skkn HƯỚNG dẫn học SINH ỨNG DỤNG VECTƠ để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC, tìm cực TRỊ

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ Bộ mơn : Tốn Năm học 2017 - 2018 TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến: Trong chương trình THPT mơn Tốn, bất đẳng thức nội dung xuyên suốt Bất đẳng thức hữu sống hàng ngày người tiếp cận từ cịn nhỏ Từ việc so sánh nhiều hơn, trẻ học mầm non; so sánh lớn, nhỏ hai số học sinh tiểu học dần đến so sánh biểu thức, chứng minh số bất đẳng thức đơn giản học sinh THCS Đến bậc THPT học sinh tiếp cận bất đẳng thức cách hệ thống đầy đủ Tuy nhiên bất đẳng thức lại phần kiến thức khó học sinh Khó bất đẳng thức biến đổi nhiều dạng khác mà học sinh phải chứng minh cách Đối với học sinh trung bình chứng minh bất đẳng thức lại khó khăn, chí có em cịn chấp nhận bỏ qua nội dung kiểm tra, thi Cũng tính chất thiên biến vạn hố mà bất đẳng thức lại nội dung phong phú, gây nhiều hứng thú cho người dạy người học toán Đặc biệt học sinh nắm bắt phương pháp, cách làm lại say sưa, hào hứng với toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác nhau, sử dụng vectơ phương pháp Vectơ cơng cụ hình học mạnh, có tính khái qt cao, đặc biệt đưa tọa độ vào Vectơ dùng cho hình học phẳng hình khơng gian; dùng để chứng minh bất đẳng thức Hình học, Đại số bất đẳng thức Lượng giác Dùng vectơ chứng minh bất đẳng thức giúp học sinh thấy liên hệ Hình học Đại số, thấy thú vị mơn học, từ thêm u mơn học Vì vậy, tơi chọn đề tài : Hướng dẫn học sinh ứng dụng vectơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho việc giảng dạy chủ đề bất đẳng thức, cực trị chương trình Tốn Trung học phổ thơng sau học xong phép toán vectơ tọa độ vectơ chương trình Hình học 10 Hình học 11 Nội dung sáng kiến : Trong sáng kiến tơi tập trung giải nội dung sau đây: + Căn vào sở lý luận, mục tiêu dạy học để giới thiệu số toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất vectơ để giải + Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng rộng rãi cho tồn giáo viên, học sinh giảng dạy học tập chủ đề bất đẳng thức, vectơ chương trình Tốn trung học phổ thơng + Lợi ích thiết thực sáng kiến: Giáo viên có tài liệu tham khảo Học sinh trải nghiệm thơng qua việc tìm tịi, giải toán bất đẳng thức, thấy liên hệ Hình học Đại số; tương tự, phát triển vectơ hình học phẳng đến khơng gian, từ tạo hứng thú việc học tập môn Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến: Việc áp dụng sáng kiến làm học sinh hứng thú việc giải toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị; đồng thời kích thích tìm tịi, sáng tạo học sinh, qua kiến thức từ học khắc sâu hơn, rèn luyện tư cho học sinh tốt Đề xuất khuyến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến: Viết sáng kiến này, tác giả mong đồng nghiệp góp ý, bổ sung thêm nhiều toán thú vị để vận dụng phương pháp, giúp nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn trường THPT MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến: Yêu cầu đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Đảng, nghị Hội nghị Trung ương khóa XI có nêu: “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học, khắc phục nối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc ” Từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo định sử dụng hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn cho kỳ thi quốc gia Với hình thức thi mới, học sinh quan tâm nhiều đến việc dùng máy tính để giải tốn, nhiên với vai trị định hướng, dẫn dắt người thầy, tơi thấy cần phải cho học sinh hiểu bỏ qua tư toán học, chạy theo phương pháp sử dụng máy tính em khơng thể làm tốt đề thi ngày hạn chế số lượng câu hồn tồn cần bấm máy Nhìn xa hơn, em tiếp vào trường Đại học – Cao đẳng có chất lượng tốt học nghề; khơng có tư tốt em gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận kiến thức Để đáp ứng yêu cầu đổi thi cử, đồng thời giúp học sinh rèn tư duy, sáng tạo, linh hoạt, học toán, cần tăng cường toán liên hệ phần kiến thức khác để giúp học sinh vừa ghi nhớ kiến thức lâu, vừa thấy tính kế thừa mà thân em tự tìm ra, thấy đa dạng, thú vị mơn Tốn Trên sở đó, tơi mạnh dạn đưa chuyên đề nhỏ : Hướng dẫn học sinh ứng dụng vectơ để chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị Cơ sở lý luận vấn đề : 2.1.Tính chất 1: Với a bất kỳ, ta có: (a)2 = a  (1) Đẳng thức xảy a = 2.2 Tính chất 2: a + b  a + b (2) Với hai vectơ a,b bất kỳ, ta có: Đẳng thức xảy a , b hướng * Khi gán tọa độ: Trong mp Oxy, với a = ( x ; y1 ) ; b = ( x ; y2 ) , ta có: (2)  * Tổng quát: n n i =1 i =1 ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) 2  x12 + y12 + x22 + y22    Tính chất : Với hai vectơ a,b bất kỳ, ta có: a.b  a b (3) Đẳng thức xảy a , b phương * Khi gán tọa độ: Trong mp tạo độ Oxy, với a = ( x ; y1 ) ; b = ( x ; y2 ) , ta có: (3)  x1 x2 + y1 y2  x12 + y12 x2 + y2 Thực trạng vấn đề: Đối với học sinh nói chung, thường em ngại học làm tốn Hình thấy khó làm tốn Đại Đặc biệt với công cụ vectơ, nhiều học sinh cịn cảm thấy khó khăn Vì hướng dẫn em sử dụng công cụ hình học vào để làm loại tập khó Đại số chứng minh bất đẳng, tìm cực trị thành cơng gây hứng thú cho học sinh Các em thấy sức mạnh vectơ, đồng thời kết hợp thú vị làm cho nhiều toán trở lên dễ dàng nhiều Các giải pháp, biện pháp thực hiện: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ( Mục 2.1): Bài tập 1: Cho tam giác ABC Trong mặt phẳng chứa tam giác, tìm điểm M cho: ( MA2 + MB2 + MC2 ) nhỏ ? * Nhận xét: Đây tốn cực trị hình học Việc tìm giá trị nhỏ biểu thức tổng số hạng biến thiên, gợi ý cho người làm tìm cách biến đổi số hạng biểu diễn theo đại lượng biến thiên trung gian Vì nhu cầu cần xuất điểm cố định, có tính trung gian với đỉnh A, B, C Khi đó, tính linh hoạt quy tắc điểm phép cộng vectơ đồng thời với tính chất quen thuộc vectơ trọng tâm tam giác, gợi ý cho người làm phải chuyển biểu thức vectơ sử dụng cách chèn điểm G (trọng tâm tam giác) vào * Hướng dẫn: Gợi ý 1: Học sinh tự phát giáo viên dẫn dắt để học sinh thấy nhu cầu chèn điểm G vào độ dài trên, để làm xuất chung đại lượng biến thiên MG (G cố định) 2 2 Trả lời: MA = MA = ( MG + GA) = MG + GA + 2MG.GA 2 Tương tự có: MB = MG + GB + 2.MG.GB 2 MC = MG + GC + 2.MG.GC Gợi ý 2: Tính tổng MA2 + MB2 + MC2 ? 2 2 Trả lời: Có MA2 + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC + 2MG.(GA + GB + GC ) = 3MG + GA2 + GB2 + GC Gợi ý 3: Trong biểu thức tổng ( MA2 + MB2 + MC2 ) vừa tính được, đại lượng thay đổi nào? Trả lời: Có (GA2 + GB2 + GC ) khơng đổi (Vì tam giác ABC cho trước nên trọng tâm G cố định) Có thể tính GA2 + GB + GC = (a + b + c ) (Với a, b, c cạnh tam giác); Cịn MG  Từ , có: MA2 + MB + MC  GA2 + GB + GC = (a + b2 + c2 ) Dấu đẳng thức xảy MG = hay M trùng G ( G trọng tâm tam giác) Từ kết luận được: Giá trị nhỏ biểu thức ( MA2 + MB2 + MC2) 2 (a + b + c ) , đạt M trọng tâm tam giác ABC 3 Bài tập 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C  − * Nhận xét: Đây toán bất đẳng thức lượng giác tam giác, học sinh sử dụng phép biến đổi, công thức lượng giác để chứng minh Tuy nhiên, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để thấy đa dạng cách tư toán, đặc biệt với học sinh lớp 10 thời điểm chưa học cơng thức lượng giác phương pháp hữu hiệu * Hướng dẫn: B Gợi ý 1: Cơng thức vectơ có chứa cơsin ? A O Trả lời : Cơng thức tích vơ hướng hai vectơ: C ( ) a.b = a b cos a, b ( với hai vectơ a,b  ) Gợi ý 2: Tìm cặp vectơ mà tích vơ hướng chúng xuất cos2A, cos2B cos2C ? Trả lời : Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => OA.OB = OA OB cos ( OA, OB ) ( ) OB.OC = OB OC cos OB, OC OA.OC = OA OC cos ( OA, OC ) Đến đây, học sinh phát thêm gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R = OA = OB = OC Gợi ý 3: Để xuất tổng cos2A + cos2B + cos2C , xét (OA + OB + OC ) 2 2 + OB.OC + OC.OA) Trả lời: (OA + OB + OC )2 = OA + OB + OC + 2(OAOB = 3R2 + 2R (cos A + cos 2B + cos 2C ) (4) Đến đây, so sánh điều cần chứng minh đẳng thức có, học sinh phát sử dụng tính chất 1(Mục 2.1) để điều cần chứng minh Ta ln có: (OA + OB + OC )2  , nên từ (4) có : 3R + R (cos A + cos B + cos 2C )   cos2 A + cos2 B + cos2C  − 3R = − ( đpcm ) 2R Dấu đẳng thức xảy OA + OB + OC =  O trọng tâm tam giác ABC  Tam giác ABC Bài tập 3: Chứng minh : Với tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán 2 2 kính R, ta ln có : AB + BC + CA  R * Nhận xét: Đây toán bất đẳng thức hệ thức lượng tam giác nên học sinh chứng minh dựa vào hệ thức lượng tam giác công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên, dùng vectơ toán trở lên đơn giản * Hướng dẫn: Gợi ý 1: Gọi O tâm đường tròn mà tam giác ABC nội tiếp Với giả thiết đường tròn bán kính R, ta có giả thiết liên quan đến R? Trả lời: OA = OB = OC = R Gợi ý 2: Hãy biểu diễn vế trái bất đẳng thức cần chứng minh : AB + BC + CA2 theo OA = OB = OC = R, để làm xuất bán kính R Trả lời: Đến học sinh phát phải chuyển vế trái theo vectơ sử dụng quy tắc điểm để chèn điểm O vào ( ) ( ) ( 2 AB + BC + CA2 = OB − OA + OC − OB + OA − OC ( ) ) = R − OB.OA + OC.OB + OA.OC = R − R ( cos2A+cos2B+cos2C ) Đến đây, với kết có từ Bài tập nói trên, học sinh có điều phải chứng minh Bài tập 4: Chứng minh : Trong không gian, tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R, ta có tổng bình phương tất cạnh tứ diện không vượt 16 R * Nhận xét: Đây toán phát triển Bài tốn 3, từ hình phẳng sang hình khơng gian Với toán này, phương pháp biến đổi dùng hệ thức lượng tam giác công thức lượng giác phức tạp lại hoàn toàn tương tự Bài toán dùng vectơ *Bài giải: Gọi O tâm mặt cầu mà tứ diện ABCD nội tiếp Có OA = OB = OC = OD = R tổng bình phương cạnh tứ diện là: T = AB + BC + CA2 + AD + DB + CD ( ) ( ) + (OD − OA) + (OB − OD ) + (OD − OC ) − ( OB.OA + OC.OB + OA.OC + OD.OA + OB.OD + OD.OC ) (1) ) ( = OB − OA + OC − OB + OA − OC = 12 R 2 2 Mặt khác , ta có: ( OA + OB + OC + OD )  (OA + OB + OC + OD ) ( = R + OB.OA + OC.OB + OA.OC + OD.OA + OB.OD + OD.OC )  OB.OA + OC.OB + OA.OC + OD.OA + OB.OD + OD.OC  −2 R (2) Từ (1) (2), ta có T = AB + BC + CA2 + AD + DB + CD  16R ( đpcm ) HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ( Mục 2.2) Bài tập Trong mặt phẳng, cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G, G’ Chứng minh rằng: GG '  ( AA '+ BB '+ CC ') * Nhận xét: - Đây toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến yếu tố hình học Học sinh dùng hình để chứng minh phương pháp thơng thường không dễ Tuy nhiên, liên hệ với vectơ hình ảnh bất đẳng thức quen thuộc, học sinh chứng minh tập sách giáo khoa * Hướng dẫn: Gợi ý 1: Ta có đẳng thức vectơ liên hệ vectơ GG ' theo AA ', BB ', CC ' ? Trả lời: GG ' = ( AA ' + BB ' + CC ') (Bài tập 9, trang 28, Ơn tập chương I, SGK Hình học 10) Gợi ý 2: So sánh đẳng thức vectơ ta có với điều cần chứng minh để tìm hướng giải ? Trả lời: Đến học sinh dễ dàng phát hiện, sử dụng Tính chất 2( Mục 2.2) để có: GG ' = ( 1 AA ' + BB ' + CC '  AA ' + BB ' + CC ' 3 Hay GG '  ( AA '+ BB '+ CC ') 10 ) Bài tập 6: Trong không gian, cho hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ Gọi G, G’ trọng tâm hai tứ diện Chứng minh rằng: GG '  AA '+ BB '+ CC '+ DD ' * Nhận xét: - Đây toán mở rộng Bài tốn 5, từ hình học phẳng sang hình học khơng gian Chứng minh BĐT liên quan đến yếu tố hình học khơng nên sử dụng hình vẽ để chứng minh hình rối Tuy nhiên với tính khái qt vectơ tốn giải độc lập với hình - Trước đề trước làm này, giáo viên cho học sinh nhắc lại bất đẳng thức tương tự có hình học phẳng để học sinh dự đốn kết tương tự khơng gian làm tương tự Bài toán * Hướng dẫn: Gợi ý 1: Với giải thiết G, G’ trọng tâm hai tứ diện, ta có đẳng thức vectơ nào? Trả lời: GA + GB + GC + GD = (1) G ' A ' + G ' B ' + G ' C '+ G ' D ' = (2) Với O bất kỳ, có: (OA + OB + OC + OD ) OG ' = (OA ' + OB ' + OC ' + OD ') OG = (3) (4) Gợi ý 2: Hãy biểu diễn GG ' theo AA ', BB ', CC ', DD ' Trả lời: Dùng quy tắc cộng (1), (2) dùng quy tắc trừ (3), (4) Sẽ có: GG ' = ( AA ' + BB ' + CC ' + DD ') * Đến học sinh phát sử dụng tính chất 2( Mục 2.2 ) để có: GG ' = ( 1 AA ' + BB ' + CC ' + DD '  AA ' + BB ' + CC ' + DD ' 4 Hay GG '  ( AA '+ BB '+ CC '+ DD ') (đpcm) 11 ) Bài tập 7: Chứng minh : Với a  , ta có : a + a + + a − a +  (1) *Nhận xét: Đây toán chứng minh bất đẳng thức đại số Nếu đơn sử dụng việc chứng minh bất đẳng thức thơng thường khó học sinh biểu thức vế trái có hai bậc hai Nhưng ý đối tượng tốn để sử dụng tính chất vectơ nêu tốn trở nên đơn giản * Hướng dẫn: Gợi ý 1: Biến đổi biểu thức bậc hai thành tổng bình phương ? 2 2 1  3 1  3   Trả lời: a + a + =  a +  +   a − a + =  a −  +   2   2     Gợi ý 2: Có thể coi bậc hai độ dài vectơ có tọa độ mặt phẳng tọa độ Oxy?  3  3 Trả lời: Ta đặt: u =  a + ;  ; v =  a − ;  , có: 2  2    2 1  3 1  3   u + v =  a +  +   +  a −  +           Gợi ý 3: Đến sử dụng Tính chất 2(mục 2.2) ta điều ? Trả lời: 2 1  3 1  3    +  a −  +   = u + v  u+v  a +  +          12 2 1  3  Nhưng u + v =  a + + a −  +  +  = 2  2   ( 2a ) + nên ta chưa điều cần chứng minh Gợi ý 4: - Ta mong muốn u + v bao nhiêu? Học sinh trả lời muốn u + v = - Có thể thay đổi tọa độ hai vectơ u v mà đảm bảo 2 2 1  3 1  3   u + v =  a +  +  + a −   u + v = (không phụ thuộc a)?   +         Đến xuất nhu cầu tổng hoành độ hai vectơ ( u + v ) triệt tiêu a , 1 3 từ ta thay đổi v =  − a;   2 *Từ tốn có lời giải cụ thể:  3 1 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn: u =  a + ;  ; v =  − a;  2    2 ¸p dụng tính chất : u + v  u + v , ta có : 2 2 1  3  1   3 u + v =  a +  +   +  − a  +    u+v = 2     2     a2 + a + + a2 − a +  ( Điều phải chứng minh) Dấu đẳng thức xảy u v hướng  u = kv (k  0) => a= 13 *Một vài nhận xét, ý rút từ tốn: 1) Do tính chất bình phương nên biểu thức dạng : x + y coi độ dài vectơ có tọa độ khác dấu, ví dụ u1 = ( x; y ) u2 = ( − x; y ) ; u3 = ( x; − y ) ; u4 = ( − x; − y ) Vì sử dụng biểu thức tọa độ Tính chất 2, ta chọn vectơ có tọa độ hợp lý để đạt mục đích Ví dụ Bài tốn nói trên, ta chọn: 1    1 3 3 3 3 u =  − a − ;  u =  a + ; −  ;  ; v =  a − ;  ; v =  − a; − 2  2    2    Hoặc Tính chất 2(mục 2.2) dùng dạng: Với hai vectơ a,b bất kỳ, ta có: a − b  a + b (2’) Đẳng thức xảy a , b phương khơng hướng 2) Bài tốn chuyển thành : Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(a)= a + a + + a − a + , với a  Khi lời giải hồn tồn tương tự, ta có giá trị nhỏ biểu thức , đạt a = Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức sau: B = cos  − cos  + + cos  + cos  + 13 , với   *Nhận xét: 14 - Đây tốn tìm GTNN biểu thức lượng giác có hàm lượng giác cos  xuất Nếu coi cos  = a, biểu thức cần tìm GTNN có dạng tương tự Bài tập 7, nên học sinh tự tìm hướng giải * Hướng dẫn: Gợi ý : Coi vai trò cos  biến số a, biến đổi biểu thức bậc hai thành tổng bình phương ? Trả lời: B = (cos  − 1)2 + 12 + (cos  + 3) + 22 Đến học sinh phát được: coi bậc hai độ dài vectơ mặt phẳng tọa độ Oxy thực tiếp lời giải tương tự Bài tập * Bài giải: B = (cos  − 1)2 + 12 + (cos  + 3) + 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn u = (1 − cos  ;1) ; v = (cos  + 3; 2)  B = u + v  u+v = (1 − cos  ) + (cos  + 3) + (1 + 2) = Dấu đẳng thức xảy u v hướng  u = kv (k  0) 1 − cos =k(cos + 3)  ( k  )  cos = − (thỏa mãn) 1 = k Vậy GTNN biểu thức B 5, đạt cos = − *Một vài nhận xét, ý rút từ toán: - Cần phân biệt cho học sinh khác toán chứng minh bất đẳng thức tốn tìm GTLN, GTNN phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức Đó là, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phải tồn 15 có thật nó, nói cách khác phải xảy dấu đẳng thức bất đẳng thức ta đánh giá - Nếu toán giáo viên cho học sinh làm lớp 10, cos = − , phải cho học sinh thấy có giá trị  thỏa mãn Nếu làm lớp 11, học sinh dễ dàng viết công thức xác định  Bài tập Chứng minh : Với x; y; z số thực dương bất kỳ, ta có: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x  ( x + y + z ) (*) *Nhận xét: Đây toán áp dụng mở rộng từ bất đẳng thức với hai vectơ sang bất đẳng thức với ba vectơ Với đặc điểm vế trái biểu thức bậc hai, học sinh phát để làm xuất độ dài ba vectơ sử dụng tính chất 2(mục 2.2) để giải * Bài giải:  y Có VT(*) =  x +  +  2   2 2  z   x     y  +  y +  +  z  +  z +  +  x  2 2          Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn:  y u =  x + ; 2     x  z  x ; z  ; w =  z + ; y  ; v =  y + ; 2  2     Ta có: VT(*)= u + v + w       Lại có: u + v + w  u + v + w = ( x + y + z )2 + ( x + y + z )2 = 3( x + y + z ) 4 => điều phải chứng minh HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ( mục 3) 16 Bài tập 10 CMR : Với a ; b ; x ; y số thực bất kỳ, ta có bất đẳng thức sau: ( ax + by )  (a + b )(x + y ) (Bất đẳng thức Bunhia - copxki) * Nhận xét: Đây một bất đẳng thức Đại số Học sinh biến đổi tương đương để chứng minh Tuy nhiên, giáo viên nên đặt vấn đề nhìn bất đẳng thức góc độ khác, với góc nhìn hình học để học sinh thấy phong phú, thú vị Toán học * Hướng dẫn: Gợi ý :Mỗi nhân tử vế phải tổng hai bình phương , coi độ dài vectơ có tọa độ mp tọa độ Oxy? Trả lời: u = (a; b)  u = a + b v = (x; y)  v = x + y Gợi ý 2: Khi vế trái liên quan đến hai vectơ ? Trả lời: u.v = ax + by  ( u.v ) = ( ax + by ) 2 Gợi ý 3: Tìm liên hệ, so sánh hai vế ? Khi học sinh phát để sử dụng tính chất 3(mục 2.3) *Bài giải: : Trong mp tọa độ Oxy, chọn: u = (a; b)  u = a + b v = (x; y)  v = x + y Ta có: u.v  u v  ax + by  a + b2 x + y  ( ax + by )  ( a + b ) ( x + y ) 17 (điều phải chứng minh) Dấu đẳng thức xảy u v phương v =  hay ay = bx u = kv (k  ) *Chú ý: Nếu x ; y  dấu đẳng thức xảy a b = x y Bài tập 11 Với a; b; c; x; y; z số thực bất kỳ, chứng minh rằng: (ax + by + cz)2  (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) * Nhận xét: - Đây bất đẳng thức Đại số, BĐT mở rộng tương tự bất đẳng thức Bài tập 10 Tuy nhiên, với BĐT này, việc biến đổi tương đương trở nên khó khăn (dài), xuất nhiều số hạng - Nếu tốn lại nhìn góc độ hình học (tọa độ vectơ) mở rộng không gian, tốn trở lên đơn giản * Hướng dẫn: - Mỗi phần tử vế phải tổng bình phương có phải cơng thức tính độ dài vectơ khơng ? Khi học sinh thấy cần vectơ có thành phần tọa độ, tức vectơ không gian Lúc học sinh tiếp tục phát bước để giải * Bài giải: Trong không gian, với hệ trục Oxyz, chọn u = (a; b; c) v = ( x; y; z ) Ta có: u = a + b2 + c2 ; v = x2 + y + z 2 u.v = (ax + by + cz ) 18 Mà u.v  u v  ax + by + cz  a + b + c x + y + z (  ( ax + by + cz )  a + b2 + c 2 )( x + y2 + z2 ) ( đpcm ) Bài tập 12 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a; CA = b AB = c Điểm M thuộc mp(ABC) Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Chứng minh : ma.MA + mb.MB + mc.MC  (a2 + b2 + c2) *Nhận xét: - Đây toán chứng minh bất đẳng thức hình học liên quan tới điểm M mặt phẳng, nên việc chứng minh dựa vào biến đổi hệ thức lượng tam giác hay cơng thức lượng giác khó thực Lúc này, việc sử dụng cơng cụ tính có khái quát cao vectơ lại trở lên hữu hiệu - Với ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC biểu diễn qua điểm trung gian trọng tâm G tam giác * Hướng dẫn: Gợi ý : Gọi G trọng tâm tam giác ABC Biểu diễn ma , mb , mc theo độ dài đoạn thẳng với đầu mút điểm xuất ? 3 Trả lời : ma = GA ; mb = GB ; mc = GC Gợi ý : Điều phải chứng minh tương đương điều ? Vế phải BĐT biểu diễn theo đoạn thẳng ? Trả lời : ( ( GA.MA + GB.MB + GC.MC )  a + b + c 2 19 ) a + b2 + c2 ) (  GA.MA + GB.MB + GC.MC  Có : GA2 + GB + GC = (a + b + c ) Nên đpcm  GA.MA + GB.MB + GC.MC  GA2 + GB + GC Gợi ý : Đến nhu cầu cần xuất biểu diễn hay đánh giá GA.MA với GA2 , GB.MB với GB GC.MC với GC Nên cần đánh giá làm xuất từ tích độ dài sang vectơ để chèn điểm G vào vectơ MA, MB, MC ? Trả lời : Ta có GA.MA  GA.MA = GA.MG + GA2 Tương tự GB.MB  GB.MG + GB GC.MC  GC MG + GC  GA.MA + GB.MB + GC.MC  MG(GA + GB + GC) + GA2 + GB + GC = GA2 + GB + GC  ma.MA + mb.MB + mc.MC  (a2 + b2 + c2) (đpcm) Bài tập 13 Cho tam giác ABC cạnh a; M điểm nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T = MA2 – MB2 - MC2 * Nhận xét: - Bài tốn có hình thức gần giống Bài tập 1(phần 4.1) Ở đây, vai trò điểm G (trọng tâm tam giác) điểm O ( tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác) (Vì tam giác ABC đều) *Học sinh thực hiện: ( ) ( ) ( T = MO + OA − MO + OB − MO + OC ( ) ) = − MO + OA2 − OB − OC + 2MO OA − OB − OC Có OM = OA = OB = OC = R ( Vì R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) 20 Có R = ( ) a (không đổi)  T = −2 R + 2MO OA − OB − OC Vì OA + OB + OC =  OB + OC = −OA => T = −2R + 2MO ( 2OA) = −2R − 4OM OA Gợi ý: Biểu thức T không biểu diễn theo đại lượng độ dài biến thiên lại biểu diễn theo tích vơ hướng vectơ có độ dài khơng đổi, nên sử dụng Tính chất (Mục 2.3) để đánh giá tích vơ hướng? *Học sinh thực hiện: OM OA  OM OA = R  − R  OM OA  R  −6 R  T  R Tmin = −6R2 = −2a2  M  A (OA, OM hướng) Tmax = R = 2a  M điểm đối xứng với A qua O ( OA, OM ngược hướng) Bài tập vận dụng : Bài 1.Chứng minh : a) Với số thực a; b; c tùy ý ta có : a + ab + b + b + bc + c2  c2 + ca + a b) Với số thực a; b ta có: a + + a − 2ab + b + + b − 6b + 10  c) Với số thực a ta có: d) Với số thực a ta có: 2a + 7a + 25 −  a a − 2a + − a − 12a + 136  89 e) Với x; y , ta có: cos x.cos y + sin (x − y) + 4sin x.sin y + sin (x − y)  f) Với số thực x ; y ; z ta có: x− y + x2 + y + y−z 1+ y2 1+ z2 21  x−z + x2 + z Gợi ý f) : Đpcm  (x − y) + (yz − zx) + (y− z ) + (zx − xy)  (z − x) + (xy− yz) Gọi u = (x − y; yz − zx) ; v = (y− z ; zx − xy ) Bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức sau: a) A = a − a + + a − 3a + , với a số thực b) B = x + y + x + + x + y − x + 12 y + 10 , với x ; y số thực Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm M điểm tùy ý di động đường tròn ngoại tiếp tam giác a) Tìm vị trí M để ( MA2 + MB − 2MC ) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ ? b) Khi tam giác ABC cạnh a Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T = MA2 − MB − MC theo a ? Kết đạt : Để đánh giá hiệu sáng kiến, áp dụng cho số lớp 10, số thời điểm lớp 11, 12 từ năm học 2008-2009 đến Đối tượng để đối chứng số lớp khối , khóa khóa khác Tôi thấy: Với lớp không áp dụng : học sinh không hướng dẫn sử dụng thông qua hệ thống tập có tính kế thừa để tự rút bước thực thường khơng thích vectơ, tư không tốt không linh hoạt Với lớp áp dụng : học sinh hướng dẫn sử dụng thơng qua hệ thống tập có tính kế thừa để tự rút bước thực Tôi thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đạt hiệu tốt: - Học sinh nhớ kiến thức lâu, thích cơng cụ vectơ, hứng thú với tốn bất đẳng thức - Học sinh có định hướng tốt hơn, tự tin hơn, linh hoạt học tập - Đặc biệt học sinh lớp đa số em học tập môn Vật lý tốt; giải tốt toán vectơ sử dụng vectơ kiểm tra, đề thi 22 Một số năm gần đây, áp dụng để hướng dẫn cho nhiều lớp, nhiều đối tượng học sinh Điều kiện để sáng kiến nhân rộng: - Sáng kiến áp dụng cho tất đối tượng học sinh học xong lý thuyết phần vectơ , tọa độ vectơ - Sáng kiến thực tiết học lý thuyết, tiết luyện tập tiết tự chọn chuyên đề , chủ đề để hợp lý mặt kiến thức thời gian KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 23 Giải toán mang lại niềm vui cho người làm toán Đặc biệt học sinh, với toán tưởng chừng khó khơng vẽ hình, cơng cụ em lại chứng minh, giải triệt để, mang lại nhiều hứng thú, tự tin cho em học phần kiến thức Hơn thế, chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức Đại số hay Lượng giác sử dụng phương pháp vectơ gắn kết Đại số Hình học thú vị người học Tuy nhiên, tốn học khơng phải phương pháp tối ưu trường hợp, điều quan trọng phải vận dụng phù hợp, linh hoạt phương pháp vào toán cụ thể Vì nhiệm vụ người giáo viên phải làm cho học sinh thấy hứng thú, thấy tầm quan trọng phương pháp, công cụ tốn học mới, qua học sinh dễ dàng tiếp nhận để tích lũy thêm vốn kiến thức, từ hình thành kĩ linh hoạt, lực giải vấn đề, lực tự học khả tư Thực tế giảng dạy cho thấy, hướng dẫn học sinh sử dụng tốt công cụ vectơ, giúp học sinh có nhìn hình học, khả định hướng , tư tốt linh hoạt học tập Vì lý thời gian có hạn, chun đề tơi thể hướng dẫn học sinh sử dụng vectơ số tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị Trên thực tế, dùng vectơ giải tốt nhiều tốn khác nữa, ví dụ tìm quỹ tích điểm, chứng minh thẳng hàng, vng góc ; vectơ cịn cơng cụ đắc lực nhiều tốn giải phương trình, bất phương trình Trong trình hồn thành chun đề chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong đồng chí đồng nghiệp góp ý Phụ Lục: 24 Các tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa , Sách tập Đại số Hình học 10, Hình học 11, 12 Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương Tham khảo nguồn tập đồng nghiệp Internet Một số tài liệu, Sách tham khảo Đại số 10, Hình học 10, 11, 12 25 ... : Hướng dẫn học sinh ứng dụng vectơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho việc giảng dạy chủ đề bất đẳng thức, cực trị. .. học để giới thiệu số toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất vectơ để giải + Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng rộng rãi cho tồn giáo viên, học sinh. .. dùng để chứng minh bất đẳng thức Hình học, Đại số bất đẳng thức Lượng giác Dùng vectơ chứng minh bất đẳng thức giúp học sinh thấy liên hệ Hình học Đại số, thấy thú vị mơn học, từ thêm u mơn học