Các giải các bài toán tích phân tổ hợp nhiều hàm số

TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1. • . + Tính . Đặt  . + Tính . Đặt  Vậy: Câu 2. • + . + Tính + Tính . Đặt , .  = Vậy: . Câu 3. • + Tính + Tính . Đặt   Câu 4. • Đặt = Câu 5. • Đặt  + Vậy: Câu 6. • Ta có:  = . Câu 7. • + Tính . Đặt   + Tính . Đặt   Vậy . Câu 8. • . + + . Vậy: . Câu 9. • Đặt và  Câu 10. • Đặt  + . Đặt  Vậy: Câu 11. • Ta có: . + . Đặt  + H= . Đặt  Vậy: Câu 12. • Ta có: + = + (sử dụng đổi biến: ) + (sử dụng tích phân từng phần) (đổi biến ) Vậy: Câu 13. • Đặt + Tính . Đặt  Câu 14. • Ta có: . Đặt  = Câu 15. • Ta có:

Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1. x x I x e dx x 3 1 4 2 0 1   = +  ÷  ÷ +   ∫ • x x I x e dx dx x 3 1 1 4 2 0 0 1 = + + ∫ ∫ . + Tính x I x e dx 3 1 2 1 0 = ∫ . Đặt t x 3 = ⇒ t t I e dt e e 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 = = = − ∫ . + Tính x I dx x 1 4 2 0 1 = + ∫ . Đặt t x 4 = ⇒ t I dt t 1 4 2 2 0 2 4 4 3 4 1 π   = = − +  ÷   + ∫ Vậy: I e 1 3 3 π = + − Câu 2. x x I x e dx x 2 2 3 1 4   −  ÷ = −  ÷   ∫ • x I xe dx 2 1 = ∫ + x dx x 2 2 2 1 4 − ∫ . + Tính x I xe dx e 2 2 1 1 = = ∫ + Tính x I dx x 2 2 2 2 1 4 − = ∫ . Đặt x t2sin = , t 0; 2 π   ∈     . ⇒ t I dt t t t 2 2 2 2 2 6 6 cos ( cot ) sin π π π π = = − − ∫ = 3 3 π − Vậy: I e 2 3 3 π = + − . Câu 3. ( ) x x I e x x dx x 1 2 2 2 2 0 . 4 . 4 = − − − ∫ • x x I x e dx dx I I x 1 1 3 2 1 2 2 0 0 4 = − = + − ∫ ∫ + Tính x e I x e dx 1 2 2 1 0 1 4 + = = ∫ + Tính x I dx x 1 3 2 2 0 4 = − ∫ . Đặt t x 2 4= − ⇒ I 2 16 3 3 3 = − + ⇒ e I 2 61 3 3 4 12 = + − Câu 4. x x I e dx x 1 2 2 0 1 ( 1) + = + ∫ Trang 34 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng • Đặt t x dx dt1= + ⇒ = t t t t I e dt e dt t t t 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 − −   − + = = + −  ÷   ∫ ∫ = e e e e 2 2 1 1 2   − + − + =  ÷  ÷   Câu 5. x x e dx I x 2 3 3 1 2 0 . 1 + = + ∫ • Đặt t x dx tdt 2 1= + ⇒ = ⇒ t I t e dt 2 2 1 ( 1)= − ∫ t t t e dt e J e e 2 2 2 1 2 ( ) 1 = − = − − ∫ + t t t t t t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 4 2( ) 1 1 1    ÷ = = − = − − − = − − −  ÷   ∫ ∫ ∫ Vậy: I e 2 = Câu 6. x x x I dx x 2 3 2 ln( 1) 1 + + = + ∫ • Ta có: x x x x x x x x f x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( ) 1 1 1 1 + + − + = + = + − + + + + ⇒ F x f x dx x d x xdx d x 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1) 2 2 = = + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ = x x x C 2 2 2 2 1 1 1 ln ( 1) ln( 1) 4 2 2 + + − + + . Câu 7. ( ) x x x I dx x 4 2 3 2 0 ln 9 3 9 + + − = + ∫ • ( ) ( ) x x x x x x I dx dx dx I I x x x 4 4 4 2 3 2 3 1 2 2 2 2 0 0 0 ln 9 3 ln 9 3 3 9 9 9 + + − + + = = − = − + + + ∫ ∫ ∫ + Tính ( ) x x I dx x 4 2 1 2 0 ln 9 9 + + = + ∫ . Đặt ( ) x x u 2 ln 9+ + = ⇒ du dx x 2 1 9 = + ⇒ u I udu ln9 2 2 2 1 ln3 ln 9 ln 3 ln9 ln3 2 2 − = = = ∫ + Tính x I dx x 4 3 2 2 0 9 = + ∫ . Đặt x v 2 9+ = ⇒ x dv dx x v x 2 2 2 , 9 9 = = − + ⇒ u I u du u 5 3 2 2 3 44 5 ( 9) ( 9 ) 3 3 3 = − = − = ∫ Vậy ( ) x x x I dx I I x 4 2 3 2 2 1 2 2 0 ln 9 3 ln 9 ln 3 3 44 2 9 + + − − = = − = − + ∫ . Câu 8. e x x x I dx x x 3 2 1 ( 1)ln 2 1 2 ln + + + = + ∫ • e e x I x dx dx x x 2 1 1 1 ln 2 ln + = + + ∫ ∫ . + e e x e x dx 3 3 2 1 1 1 3 3 − = = ∫ Trang 35 Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân + e e e x d x x dx x x x x x x 1 1 1 1 ln (2 ln ) ln 2 ln 2 ln 2 ln + + = = + + + ∫ ∫ e 2 ln 2 + = . Vậy: e e I 3 1 2 ln 3 2 − + = + . Câu 9. e x I dx x x 3 3 1 ln 1 ln = + ∫ • Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + ⇒ + = ⇒ = và x t 3 2 3 ln ( 1)= − ⇒ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 2 2 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) − − + − = = − + − ∫ ∫ ∫ 15 ln2 4 = − Câu 10. 4 2 0 sin cos π = ∫ x x I dx x • Đặt u x du dx x dv dx v x x 2 sin 1 cos cos  =  =   ⇒   = =     ⇒ x dx dx I x x x 4 4 4 0 0 0 2 cos cos 4 cos π π π π = − = − ∫ ∫ + dx xdx I x x 4 4 1 2 0 0 cos cos 1 sin π π = = − ∫ ∫ . Đặt t xsin = ⇒ dt I t 2 2 1 2 0 1 2 2 ln 2 2 2 1 + = = − − ∫ Vậy: 2 1 2 2 ln 4 2 2 2 π + = − − Câu 11. 4 3 2 1 ln(5 ) . 5− + − = ∫ x x x I dx x • Ta có: 4 4 2 1 1 ln(5 ) 5 . − = + − = + ∫ ∫ x I dx x x dx K H x . + x K dx x 4 2 1 ln(5 )− = ∫ . Đặt u x dx dv x 2 ln(5 )  = −   =   ⇒ K 3 ln4 5 = + H= x x dx 4 1 5 .− ∫ . Đặt t x5= − ⇒ H 164 15 = Vậy: I 3 164 ln4 5 15 = + Câu 12. I x x x dx 0 2 2 (2 ) ln(4 )   = − + +   ∫ • Ta có: I x x dx 2 0 (2 )= − ∫ + x dx 2 2 0 ln(4 )+ ∫ = I I 1 2 + + I x x dx x dx 2 2 2 1 0 0 (2 ) 1 ( 1) 2 π = − = − − = ∫ ∫ (sử dụng đổi biến: x t1 sin = + ) + x I x dx x x dx x 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 ln(4 ) ln(4 ) 2 4 = + = + − + ∫ ∫ (sử dụng tích phân từng phần) 6ln2 4 π = + − (đổi biến x t2tan= ) Trang 36 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng Vậy: I I I 1 2 3 4 6ln2 2 π = + = − + Câu 13. 8 ln 1 3 = ∫ + x I dx x • Đặt u x dx du dx x dv v x x ln 2 1 1   = =   ⇒   =   = + +   x I x x dx x 8 8 3 3 1 2 1ln 2 + ⇒ = + − ∫ + Tính x J dx x 8 3 1+ = ∫ . Đặt t x 1= + ⇒ t dt J dt t t 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ln3 ln2 1 1   = = + = + −  ÷ − −   ∫ ∫ I 6ln8 4ln3 2(2 ln3 ln2) 20ln2 6ln3 4⇒ = − − + − = − − Câu 14. dxx x x I ∫ + = 2 1 3 2 ln 1 • Ta có: I xdx x x 2 3 1 1 1 ln   = +  ÷   ∫ . Đặt u x dv dx x x 3 ln 1 1 ( )  =   = +   ⇒ I x x x dx x x x 2 2 4 5 1 1 1 1 1 ln ln ln 4 4     − − = + − +  ÷  ÷     ∫ = 2 1 63 1 ln2 ln 2 64 4 2 − + + Câu 15. e x x x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ∫ • Ta có: e e e x x x e I xe dx e xdx dx H K J x 1 1 1 ln= + + = + + ∫ ∫ ∫ + e e x x e x e H xe dx xe e dx e e 1 1 1 ( 1)= = − = − ∫ ∫ + e e e x x e x x e e e e K e xdx e x dx e dx e J x x 1 1 1 1 ln ln= = − = − = − ∫ ∫ ∫ Vậy: e e e e I H K J e e e J J e 1 1+ + = + + = − + − + = . Câu 16. x x I dx x 2 3 4 cos sin π π = ∫ • Ta có x x x 2 3 1 2c os sin sin ′   = −  ÷   . Đặt u x x dv dx x 3 cos sin  =   =   ⇒ du dx v x 2 1 2sin  =   = −   ⇒ I = x x 2 2 4 1 1 . 2 sin π π − + dx x x 2 2 2 4 4 1 1 1 ( ) cot 2 2 2 2 2 sin π π π π π π = − − − ∫ = 1 2 . Câu 17. x x I dx x 4 3 0 sin cos π = ∫ Trang 37 Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân • Đặt: u x du dx x dv dx v x x 3 2 sin 1 cos 2.cos   = =   ⇒   = =     x dx I x x x 4 4 4 2 2 0 0 0 1 1 1 tan 2 4 2 4 2 2cos cos π π π π π ⇒ = − = − = − ∫ Câu 18. dx x xx I ∫ + + = 2 0 2 2sin1 )sin( π • Ta có: x x I dx dx H K x x 2 2 2 0 0 sin 1 sin2 1 sin2 π π = + = + + + ∫ ∫ + x x H dx dx x x 2 2 2 0 0 1 sin2 2cos 4 π π π = = +   −  ÷   ∫ ∫ . Đặt: u x du dx dx dv v x x 2 1 tan 2cos 2 4 4 π π  =  =    =   ⇒   = −    ÷   −  ÷        x H x x 2 2 0 0 1 tan ln cos 2 4 2 4 4 π π π π π       ⇒ = − + − =  ÷  ÷  ÷  ÷       + x K dx x 2 2 0 sin 1 sin2 π = + ∫ . Đặt t x 2 π = − ⇒ x K dx x 2 2 0 cos 1 sin2 π = + ∫ dx K x x 2 2 2 0 0 1 2 tan 1 2 4 2cos 4 π π π π   ⇒ = = − =  ÷     −  ÷   ∫ K 1 2 ⇒ = Vậy, I H K 1 4 2 π = + = + . Câu 19. x x x x I dx x 3 2 0 (cos cos sin ) 1 cos π + + = + ∫ • Ta có: x x x x x I x dx x x dx dx J K x x 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos π π π   + + = = + = +  ÷  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ + Tính J x x dx 0 .cos . π = ∫ . Đặt u x dv xdxcos  =  =  ⇒ J x x x dx x 0 0 0 ( .sin ) sin . 0 cos 2 π π π = − = + = − ∫ + Tính x x K dx x 2 0 .sin 1 cos π = + ∫ . Đặt x t dx dt π = − ⇒ = − t t t t x x K dt dt dx t t x 2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos π π π π π π π π − − − − ⇒ = = = + − + + ∫ ∫ ∫ x x x x dx x dx K dx K x x x 2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 2 1 cos 1 cos 1 cos π π π π π π + − ⇒ = = ⇒ = + + + ∫ ∫ ∫ Đặt t x dt x dxcos sin . = ⇒ = − dt K t 1 2 1 2 1 π − ⇒ = + ∫ , đặt t u dt u du 2 tan (1 tan )= ⇒ = + Trang 38 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng u du K du u u 2 2 4 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 2 2 4 1 tan π π π π π π π π π π − − − + ⇒ = = = = + ∫ ∫ Vậy I 2 2 4 π = − Câu 20. x x x x I dx x x 2 3 2 3 ( sin )sin (1 sin )sin π π + + = + ∫ • Ta có: x x x x dx I dx dx H K x x x x 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 (1 sin ) sin 1 sin (1 sin )sin sin π π π π π π + + = = + = + + + ∫ ∫ ∫ + x H dx x 2 3 2 3 sin π π = ∫ . Đặt u x du dx dx dv v x x 2 cot sin  =   = ⇒   = = −    ⇒ H 3 π = + dx dx dx K x x x 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 1 sin 1 cos 2cos 2 4 2 π π π π π π π π = = = = − +     + − −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ Vậy I 3 2 3 π = + − Câu 21. x x I dx x 2 3 0 sin 1 cos2 π + = + ∫ • Ta có: x x x x I dx dx dx H K x x x 2 2 3 3 3 0 0 2 0 2 sin sin 1 cos2 2cos 2c os π π π + = = + = + + ∫ ∫ ∫ + x x H dx dx x x 3 3 0 2 0 2 1 2 2cos cos π π = = ∫ ∫ . Đặt u x du dx dx dv v x x 2 tan cos  =   = ⇒   = =    H x x xdx x 3 3 3 0 0 0 1 1 1 tan tan ln cos ln2 2 2 2 2 3 2 3 π π π π π     ⇒ = − = + = −   ∫ + x K dx xdx x 2 2 3 3 0 2 0 sin 1 tan 2 2cos π π = = ∫ ∫ [ ] x x 3 0 1 1 tan 3 2 2 3 π π   = − = −  ÷   Vậy: ( ) I H K 1 1 3 1 1 ln2 3 ( 3 ln2) 2 2 3 6 2 2 3 π π π   − = + = − + − = + −  ÷   Câu 22. I x x dx 3 0 1sin 1.= + + ∫ • Đặt t x 1= + ⇒ I t t tdt t tdt x xdx 2 2 2 2 2 1 1 1 .sin .2 2 sin 2 sin= = = ∫ ∫ ∫ Đặt du xdx u x v x dv xdx 2 4 2 cos sin   = = ⇒   = − =   ⇒ I x x x xdx 2 2 2 1 1 2 cos 4 cos= − + ∫ Đặt u x du dx dv xdx v x 4 4 cos sin   = = ⇒   = =   . Từ đó suy ra kết quả. Trang 39 Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân Câu 23. x x I e dx x 2 0 1 sin . 1 cos π + = + ∫ • x x e dx x I e dx x x 2 2 2 0 0 1 sin 2 1 cos cos 2 π π = + + ∫ ∫ + Tính x x x x x I e dx e dx x x 2 2 1 2 0 0 2sin .cos sin 2 2 1 cos 2cos 2 π π = = + ∫ ∫ x x e dx 2 0 tan 2 π = ∫ + Tính x e dx I x 2 2 2 0 1 2 cos 2 π = ∫ . Đặt x x u e du e dx dx dv x v x 2 tan 2cos 2 2  =  =    ⇒   = =      ⇒ x x I e e dx 2 2 2 0 tan 2 π π = − ∫ Do đó: I I I e 2 1 2 π = + = . Câu 24. x x I dx e x 2 0 cos (1 sin2 ) π = + ∫ • x x I dx e x x 2 0 2 cos (sin cos ) π = + ∫ . Đặt x x x x x dx u du e e dx x dv v x x x x 2 cos (sin cos ) sin sin cos (sin cos )   − + = =     ⇒     = =   + +   x x x x x xdx xdx I x x e e e 2 2 2 0 0 0 cos sin sin sin . sin cos π π π ⇒ = + = + ∫ ∫ Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 1 1 1 1 sin cos 1   = =   ⇒ −   = =     ⇒ x x x xdx xdx I x e e e e 2 2 2 0 0 0 2 1 c os 1 cos sin . π π π π − − = + = + ∫ ∫ Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 2 2 1 1 cos sin 1   = = −   ⇒ −   = =     x x xdx I x I I e e e e e 2 2 2 0 0 2 2 1 1 sin 1 cos . 1 2 1 π π π π π − − − − ⇒ = + − = + − ⇒ = − + ∫ e I 2 1 2 2 π − − ⇒ = + Câu 25. x x x I dx 6 6 4 4 sin cos 6 1 π π − + = + ∫ Trang 40 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng • Đặt t x= − ⇒ dt dx= − ⇒ t x t x t t x x I dt dx 6 6 6 6 4 4 4 4 sin cos sin cos 6 6 6 1 6 1 π π π π − − + + = = + + ∫ ∫ ⇒ x x x x I dx x x dx 6 6 4 4 6 6 4 4 sin c os 2 (6 1) (sin cos ) 6 1 π π π π − − + = + = + + ∫ ∫ x dx 4 4 5 3 cos4 8 8 π π −   = +  ÷   ∫ 5 16 π = I 5 32 π ⇒ = . Câu 26. x xdx I 4 6 6 sin 2 1 π π − − = + ∫ • Ta có: x x x x x x xdx xdx xdx I I I 0 4 4 4 6 6 1 2 0 6 6 2 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 1 2 1 π π π π − − = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ + Tính x x xdx I 0 4 1 6 2 sin 2 1 π − = + ∫ . Đặt x t= − t t t x t t x I dt dt dx 0 0 0 4 4 4 1 6 6 6 2 sin ( ) sin sin 2 1 2 1 2 1 π π π − − − ⇒ = − = = + + + ∫ ∫ ∫ x x x xdx xdx I xdx x dx 4 4 6 6 6 6 4 2 0 0 0 0 sin 2 sin 1 sin (1 cos2 ) 4 2 1 2 1 π π π π ⇒ = + = = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ x x dx 6 0 1 (3 4co s2 cos4 ) 8 π = − + ∫ 4 7 3 64 π − = Câu 27. e I x dx 1 cos(ln ) π = ∫ • Đặt t t t x x e dx e dtln= ⇒ = ⇒ = ⇒ t I e tdt 0 cos π = ∫ = e 1 ( 1) 2 π − + (dùng pp tích phân từng phần). Câu 28. x I e x xdx 2 2 sin 3 0 .sin .cos π = ∫ • Đặt t x 2 sin= ⇒ t I e t dt e 1 0 1 1 (1 ) 2 2 = − = ∫ (dùng tích phân từng phần) Câu 29. I x dx 4 0 ln(1 tan ) π = + ∫ Trang 41 Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân • Đặt t x 4 π = − ⇒ I t dt 4 0 ln 1 tan 4 π π     = + −  ÷  ÷     ∫ = t dt t 4 0 1 tan ln 1 1 tan π   − +  ÷ +   ∫ = dt t 4 0 2 ln 1 tan π + ∫ = dt t dt 4 4 0 0 ln2 ln(1 tan ) π π − + ∫ ∫ = t I 4 0 .ln2 π − ⇒ I2 ln2 4 π = ⇒ I ln2 8 π = . Câu 30. I x x dx 2 0 sin ln(1 sin ) π = + ∫ • Đặt x u x du dx x dv xdx v x 1 cos ln(1 sin ) 1 sin sin cos  +   = + = ⇒   + =   = −  ⇒ x x I x x x dx dx x dx x x 2 2 2 2 0 0 0 cos 1 sin cos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 1 2 1 sin 1 sin 2 0 π π π π π − = − + + = + = − = − + + ∫ ∫ ∫ Câu 31. x x I dx x 4 0 tan .ln(cos ) cos π = ∫ • Đặt t xcos= ⇒ dt xdxsin= − ⇒ t t I dt dt t t 1 1 2 2 2 1 1 2 ln ln = − = ∫ ∫ . Đặt u t dv dt t 2 ln 1  =   =   ⇒ du dt t v t 1 1  =    = −  ⇒ I 2 2 1 ln2 2 = − − Trang 42 . 11. 4 3 2 1 ln (5 ) . 5 + − = ∫ x x x I dx x • Ta có: 4 4 2 1 1 ln (5 ) 5 . − = + − = + ∫ ∫ x I dx x x dx K H x . + x K dx x 4 2 1 ln (5 )− = ∫ . Đặt u x dx dv x 2 ln (5 )  = −   =   ⇒ K 3 ln4 5 = +. x dx dv x 2 ln (5 )  = −   =   ⇒ K 3 ln4 5 = + H= x x dx 4 1 5 .− ∫ . Đặt t x5= − ⇒ H 164 15 = Vậy: I 3 164 ln4 5 15 = + Câu 12. I x x x dx 0 2 2 (2 ) ln(4 )   = − + +   ∫ • Ta. 4 sin c os 2 (6 1) (sin cos ) 6 1 π π π π − − + = + = + + ∫ ∫ x dx 4 4 5 3 cos4 8 8 π π −   = +  ÷   ∫ 5 16 π = I 5 32 π ⇒ = . Câu 26. x xdx I 4 6 6 sin 2 1 π π − − = + ∫ • Ta có: x