Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) (C): y = f(x) 1) Phương trình (1) f(x) =m1 2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m1 3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu ......................................thì .................................................... Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm 3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D 0 D Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm 3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D 0 D Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu) 1) Đạo hàm 2)Hàm số có hai cực trị phương trình =0 có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 1) Đạo hàm 2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = m=? 2) Thử lại với m=? thì =? 3) =0 4) ; là điểm cực tiểu là điểm cực đại 4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm 3)Vì suy ra 0 D nên hàm số đồng biến trên tập xác định Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm 3) Vì suy ra
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) (C): y = f(x) 1) Phương trình (1) ⇔ f(x) =m-1 2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1 3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu thì Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D ⇔ / y ≥ 0 x∀ ∈ D ⇔ 0 0 a > ∆ ≤ Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D ⇔ / y ≤ 0 x ∀ ∈ D ⇔ 0 0 a < ∆ ≤ Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu) 1) Đạo hàm / y 2)Hàm số có hai cực trị ⇔ phương trình / y =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 0 0 a ≠ ∆ > Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x 1) Đạo hàm / y 2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x ⇒ / 0 ( ) 0y x = ⇔ m=? 2) Thử lại với m=? thì / y =? 3) / y =0 ⇔ 0 x x= 4) // ?y = ; ( ) // 0 0y x a = > ⇒ 0 x là điểm cực tiểu ( ) // 0 0y x a = < ⇒ 0 x là điểm cực đại 4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Vì 0∆ ≤ suy ra / y ≥ 0 x∀ ∈ D nên hàm số đồng biến trên tập xác định Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3) Vì 0 ∆ ≤ suy ra / y ≤ 0 x ∀ ∈ D nên hàm số nghịch biến trên TXĐ D Bài 8: Chứng minh hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu) 1) Đạo hàm / y 2) Vì 0∆ > nên pt / y =0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số đã cho luôn có hai cực trị Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị Đạo hàm / y 2) / y =0 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x = ⇔ − = ⇔ = 3)Hàm số có 3 cực trị ⇔ PT / y =0 có 3 nghiệm pb ⇔ g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 x 0 0 ( ) 0g x ∆ > ⇔ ≠ Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị ( m C ): y=f(x) 1) y=f(x) ⇔ mg(x) +h(x) –y=0 2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ ( ) 0 ( ) 0 g x h x y = − = ⇔ ( ) 0 ( ) g x y h x = = 3)vậy ( m C ) có các điểm cố định là A( : ) B( : ) Trung tâm dạy kèm toán lý hóa 140 LNQ Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt 1) Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x) (1) 2) (1) 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x = ⇔ − = ⇔ = 3) d cắt (C) tại 3 điểm ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 x 0 0 ( ) 0g x ∆ > ⇔ ≠ Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b) 1) TXĐ: D = ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 4) lập BBT 5) Kết luận d 1 ( ; ) ax ( ) c a b M y y f x = = với 1 x ( ; )a b∈ 2 ( ; ) ( ) ct a b Miny y f x = = với 2 x ( ; )a b∈ Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] 1)TXĐ: D = ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 ⇔ 1 2 ( ; ) ( ; ) x x a b x x a b = ∈ = ∉ 3)Tính 1 ( ) ; ( ) ; ( )y a m y b n y x p= = = giả sử p>n>m 4)Kết luận 1 [ ; ] ax ( ) a b M y y x p = = [ ; ] ( ) a b Miny f a m = = Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x) 1) TXĐ: D= ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 (nếu có) 3) BBT 4) Kết luận Chú ý: + Giả sử 2 ax ( 0)y bx c a ′ = + + > nếu 2 4b ac∆ = − <0 thì 0y x R ′ > ∀ ∈ + Giả sử 2 ax ( 0)y bx c a ′ = + + < nếu 2 4b ac∆ = − <0 thì 0y x R ′ < ∀ ∈ + Giả sử 2 ax ( 0)y bx c a ′ = + + > nếu 2 4b ac∆ = − =0 thì 0y x R ′ ≥ ∀ ∈ + Giả sử 2 ax ( 0)y bx c a ′ = + + < nếu 2 4b ac∆ = − =0 thì 0y x R ′ ≤ ∀ ∈ Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) 1)TXĐ: D= ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 ⇔ 1 2 x x x x = = 3) // y =? Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận Dấu hiệu 1 Cách 2: Đạo hàm cấp 2 // y Dấu hiệu 2 Nếu 1 ( ) 0y x a ′′ = > thì 1 x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu 2 ( ) 0y x b ′′ = < thì 2 x là điểm cực đại của hàm số Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại Điểm M có ( ) : o o M x y a. Điểm M có hoành độ 0 x x= 0 0 ( )y f x y⇒ = = ( ) 0 0 ;M x y⇒ b. Điểm M có tung độ 0 y y= 0 0 0 0 ( ) ( ; )y f x x x M x y⇒ = ⇒ = ⇒ 1) / y =? ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) 0 0 ;M x y là: 0 ( ) ?y x ′ = 2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại ( ) 0 0 ;M x y là: y 0 0 0 ( )( )y y x x x ′ − = − Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến a)Tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ Tiếp tuyến d: y=kx+c b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b ⇒ Tiếp tuyến d: y=kx+c (c ≠ b) c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= 1 x b k − + ⇒ Tiếp tuyến d: y=kx+c d)Tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 0 0 ;M x y có hệ số góc k ⇒ Tiếp tuyến d: y- 0 y =k(x- 0 x ) ⇒ y=kx+c 1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) f x kx c f x k = + ′ = 2) Giải hệ phương trình tìm x ⇒ c=?. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=kx+c Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) f x ax b f x a = + ′ = 2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc 0 45 α = ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k= ± tan 0 45 = 1± Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị ( m c ): y=f(x) 1) Chia y cho / y được 2 ax bx c+ + dư ex +f ta có ( ) / 2 . ax exy y bx c f= + + + + 2) Gọi ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; ;M x y M x y là 2 điểm cực trị của ( m c ) 3) Vì ( ) 1 1 1 ; ( ) m M x y C∈ nên ta có / 2 1 1 1 1 1 1 1 ( )(ax ) ex exy y x bx c f y f= + + + + ⇔ = + do / 1 ( ) 0y x = Tương tự ( ) 2 2 2 ; ( ) m M x y C∈ nên ta có / 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(ax ) ex exy y x bx c f y f= + + + + ⇔ = + do / 2 ( ) 0y x = 2) Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của ( m c ) có phương trình là exy f= + Bài 18: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt 1) PT f(x) =0 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x = ⇔ − = ⇔ = 2) PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 ( ) 0g x ∆ > ⇔ ≠ Bài 19: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có 2 cực trị và d . 0 c ct y y < ⇔ pt / 0y = có hai nghiệm phân biệt và d . 0 c ct y y < 0 . 0 cd ct y y ∆ > ⇔ < Sử dụng trong th không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị Bài 20: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) sử dụng đồ thị 1) Phương trình (1) ⇔ f(x) =m-1 (C): y = f(x) 2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) ⇔ đồ thị (C): y = f(x) cắt đường thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm (2 điểm , 1 điểm ) ⇔ Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm) Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm) ⇔ ? < m < ? Bài 22: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm, 2 nghiệm) 1) Phương trình (1) ⇔ f(x) =m-1 (C): y = f(x) 2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1 1) Phương trình (1) có 3 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại 3 điểm ⇔ ? < m-1 < ? Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy Gọi M=(C) I Oy ⇒ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( ) 0 y f x x = = Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox Gọi M=(C) I Ox ⇒ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( ) ( ) 0 0 0 y f x f x y y = = ⇔ = = Bài 25: 7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y cho / y =0 nếu có 3) Chiều biến thiên (để trống 4 dòng) 4) Giới hạn 5) BBT 6) Cực trị 7) Vẽ Bài 26: Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng ( α ;+ ∞ ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( )y g x ax bx c = = + + (a > 0 ) 3) lập ∆ = ? 4) Nếu 0 ∆ ≤ thì / y ≥ 0 x R ∀ ∈ nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên ( α ;+ ∞ ) 5) Nếu 0∆ > thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x ( 1 2 x x< )BBT x Hàm số đồng biến trên ( α ;+ ∞ ) ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ;x x / y thỏa đk 1 2 x x a< ≤ ⇔ 0 ( ) 0 0 2 ag S α α ∆ > ≥ − < Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài 27: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng ( α ; β ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( )y g x ax bx c = = + + (a > 0 ) 3) lập ∆ = ? 4) Nếu 0 ∆ ≤ thì / y ≥ 0 x R ∀ ∈ nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên ( α ; β ) o thỏa đkbt 5) Nếu 0∆ > thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x ( 1 2 x x< )BBT x Hàm số nghịch biến trên ( α ; β ) ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ;x x / y thỏa đk 1 2 x x α β ≤ < ≤ ⇔ ( ) 0 ( ) 0 ag ag α β ≤ ≤ y Bài 28: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng ( α ;+ ∞ ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( )y g x ax bx c = = + + (a < 0 ) 3) lập ∆ = ? 4) Nếu 0 ∆ ≤ thì / y ≤ 0 x R ∀ ∈ nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó nghịch biến trên ( α ;+ ∞ ) 5) Nếu 0∆ > thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x ( 1 2 x x< ) x Hàm số nghịch biến trên ( α ;+ ∞ ) ⇔ pt / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ;x x / y thỏa đk 1 2 x x a< ≤ ⇔ 0 ( ) 0 0 2 ag S α α ∆ > ≥ − < Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm / 2 ( )y g x ax bx c = = + + (a ≠ 0) 1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy ⇔ hàm số có 2 (điểm ) cực trị trái dấu ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P= 1 2 . 0 c x x a = < 2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung Oy ⇔ hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 0 0P ∆ > > 3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với trục tung Oy ⇔ hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu dương ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm dương pb ⇔ 0 0 0 c P a b S a ∆ > = > − = > 4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái đối với trục tung Oy ⇔ hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu âm ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm âm pb ⇔ 0 0 0 c P a b S a ∆ > = > − = < 5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành Ox ⇔ hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm pb và d . 0 c ct y y > ⇔ 0 . 0 cd ct y y ∆ > ⇔ > 6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox ⇔ hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu ⇔ PT / y =0 có 2 nghiệm pb và d . 0 c ct y y < ⇔ 0 . 0 cd ct y y ∆ > ⇔ < Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 . biệt 3) Vậy hàm số đã cho luôn có hai cực trị Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị Đạo hàm / y 2) / y =0 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x = ⇔ − = ⇔ = 3) Hàm số có 3 cực. (1) 2) (1) 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x = ⇔ − = ⇔ = 3) d cắt (C) tại 3 điểm ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác. thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1 1) Phương trình (1) có 3 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại 3 điểm ⇔ ? < m-1 < ? Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy Gọi