ÔN THI ĐẠI HỌC: ỨNG DỤNG HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Khi ứng dụng đạo hàm để chứng minh một bài toán về bất đẳng thức, vấn đề cơ bản ở đây là cần đặt biến (nếu có) và chọn hàm số như thế nào cho hợp lý, sau đó khảo sát sự biến thiên của hàm số này. Dựa vào sự biến thiên đó dẫn dắt chúng ta đến bất đẳng thức cần chứng minh. Tùy theo tính chất của từng bài toán, trong quá trình thực hiện có thể kết hợp với nhiều bất đẳng thức khác nhau như: Bất đẳng thức Cauchuy, Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứng minh bằng quy nạp toán học. Sau đây là một số bài toán về bất đẳng thức dùng phương pháp trên để giải: Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: . Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: Đặt . Khi đó Xét hàm số: Ta có: BBT: 1 0 + 2 Vậy BĐT được chứng minh. Tổng quát hơn: 1 Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k. Chứng minh các bất đẳng thức: , . 2 Cho hai số a, b thỏa mãn Chứng minh: . Bài 2: Cho a, b là các số không âm. Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có bất đẳng thức:

hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích, cơng cụ sắc bén để nghiên cứu tính chất hàm số Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức cho phép giải số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Nhằm giúp cho số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo giảng dạy, học sinh THPT có thêm phương pháp giải tốn bất đẳng thức hiểu biết thêm công dụng đạo hàm Nay tơi viết đề tài khơng ngồi mục đích nêu với tiêu đề đề tài là: Trong đề tài cố gắng đưa nhiều dạng tập có tính chọn lọc có hướng dẫn giải, với số tập tương tự để người đọc tự giải Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận góp ý chân thành từ đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Krông Bông, ngày 20 tháng năm 2011 Người viết Phan Minh Phước Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Khi ứng dụng đạo hàm để chứng minh một bài toán về bất đẳng thức, vấn đề bản ở là cần đặt biến (nếu có) và chọn hàm số thế nào cho hợp lý, sau đó khảo sát sự biến thiên của hàm số này Dựa vào sự biến thiên đó dẫn dắt chúng ta đến bất đẳng thức cần chứng minh Tùy theo tính chất của từng bài toán, quá trình thực hiện có thể kết hợp với nhiều bất đẳng thức khác như: Bất đẳng thức Cauchuy, Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứng minh bằng quy nạp toán học Sau là một số bài toán về bất đẳng thức dùng phương pháp để giải: Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: Hướng dẫn: Đặt Chứng minh rằng: Khi đó Xét hàm số: Ta có: BBT: - Vậy + BĐT được chứng minh Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k Chứng minh các bất đẳng thức: , 2/ Cho hai số a, b thỏa mãn Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Chứng minh: Bài 2: Cho a, b là các số không âm Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có bất đẳng thức: - Nếu a = thì (1) đúng với mọi - Nếu a > thì Đặt BBT: - + Vậy Bài 3: Cho Hướng dẫn: Với BĐT được chứng minh Chứng minh rằng: ta có: Cần chứng minh: hay Xét hàm số Ta có Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông đồng biến Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Do đó với ta có BĐT được chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x > 0, n là số nguyên dương thì ta có: Hướng dẫn: Đặt Cần chứng minh - Ta có: - Giả sử Ta chứng minh Thật vậy: hàm số Do đó Vậy đồng biến ta có BĐT được chứng minh Bài 5: Cho có góc nhọn, chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Xét hàm số Ta có: Xét hàm số hàm số Ta có: nghịch biến Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Suy hay hàm số Từ đó nếu giả sử thì nghịch biến hay Áp dụng BĐT Trêbưsép cho dãy số: và ( ta có BĐT cần chứng minh hoctoancapba.com Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu phương trình thì có nghiệm Dấu đẳng thức xảy nào? Hướng dẫn: Giả sử phương trình có nghiệm là x0 thì Đặt và ta được phương trình: Do đó: Xét hàm số: , với Ta có BBT: + Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Vậy BĐT dấu đẳng thức xảy khi: Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu thì Hướng dẫn: Xét các hàm số: Với và thì hay , dấu “=” xảy Suy ra: , dấu “=” xảy Vậy với Bài 8: Gọi V, S là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có: ( Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông bán kính đáy; đường sinh, Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức (1) Đặt xét hàm số: Ta có BBT: + Vậy Bài 9: Cho ta có - BĐT được chứng minh thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra: ( Xét hàm số: với Tương tự bài ta có: Lần lượt thay vào (2) rồi cộng vế theo vế ta được BĐT (1) Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 10: Chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? hoctoancapba.com Hướng dẫn: BĐT đã cho (1) Xét hàm số: Đặt Nếu thì Đặt thì từ và được hàm số hàm số đồng biến BĐT được chứng minh Dấu đẳng thức xảy Bài 11: Cho hay Chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Đặt (2) nên • Chứng minh: BĐT (2) Đặt Do đó với (1) nghịch biến thì Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức • Chứng minh: Đặt Chứng minh tương tự ta được đồng biến hay Từ đó suy BĐT cần được chứng minh Bài 12: Chứng minh rằng: Với thì (1) Hướng dẫn: Đặt với mọi Ta có: (1) + Vậy - + BĐT cần chứng minh Bài 13: Cho Chứng minh rằng: ta đều có: Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: Với thì hàm số Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông đồng biến Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Suy hàm số đồng biến Do đó Vậy BĐT được chứng minh Bài 14: Chứng minh rằng: Áp dụng chứng minh rằng: Nếu số thỏa mãn (1) thì: Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: BBT: x - + Suy BĐT (1) được chứng minh Áp dụng: * Nếu Nếu Đặt thì (2) thỏa mãn thì (2) thì ta có Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông BĐT (2) được chứng minh Trang 10 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 15: Cho số Chứng minh rằng: hoctoancap ba.com + Hướng dẫn: Đặt Xét hàm số: + Ta có: đó hàm số đờng biến Ta xét trường hợp sau: • TH 1: , Ta có: • TH 2: , Ta có: • TH 3: có dấu thay đởi - Ta có BBT: + Suy ra: Mà nên Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Vậy Trang 11 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức  Bài 1: Chứng minh rằng: Với ta có các bất đẳng thức: (HD: Xét hàm số: (HD: Xét hàm số: Bài 2: Cho , với , với có góc nhọn, chứng minh rằng: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 12 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức HD: Xét hàm số: Bài 3: Cho Bài 4: Cho với Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: HD: Xét hàm số: Bài 5: Cho HD: Đặt với và chứng minh nghịch biến Chứng minh rằng: Xét hàm số: Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Bài 7: Với , Chứng minh rằng: thì + , với  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 13 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 14 ... Nếu Nếu Đặt thi? ? (2) thỏa mãn thi? ? (2) thi? ? ta có Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông BĐT (2) được chứng minh Trang 10 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng... rằng: thi? ? + , với  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 13 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang... chứng minh Chứng minh rằng: ta có: Cần chứng minh: hay Xét hàm số Ta có Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông đồng biến Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh