đại số không khó nhờ có thể áp dụng một số phương pháp như sau:

Để chứng minh đẳng thức A = B ta có thể sử dụng một trong các cách:

+ Chứng tỏ hiệu A - B = 0

+ Biến đổi vế trái A có kết quả bằng vế phải B hoặc ngược lại

+ Biến đổi đồng thời cả hai vế A, B về có cùng một kết quả

Để chứng minh đẳng thức a.b = c.d ta có thể viết chúng dưới các dạng các tỉ

lệ thức tương đương như a = ;c a = ;d b= ;c b d=

2.2 Lý luận về phương pháp phân tích trong toán học

2.3 Trong hình học việc chứng minh đẳng thức mà hai vế của nó là tích độ dài các đoạn thẳng thì phương pháp chủ yếu của nó thường gắn chặt với kiến thức của hình học, chẳng hạn đó là kết quả của những đường thẳng song song định ra trên một cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, hoặc là kết quả của những cặp tam giác đồng dạng, hoặc là kết quả quan hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, hoặc là kết quả của tính chất các đường phân giác trong một tam giác

2 Cở sở thực tiễn.

Trường THCS Tam Thanh trong những năm gần đầy đã có sự quan tâm nhiều hơn của chính quyền địa phương và của lãnh đạo cấp trên Phụ huynh học sinh xã Tam Thanh đã dần dần nhận thức được tầm quan trọng của việc học, do đó đã có sự quan tâm đến việc học tập của con em Đó là điều kiện thuận lợi cho việc nâng cao chất lượng dạy và học

Bên cạnh những thuận lợi trên thì ở trường THCS Tam Thanh cũng còn nhiều khó khăn, cụ thể là: trường THCS Tam Thanh là trường vùng sâu vùng xa nên cơ

sở vật chất và thiết bị dạy học còn nghèo nàn, thiếu đồng bộ; chất lượng đại trà của học sinh còn thấp, khả năng tư duy của học sinh về các môn tự nhiên, đặc biệt là môn toán còn hạn chế Do đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến việc giảng dạy bộ môn Toán học ở trường THCS Tam Thanh

B PHẦN NỘI DUNG

I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Tam Thanh tôi nhận thấy đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học Toán” đặc biệt là phân môn Hình học

Khi đứng trước một bài toán hình học nói chung, dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong bài tập hình học lớp 9 ” nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì do đó dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em

Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra khảo sát đầu năm học 2011-2012 hai ở lớp 9A và 9B tôi thu được số liệu như sau:

Lớp

Tổng

số

HS

Mức độ yêu thích môn Hình học

Mức độ hiểu và hoàn thành bài toán

Hình học Không

Đặc biệt qua kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 hình học 9 năm học 2011-2012

ở hai lớp 9A và 9B có k t qu :ết quả: ả:

Bài

kiểm

tra

Lớp Tổng

số HS

Từ thực trạng trên đã đặt ra một yêu cầu mới trong tôi là cấn phải nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng Vậy cần phải dẫn dắt học sinh đi theo con đường nào để đạt kết quả cao trong học tập môn Toán? Trong bài viết tôi xin trình bày một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học lớp 9” để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học

II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Quá trình thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng” tôi đã thực hiện các giải pháp như sau:

Giải pháp 1: Dạy chắc kiến thức cơ bản

Giáo viên phải dạy chắc kiến thức cơ bản cho học sinh về:

-Đường thẳng song song và định lý Talet -Tam giác đồng dạng

-Hệ thức trong tam giác vuông -Tính chất đường phân giác trong tam giác

Giải pháp 2: Xây dựng thói quen sử dụng phương pháp phân tích đi lên trong

giải toán hình học.

Đây là việc làm rất bổ ích cho học sinh trong quá trình tiếp cận giải toán Các

bế tắc của học sinh được khai thông từ đây Qua việc phân tích của giáo viên các

em biết được điểm xuất phát của vấn đề, biết được nên bắt đầu từ đâu khi bắt tay chứng minh, biết liên tưởng lựa chọn kiến thức nào phục vụ cho bài toán, …

Song để làm tốt việc này đòi hỏi giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu, tích cực giải toán, tìm tòi nhiều cách giải để việc định hướng trong phân tích vừa dễ hiểu đối với học sinh vừa giúp các em thực hiện bài giải ngắn gọn, tối ưu

Giải pháp 3: Rèn luyện kỷ năng nhìn nhận, biến đổi đẳng thức tích thành tỉ lệ

thức và ngược lại.

3.1 Nhìn nhận

Chẳng hạn do tam giác ABC ∽ MNP nên có AB = AC AB MN; =

MN MP AC MP (nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng)

Vậy muốn có AB = AC

MN MP hoặc

AB MN=

AC MP thì phải có ABC ∽ MNP 3.2 Biến đổi tương đương

Chẳng hạn khi cần chứng minh a.b = c.d học sinh phải nhanh chóng thành thạo viết được các tỉ lệ thức a = ;c a = ;d b c= ; b d=

3.3 Kết hợp nhìn nhận và biển đổi để đi đến điều dự đoán cần chứng minh

Chẳng hạn để chứng minh AB.AC = AH.BC tức chứng minh AB AH

BCAC hoặcAH ACABBC Ta cần có các cặp tam giác đồng dạng

Việc dự đoán các cặp tam giác đồng dạng cần chứng minh từ các tỉ lệ thức trên theo hai cách như sau:

Dự đoán 1: Cặp tam giác có các đỉnh là các điểm của các tử số và mẫu số

của các tỉ số, đó là AB, AH và BC, AC do đó ta cần có hai tam giác là ABH và CBA

Dự đoán 2: Cặp tam giác có các đỉnh là các điểm có mặt trong cùng một tỉ số

của tỉ lệ thức, đó là AB; AH

BC AC nên ta cần có là hai tam giác là ABC và HAC

Lưu ý: - Nếu đẳng thức cần chứng minh dạng a.b = c.d thì ta có thể dự lập được 2

cặp tam giác hy vọng chứng minh nó đồng dạng với nhau

- Nếu đẳng thức cần chứng minh dạng a2 = c.d thì chỉ có thể dự lập được một cặp tam giác đồng dạng duy nhất

- Đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng thường liên quan đến 4 nhóm kiến thức nói trên Nên ở đây cho ta một “mẹo” liên tưởng nhanh đến kiến thức có liên quan là:

*Nếu trong bài toán có các đường thẳng song song thì gợi ta liên tưởng ngay đến Định lý Talet

*Nếu trong bài toán có các tam giác vuông, có các đường cao thì gợi ta liên tưởng ngay đến các hệ thức trong tam giác vuông

*Nếu trong bài toán có các đường phân giác thì gợi ta liên tưởng ngay đến tính chất các đường phân giác trong tam giác

*Nếu không có 4 ý trên thì kiến thức liên quan chắc chắn là tam giác đồng dạng

Giải pháp 4: Tập cách phân tích, nhìn nhận, lựa chọn kiến thức, tìm tòi lời giải

cho học sinh.

Đây là việc làm vừa khó, vừa công phu, vừa là đánh giá hiệu quả công việc của người thầy giáo Nó đòi hỏi giáo viên phải uyên thâm kiến thức, linh hoạt sáng tạo, kiên trì trong công việc mới đưa lại hiệu quả cần mong muốn

4.1 Quy trình giải pháp

Bước 1: Phân tích để lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích ban đầu

Bước 2: Dự lập các cặp tam giác đồng dạng (theo hai cách nói trên)

Bước 3: Chọn cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng

Bước 4: Lựa chọn kiến thức, chứng minh hai tam giác đồng dạng

4.2 Một số ví dụ minh hoạ

4.2.1 Các bài toán sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng

Ví dụ 1 (Bài 23 SGK Toán 9 tập 2 tr 76): Cho đường

tròn (O) và một điểm M không nằm trên đường tròn

Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt

(O) tại A và B Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và

D

Chứng minh: MA.MB = MC.MD

M

O

D

A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm lời giải

Bước 1: Phân tích để lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích ban đầu

MA.MB = MC.MD  MA MDMC MB Bước 2: Dự lập các cặp tam giác đồng dạng (theo hai cách nói trên)

- Cách 1: = MAD ∽ MCB

- Cách 2: =  MAC ∽ MDB

Bước 3: Chọn cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng (Dựa vào giả thiết bài toán kết hợp với trực giác trên hình vẽ để chọn cặp tam giác đồng dạng phù hợp)

Chẳng hạn MAD và MCB có nên chúng đồng dạng theo trường hợp (g.g)

Bước 4: Lựa chọn kiến thức, chứng minh hai tam giác đồng dạng

MAD và MCB có MAD ∽ MCB (g.g)

T ó suy ra i u c n ch ng minh.ừ đó suy ra điều cần chứng minh đó suy ra điều cần chứng minh đó suy ra điều cần chứng minh ều cần chứng minh ần chứng minh ứng minh

Ví dụ 2 (Bài 34 SGK Toán 9 tập 2 tr 80): Cho (O)

và một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) Qua M

kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB

Chứng minh MT2 = MA.MB

O

T

M

B A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm lời giải

MA MT

MT = MA.MB  MT.MT = MA.MB 

B2: Xét hai tam giácr MTB và r MAT

B3: Tam giác r MTB và r MATcó nên MTB ∽ MAT (g.g)

B4: r MTB và r MATcó nên MTB ∽ MAT (g.g)

4.2.2 Các bài toán sử dụng kiến thức về hệ thức trong tam giác vuông

Ví dụ 3 Cho (O) và một điểm S ở ngoài đường tròn.

Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SB với đường tròn (A,

B là hai tiếp điểm) Gọi I là giao điểm của AB và

OS

Chứng minh OI.OS = R2

O I S

B A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải

Cách 1:

B1: OI.OS = R2 OI.OS = OA2 OI OA

B2: Xét hai tam giác OIA và OAS

B3: OIA và OAS có nên OIA ∽ OAS (g.g)

B4: OIA và OAS có nên OIA ∽ OAS (g.g)

Cách 2: Sử dụng kiến thức về hệ thức trong trong tam giác vuông

Ta để ý SOA có = 900

, AI l à đường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh đó suy ra điều cần chứng minh.ường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh.ng cao nên d suy ra i u c n ch ng minh.ễ suy ra điều cần chứng minh đó suy ra điều cần chứng minh ều cần chứng minh ần chứng minh ứng minh

Ví dụ 4 (Bài 41 SGK Toán 9 tập 1 tr 128): Cho đường

tròn (O) có đường kính BC, dây cung AD vuông góc với

BC tại H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc

kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường

tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF

a Hãy xác định vị trí của các đường tròn: (I) và (O), (K)

và (O), (I) và (K)

b Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

d Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K)

e Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn nhất

D

O

F E

H

A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu (c)

Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC như sau:

Ngoài cách tìm tòi lời giải như nói trên (AE.AB AF.AC AE AC

1 2

AE AC









xÐt AEC vµ xÐt AEF vµ .)

Ở đây ta chú ý ABH và ACH đều là các tam giác vuông nên lựa chọn vận dụng kiến thức hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Sẽ có ngay: Với ABH ta có: AH2 AE.AB

Với ACH ta có: AH2AF.AC

 AE.AB AF.AC AH  2

4.2.3 Các b i toán s d ng ki n th c v à đường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh ử dụng kiến thức về đường thẳng song song và Định lý ụng kiến thức về đường thẳng song song và Định lý ết quả: ứng minh ều cần chứng minh đó suy ra điều cần chứng minh.ường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh.ng th ng song song v ẳng song song và Định lý à đường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh Định lýnh lý Talet

Ví dụ 5:Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ

tiếp tuyến Ax, By Từ điểm C bất kỳ trên nữa đường

tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn đó cắt Ax, By tại

E,F Chứng minh:

a EF = AE + BF

b Gọi M giao OE với AC, N giao của OF với BC Tứ

giác MCNO là hình gì? Chứng minh

c Gọi D giao điểm AF, BE Chứng minh CD//AE

d EF.CD = EC.FB.

N D

F

M E

O

C

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu d.

Chứng minh EF.CD = EC.FB

Do ở câu (c) ta đã chứng minh được CD// AE và đã có CD// BF

B1: EF.CD = EC.FB EC CD

EF FB

B2: EC CD

EF FB  CD//BF

B3,4: Cần chứng tỏ CD//BF để suy ra điều cần chứng minh

4.2.4 Các b i toán s d ng ki n th c v tính ch t à đường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh ử dụng kiến thức về đường thẳng song song và Định lý ụng kiến thức về đường thẳng song song và Định lý ết quả: ứng minh ều cần chứng minh ất đường phân giác trong tam đó suy ra điều cần chứng minh.ường cao nên dễ suy ra điều cần chứng minh.ng phân giác trong tam giác

Ví dụ 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ

dây cung CD  AB ở H Gọi M là điểm chính giữa của

cung CB, I là giao điểm của CB và OM K là giao điểm

của AM và CB Chứng minh :

a AB KC = AC.KB

b MA là tia phân giác của góc CMD

c Tứ giác OHCI nội tiếp

d Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng

là tiếp tuyến của đường tròn tại M

M

H

I K

O D

C

B A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu a.

Chứng minh AB KC = AC.KB

Ta có sơ đồ phân tích như sau: AB KC = AC.KB AB KB

AC KC

   AM phải là phân giác CAB  M phải là điểm chính giữa cung CB (gt)

Ví dụ 7 Cho (O), trên đường tròn lấy 3 điểm A, B, C

gọi M, N, P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB

(không chứa C), BC (không chứa A), AC (không chứa

B) gọi I là giao BP và AN, E giao AB với MN Chứng

minh:

a Tam giác BNI cân

b AE.BN = EB.AN

c EI//BC

D

E I O

//

\

\

P

N M

C

B

A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu b

Ta có sơ đồ phân tích: AE.BN = EB.AN BN EB=

AN AE

(hay NM là phân giác )  M phải là điểm chính giữa cung AB (gt)

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC, AM trung tuyến, gọi MD,

ME lần lượt là các phân giác của các góc AMB

và AMC

Chứng minh DA.EC = DB.EA Suy ra BC//DE

/

M

E D

C B

A

Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải

Ta có sơ đồ phân tích: DA.EC = DB.EA DA EA=

DB EC



Rõ ràng theo quy trình 4 bước trên thì không thể tìm được cặp tam giác nào thoả mãn

Trực giác hình vẽ và liên tưởng đến tính chất các đường phân giác trong tam giác cho ta kết quả không ngờ:





MB

MC

MB MC (gt)

DA DB EA

DA EA=

EC

DB EC























lµ ph©n gi¸c cña

lµ ph©n gi¸c cña

4.3 Một số bài toán thực hành áp dụng

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn đường

kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E,F

a Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao

b Chứng minh AE.AB = AF.AC